11/09/25 18:40:04.63
>>680
シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357
「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。
このときa,b,c,dを決定せよ。」
という問題です。
2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は
増減表などによって調べることが出来ました。
ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。
相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、
予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。
もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。
しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。