11/07/14 04:04:48.39
外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
411:１３２人目の素数さん
11/07/14 11:52:16.90
>>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
412:１３２人目の素数さん
11/07/15 21:09:37.12
これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
413:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:40:25.36
>>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
414:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:42:23.82
>>298
[初代スレ.465]
415:１３２人目の素数さん
11/07/16 06:55:35.88
>>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
416:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:00:21.68
●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
417:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:10:48.41
〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
418:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:00:01.26
（１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
419:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:03:45.05
>>418
なん…だと！
420:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:22:13.62
>>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
421:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:08:41.04
>>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
422:１３２人目の素数さん
11/07/17 08:05:05.56
a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
423:１３２人目の素数さん
11/07/17 09:15:12.50
>>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
424:１３２人目の素数さん
11/07/17 15:20:11.27
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
425:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:50:11.85
定石ですよ、定石！
426:１３２人目の素数さん
11/07/17 18:07:58.81
ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
427:１３２人目の素数さん
11/07/17 21:16:34.07
>>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
428:１３２人目の素数さん
11/07/17 22:06:41.54
>>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
429:１３２人目の素数さん
11/07/18 00:06:54.77
>>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
430:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:21:39.49
>>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
431:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:26:59.25
うーん、ぬぬぬ…
432:１３２人目の素数さん
11/07/18 02:19:45.59
>>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
433:１３２人目の素数さん
11/07/18 04:27:35.04
>>431
う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
434:１３２人目の素数さん
11/07/18 11:59:43.81
1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
435:１３２人目の素数さん
11/07/18 14:17:03.31
ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
436:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:11:08.55
AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
437:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:17:17.77
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
438:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:18:42.48
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
439:１３２人目の素数さん
11/07/18 19:05:38.49
>>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
440:１３２人目の素数さん
11/07/18 22:26:06.82
〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
441:１３２人目の素数さん
11/07/19 00:21:55.69
∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
442:１３２人目の素数さん
11/07/19 06:33:56.04
>>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
443:１３２人目の素数さん
11/07/19 09:27:04.02
Nice Solution!
444:１３２人目の素数さん
11/07/19 12:25:03.59
>>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
445:１３２人目の素数さん
11/07/19 13:20:00.38
(0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
446:１３２人目の素数さん
11/07/20 10:14:37.63
このスレ恐ろしすぎる
447:１３２人目の素数さん
11/07/20 17:21:02.92
不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
448:１３２人目の素数さん
11/07/20 18:25:13.74
〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
449:１３２人目の素数さん
11/07/20 21:26:23.94
>>447
正解！
450:１３２人目の素数さん
11/07/20 23:35:36.28
>>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
451:１３２人目の素数さん
11/07/21 00:29:09.54
>>450
神すぎる…
452:１３２人目の素数さん
11/07/21 09:53:30.81
Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
453:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:21:14.26
>>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
454:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:23:42.09
>>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
455:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:27:42.91
>>454
下限というか最小値は１かな？
456:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:43:07.23
>>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
457:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:59:00.10
No, your proof is CORRECT!
458:１３２人目の素数さん
11/07/21 20:29:14.21
>>453 の weighted AM-GM というのは
p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
459:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:26.03
重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
460:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:52.11
>>453, >>458
凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
461:１３２人目の素数さん
11/07/30 15:16:53.93
x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して
( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
462:１３２人目の素数さん
11/07/30 17:25:09.46
>>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
463:コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY
11/07/30 17:25:21.59
>>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
464:１３２人目の素数さん
11/07/30 18:00:36.44
>>461
むむむ…、分からん
465:１３２人目の素数さん
11/07/30 21:48:35.22
どうみても二項定理だろアホｗ
466:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:10:33.54
>>465
証明してみろ！
467:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:49:10.99
>>461
(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
468:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:51:17.31
>>467 の続き
【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
469:１３２人目の素数さん
11/07/31 05:50:42.62
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
470:１３２人目の素数さん
11/07/31 12:49:57.13
[前スレ.608] の小改良....
以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
471:１３２人目の素数さん
11/07/31 13:28:12.30
>>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
472:１３２人目の素数さん
11/08/01 23:36:30.55
>>470
4 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
473:１３２人目の素数さん
11/08/03 10:28:00.18
x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
474:１３２人目の素数さん
11/08/03 12:00:02.32
ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
475:１３２人目の素数さん
11/08/03 14:18:15.05
>>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
476:１３２人目の素数さん
11/08/05 01:50:12.86
>>461 の類題
(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
477:１３２人目の素数さん
11/08/05 02:03:18.01
しょうがないなあ
A536, B4364, B4370
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
478:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:10:52.07
a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
479:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:12:41.91
↑
>>477
A536
480:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:04:44.11
>>477
[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
481:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:36:05.93
質問スレに張られてた奴
a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
482:１３２人目の素数さん
11/08/06 02:51:33.91
>>481
コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
483:１３２人目の素数さん
11/08/06 07:12:31.74
>>482
成程な～
484:１３２人目の素数さん
11/08/06 11:26:48.95
>>482
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
485:１３２人目の素数さん
11/08/06 12:53:39.49
>>484
出直してこい
486:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:39:40.36
>>477
B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
487:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:42:38.09
ダメじゃないの。
488:482
11/08/06 14:17:02.81
>>484
等号成立条件は a=b=c=1。
が抜けてたな.....
