11/12/12 23:44:50.54
>>789
両辺を xyz で割ると
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx,
となる。これはコーシー
(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2,
より明らか。（冬）
casphy - 高校数学 - 不等式 - 735
801:１３２人目の素数さん
11/12/13 09:19:04.81
>>789
チェビシェフによる。
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z
= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx,
または
xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて
Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より
x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ
≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz,
802:１３２人目の素数さん
11/12/15 15:04:08.16
モローの不等式age！
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
803:１３２人目の素数さん
11/12/15 15:12:21.25
おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！
おっぱい おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ ∩ ∩ ﾉ) おっぱい！
おっぱい！ 川 ∩ 川彡'三つ おっぱい！
おっぱい！ ⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂三ミ( ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃ おっぱい！
おっぱい！ ⊂彡川⊂彡川ミ⊃ おっぱい！
おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃ おっぱい！
おっぱい！ (ノ ∪ 川 ∪ミ) おっぱい！
おっぱい！ ∪ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！ おっぱい！
おっぱい！
804:１３２人目の素数さん
11/12/15 21:42:40.44
a_n = (1 + 1/n)^n
b_n = (1 + 1/n)^(n+1)
e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
805:１３２人目の素数さん
11/12/15 23:57:48.12
数検スレより
676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63
>>675
要は
a_n=(1 +1/n)^n
b_n=(1 +1/n)^(n+1)
から、
2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4
の相加相乗を使った証明。
数検1級（H23/4)の問題
『(1 +1/n)^(n +1/2) > e を証明せよ』
とテイラー展開を使った模範解答。
別解として、積分（中点公式）を使った解法
さらに、出題として、
台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
発展課題として、
モローの不等式の証明
『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』
_ ∩
( ﾟ∀ﾟ)彡 モロー！ モロー！
⊂彡
806:１３２人目の素数さん
11/12/16 09:22:44.68
797>>Sorry, the correct versio is here.
a, b, c>0 with abc=1.
For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},
1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1.
807:１３２人目の素数さん
11/12/16 14:16:29.16
>>701 はPutnam Competitionの1999年の問題の条件の一部が抜け落ちたもの
元の問題ではfはC^3級になってる
808:１３２人目の素数さん
11/12/16 15:47:23.94
>>807
模範解答はないのですか？
809:１３２人目の素数さん
11/12/16 18:57:34.40
聞く前に探せ！
810:１３２人目の素数さん
11/12/16 22:38:36.36
>>805
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:66-67番)
811:１３２人目の素数さん
11/12/17 01:07:55.84
>>805
(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:68-69番)
812:１３２人目の素数さん
11/12/17 17:02:28.96
>>805
うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ
813:１３２人目の素数さん
11/12/17 17:14:52.36
>>812
a[n-1]/a[n]
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
=1
∴a[n-1]<a[n]
b[n]も同様
814:１３２人目の素数さん
11/12/17 21:11:12.61
にゃるほど、さんくす
815:１３２人目の素数さん
11/12/18 03:57:07.52
>>813
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
これがよくわかりません
816:１３２人目の素数さん
11/12/18 10:35:34.65
>>815
相加相乗
817:１３２人目の素数さん
11/12/18 10:46:04.97
そうか！そうじょうか！
818:１３２人目の素数さん
11/12/18 20:53:38.40
>>812 >>815
{n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1), 1}
(n-1)個 1個
の相乗･相加平均で
{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n,
∴ a[n-1] < a[n],
819:１３２人目の素数さん
11/12/19 06:39:23.97
ちょうど1になるのか。相加相乗を使ってくださいといわんばかりだな。
820:１３２人目の素数さん
11/12/19 11:54:03.82
>>805
> さらに、出題として、
> 台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか
∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ
821:１３２人目の素数さん
11/12/20 15:36:42.61
>>2の[4]を本屋で見かけたけどページ数の割に高かったから買うのを躊躇してしまった・・・
こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？
洋書でもいいんで教えてください
822:１３２人目の素数さん
11/12/20 20:17:44.59
>>821
本題をケチるなど言語道断！
823:１３２人目の素数さん
11/12/20 20:18:35.64
Problem372にﾊｧﾊｧ…
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
824:１３２人目の素数さん
11/12/20 20:46:00.62
eに関する不等式が出てきた今なら出せる
( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } =
825:１３２人目の素数さん
11/12/20 22:34:11.62
>>823
Problem 2.
Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that
x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0,
When does equality hold ?
Problem 372.
For all a,b,c>0 and abc=1, prove that
1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4.
826:１３２人目の素数さん
11/12/20 22:55:55.48
Problem 5
YOSHIO > TETSUYA
827:猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY
11/12/20 22:57:00.38
You need a proof.
--neko--
828:１３２人目の素数さん
11/12/20 22:58:03.53
前科を比べたら哲也の方が上や
829:１３２人目の素数さん
11/12/21 00:33:42.48
そうか？
830:１３２人目の素数さん
11/12/21 03:02:29.47
>>825
Problem 2.
通分して
(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2)
= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 (← 題意)
≧ 0,
等号成立は (0,0,0) (-1/2,-1/2,1) etc. のとき。
831:１３２人目の素数さん
11/12/21 03:58:42.26
>>824
通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー
/^i
/:::::|
＿＿/::::::::|
,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､
, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼
. （:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i
ヽ ￣ ::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー
＼ ::::::::::::::::::ｉ::::::i
`‐ ､ ::::::/::／
｀ ー-- ､.......::／ '´
i:::::::|
i:::::::!
ヽ:_|
832:１３２人目の素数さん
11/12/21 05:37:53.01
かわゆす
833:猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY
11/12/21 10:04:54.39
その魚は実は寿司ネタとして喰えるのや。
猫
834:１３２人目の素数さん
11/12/21 11:50:38.85
A(4)は
|2q 1|
|1 3q|
じゃないかと想像がつくやろ
ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ
それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい
835:１３２人目の素数さん
11/12/21 11:52:23.12
あかん誤爆したわ
836:１３２人目の素数さん
11/12/21 15:26:06.45
>>387
> (3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
> を 3つの対称式の平方和で表わせ。
>>389
> (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
> だと２つになるし･････
>>390
> p=q=r=√2 を入れて
> {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
390が分かりませぬ ('A`)
p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！
837:１３２人目の素数さん
11/12/21 15:28:32.65
ごめん、分かった
838:１３２人目の素数さん
11/12/21 23:19:52.06
>>804-805
{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e,
は同値
左側
>>811 と相加相乗平均より
{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n,
右側
(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2, (下に凸)
a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)},
k = n+1～∞ について掛けて
e / a[n] > (2n+2)/(2n+1),
a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e,
839:１３２人目の素数さん
11/12/22 00:35:36.85
>>804-805
g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より
e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e,
>>824
(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1)
= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n)
= e + O(1/n)
→ e, (n→∞)
840:１３２人目の素数さん
11/12/22 23:16:14.96
>>838 より
e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e,
でござるよ。
もっとも、マクローリンを使えば一発だが...
log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n)
= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …}
= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - …
< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + …
∴ e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e,
841:１３２人目の素数さん
11/12/23 12:32:28.53
>>840
g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
842:１３２人目の素数さん
11/12/23 13:34:13.89
>>824
lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) }
= lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) }
= e(2*1-1)
= e
(1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1
1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！
／/
／ /＿＿
/ ／ lim ＼ ﾊﾟｶｯ！
/.∩|:::: ＼ .／ |
/ | ||::::(● (●.|_ 呼んだ？
/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
"￣￣￣￣￣￣"
843:１３２人目の素数さん
11/12/23 17:31:57.89
>>824
F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x と置くと (n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1)
f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x) とすれば F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx
a(x)=(1+1/x)^x ,b(x)=(1+1/x)^(x+1) と置くと f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x))
x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので
a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e) すなわち a(x)<f(x)<b(x)
1<n-1≦x≦nのとき a(n-1)<f(x)<b(n-1) なので
∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx
{1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n
844:１３２人目の素数さん
11/12/23 19:39:19.09
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ
＿＿＿
.／ ≧ ＼ 上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！
|:::: ＼ .／ | ﾊｧﾊｧ
|::::: (● (● | ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
ヽ::::... .∀....ノ ／ ﾁﾝ ☆
＿( ⊃ ⊃ ﾁﾝ ☆
|＼￣￣￣￣旦￣＼
| |￣￣￣￣￣￣￣|
＼| 愛媛みかん |
￣￣￣￣￣￣￣
845:１３２人目の素数さん
11/12/23 20:01:06.57
>>841
g_n = (1 +1/n)^(n +1/2) より
log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k}
= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
846:１３２人目の素数さん
11/12/23 20:25:17.98
>>844
オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば…
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
847:１３２人目の素数さん
11/12/23 20:47:22.19
自演自重汁
848:１３２人目の素数さん
11/12/23 20:52:43.00
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ
>>842
呼ばない...
849:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:26:35.21
>>846
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
850:１３２人目の素数さん
11/12/24 01:50:06.06
>>848
どうやって７つに？
>>844
行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような
851:( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
11/12/24 02:49:48.95
A548
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A545、546
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4376、4378
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A536、B4364、B4370、B4371
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A534、B4355
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4342
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4340
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4321
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4303、B4306、B4310
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4296、B4297
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4291
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
852:１３２人目の素数さん
11/12/24 03:11:41.99
>>824 別解(?)
(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1)
= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)}
= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)},
ここで↓を使う。
〔補題〕
(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1),
(略証)
(1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より
(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n,
{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,
853:１３２人目の素数さん
11/12/24 04:10:10.46
>>850
コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」
>>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
854:１３２人目の素数さん
11/12/24 07:32:59.66
Problem A.
A.534.
三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。
このとき次を示せ。 sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8.
A.536.
正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。 >>477 >>507
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}.
A.545.
Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1,
then a < b√3.
A.546.
次を示せ。
1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1),
（k=3: B.4371.を参照。)
A.548.
Prove that
Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1,
holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1.
855:１３２人目の素数さん
11/12/24 07:34:53.93
B.4291.
すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c,
B.4296.
m_a、m_b は 三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。
a>b ならば a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010 を示せ。
B.4297.
すべての実数x,yに対して -1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2 を証せ。
B.4303.
長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。
結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。
B.4306.
方程式 16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1 を解け。
B.4310.
a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。
1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an),
B.4321.
どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。
b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3),
856:１３２人目の素数さん
11/12/24 07:36:05.65
B.4340.
すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。
{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2,
B.4343.
a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。
B.4355.
正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。
(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2,
B.4370.
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w), >>477 >>480
B.4371.
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。（A.536を参照。） >>492
B.4376.
x,y は負でない数ならば、次式を証せ。
x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy,
B.4378.
pは正の素数とする。
方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。
857:１３２人目の素数さん
11/12/24 08:31:18.57
B.4297.
(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|,
B.4306.
x = y = -1/2,
B.4343.
a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b
= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0,
B.4376.
相加・相乗平均で。
x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2,
y^3 + y ≧ 2y^2,
(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy,
858:１３２人目の素数さん
11/12/24 08:57:05.85
>>853
成程そのまんまでしたね （恥…
|
8 ＜ｻﾝｸｽ
'`
￣
859:１３２人目の素数さん
11/12/24 16:06:27.63
B4303
三角不等式より。
長方形をABCDとし
BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする
AB+BC+CD+DA
=AB+CD+AE+CE+(BE+DE)
＞AB+CD+AE+CE+BC
860:１３２人目の素数さん
11/12/24 16:52:29.17
B.4355.
チェビシェフより
(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2)
≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3 (← *)
= 2{(x+y+z)/3},
以下、相加･相乗平均で簡単。
*) x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2),
861:１３２人目の素数さん
11/12/24 22:36:08.92
B.4310.
nについての帰納法による。
n=0 のときは等号成立。
n≧1 のとき
a_k - a_0 ≧ k, (← 題意)
左辺を A_n とおくと、
A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)}
≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k)
= 1 + (n+1)/a0,
よって
A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)}
= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}),
862:859
11/12/25 11:06:38.95
BCで折るんじゃなくてBDで折るんだった;;;
863:１３２人目の素数さん
11/12/26 16:31:30.91
B.4297
↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし
↑a,↑bのなす角度をθとすると
(x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ
864:１３２人目の素数さん
11/12/26 16:45:47.03
>>863
\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
865:１３２人目の素数さん
11/12/26 21:43:19.42
Letx, y, z>0 with xyz=1.
Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
866:１３２人目の素数さん
11/12/26 21:56:48.42
>>864
x = tanξ, y = tanη とおくと、
θ = ξ + η,
tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy), (加法公式)
そこで
cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
= (1-xy)･cosξ･cosη,
sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
867:１３２人目の素数さん
11/12/26 22:16:26.36
>>866
なんと！そんなやり方が…
＿＿＿
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
( つ旦O ,.-、 ,.-、 ,.-、
と＿)_) (,,■) (,,■) (,,■)
868:１３２人目の素数さん
11/12/27 00:09:48.53
>865
僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
869:１３２人目の素数さん
11/12/27 04:40:53.32
蟹、猿、おにぎり…、なるほどな
870:１３２人目の素数さん
11/12/28 23:56:03.00
>>498
0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,
左辺を g(a,b,c,d) とおくと
g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0, >>508
∴ a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。
s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。
(i) a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
≧ 25/4,
(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3 (aについて単調減少)
= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
≧ 9/√2 > 25/4,
871:１３２人目の素数さん
11/12/29 18:30:34.49
> 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.
命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))
証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.
斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
872:１３２人目の素数さん
11/12/29 19:47:35.43
ｷｬｽﾌｨ高校数学板
不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]
出題です��
実数 a,b,c,d,e,f が��
ae + bf + cd + af + bd + ce =0��
ad + be + cf + de + ef + fd = 0��
a^2 + b^2 + c^2 = 1��
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2��
を満たすとき��
|ae + bf + cd - af - bd - ce|��
の最大値を求めて下さい。��
考え方もよければお願いします。��
873:１３２人目の素数さん
11/12/29 19:51:21.65
スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと
文字化け(？)するのか...
874:１３２人目の素数さん
11/12/30 04:48:34.62
>>871 (3)
・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,
・ x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
875:１３２人目の素数さん
11/12/30 05:00:25.30
>>823 >>825
Problem 372. の Solution を貼っておこう....
abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。
(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)]
≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic} （← コーシー または 重み付きAM-HM)
= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2}
= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}
= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic},
≧ 3/4,
*)
(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4,
(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2,
876:１３２人目の素数さん
11/12/30 05:24:30.98
>>791-794
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
Bunchin師匠の独演会
877:１３２人目の素数さん
11/12/30 06:22:02.22
>>823
Problem 377.
nは正の整数とする。
i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす:
ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、
| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |,
が成り立つ。次式を証せ。
Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2,
878:１３２人目の素数さん
11/12/31 06:13:08.99
>>877
条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、
{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~},
Σ[j=1,n] εj･(wj)~},
Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~,
εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、
εi･εj → 2^n (i=j)
→ 0 (i≠j) （±1が同数あるから）
となり、i=j だけが残る。よって
Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~,
879:１３２人目の素数さん
12/01/01 04:29:42.89
C.1043. (201009)
f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)},
の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。
K.266. (201011)
bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。
880:１３２人目の素数さん
12/01/01 04:39:55.40
年明け早々 簡単すぎた .... orz
(略解)
C.1043.
f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1,
または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。
K.266.
{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2},
B.4306.
相加･相乗平均で
(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x)
≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4}
= 16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2}
≧ 16^0
= 1,
等号条件から x = y = -1/2,
B.4340.
a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。
φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2 は x<s で下に凸。
881:１３２人目の素数さん
12/01/03 08:06:41.12
>>865
(x+y+z)/3 = A, (xyz)^(1/3) = G とおく。 A-G ≧ 0,
(左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG
= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A)
= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz}
= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z)
≧ 0,
ここに
F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0, (Schur)
ぬるぽ
882:１３２人目の素数さん
12/01/03 20:12:43.06
