11/04/26 00:31:40.08
>>298 の訂正....
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
301:１３２人目の素数さん
11/04/26 12:45:59.84
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:542番)
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
302:１３２人目の素数さん
11/04/26 22:58:09.11
>>301 左側
∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
303:１３２人目の素数さん
11/04/27 02:34:23.79
>>299
PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
304:１３２人目の素数さん
11/04/27 09:45:05.17
>>302
正解です。
右側評価をお願いします。
305:１３２人目の素数さん
11/04/27 10:02:46.60
URLﾘﾝｸ(izu-mix.com)
306:１３２人目の素数さん
11/04/28 02:09:28.16
>>301 >>304
∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
307:１３２人目の素数さん
11/04/28 12:55:42.80
a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
308:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:44:03.42
はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^
309:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:51:01.39
a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
310:307
11/04/28 23:31:17.26
>>308
すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ？・・・ってどうやって？
311:１３２人目の素数さん
11/04/29 06:47:11.86
>>309
2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
312:１３２人目の素数さん
11/04/29 08:23:28.12
>>311
そんな変形、思いつきませぬ！
313:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:15:15.97
>>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
となったけど、
{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
と、どっちが大きいん？
314:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:51:49.21
>>309を改造
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
315:１３２人目の素数さん
11/04/29 11:14:28.55
a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46
のとき
6a-3b+9c-15d+24e
の最小値を求めよ
316:311
11/04/29 16:09:24.65
>>313
√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。
>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2,
かな？
317:１３２人目の素数さん
11/04/29 16:45:31.78
>>315
f = 2a -b +3c -15d -12e,
g = 2a -6b -c -5d +11e,
h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
= 129 + (30/23)h
≧ 129, (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
318:１３２人目の素数さん
11/04/29 18:43:56.56
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> ≧ (a+b+c)/2,
さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！ にくいぜっ！
319:１３２人目の素数さん
11/04/29 20:59:49.54
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
ここが分かりません…
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
ここはCSでシコシコするんですね
320:１３２人目の素数さん
11/04/29 21:13:18.80
コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
321:１３２人目の素数さん
11/04/29 22:06:13.23
>>317
f と g の係数をうまく変えて
6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
322:１３２人目の素数さん
11/04/30 01:34:37.87
R^3＼{(0,0,0)}上の関数
f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
323:１３２人目の素数さん
11/04/30 03:58:12.84
>>322
f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},
4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は 2x+z=y=0 のとき。
ついでに最小値は
f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は y=z=0 のとき。
324:１３２人目の素数さん
11/04/30 12:13:00.52
a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
325:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:33:26.86
>>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
やっぱ、これが分からんです
326:１３２人目の素数さん
11/05/01 12:59:13.28
>>324
2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),
(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
≧ (3/2) + (3/2) (← 相加･相乗平均)
= 3,
327:１３２人目の素数さん
11/05/01 14:41:38.31
>>320
相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。
醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
328:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:33:40.90
このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
329:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:59:56.98
ただの通りすがりの不等式ヲタです
330:１３２人目の素数さん
11/05/02 05:19:12.09
>>303
1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
|ｅ_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。
〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,
(略証)
ｅ_A = (cosα, sinα)
ｅ_B = (cosβ, sinβ)
ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
0 <γ-β<π,
π <γ-α<2π,
このとき
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
≦ 1, (終)
331:１３２人目の素数さん
11/05/02 10:21:35.49
a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
332:１３２人目の素数さん
11/05/02 21:54:16.57