ぬるぽ
489:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:20:07.02
すまん、積でしたな
490:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:40:31.10
>>477
[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき 次を示せ。
(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,
(略解)
(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
= 2(a^2 - b^2)/b
= {2(a+b)/b}(a-b)
≧ 4(a-b),
以下簡単。
491:486
11/08/06 18:26:09.37
>>490
うまい…
492:１３２人目の素数さん
11/08/06 22:05:29.24
>>477
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。
(略解)
(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,
{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,
cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
1/cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。
Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
493:492
11/08/06 22:11:32.65
>>492 訂正
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
494:１３２人目の素数さん
11/08/07 09:00:49.56
For real numbers $p,\ q,\ r$, prove that
p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
495:１３２人目の素数さん
11/08/07 15:33:09.16
p^2+q^2+r^2=x^2
G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
496:１３２人目の素数さん
11/08/08 00:04:38.81
>>494
f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
≧ (2/3)(p+q+r),
Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)) [下に凸]
≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r)) [単調増加]
= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
497:１３２人目の素数さん
11/08/08 09:27:01.04
正じゃない。
498:１３２人目の素数さん
11/08/08 15:02:45.71
For positive real numbers a, b, c, d with abcd=1,
Prove that
1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
499:１３２人目の素数さん
11/08/11 00:34:49.08
a≧b≧c≧dとする。
abcd=1よりa≧1である。
(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
500:499
11/08/11 00:42:47.14
間違えたorz
501:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:11:15.95
あほ
502:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:44:52.56
>>501
口が悪いな、直したほうがいい
503:１３２人目の素数さん
11/08/14 17:09:15.69
>>498 難しくない？
504:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:09:44.14
>>494 >>497 難しくない。
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
505:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:18:09.31
なんだ、ただの神か…
506:１３２人目の素数さん
11/08/15 10:35:43.41
>>504 の補足
まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
507:１３２人目の素数さん
11/08/15 20:13:45.05
>>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
508:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:09:19.68
>>498
左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。
509:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:26:39.15
>>498
次に
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
を示そう。
f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
≧ 0,
∵ g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
> 0.
難しくない。>>503
510:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:33:13.51
>>508-509
の最後の式の右辺は間違い。
25/４
+5.782966457(A-1)
に訂正。
511:１３２人目の素数さん
11/08/16 19:20:06.30
>>509
最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな
F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),
F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
= 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},
A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
512:１３２人目の素数さん
11/08/19 01:38:45.69
>>509
F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな
A^4 + 3 = (4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
≧ (4/√3)A^3
> (9/4) A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
≧ 0, (A≧1)
513:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:12:34.36
>>512
相加･相乗平均を使わないなら
3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
≧ (9/4)A^3,
どうでもいいけど.....
514:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:44:57.93
【問題１】
正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ
【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ
【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、
(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？
と変えたところで、やはり秒殺でしょう （by スマートブレイン社社長）
515:１３２人目の素数さん
11/08/21 05:37:23.73
>>514
【問題１】
z = x + y + Z' (Z'≧0) を代入して整理する。
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。
【問題２】
(左) e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
= 7/(15e)
= 0.171677
(右) x^2 > x^3 より
I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e)
= 0.210706852
または 相加･相乗平均より
x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
= (1/24)(13 - 22/e)
= 0.204443845
【問題３】
f(x) = (x + 1/x)^2 は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) = 100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
516:１３２人目の素数さん
11/08/21 05:44:22.87
【問題４】
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ
∧,,∧
(`･ω･´) 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
517:１３２人目の素数さん
11/08/21 06:18:55.54
>>514
【追加問題１】
f(x) = (x + 1/x)^n は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
= 3(10/3)^n,
としてもよい。
【追加問題２】
(abc)^(1/3) = G とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
3(10/3)^3 = 1000/9
518:１３２人目の素数さん
11/08/21 06:57:11.66
>>516
【問題４】
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},
定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
[第3章.481]
519:１３２人目の素数さん
11/08/21 13:58:30.54
>>515 【問題２】(右)
詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･
∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,
∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056
ここでシュワルツを使えば I < 0.2045232 だな。
520:１３２人目の素数さん
11/08/21 14:13:02.30
>>515 【問題２】
exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
521:１３２人目の素数さん
11/08/21 23:44:35.95
【もんじあ】
実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の 最大値を求めよ
522:１３２人目の素数さん
11/08/22 00:31:52.68
>>521
g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴ |x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
523:１３２人目の素数さん
11/08/22 01:28:08.98
g(x,y,z)≡1だから、最大値は√3か
524:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:12:25.39
[B.4355.]
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
525:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:26:02.52
三角形ABCの内部の点Pに対して PA+PB < CA+CB が成り立つ。
[B.4339.]
四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
526:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:30:57.36
[B.4355.] (訂正)
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
527:１３２人目の素数さん
11/08/23 04:59:16.48
(ﾟдﾟ；) ﾄ､ﾄｳｾﾞﾝ ﾃﾞ ｺﾞｻﾞﾙﾖ…
528:１３２人目の素数さん
11/08/23 12:50:44.75
>>526-527
相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),
x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
≧ 2(xyz)^(1/3),
529:１３２人目の素数さん
11/08/23 16:00:00.77
ＡＢ＜ＡＣでＢの近くにＤをとり，Ｃの近くにＰをとる。
530:１３２人目の素数さん
11/08/23 19:51:01.60
>>524
x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
531:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:08:58.13
>>498
第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org)
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org) 過去問
532:１３２人目の素数さん
11/08/24 22:01:55.57
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
533:１３２人目の素数さん
11/08/24 22:07:45.91
>>531
中華の問３、どっかで見たような希ガス…
534:１３２人目の素数さん
11/08/25 05:16:58.00
C.944
URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
535:１３２人目の素数さん
11/08/25 06:57:10.69
>>238
>>251
536:１３２人目の素数さん
11/08/25 16:54:26.26
そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、
いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
並べ替え不等式を使うのか…
537:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:04:28.49
>>526
x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
538:１３２人目の素数さん
11/08/26 07:19:11.26
0
539:１３２人目の素数さん
11/08/26 08:57:16.76
x, y, zは正の実数で x+y+z=11 , x≦2, y≦3 のとき √(xyz) ≦6 .