02-01-0014 安 藤 哲 哉 (千 葉 大 理) ] 3 変数斉次巡回不等式と代数曲面
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
これ気にならん？ ('A`)プケラ
883:１３２人目の素数さん
12/01/04 00:09:32.16
>>882
■射影幾何学における２つの定理
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
「代数曲線・代数曲面入門」新装版 －複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社：(有)数学書房 (2011/01)
判型: A5判、496頁、
定価: 7350円
ISBN-10: 490334262X
ISBN-13: 978-4903342627
URLﾘﾝｸ(www.sugakushobo.co.jp)
日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。
定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。
「代数曲線・代数曲面入門」－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社: 白揚社 (2007/02)
判型：A5判、478頁、22cm
定価：7350円
ISBN-10: 4826931077
ISBN-13: 978-4826931076
安藤 哲哉
1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK)
884:１３２人目の素数さん
12/01/06 19:22:20.17
> 882
その話の内容の2/3は下に書いてあります。
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。
日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。
885:あのこうちやんは始皇帝だった
12/01/06 19:29:55.16
>>884
お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！
886:１３２人目の素数さん
12/01/08 05:57:33.72
難しい…、ｺﾞｸﾘ
887:１３２人目の素数さん
12/01/10 23:35:14.84
〔補題〕
a,b,c が実数のとき
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2),
888:１３２人目の素数さん
12/01/11 00:36:08.04
>>887
(略証)
bはaとcの中間にある、としてもよい。
(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ とおくと
|⊿| ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3,
ところで、
(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2
≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
= (4/3)(s^2 -3t),
なお、a,b,c ≧ 0 のときは
|⊿| ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t),
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com) , 527
高校数学 - 不等式
889:１３２人目の素数さん
12/01/11 22:07:10.38
>>887
⊿^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2,
= (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2,
890:１３２人目の素数さん
12/01/11 22:28:53.84
889すげっ。
メモメモ...φ(．．)
891:１３２人目の素数さん
12/01/15 04:08:40.30
>>887-889
(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ',
(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ',
(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ',
と置くのがいいらしいヨ
casphy - 高校数学 - 不等式 - 749
892:１３２人目の素数さん
12/01/15 23:37:42.81
おもしろいね
893:１３２人目の素数さん
12/01/15 23:49:34.37
〔補題〕
a,b,c ≧ 0
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
のとき
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3),
casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750
894:１３２人目の素数さん
12/01/20 14:45:56.52
最近知った不等式と言えば 「小澤の不等式」 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
URLﾘﾝｸ(mainichi.jp)
895:１３２人目の素数さん
12/01/21 03:12:10.06
>>894
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)不確定性原理#小澤の不等式
896:１３２人目の素数さん
12/01/22 17:12:30.47
落ちたのかと思った ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
897:１３２人目の素数さん
12/01/22 22:36:25.33
いや落ちてたでしょ
898:１３２人目の素数さん
12/01/22 22:56:54.51
a<b<c
rr2r=2r^3
3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5
899:１３２人目の素数さん
12/01/23 23:53:25.33
ふたばから
x^y+y^x>1
x,y>1を示せ
対数とか取らずに解いて欲しいですね
900:１３２人目の素数さん
12/01/23 23:54:14.95
既出
901:１３２人目の素数さん
12/01/24 01:34:42.06
>>899
過去ログを見たまえ
902:１３２人目の素数さん
12/01/24 01:45:26.56
x=y=1/2
903:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:35:32.84
a、b、c >0 のとき、a^3/(a+b)^2 + b^3/(b+c)^2 + c^3/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4
さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
904:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:42:37.07
>>899
むしろ対数を取って証明する方法を知りたい
さあ、改造手術の時間です！
a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
905:１３２人目の素数さん
12/01/28 00:54:02.62
>>903
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す
906:１３２人目の素数さん
12/01/28 01:40:14.79
>>905
どこから出てくるん、その発想
907:名無しさん
12/01/30 21:15:10.90 AiSkvLuw
>>903
ではでは、次はどんな方法で？
a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？
908:名無しさん
12/01/30 21:17:38.49 AiSkvLuw
専ブラから書き込めなかったので、落ちたのかと思ったぜ…
IDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
909:名無しさん
12/01/30 21:30:41.60 xfpFxcpO
まじだ
910:名無しさん
12/01/30 21:34:49.65 qQ0NhdK4
>>907
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
911:名無しさん
12/01/30 21:44:24.85
>>907
a^2/(a+b)≧(3a-b)/4から示す
912:名無しさん
12/01/30 21:58:49.60
>>911
どこから捻り出すのか教えて栗々ﾎﾟﾝﾎﾟﾝ ( ﾟ∀ﾟ)！
913:名無しさん
12/01/30 22:01:11.43
そのコツが分かれば、a^4/(a+b)^3 + b^4/(b+c)^3 + c^4/(c+a)^3 でも作れる鴨
914:名無しさん
12/01/30 22:32:37.59
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
( ﾟ∀ﾟ) しゅっび どぅっび～
915:名無しさん
12/01/30 22:41:55.32
>>912
a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2
から上手くなってくれるように調整
2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2
(a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0
からx=3/2だとうまくいくなーと
916:名無しさん
12/01/30 22:52:48.88
>>915
ぐぬぬ…、なるほどな～
そうやって理詰めで作り出すんですね～ ヽ('A`)ノ