>>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
333:１３２人目の素数さん
11/05/02 22:06:04.19
>>331
(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}
(右辺) - (左辺)
= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D (←通分)
= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)
= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)
= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)
= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)
≧ 0, (相加･相乗平均)
ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
334:１３２人目の素数さん
11/05/02 23:09:47.20
>>332
ない。
y/x=u で一変数に還元するのみ。
335:１３２人目の素数さん
11/05/03 06:01:51.43
>>328
少人数の自演者が、自分で問題出して自分で解いてるんだよ。
336:１３２人目の素数さん
11/05/03 07:30:14.11
数式の最後に ， があるかみたらいい
337:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:02:22.47
||Ax-b||^2の最小値に最も近い数値はどれか
A=
┌+4,+2,+6┐
│+1,+2,+5│
│+0,+1,+1│
└-3,+0,+3┘
b=
┌-3┐
│+1│
│+2│
└+3┘
１．0.102
２．0.103
３．0.104
４．0.105
５．0.106
338:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:15:35.62
x^2+y^2+z^2=1のもとで
f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+4xy+4yz
の最大値を求めよ
log1.5に最も近い数値はどれか
１．0.38
２．0.4
３．0.42
４．0.44
５．0.46
-2a-b+c+d=2
-3a+b+c-d=1
a,b,c,d≧0
のもとで
-6a+2b+5c+3dの最小値を求めよ
339:◇Pandysv26
11/05/03 14:43:50.27
バカオツ（ーー；）
340:１３２人目の素数さん
11/05/03 17:35:34.36
>>337
５
Ax-b =
[4x+2y+6z+3]
[x+2y+5z-1]
[y+z-2]
[-3x+3z-3]
||Ax-b||^2 = (4x+2y+6z+3)^2 + (x+2y+5z-1)^2 + (y+z-2)^2 + (-3x+3z-3)^2
= 26x^2 + 9y^2 + 71z^2 + 20xy + 46yz + 40zx +40x +4y +4z + 23
= 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 134X^2 + 110Z^2 -100ZX} + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 50(X-Z)^2 + 84X^2 + 60Z^2} + (9/85)
≧ 9/85
= 0.105882353,
ここに、X=x+(225/170), Y=y-(363/170), Z=z+(59/170) とおいた。
（平行移動した。）
〔別法〕
F(X,Y,Z) = 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX
とおく。Fの固有多項式は
f(λ) = (26-λ)(9-λ)(71-λ) + 2(10*20*23) -23*23(26-λ) -20*20(9-λ) -10*10(71-λ)
= -λ^3 +106λ^2 -1690λ+1360
∴ λ≦0 ならば f(λ) ≧ 1360
ところで、実対称行列の固有値はすべて実数(*)。
∴ λ > 0
∴ Fは正定値、 F(X,Y,Z) ≧ 0 (等号成立は X=Y=Z=0 のみ)
*) エルミート行列の場合も成立つ。
341:１３２人目の素数さん
11/05/03 18:26:59.88
>>338 (上)
最大値
5(x^2+y^2+z^2) - f(x,y,z) = 4x^2 +2y^2 +4z^2 -4xy -4yz
= (2x-y)^2 + (y-2z)^2 ≧ 0,
最小値
f(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 +4y^2 +2z^2 +4xy +4yz
= (x+2y+z)^2 + (x-z)^2 ≧ 0,
〔別解〕
軸を回して
u = (x-y+z)/√3,
v = (x-z)/√2,
w = (x+2y+z)/√6,
とおく。
u^2 +v^2 +w^2 = x^2 +y^2 +z^2,
で
f(x,y,z) = (-1)u^2 +1v^2 +5w^2,
342:１３２人目の素数さん
11/05/03 22:19:53.71
>>338 (中)
２
〔解1〕
(3/2)^2 = 2*(9/8) = 2*(1 + 1/8),
2log(3/2) = log(2) + log(9/8) ≦ log(2) + 1/8,
= 0.69314718 + 0.125
= 0.81814718
log(3/2) ≦ 0.40907359
〔解2〕
(3/2)^5 = (2^3)(243/256) = (2^3)(1 - 13/256)
5log(3/2) = 3*log(2) + log(243/256)
≦ 3*log(2) - 13/256
= 3*0.69314718 - 0.05078125
= 2.02866029
log(3/2) ≦ 0.40573206
〔解3〕
(3/2)^12 = (2^7)(531441/524288) = (2^7){1 + 7153/(2^19)},
12log(3/2) = 7log(2) + log(531441/524288)
≦ 7log(2) + 7153/(2^19)
= 7*0.69314718 + 0.013643265
= 4.86567353
log(3/2) ≦ 0.40547279
なお、log(3/2) = 0.405465108
343:１３２人目の素数さん
11/05/04 01:24:52.76
>>299 >>303
PA + PB + PC = f(P) とおく。
〔系〕
P,Qが△ABCの内部にあるとき
|f(P)-f(Q)|/PQ ≦ 1,
344:１３２人目の素数さん
11/05/04 03:14:00.34
この場合log2の値出すの反則じゃない？
345: 忍法帖【Lv=9,xxxP】
11/05/04 10:14:23.79
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
346:１３２人目の素数さん
11/05/04 11:11:36.85
>>338 (中)
>>344
e = 2.71828183 は使っていい？
3^(1/3) ≦ e^(1/e),
の対数をとって
log(3) ≦ 3/e = 1.10363832 (1.09861229)
〔解1〕
(3/2)^3 = 3*(9/8) = 3*{1 + 1/(2^3)},
3log(3/2) = log(3) + log(9/8) ≦ 3/e + 1/(2^3),
log(3/2) ≦ 1/e + 1/(3*2^3) = 0.4095461
〔解2〕
(3/2)^8 = (3^3)(243/256) = (3^3){1 - 13/(2^8)},
8log(3/2) = 3log(3) + log(243/256) ≦ 9/e - 13/(2^8),
log(3/2) ≦ (9/8e) - 13/(8*2^8) = 0.4075167
〔解3〕
(3/2)^19 = (3^7)(531441/524288) = (3^7){1 + 7153/(2^19)},
19log(3/2) = 7log(3) + log(531441/524288) ≦ 21/e + 7153/(2^19)
log(3/2) ≦ (21/19e) + 7153/(19*2^19) = 0.40732166
347:１３２人目の素数さん
11/05/04 15:06:56.84
>>346
log(3) = 1 + log(3/e) ≦ 1 + (3/e -1) = 3/e,
348:１３２人目の素数さん
11/05/06 16:43:56.28
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
A,B,C,Dのどの三点をとっても同一直線上になく
線分ACとBDが一点で交わるとき
PA+PB+PC+PDが最小となる点Pの位置を決定せよ
349:１３２人目の素数さん
11/05/06 21:59:52.30
>>348
>>299 の類題でござるな。
線分ACとBDが交わるから、ABCD は凸四角形。
PA + PC ≧ AC,
PB + PD ≧ BD より、
PA + PB + PC + PD ≧ AC + BD,
より 対角線の交点。
一方、Dが△ABCの内部（または辺上）にあるときは
>>299-303 により D.