540:１３２人目の素数さん
11/08/26 09:07:33.95
>>539
どうやるん？
541:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:08:56.28
>>536
その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
542:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:19:33.62
>>541
なんと！ すごいな
543:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
544:訂正
11/08/26 13:22:23.41
543 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/26(金) 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
545:541
11/08/26 13:32:26.78
記事名をキーワードにググってみたら、
数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。
>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
546:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:40:03.23
>>545
情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
547:541
11/08/26 13:57:35.26
＞で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
548:１３２人目の素数さん
11/08/26 21:17:47.93
541>所謂, Rearrangememt Inequalityですな。
>>544 int_0^1 x^2 dxは？
549:１３２人目の素数さん
11/08/27 02:57:18.25
>>539-540
xy -(x+y+1) +2 = (x-1)(y-1) ≦ 2,
∴ xyz = xy(11-x-y) ≦ (1+x+y)(11-x-y) = 36 - (5-x-y)^2 ≦ 36,
∴ √(xyz) ≦ 6,
550:１３２人目の素数さん
11/08/27 03:29:51.55
>>549
１行目が思いつかない
どういう発想で、こういう解法に辿りついたのか知りたいです
数字が変わっても、このやり方は使えるのですか？
551:１３２人目の素数さん
11/08/27 04:35:47.24
>>544
f_n(x) = Σ[r = 0 to n] (-1)^r * nCr / (x+r) とおくと
f_{n+1}(x) = f_n(x) - f_n(x+1)
552:１３２人目の素数さん
11/08/27 04:47:31.94
B[x,n+1]だろ
553:１３２人目の素数さん
11/08/27 05:25:31.22
>>552
なにそれ？
554:１３２人目の素数さん
11/08/27 13:27:34.85
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+2b)(b+2c)(c+2a)
を示せ
高１の宿題です
さっぱりわかりません
555:１３２人目の素数さん
11/08/27 15:42:42.51
4(a+b)(b+c)(c+a)-(a+2b)(b+2c)(c+2a)
={4(b+c)*a^2 + 4(b+c)^2*a + 4bc(b+c)} - {2(b+2c)*a^2 + (b+2c)(4b+c)*a + 2bc(b+2c)}
=2b*a^2 + (4b^2+8bc+4c^2-4b^2-9bc-2c^2)*a + 2b^2c
=2b*a^2 + (-bc+2c^2)*a + 2b^2c
=2(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
=6*(1/3)*(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
≧6*abc-abc (相加相乗平均 等号成立はba^2=cb^2=ac^2⇔a=b=c)
=5abc>0
556:１３２人目の素数さん
11/08/27 15:51:37.29
>>555じゃないが、「三角形の三辺の長さ」って条件必要か？
557:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:00:47.53
高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明だし
三角形であることをうまく使って証明できるのかもしれない。
やり方がわからんのだけど。
558:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:09:52.09
＞高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明
うろ覚えだが、2次の相加相乗平均でさえ習うのは高2だったような。
まあa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2から直接導けるが。
何か数Ⅰ,A範囲で証明できる方法があるのかね。
559:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:46:12.93
>>555
三角形の条件は？
560:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:16:44.76
つまり、三角形の３辺をなす正の数 a、b、c でなくても成立する不等式だったと…
出題者は、三角形の成立条件を考慮した上で、もっと厳しい評価式を出題しろってこった！
561:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:40:02.91
>>560
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
を示せ。
等号成立は a=b=c のとき。
562:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:42:15.42
てめえが示せこの野郎！
563:１３２人目の素数さん
11/08/27 21:41:01.83
>>562
君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ！
564:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:02:32.00
三角形の辺の長さに関する不等式について検索したら…
不等式プロがヒットした！
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)()
565:１３２人目の素数さん
11/08/28 01:06:08.23
>>561
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
= (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
+(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
= (17/3)P + (1/3)Q,
三角不等式より
2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
= (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
= (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,
566:１３２人目の素数さん
11/08/28 04:33:06.72
>>544
n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}
567:１３２人目の素数さん
11/08/28 05:36:37.46
>>561
三角形の３辺だから
a=q+r, b=r+p, c=p+q, >>273
とおく。p,q,r≧0
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
= 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
= (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
+(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
= (17/3)P + (1/3)Q,
P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
= p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
= q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,
変わり映えしねぇ.....
568:１３２人目の素数さん
11/08/28 05:59:42.21
>>29-31 >>44
a,b,c ≧0,
m = min{a,b,c}
{a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
|⊿| = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),
6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
> 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
≧ 3xy(5x+7y)
> 15xy(x+y)
= 15|⊿|,
569:１３２人目の素数さん
11/08/28 06:06:32.37
>>494 の類題
a,b,cを実数、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c)⊿ ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし）
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
570:１３２人目の素数さん
11/08/28 21:55:29.60
I+J+K+L+N = 0 のとき
f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),
を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。
571:１３２人目の素数さん
11/08/28 22:08:28.25
>>570
f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}
とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。 ここに
K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),
まづ
P + Q + R = - (A+B+C),
CP + AQ + BR = I/2,
BP + CQ + AR = J/2,
より
AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,
P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
PQ + QR + RP = －(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
これを使えば K ' を計算できる。
K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。
572:１３２人目の素数さん
11/08/28 22:28:51.81
>>571 補足
xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,
573:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:00:36.43
1991 IMO 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27
574:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:19:05.81
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
575:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:40:00.54
x=y=z=w=1.
25/4>=4/27>=11/12>=25/4.
576:１３２人目の素数さん
11/08/29 02:17:54.40
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
だね。
577:１３２人目の素数さん
11/08/29 02:38:43.69
>>573
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
578:１３２人目の素数さん
11/08/29 20:25:51.28
a^n+b^n<c^n
となる整数a,bをcで表しなさい。
579:１３２人目の素数さん
11/08/29 22:27:55.11
n≧4 で 2^(n-1) < n^(n-2)
を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。
580:１３２人目の素数さん
11/08/29 23:14:01.40
>>579
n ≦ 2(n-2),
2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),
581:１３２人目の素数さん
11/08/29 23:49:13.57
おおっ
不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580
582:１３２人目の素数さん
11/08/30 00:40:02.56
2^2<=n.
2^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).
583:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:06:53.80
>>546-547
で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…
x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
584:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:12:31.51
つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね
585:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:59:46.12
対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。
586:１３２人目の素数さん
11/08/30 10:13:00.43
>>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス
587:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:50:39.36
>>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、
あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった
涙拭けよ
588:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:53:45.10
何言ってだこいつら
589:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:59:42.97
いつもの荒らしでしょう
590:１３２人目の素数さん
11/08/30 17:51:18.51
そもそも573は問題の解釈が間違っている
真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ
591:１３２人目の素数さん
11/08/30 17:56:41.46
1991問題は
三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが
592:１３２人目の素数さん
11/08/30 18:38:17.84
AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc.