350:１３２人目の素数さん
11/05/06 22:07:51.60
〔問題593〕
a,b,c≧ 0 とする。相加・相乗平均を用いて次式を示せ。
{(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3,
等号成立は a=b=c のとき。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
ｷｬｽﾌｨｰ - 高校数学 - 不等式スレ
351:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:06:06.34
>>350
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
352:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:55:39.25
A(x,y)は非負整数から非負整数への二変数関数であり
A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))
を満たす
A(x+1,y)>A(x,y)を示せ
353:猫は重症のかまってちゃん ◆ghclfYsc82
11/05/07 06:33:28.42
ゐとかゑってどうやって入力するの？
354:１３２人目の素数さん
11/05/07 15:18:57.49
〔350の類題〕
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3),
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
355:１３２人目の素数さん
11/05/07 16:19:36.97
>>354
左から２つめ
ab+bc+ca =t とおく。
(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2 = (1/8){(a+b+c)t-abc}
= (1/9)(a+b+c)t + (1/72){(a+b+c)t-9abc}
≧ (1/9)t(a+b+c)
= (1/9)t√(a^2 +b^2 +c^2 +2t)
≧ (1/9)t√(3t)
= (t/3)^(3/2),
３つめは
(1/3)(ab+bc+ca) = (1/9){(ab+bc+ca) +a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}
≧ (1/9){(ab+bc+ca) +2a√bc +2b√(ca) +2c√(ab)}
= (1/9){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^2,
ぬるぽ
356:１３２人目の素数さん
11/05/07 19:16:23.92
>>354
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
357:１３２人目の素数さん
11/05/08 21:07:45.02
a,b,cをa+b+c=0を満たす実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
358:１３２人目の素数さん
11/05/09 02:53:53.07
>>325
対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
359:１３２人目の素数さん
11/05/09 04:48:30.04
>>358
ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
360:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:56:19.96
>>360
{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3) (r=3)
≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3 (r～5/2)
≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3} RMS(r=2)
≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)} (r～3/2)
≧ (a+b+c)/3 相加平均(r=1)
≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) (r～3/4)
≧ √{(ab+bc+ca)/3} (r～1/2)
≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 (r～1/4)
≧ (abc)^(1/3) 相乗平均(r→0)
≧ 3abc/(ab+bc+ca), 調和平均(r=-1)
〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) ～ (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
362:１３２人目の素数さん
11/05/10 02:46:58.18
ひどい自演見た
363:１３２人目の素数さん
11/05/10 06:41:22.70
>>362
2ch初心者は黙ってろ！
364:１３２人目の素数さん
11/05/10 11:08:11.69
>>354
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)
By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)
By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)
by Newton's Inequality.
By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
365:１３２人目の素数さん
11/05/11 16:25:20.69
360:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360
この間約３分
366:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:56:28.85
>>365
別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
367:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:57:33.38
>>365
それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
368:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:59:32.17
うるせえ
369:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:03:06.74
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>368
370:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:05:48.10
くせえ
371:１３２人目の素数さん
11/05/12 02:19:08.02
3分でsageでついたレスをチェックして計算を書き上げるのかー
さすがに苦しいだろｗ
372:１３２人目の素数さん
11/05/12 07:00:03.07
俺も自演しながら荒らしてます！
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
373:必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/12 17:02:29.89
>>372
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
374:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:31:11.56
Challenge!