593:１３２人目の素数さん
11/08/30 23:19:26.11
>>573 △の辺だから
>>577
>>592
AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)
に
△BCI = (1/2)ar, △ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
（rは△ABCの内接円の半径）
594:１３２人目の素数さん
11/08/31 03:30:40.14
>>570-572
〔例1〕 >>268
2倍すると
N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) K'=0,
>>284-290
〔例2〕 >>494 >>504
27倍すると
N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
(A,B,C)=(3,-3,1) (P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4) K ' = 3/8,
(A,B,C)=(3,-3,-1) (P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28) K ' = 3/8,
〔例3〕 >>569
27倍すると、
N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
(A,B,C)=(4,-1,-3) (P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26) K '= 29/78
(A,B,C)=(4, 1,-3) (P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74) K ' = 13/74,
595:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:09:17.96
>>592
間違ってるんだが
596:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:12:33.43
BA'が(a+b)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
を考えると明白な間違い
597:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:23:05.21
>>596
>BA'が(a+b)/(2a+b+c)
BA'、a、b、cって長さ？
次元が違うんだが
598:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:26:24.06
二等分線だからこういうふうな比になるだろ
なんで分からないの？馬鹿は死ねよ
599:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:27:50.44
／￣￣￣＼
/ ⌒ ⌒ ヽ
/ ｨ●ｧ ｨ●ｧ |
| |
| c{ っ |
| ＿＿ } うーっす
/､. ー ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌─┐ |丿
| ├─┤ |
| ├─┤ |
600:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:28:24.02
間違いに気付いたか
馬鹿め
601:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:37:45.00
訂正
BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
602:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:39:19.07
上を下に入れると
a+bがきれいにきえて
（2a+b+c）/２(a+b+c)
になるんで、上のほうの解答は大間違い
603:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:41:40.55
>>601
a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが
604:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:53:35.71
解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ
605:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:59:55.86
ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ
606:１３２人目の素数さん
11/08/31 08:36:42.89
適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね
607:１３２人目の素数さん
11/08/31 17:25:11.12
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
荒れたスレに不等式ヲタが光臨！ 整理すると以下の如しだ！
【1991 IMO 問１】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27
【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
608:１３２人目の素数さん
11/08/31 17:50:46.29
>>590、>>595-602 をあぼーんすればよろし
609:１３２人目の素数さん
11/08/31 18:59:22.02
なんで590、598、600は偉そうなの？ 馬鹿なのに
610:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:52:41.70
a>0 のとき (a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n
って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。
611:610
11/08/31 19:53:43.74
間違えました。>じゃなくて≧でした。
(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。
612:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:13:46.88
n≧1かな？
凸不等式でおｋ
613:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:35:31.95
変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか？
クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。
614:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:46:46.40
不等式で評価する
って普通に使うね。
615:１３２人目の素数さん
11/08/31 21:48:26.70
進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。
数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
616:１３２人目の素数さん
11/08/31 21:51:24.37
>>615
> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
なんで？
617:１３２人目の素数さん
11/09/01 11:19:10.51
>>607
なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが
618:１３２人目の素数さん
11/09/01 11:42:35.32
何言ってだこいつ
619:１３２人目の素数さん
11/09/01 12:14:01.46
しーっ、目を合わせちゃいけません
620:１３２人目の素数さん
11/09/01 16:33:02.11
a+b+cってどこにあるの
621:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:15:08.17
上から評価、下から評価
とか言った使い方をよくする
622:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:41:35.38
>>525
〔補題〕
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.
623:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:45:57.36
>>622
(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで 題意より
f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴ f(P) < f(C),
* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
a≠0 のとき双曲線。
a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。
624:１３２人目の素数さん
11/09/02 22:57:20.36
0＜a、a≠1
((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！
625:１３２人目の素数さん
11/09/03 08:01:27.09
1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値（上限）は？
626:１３２人目の素数さん
11/09/04 20:20:23.84
>>625
通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3) (k=1/8)
= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
= (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
≧ 0,
627:626
11/09/04 20:25:44.92
>>625 (続き)
〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。
〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
(2b-a)(2c-b)(2a-c) = 2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。
628:１３２人目の素数さん
11/09/04 23:58:47.65
〔類題〕
1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.
[第２章.325-326 , 514-519]
上限（～17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
629:１３２人目の素数さん
11/09/05 01:06:11.79
ついでに....
>>102
[第２章.643-645]
>>350-356
[第２章.780 , 786-818]
630:１３２人目の素数さん
11/09/05 01:54:00.74
>>628
題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2, 4-b-c≧0.
加比の理 より、
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.
[第２章.522,526]
631:１３２人目の素数さん
11/09/05 03:01:55.82
>622
(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
CP < CA', CP < CB'
直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴ AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕
∴ AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB, または
AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,
[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)
632:１３２人目の素数さん
11/09/05 21:11:27.93
>>625
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10,
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1),
循環的にたす。
(与式） < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10,
>>628 >>630
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2),
循環的にたす。
(与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3,
633:１３２人目の素数さん
11/09/05 21:16:15.35
難し杉…
634:１３２人目の素数さん
11/09/06 19:50:20.37
分かり松…
635:１３２人目の素数さん
11/09/07 23:02:48.81
それっ桐…
636:１３２人目の素数さん
11/09/08 10:20:53.57
ネタ切れ梅
637:１３２人目の素数さん
11/09/08 10:24:34.78
次のネタ投函を待つ竹さ…
638:１３２人目の素数さん
11/09/09 02:47:11.86
粟てず、ゆっ栗…
639:１３２人目の素数さん
11/09/09 14:58:55.66
For a>1,b>1,c>1,Prove that for positive integer n
(a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2
+(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n.
640:１３２人目の素数さん
11/09/10 07:21:21.34
>>639
LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1},
(i) For n=1, equality holds.
(ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM,
f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1)
= (t^n + 1 + …… + 1) - nt
= (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)}
= (t-1)g(t)
≧ 0. (*)
Equality holds only if t=1.
*)
For -1≦t<1, g(t) < 0.
For t>1, g(t) > 0.
641:１３２人目の素数さん
11/09/10 20:15:07.41
>>611
nが偶数 または a>0 のとき
(左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) Ｃ(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0,
等号成立は x=0 のとき。
>>612
nが奇数（>1）かつ |x| >a のとき ……
642:１３２人目の素数さん
11/09/10 21:00:30.45
>>611
nについての帰納法による。
・n=1 のとき 等号成立。
・n>1 のとき
f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n
= a･f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)}
≧ a･f_(n-1)(a,x),
∵
x>0 のとき a+x > |a-x|,
x<0 のとき a-x > |a+x|,
x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0,
よって
f_n(a,x) ≧ a･f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)･f_1(a,x) = 0,
643:１３２人目の素数さん
11/09/11 00:59:16.87
>>625 >>628
文字の数をn個に拡張すると……
(a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、
n=4m : n + n/16,
n=4m+1 : n + (n-9)/16 + 1/2,
n=4m+2 : n + (n-6)/16 + 1/3,
n=4m+3 : n + (n-3)/16 + 1/6,
∴ 最大値はこれ以上だが....
644:１３２人目の素数さん
11/09/11 11:36:09.72
〔問題〕
正の実数 x,y,z が三角形（最大角θ）の３辺の長さとなるとき
S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx),
のとりうる値の範囲を求めよ。（じゅー)
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
645:１３２人目の素数さん
11/09/11 14:40:04.06
>>644 のあらすじ
正弦定理より
S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ},
A+B+θ = 180ﾟ（θ≧60ﾟ） より
S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ}
これは |A-B| について単調増加。
∴ 2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2,
左側の等号は A=B=(180ﾟ-θ)/2,
右側の不等号は {A,B}→{0ﾟ, 180ﾟ-θ}
646:１３２人目の素数さん
11/09/14 00:12:23.53
For a,b,c>0 with a+b+c=3, Prove that
a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc)
647:１３２人目の素数さん
11/09/14 01:02:37.37
>>646
a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな？（残り２つも）
648:１３２人目の素数さん
11/09/16 22:27:40.55
【うんち問題】
a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3
【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| もう秋ですなぁ…
ヽ::::......ワ...ノ 過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
649:１３２人目の素数さん
11/09/17 00:45:14.80
>>646
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2}
= 9(100s^5 -270s^3･t +378s^2･t +81tu)/(100s^6 -180s^4･t +324s^3･u +810s^2･t^2 -1458stu +729u^2),
RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc}
= 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u),
は使いたくないし...
>>648 【うんち】
(a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2,
相加･相乗平均より
(左辺) ≧ a + (2/a)^2
= a/2 + a/2 + (2/a)^2
= 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2
≧ 3,
650:１３２人目の素数さん
11/09/17 14:08:46.56
＞＞【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
Just use weighted AM-GM inequality. Done!
651:１３２人目の素数さん
11/09/17 15:06:06.78
>>648 >>650
L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により
a･L(x/a) + b･L(y/b) + c･L(z/c) ≦ (a+b+c)･L((x+y+z)/(a+b+c)),
652:１３２人目の素数さん
11/09/17 18:48:40.09
ということで、>>648を修正すると…
---------------------------------------------------
非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、
(x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)}
等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき
---------------------------------------------------
これを使えば、次式も出てくるよね？ 間違ってないかな？
正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、
x^x・y^ｙ・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2
x^x・y^ｙ・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2}
もっと面白いのできないかな？
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加ッ！ 相乗だったのか！ ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ.....ノ
653:１３２人目の素数さん
11/09/18 21:34:16.82
For x, y, z>0 with xyz=1.
Prove that
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
654:１３２人目の素数さん
11/09/18 21:35:58.39
For x, y, z>0 with xyz=1.
Find the maximum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
655:１３２人目の素数さん
11/09/18 21:37:38.42
Sorry for multi posts,
For x, y, z>0 with xyz=1.
Find the minimum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
656:１３２人目の素数さん
11/09/19 13:41:18.19
不等式か！
ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね
おまえ等、買った？
657:１３２人目の素数さん
11/09/19 14:37:40.12
>>656
コレクションですと！
ｋｗｓｋ！
658:１３２人目の素数さん
11/09/19 16:46:53.20
今日も自演操業乙であります！
659:１３２人目の素数さん
11/09/19 21:32:54.72
>>417
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
660:１３２人目の素数さん
11/09/19 22:09:41.76
>>659
つまり >637 によれば
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc,
とおくと
f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2)
= -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2
= -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2, (恒等式)
x^2 = -1 を代入して
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2,
661:１３２人目の素数さん
11/09/20 12:41:18.89
Just use,1+a^2=(1+ai)(1-ai) Done!
662:MaxValu
11/09/21 12:37:20.35
>>654
(x+3)/(x+1)^2 = 1/(x+1) + 2/(1+x)^2 ≦ 3/(1+x),
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+u)/(1+s+t+u)
< 2,
ここに、s=x+y+z≧3, t=xy+yz+zx≧3, u=xyz=1,
よって
(与式) < 6,
上限に近づくのは、(例) x→0, y→0 のとき。
663:Aeon
11/09/21 13:44:34.02
>>662 の訂正
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+２u)/(1+s+t+u)
< 2,
>>655
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u),
1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2
= {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2 (← u=1)
= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
≧ 3,
等号成立は s=t=3 すなわち x=y=z=1 のとき。
664:１３２人目の素数さん
11/09/21 19:33:44.04
For a,b,c>0, prove that
4(a^3+b^3+c^3-3abc)^3≧27(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^3
665:１３２人目の素数さん
11/09/22 21:55:07.55
>>664
a^3 +b^3 +c^3 -3abc ≧ 3k･(aab +bbc +cca -3abc),
k = 1/{4^(1/3)} ～ 0.630
----------------------------------------------------
Let's put
m = min{a, b, c}
(a, b, c) = (m, m+x, m+x') or its rotation,
where x≧0, x'≧0.
Then,
a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-c)^2 -(a-c)(b-c) +(b-c)^2}
= (3m+x+x'){x^2 -xx' +(x')^2},
aab +bbc +cca -3abc = m{x^2 -xx' +(x')^2} + (x^2)x',
and
LHS - RHS ≧ (x+x'){x^2 -xx' +(x')^2} -3k(x^2)x'
= (x + kx')(x - x'/√k)^2
≧ 0.