a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
375:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:34:04.62
問題, 打ち間違えました。正しくは, こちらです。
a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
376:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:36:23.44
何で最後のcだけ全角
377:１３２人目の素数さん
11/05/14 23:15:41.41
えっ, どの部分ですか？
378:１３２人目の素数さん
11/05/15 01:13:00.72
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
379:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:13:34.94
ここの不等式のレベルは, タイトルの割には, レベル, 低すぎ。
海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
380:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:32:31.69
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
381:１３２人目の素数さん
11/05/15 08:08:29.47
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>379
382:偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/15 08:41:56.70
>>378
偽物注意！！！！！
頑張れよ！偽物キチガイ！
パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！
>>380
パクリ乙！！！！！
さすがキチガイ！！！！！
悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
383:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:32:59.16
〔問題〕
a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)
(1) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。
(2) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
384:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:36:53.45
猫
385:猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY
11/05/21 21:48:52.94
猫
386:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:59:32.00
猫
387:１３２人目の素数さん
11/05/24 21:43:11.36
>>383
(3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
を 3つの対称式の平方和で表わせ。
388:１３２人目の素数さん
11/05/25 01:33:08.93
>>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
389:１３２人目の素数さん
11/05/25 02:20:45.94
>>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
390:１３２人目の素数さん
11/05/28 10:38:16.63
>>389
p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
391:１３２人目の素数さん
11/06/10 17:58:19.78
2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
392:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:45:14.10
-1と1
393:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:49:20.27
>>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
394:１３２人目の素数さん
11/06/11 02:05:20.80
>>391
x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
395:１３２人目の素数さん
11/06/11 04:24:49.92
ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
396:１３２人目の素数さん
11/06/11 05:50:22.01
a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
397:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:09:15.01
>>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
398:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:50:00.19
a=b=c=d=e=f.
399:１３２人目の素数さん
11/06/15 02:11:04.50
>>397
〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
400:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:51:38.00
〔補題〕
a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
401:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:54:25.60
>>400
(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
402:１３２人目の素数さん
11/06/19 06:11:46.69
>>400 と同じだが････
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
403:１３２人目の素数さん
11/06/19 07:48:50.29
>>402 念のため...
(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
404:１３２人目の素数さん
11/06/29 17:33:48.88
問A-2
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
405:１３２人目の素数さん
11/07/01 12:35:17.26
>>350
abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
406:１３２人目の素数さん
11/07/01 22:16:20.04
>>404
[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
407:１３２人目の素数さん
11/07/01 23:13:10.37
>>405
s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
408:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:26:12.66
>>402-403 の続き
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
409:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:33:17.08
>>408
ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
410:１３２人目の素数さん
11/07/14 04:04:48.39
外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
411:１３２人目の素数さん
11/07/14 11:52:16.90
>>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
412:１３２人目の素数さん
11/07/15 21:09:37.12
これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
413:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:40:25.36
>>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
414:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:42:23.82
>>298
[初代スレ.465]
415:１３２人目の素数さん
11/07/16 06:55:35.88
>>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
416:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:00:21.68
●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
417:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:10:48.41
〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
418:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:00:01.26
（１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
419:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:03:45.05
>>418
なん…だと！
420:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:22:13.62
>>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
421:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:08:41.04
>>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
422:１３２人目の素数さん
11/07/17 08:05:05.56
a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
423:１３２人目の素数さん
11/07/17 09:15:12.50
>>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
424:１３２人目の素数さん
11/07/17 15:20:11.27
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
425:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:50:11.85
定石ですよ、定石！
426:１３２人目の素数さん
11/07/17 18:07:58.81
ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
427:１３２人目の素数さん
11/07/17 21:16:34.07
>>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
428:１３２人目の素数さん
11/07/17 22:06:41.54
>>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
429:１３２人目の素数さん
11/07/18 00:06:54.77
>>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
430:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:21:39.49
>>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
431:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:26:59.25
うーん、ぬぬぬ…
432:１３２人目の素数さん
11/07/18 02:19:45.59
>>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
433:１３２人目の素数さん
11/07/18 04:27:35.04
>>431
う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
434:１３２人目の素数さん
11/07/18 11:59:43.81
1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
435:１３２人目の素数さん
11/07/18 14:17:03.31
ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
436:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:11:08.55
AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
437:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:17:17.77
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
438:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:18:42.48
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
439:１３２人目の素数さん
11/07/18 19:05:38.49
>>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
440:１３２人目の素数さん
11/07/18 22:26:06.82
〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
441:１３２人目の素数さん
11/07/19 00:21:55.69
∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
442:１３２人目の素数さん
11/07/19 06:33:56.04
>>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
443:１３２人目の素数さん
11/07/19 09:27:04.02
Nice Solution!
444:１３２人目の素数さん
11/07/19 12:25:03.59
>>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
445:１３２人目の素数さん
11/07/19 13:20:00.38
(0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
446:１３２人目の素数さん
11/07/20 10:14:37.63
このスレ恐ろしすぎる
447:１３２人目の素数さん
11/07/20 17:21:02.92
不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
448:１３２人目の素数さん
11/07/20 18:25:13.74
〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
449:１３２人目の素数さん
11/07/20 21:26:23.94
>>447
正解！
450:１３２人目の素数さん
11/07/20 23:35:36.28
>>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
451:１３２人目の素数さん
11/07/21 00:29:09.54
>>450
神すぎる…
452:１３２人目の素数さん
11/07/21 09:53:30.81
Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
453:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:21:14.26
>>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
454:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:23:42.09
>>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
455:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:27:42.91
>>454
下限というか最小値は１かな？
456:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:43:07.23
>>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
457:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:59:00.10
No, your proof is CORRECT!
458:１３２人目の素数さん
11/07/21 20:29:14.21
>>453 の weighted AM-GM というのは
p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
459:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:26.03
重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
460:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:52.11
>>453, >>458
凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
461:１３２人目の素数さん
11/07/30 15:16:53.93
x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して
( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
462:１３２人目の素数さん
11/07/30 17:25:09.46
>>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
463:コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY
11/07/30 17:25:21.59
>>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
464:１３２人目の素数さん
11/07/30 18:00:36.44
>>461
むむむ…、分からん
465:１３２人目の素数さん
11/07/30 21:48:35.22
どうみても二項定理だろアホｗ
466:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:10:33.54
>>465
証明してみろ！
467:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:49:10.99
>>461
(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
468:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:51:17.31
>>467 の続き
【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
469:１３２人目の素数さん
11/07/31 05:50:42.62
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
470:１３２人目の素数さん
11/07/31 12:49:57.13
[前スレ.608] の小改良....
以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
471:１３２人目の素数さん
11/07/31 13:28:12.30
>>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
472:１３２人目の素数さん
11/08/01 23:36:30.55
>>470
4 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
473:１３２人目の素数さん
11/08/03 10:28:00.18
x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
474:１３２人目の素数さん
11/08/03 12:00:02.32
ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
475:１３２人目の素数さん
11/08/03 14:18:15.05
>>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
476:１３２人目の素数さん
11/08/05 01:50:12.86
>>461 の類題
(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
477:１３２人目の素数さん
11/08/05 02:03:18.01
しょうがないなあ
A536, B4364, B4370
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
478:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:10:52.07
a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
479:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:12:41.91
↑
>>477
A536
480:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:04:44.11
>>477
[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
481:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:36:05.93
質問スレに張られてた奴
a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
482:１３２人目の素数さん
11/08/06 02:51:33.91
>>481
コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
483:１３２人目の素数さん
11/08/06 07:12:31.74
>>482
成程な～
484:１３２人目の素数さん
11/08/06 11:26:48.95
>>482
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
485:１３２人目の素数さん
11/08/06 12:53:39.49
>>484
出直してこい
486:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:39:40.36
>>477
B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
487:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:42:38.09
ダメじゃないの。
488:482
11/08/06 14:17:02.81
>>484
等号成立条件は a=b=c=1。
が抜けてたな.....
ぬるぽ
489:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:20:07.02
すまん、積でしたな
490:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:40:31.10
>>477
[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき 次を示せ。
(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,
(略解)
(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
= 2(a^2 - b^2)/b
= {2(a+b)/b}(a-b)
≧ 4(a-b),
以下簡単。
491:486
11/08/06 18:26:09.37
>>490
うまい…
492:１３２人目の素数さん
11/08/06 22:05:29.24
>>477
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。
(略解)
(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,
{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,
cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
1/cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。
Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
493:492
11/08/06 22:11:32.65
>>492 訂正
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
494:１３２人目の素数さん
11/08/07 09:00:49.56
For real numbers $p,\ q,\ r$, prove that
p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
495:１３２人目の素数さん
11/08/07 15:33:09.16
p^2+q^2+r^2=x^2
G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
496:１３２人目の素数さん
11/08/08 00:04:38.81
>>494
f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
≧ (2/3)(p+q+r),
Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)) [下に凸]
≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r)) [単調増加]
= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
497:１３２人目の素数さん
11/08/08 09:27:01.04
正じゃない。
498:１３２人目の素数さん
11/08/08 15:02:45.71
For positive real numbers a, b, c, d with abcd=1,
Prove that
1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
499:１３２人目の素数さん
11/08/11 00:34:49.08
a≧b≧c≧dとする。
abcd=1よりa≧1である。
(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
500:499
11/08/11 00:42:47.14
間違えたorz
501:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:11:15.95
あほ
502:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:44:52.56
>>501
口が悪いな、直したほうがいい
503:１３２人目の素数さん
11/08/14 17:09:15.69
>>498 難しくない？
504:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:09:44.14
>>494 >>497 難しくない。
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
505:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:18:09.31
なんだ、ただの神か…
506:１３２人目の素数さん
11/08/15 10:35:43.41
>>504 の補足
まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
507:１３２人目の素数さん
11/08/15 20:13:45.05
>>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
508:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:09:19.68
>>498
左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。
509:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:26:39.15
>>498
次に
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４, (A≧1)
を示そう。
f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
≧ 0,
∵ g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
> 0.