Equality holds for (m, m+x, m+x') = (0, 1, √k)
666:１３２人目の素数さん
11/09/22 22:37:30.61
>>656
>>2の[1]のことか？
667:１３２人目の素数さん
11/09/22 23:58:15.43
正の数a、b、c、dに対して
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2
( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
668:１３２人目の素数さん
11/09/23 00:28:08.23
a[k]＞0 (1≦k≦n)
(x-a[1])(x-a[2])(x-a[3])…(x-a[n])=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)p[k]x^kとしたとき、
i＜j⇒(p[i]/binomial(n,i))^(1/i)≧(p[j]/binomial(n,j))^(1/j) (等号成立はa[1]=a[2]=a[3]=…=a[n]のとき)
らしいのですが、どうやって証明するのが一番きれいですか？
コーシーシュワルツのようなきれいな証明を知りたいです。
669:１３２人目の素数さん
11/09/23 00:54:07.39
>>668
S_k = p[k]/binomial(n,k) とおいて、(S_k)^2 ≧ S_(k-1)・S_(k+1) を示し、これを用いるのぢゃ
670:１３２人目の素数さん
11/09/23 08:23:21.67
>>667
[初代スレ.455、473-474]
>>668
Π[k=1,j-1] (S_k)^(2k) ≧ Π[k=1,j-1] {S_(k-1)･S_(k+1)}^k,
より
(S_{j-1})^j ≧ S_0･(S_j)^(j-1),
S_0 = 1,
[初代スレ.257, 263-271]
参考文献[1] Cambridge版 (1934) の 2.22節、公式51-55
E.F.Beckenbach - R.Bellman, "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer (1961) p.11
>>669
Q_k = (S_k)^2 - S_(k-1)・S_(k+1) = {1/(n･k･C[n,k]･C[n-1,k])}Σ{j=0,k-1} [k;j]/(j+1) ≧ 0,
ここに [k;j] は {a1･a2･････a(k-j-1)}^2 a(k-j)････a(k+j-1){a(k+j)-a(k+j-1)}^2 という型の積すべての和
ですね。
[初代スレ.480-481]
数セミ増刊「数学の問題 第１集」No.21 (1977.2)
671:１３２人目の素数さん
11/09/23 09:52:01.92
>>670
＿＿＿
.／ ≧ ＼ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
|:::: ＼ .／ | 初代スレ懐かしい…
|::::: (● (● | あれから７年も経ったのか…
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
672:仙石６０
11/09/23 09:56:22.55
じゃかあしい、黙ってろ！
673:１３２人目の素数さん
11/09/23 10:15:54.71
>>672
誰だね君は？
674:仙石６０
11/09/23 10:18:00.02
俺はいまや 毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
675:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
11/09/23 13:50:55.86
ワシかていまや 毎日が日曜日。
馬鹿潰しに関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
猫
676:１３２人目の素数さん
11/09/23 13:56:54.76
毎日が充実してて何よりですワ
677:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY
11/09/23 15:53:56.74
そうですねん。飯も美味いし酒も美味いワ。
猫
678:１３２人目の素数さん
11/09/23 19:22:28.01
>>668-669
(S_k)^2 ≧ S_(k-1)･S_(k+1),
より
1/S_0 ≧ ･･････ ≧ (S_k)^(k-1)／(S_{k-1})^k ≧ (S_{k+1})^k／(S_k)^(k+1) ≧ ････,
S_0 = 1,
とすべきか....
679:１３２人目の素数さん
11/09/24 00:27:51.12
>>669>>670>>678
遅くなりましたがありがとうございます。
これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。
不等式の奥深さを改めて感じました。
n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても
これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。
紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。
680:１３２人目の素数さん
11/09/24 01:53:55.13
>>679
> n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ
681:１３２人目の素数さん
11/09/25 09:38:07.22
使えんやっちゃな
682:１３２人目の素数さん
11/09/25 18:40:04.63
>>680
シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357
「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。
このときa,b,c,dを決定せよ。」
という問題です。
2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は
増減表などによって調べることが出来ました。
ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。
相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、
予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。
もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。
しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。
683:１３２人目の素数さん
11/09/25 19:55:12.30
>>682
根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より
(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6),
相加平均 = 相乗平均,
また、題意より 根>0 だから 等号条件より
α = β = γ = δ = ε = ζ = 1,
以下ry)
684:１３２人目の素数さん
11/09/26 07:09:34.82
定理に辿りつけたのはご明察だが…
685:１３２人目の素数さん
11/09/27 00:12:09.52
>>682
根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき
（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2,
の形になることを示そう。
686:685
11/09/27 00:18:25.59
(略証)
まづ、
(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o,
ここに
g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6],
h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1],
i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2],
j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1],
j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3],
k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1],
L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1],
L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2],
m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1],
n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1],
o = 360･ABCDEF,
である。
ここで、Muirhead により
g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2,
h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2,
i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2,
i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2,
j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2,
j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2,
k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2,
k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2,
L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2,
L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2,
m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2,
n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2,
を使う。(終)
687:685
11/09/27 00:58:03.82
補足
Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ）
g = 60Σ' A^6,
688:１３２人目の素数さん
11/09/27 01:51:31.96
>>687
顔文字に見えた
689:１３２人目の素数さん
11/09/28 21:32:43.48
>>683
恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！
…という段階になってはじめてその解法に気付きました。
もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。
>>685-687
調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。
かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。
690:１３２人目の素数さん
11/10/03 22:24:05.40
x＞0
⇒e*x^(ex)≧1
691:１３２人目の素数さん
11/10/07 13:50:28.39
xln x≧-1/e (x>0)
692:１３２人目の素数さん
11/10/08 02:12:36.05
x>0
⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)),
⇒ -log(x) ≦ 1/(ex),
⇒ x･log(x) ≧ -1/e,
693:１３２人目の素数さん
11/10/08 12:12:24.28
f : R→R
∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、
∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ
694:１３２人目の素数さん
11/10/08 12:13:03.15
いちおう不等式がらみということで… ( ﾟ∀ﾟ)
695:１３２人目の素数さん
11/10/10 00:08:46.16
>>689
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sakura.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式)
URLﾘﾝｸ(planetmath.org) (英語)
示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29
G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節
696:１３２人目の素数さん
11/10/10 00:22:46.59
>>695 訂正
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
697:１３２人目の素数さん
11/10/11 08:37:52.47
>>693
IMO 2011 Problem 3
698:１３２人目の素数さん
11/10/19 01:01:58.86
a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
699:１３２人目の素数さん
11/10/19 11:52:19.94
x, y, z ＞0 (xyz=1)⇒ x^4+y^4+z^4+33≧12(xy+yz+zx)
700:１３２人目の素数さん
11/10/20 11:41:10.61
>>699
わからん！
701:１３２人目の素数さん
11/10/21 22:08:38.80
受験板より
f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0
②f'''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
702:１３２人目の素数さん
11/10/22 01:18:30.97
d/dx e^{2x}f(x)
703:１３２人目の素数さん
11/10/22 08:08:04.99
そんなのは誰でも思いつくが、そこから先は？
704:１３２人目の素数さん
11/10/22 08:33:46.75
>>703
俺は気づかなんだが、あとは推して知るべしだぞ！
705:１３２人目の素数さん
11/10/22 16:57:35.04
d/dx e^{-2x}f(x) じゃないのけ？
706:１３２人目の素数さん
11/10/24 16:01:25.22
>>701
これどうするん？
和歌んねーよ！
707:１３２人目の素数さん
11/10/24 18:16:31.51
>>682
これスツルムの定理で解けない？
708:１３２人目の素数さん
11/10/26 22:05:09.91
>>698
(1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
次に M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
(2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
b+c≦1, …, …
y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x}, (ベルヌーイの式)
x=1/a とおいて
a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
循環的にたす。
(3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
0 < a ≦ b,c ≦ 1 としても一般性を失わない。
a+b, a+c ≦ b+c = M,
(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
≧ b^M + c^M
≧ 2･(M/2)^M (← 下に凸)
≧ 2(1/2) (← *)
= 1,
*) {M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
∴ (M/2)^M は M>2/e で単調増加。
∴ (M/2)^M ≧ 1/2, (M≧1)
casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713
709:１３２人目の素数さん
11/10/31 21:43:49.36
３辺の長さがa、b、cの三角形の外接円、内接円の半径をR、rとおくとき、a+b+c < 4(R+r)
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
710:１３２人目の素数さん
11/11/01 11:57:24.96
a, b, c>0, √a+√b+√c=3⇒
a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≧3/√2
711:１３２人目の素数さん
11/11/01 19:18:16.06
ウィキペの相加相乗平均の説明しょぼい・・・
712:１３２人目の素数さん
11/11/01 23:21:22.64
>>709
例によって
(a+b+c)/2 = s,
(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
△不等式より、s-a>0, s-b>0, s-c>0,
ヘロンの公式： Ｓ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
4R = abc/Ｓ = (st-u)/√(su),
r = Ｓ/s = u/√(su)
よって
{4R + (5/2)r}^2 = {st + (3/2)u}^2 /su
= (2s)^2 + (s/tu)(t^3 -4stu +9u^2) + (3/t)(t^2 -3st) + (9u/4s)
= (2s)^2 + (su/t)F_{-2}(s-a,s-b,s-c) + (3u/t)F_{-1}(s-a,s-b,s-c) + (9u/4s)
> (2s)^2
= (a+b+c)^2,
〔Schur不等式〕
F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y)
= x^n･(x-y)^2 + (x^n -y^n +z^n)(x-y)(y-z) + z^n･(y-z)^2 ≧ 0.
ここで y は x と z の中間にあるとした。（終）
713:１３２人目の素数さん
11/11/03 20:20:36.93
>>712
> 例によって
> (a+b+c)/2 = s,
> (s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
> (s-a)(s-b)(s-c) = u,
いや、この置き換え、初見なんだけど… (ﾟ∀ﾟ；)ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
714:β
11/11/03 20:24:14.57
常識やろｗ
715:１３２人目の素数さん
11/11/03 23:12:58.69
>>713
(a+b+c)/2 = s とおくと
(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
……
なのですが、簡単なので省略しました。
716:１３２人目の素数さん
11/11/04 00:11:08.55
nが自然数で、0 < x < π のとき、以下を証明せよ
(1) 1 + sin x + (sin 2x)/2 + … + (sin nx)/n > 0
(2) 1 + cos x + (cos 2x)/2 + … + (cos nx)/n > 0
( ﾟAﾟ) ぐぬぬ…
717:１３２人目の素数さん
11/11/04 04:03:13.97
>>716 (1)
nについての帰納法による。
与式の左辺を 1 + S_n(x) とおく。
S_1(x) = sin(x) >0,
S_2(x) = sin(x){1+cos(x)} > 0,
n>2 のとき
(d/dx)S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + …… + cos(n･x)
= {sin((n+1/2)x) - sin(x/2)}/{2sin(x/2)} (積和公式)
= sin(n･x/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2), (和積公式)
S_n が極値をとる点 x=x0 に注目する。
(1) sin(n･x0/2) = 0 のとき
S_(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(n･x0) = 0,
(2) cos((n+1)x0 /2) = 0 のとき
倍角公式より sin((n+1)x0) = 0, cos((n+1)x0) = -1,
S_n(x) - S_{n-1}(x) = sin(n･x)
= sin((n+1)x-x)
= sin((n+1)x)cos(x) - cos((n+1)x)sin(x), (加法公式)
S_n(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(x0) > 0,
参考文献[3] p.134-135, 例題8
〔類題〕
S_n(x) = Σ[k=1,n] sin(kx)/k は sin(x) と同符号で、
| S_n(x) | < G' = Si(π) = 1.8519370519824…,
[第２章.50、53、55]
718:１３２人目の素数さん
11/11/04 04:53:07.18
>>716 (2)
与式の左辺を Ｃ_n(x) とおく。
Ｃ_1(x) = 1 + cos(x) > 0,
Ｃ_2(x) = 1 + cos(x) + cos(2x)/2
= 1/2 + cos(x) + cos(x)^2 (倍角公式)
= 1/4 + {(1/2) + cos(x)}^2 > 1/4,
さて、
(d/dx)Ｃ_n(x) = -sin(x) - sin(2x) + …… - sin(n･x)
= {cos((n+1/2)x) - cos(x/2)}/{2sin(x/2)} (積和公式)
= -(1/2)sin(n･x) - {1-cos(n･x)}cos(x/2)/{2sin(x/2)} (加法公式)
< -(1/2)sin(n･x),
Ｃ_n(π) - Ｃ_n(x) < -(1/2)∫[x,π] sin(n･t)dt
= {(-1)^n - cos(n･x)}/(2n)
< {(-1)^n + 1}/(2n) (n:偶数のとき 1/n、n:奇数のとき 0）
< (1-1) + (1/2 - 1/3) + …… + (-1)^n /n
= Ｃ_n(π),
∴ Ｃ_n(x) > 0, (森氏、ζ氏による.)