難しくない。>>503
510:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:33:13.51
>>508-509
の最後の式の右辺は間違い。
25/４
+5.782966457(A-1)
に訂正。
511:１３２人目の素数さん
11/08/16 19:20:06.30
>>509
最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな
F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),
F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
= 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},
A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
512:１３２人目の素数さん
11/08/19 01:38:45.69
>>509
F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな
A^4 + 3 = (4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
≧ (4/√3)A^3
> (9/4) A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
≧ 0, (A≧1)
513:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:12:34.36
>>512
相加･相乗平均を使わないなら
3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
≧ (9/4)A^3,
どうでもいいけど.....
514:１３２人目の素数さん
11/08/20 15:44:57.93
【問題１】
正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ
【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ
【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3
URLﾘﾝｸ(www.asahi-net.or.jp)
上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、
(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？
と変えたところで、やはり秒殺でしょう （by スマートブレイン社社長）
515:１３２人目の素数さん
11/08/21 05:37:23.73
>>514
【問題１】
z = x + y + Z' (Z'≧0) を代入して整理する。
(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。
【問題２】
(左) e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
= 7/(15e)
= 0.171677
(右) x^2 > x^3 より
I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
= (1/3)(1 - 1/e)
= 0.210706852
または 相加･相乗平均より
x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
= (1/24)(13 - 22/e)
= 0.204443845
【問題３】
f(x) = (x + 1/x)^2 は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) = 100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
516:１３２人目の素数さん
11/08/21 05:44:22.87
【問題４】
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ
∧,,∧
(`･ω･´) 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
517:１３２人目の素数さん
11/08/21 06:18:55.54
>>514
【追加問題１】
f(x) = (x + 1/x)^n は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
= 3(10/3)^n,
としてもよい。
【追加問題２】
(abc)^(1/3) = G とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
3(10/3)^3 = 1000/9
518:１３２人目の素数さん
11/08/21 06:57:11.66
>>516
【問題４】
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},
定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
[第3章.481]
519:１３２人目の素数さん
11/08/21 13:58:30.54
>>515 【問題２】(右)
詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･
∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,
∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056
ここでシュワルツを使えば I < 0.2045232 だな。
520:１３２人目の素数さん
11/08/21 14:13:02.30
>>515 【問題２】
exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
521:１３２人目の素数さん
11/08/21 23:44:35.95
【もんじあ】
実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の 最大値を求めよ
522:１３２人目の素数さん
11/08/22 00:31:52.68
>>521
g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴ |x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
523:１３２人目の素数さん
11/08/22 01:28:08.98
g(x,y,z)≡1だから、最大値は√3か
524:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:12:25.39
[B.4355.]
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
525:１３２人目の素数さん
11/08/22 04:26:02.52
三角形ABCの内部の点Pに対して PA+PB < CA+CB が成り立つ。
[B.4339.]
四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
526:１３２人目の素数さん
11/08/23 00:30:57.36
[B.4355.] (訂正)
x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.
>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
527:１３２人目の素数さん
11/08/23 04:59:16.48
(ﾟдﾟ；) ﾄ､ﾄｳｾﾞﾝ ﾃﾞ ｺﾞｻﾞﾙﾖ…
528:１３２人目の素数さん
11/08/23 12:50:44.75
>>526-527
相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),
x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
≧ 2(xyz)^(1/3),
529:１３２人目の素数さん
11/08/23 16:00:00.77
ＡＢ＜ＡＣでＢの近くにＤをとり，Ｃの近くにＰをとる。
530:１３２人目の素数さん
11/08/23 19:51:01.60
>>524
x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
531:１３２人目の素数さん
11/08/24 21:08:58.13
>>498
第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org)
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org) 過去問
532:１３２人目の素数さん
11/08/24 22:01:55.57
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
533:１３２人目の素数さん
11/08/24 22:07:45.91
>>531
中華の問３、どっかで見たような希ガス…
534:１３２人目の素数さん
11/08/25 05:16:58.00
C.944
URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
535:１３２人目の素数さん
11/08/25 06:57:10.69
>>238
>>251
536:１３２人目の素数さん
11/08/25 16:54:26.26
そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、
いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
URLﾘﾝｸ(www.emis.de)
並べ替え不等式を使うのか…
537:１３２人目の素数さん
11/08/25 23:04:28.49
>>526
x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
538:１３２人目の素数さん
11/08/26 07:19:11.26
0
539:１３２人目の素数さん
11/08/26 08:57:16.76
x, y, zは正の実数で x+y+z=11 , x≦2, y≦3 のとき √(xyz) ≦6 .
540:１３２人目の素数さん
11/08/26 09:07:33.95
>>539
どうやるん？
541:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:08:56.28
>>536
その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
542:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:19:33.62
>>541
なんと！ すごいな
543:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
544:訂正
11/08/26 13:22:23.41
543 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/26(金) 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題
【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
545:541
11/08/26 13:32:26.78
記事名をキーワードにググってみたら、
数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。
>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
546:１３２人目の素数さん
11/08/26 13:40:03.23
>>545
情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
547:541
11/08/26 13:57:35.26
＞で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
548:１３２人目の素数さん
11/08/26 21:17:47.93
541>所謂, Rearrangememt Inequalityですな。
>>544 int_0^1 x^2 dxは？
549:１３２人目の素数さん
11/08/27 02:57:18.25
>>539-540
xy -(x+y+1) +2 = (x-1)(y-1) ≦ 2,
∴ xyz = xy(11-x-y) ≦ (1+x+y)(11-x-y) = 36 - (5-x-y)^2 ≦ 36,
∴ √(xyz) ≦ 6,
550:１３２人目の素数さん
11/08/27 03:29:51.55
>>549
１行目が思いつかない
どういう発想で、こういう解法に辿りついたのか知りたいです
数字が変わっても、このやり方は使えるのですか？
551:１３２人目の素数さん
11/08/27 04:35:47.24
>>544
f_n(x) = Σ[r = 0 to n] (-1)^r * nCr / (x+r) とおくと
f_{n+1}(x) = f_n(x) - f_n(x+1)
552:１３２人目の素数さん
11/08/27 04:47:31.94
B[x,n+1]だろ
553:１３２人目の素数さん
11/08/27 05:25:31.22
>>552
なにそれ？
554:１３２人目の素数さん
11/08/27 13:27:34.85
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+2b)(b+2c)(c+2a)
を示せ
高１の宿題です
さっぱりわかりません
555:１３２人目の素数さん
11/08/27 15:42:42.51
4(a+b)(b+c)(c+a)-(a+2b)(b+2c)(c+2a)
={4(b+c)*a^2 + 4(b+c)^2*a + 4bc(b+c)} - {2(b+2c)*a^2 + (b+2c)(4b+c)*a + 2bc(b+2c)}
=2b*a^2 + (4b^2+8bc+4c^2-4b^2-9bc-2c^2)*a + 2b^2c
=2b*a^2 + (-bc+2c^2)*a + 2b^2c
=2(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
=6*(1/3)*(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
≧6*abc-abc (相加相乗平均 等号成立はba^2=cb^2=ac^2⇔a=b=c)
=5abc>0
556:１３２人目の素数さん
11/08/27 15:51:37.29
>>555じゃないが、「三角形の三辺の長さ」って条件必要か？
557:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:00:47.53
高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明だし
三角形であることをうまく使って証明できるのかもしれない。
やり方がわからんのだけど。
558:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:09:52.09
＞高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明
うろ覚えだが、2次の相加相乗平均でさえ習うのは高2だったような。
まあa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2から直接導けるが。
何か数Ⅰ,A範囲で証明できる方法があるのかね。
559:１３２人目の素数さん
11/08/27 16:46:12.93
>>555
三角形の条件は？
560:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:16:44.76
つまり、三角形の３辺をなす正の数 a、b、c でなくても成立する不等式だったと…
出題者は、三角形の成立条件を考慮した上で、もっと厳しい評価式を出題しろってこった！
561:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:40:02.91
>>560
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},
を示せ。
等号成立は a=b=c のとき。
562:１３２人目の素数さん
11/08/27 20:42:15.42
てめえが示せこの野郎！
563:１３２人目の素数さん
11/08/27 21:41:01.83
>>562
君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ！
564:１３２人目の素数さん
11/08/27 22:02:32.00
三角形の辺の長さに関する不等式について検索したら…
不等式プロがヒットした！
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)()
565:１３２人目の素数さん
11/08/28 01:06:08.23
>>561
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
= (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
+(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
= (17/3)P + (1/3)Q,
三角不等式より
2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
= (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
= (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,
566:１３２人目の素数さん
11/08/28 04:33:06.72
>>544
n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}
567:１３２人目の素数さん
11/08/28 05:36:37.46
>>561
三角形の３辺だから
a=q+r, b=r+p, c=p+q, >>273
とおく。p,q,r≧0
27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
= 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
= 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
= (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
+(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
= (17/3)P + (1/3)Q,
P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
= p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
= q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,
変わり映えしねぇ.....