数セミ、３４巻7号（1995/7）出題、３４巻10号（1995/10）解説
719:１３２人目の素数さん
11/11/04 09:35:22.58
( ﾟ∀ﾟ) ｱﾅﾀ ｶﾞ 神 ｶ？
720:１３２人目の素数さん
11/11/04 11:24:52.78
任意の z、w∈C に対して、| (1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z | ≧ | z \bar{w} - \bar{z} w |
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
721:１３２人目の素数さん
11/11/04 15:27:43.34
>>720
(1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z = (w-z) - zw(w-z)~,
zw~ - z~w = (1/2){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~･(w-z)},
∴ |左辺|^2 - |右辺|^2 = {(w-z) -zw(w-z)~}{(w-z)~ -z~w~(w-z)}
- (1/4){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~(w-z)}{(w+z)~(w-z) - (w+z)(w-z)~}
= (w-z)(w-z)~(1 + |zw|^2 -zw~ -z~w)
= (w-z)(w-z)~(1-zw~)(1-z~w)
= |w-z|^2 |1-zw~|^2
≧ 0,
722:１３２人目の素数さん
11/11/04 19:58:51.76
>>701を誰か．．．
723:１３２人目の素数さん
11/11/06 22:11:14.99
>>699を誰か...
724:１３２人目の素数さん
11/11/06 22:33:32.63
>>723
君が解き給へ(・∀・)！
725:１３２人目の素数さん
11/11/06 23:47:08.21
生姜ねぇ...
>>699
いつものように
f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 -12(xy+yz+zx) + 33
とくおく。
f(x,y,z) - f(x, √(yz), √(yz)) = (y^2 -z^2)^2 -12x(√y -√z)^2
= (√y -√z)^2 {(y+z)^2･(√y +√z)^2 - 12x}
≧ (√y -√z)^2 {(4yz)(4√yz) - 12x}
= (√y -√z)^2 {16/(x^1.5) - 12x} (← yz=1/x)
ところで f(x,y,z) は対称式だから x≦y,z としてもよい。
∴ x ≦ 1,
∴ 16/(x^1.5) - 12x > 0,
∴ f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, √x), (x≦1)
また
x^2･f(x, 1/√x, 1/√x) = x^6 -24x^2.5 +33x^2 -12x +2
= (√x - 1)^2 (x^5 +2x^4.5 +3x^4 +4x＾3.5 +5x^3 +6x^2.5 +7x^2 -16x^1.5 -6x +4√x +2)
= (√x - 1)^2 g(x)
≧ 0,
∵ g(x) ≧ g(0.4811730855931836) = 0.258670936041927
なお、x = 0.0394556281276082 に極大がある。（2.44552474861856)
726:１３２人目の素数さん
11/11/07 00:08:48.59
>>725 訂正
真ん中より少し下
∴ f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, １／√x), (x≦1)
727:１３２人目の素数さん
11/11/07 07:42:17.98
a, b, c, d≧0, a+b+c+d=4 のとき,
a/(a^3+8)+b/(b^3+8)+c/(c^3+8)+d/(d^3+8)≦4/9
728:１３２人目の素数さん
11/11/08 00:41:43.07
>>727
(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0,
x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27, … x=1 での接線
x = a,b,c,d についてたす。
729:１３２人目の素数さん
11/11/08 02:04:44.31
>>727
相加･相乗平均より
x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3),
∴ (左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)}
≦ (4/9){(a+b+c+d)/4}^(2/3) (上に凸)
= 4/9,
730:１３２人目の素数さん
11/11/08 16:04:19.53
a, b, cが実数のとき,
a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c)≧a^3b+b^3c+c^3a
731:１３２人目の素数さん
11/11/08 16:57:38.99
微分→Jensen→AM-GMと解法が易しくなってきている。
Step 1 a^3≧3a-2
Step 2 AM-GM-HM
Done!
732:１３２人目の素数さん
11/11/09 22:36:50.76
>>730
(左辺) - (右辺) = a^4 +b^4 +c^4 + 2abc(a+b+c) -a^3･b -b^3･c -c^3･a
= (1/2)(a^2 -b^2 -ab -ca)^2 + cyclic
≧ 0,
〔類題268〕
(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3･b + b^3･c + c^3･a),
>>268
>>284-290
733:１３２人目の素数さん
11/11/12 12:11:39.84
a, b, c>0, a+b+c=1.
ab(c+2)/(c+1)+bc(a+2)/(a+1)+ca(b+2)/(b+1)≦7/12
734:１３２人目の素数さん
11/11/13 02:00:45.58
>>733
(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より
ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3,
これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。
ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4,
(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)}
= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)}
≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3) (← 相加･調和平均 または y=1/x:下に凸)
= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)} (← a+b+c=1)
= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)}
≦ 1/4, (← a+b+c=1)
ここに
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0, (Schur)
735:１３２人目の素数さん
11/11/13 04:20:40.33
キタコレ（・∀・）！
最初の３行に気づかなんだ
難しく見せているゴミを消すんだな
736:１３２人目の素数さん
11/11/17 09:34:49.23
n次以下の整式 f(x) において、-1≦x≦1 における |f(x)| の最大値を M、
|f’(x)| の最大値 M’とおくとき、M’≦ n^2M が成り立つことを示せ
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
737:１３２人目の素数さん
11/11/17 12:10:36.92
有名じゃね？
738:１３２人目の素数さん
11/11/17 23:24:58.13
>>737
ｋｗｓｋ！
739:１３２人目の素数さん
11/11/18 15:34:07.09
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
740:１３２人目の素数さん
11/11/18 15:34:50.73
魂は幾何学
誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
741:１３２人目の素数さん
11/11/18 15:55:38.02
a, b, c, d>0, a^2+b^2+c^2+d^2=4.
(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/2)≧9.
742:１３２人目の素数さん
11/11/19 00:17:55.69
有名じゃね？
743:β
11/11/19 00:20:06.15
おいおい、暗算で解けたしｗ
744:１３２人目の素数さん
11/11/19 01:03:24.34
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
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