568:１３２人目の素数さん
11/08/28 05:59:42.21
>>29-31 >>44
a,b,c ≧0,
m = min{a,b,c}
{a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
|⊿| = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),
6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
> 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
≧ 3xy(5x+7y)
> 15xy(x+y)
= 15|⊿|,
569:１３２人目の素数さん
11/08/28 06:06:32.37
>>494 の類題
a,b,cを実数、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c)⊿ ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし）
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
570:１３２人目の素数さん
11/08/28 21:55:29.60
I+J+K+L+N = 0 のとき
f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),
を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。
571:１３２人目の素数さん
11/08/28 22:08:28.25
>>570
f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}
とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。 ここに
K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),
まづ
P + Q + R = - (A+B+C),
CP + AQ + BR = I/2,
BP + CQ + AR = J/2,
より
AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,
P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
PQ + QR + RP = －(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,
これを使えば K ' を計算できる。
K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。
572:１３２人目の素数さん
11/08/28 22:28:51.81
>>571 補足
xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,
573:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:00:36.43
1991 IMO 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27
574:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:19:05.81
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
575:１３２人目の素数さん
11/08/29 01:40:00.54
x=y=z=w=1.
25/4>=4/27>=11/12>=25/4.
576:１３２人目の素数さん
11/08/29 02:17:54.40
1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)
+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧25/4xyzw
だね。
577:１３２人目の素数さん
11/08/29 02:38:43.69
>>573
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
578:１３２人目の素数さん
11/08/29 20:25:51.28
a^n+b^n<c^n
となる整数a,bをcで表しなさい。
579:１３２人目の素数さん
11/08/29 22:27:55.11
n≧4 で 2^(n-1) < n^(n-2)
を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。
580:１３２人目の素数さん
11/08/29 23:14:01.40
>>579
n ≦ 2(n-2),
2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),
581:１３２人目の素数さん
11/08/29 23:49:13.57
おおっ
不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580
582:１３２人目の素数さん
11/08/30 00:40:02.56
2^2<=n.
2^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).
583:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:06:53.80
>>546-547
で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…
x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
584:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:12:31.51
つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね
585:１３２人目の素数さん
11/08/30 07:59:46.12
対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。
586:１３２人目の素数さん
11/08/30 10:13:00.43
>>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス
587:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:50:39.36
>>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、
あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった
涙拭けよ
588:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:53:45.10
何言ってだこいつら
589:１３２人目の素数さん
11/08/30 12:59:42.97
いつもの荒らしでしょう
590:１３２人目の素数さん
11/08/30 17:51:18.51
そもそも573は問題の解釈が間違っている
真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ
591:１３２人目の素数さん
11/08/30 17:56:41.46
1991問題は
三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが
592:１３２人目の素数さん
11/08/30 18:38:17.84
AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc.
593:１３２人目の素数さん
11/08/30 23:19:26.11
>>573 △の辺だから
>>577
>>592
AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)
に
△BCI = (1/2)ar, △ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
（rは△ABCの内接円の半径）
594:１３２人目の素数さん
11/08/31 03:30:40.14
>>570-572
〔例1〕 >>268
2倍すると
N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) K'=0,
>>284-290
〔例2〕 >>494 >>504
27倍すると
N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
(A,B,C)=(3,-3,1) (P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4) K ' = 3/8,
(A,B,C)=(3,-3,-1) (P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28) K ' = 3/8,
〔例3〕 >>569
27倍すると、
N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
(A,B,C)=(4,-1,-3) (P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26) K '= 29/78
(A,B,C)=(4, 1,-3) (P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74) K ' = 13/74,
595:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:09:17.96
>>592
間違ってるんだが
596:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:12:33.43
BA'が(a+b)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
を考えると明白な間違い
597:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:23:05.21
>>596
>BA'が(a+b)/(2a+b+c)
BA'、a、b、cって長さ？
次元が違うんだが
598:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:26:24.06
二等分線だからこういうふうな比になるだろ
なんで分からないの？馬鹿は死ねよ
599:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:27:50.44
／￣￣￣＼
/ ⌒ ⌒ ヽ
/ ｨ●ｧ ｨ●ｧ |
| |
| c{ っ |
| ＿＿ } うーっす
/､. ー ヽ
/ |
| | /
ヽ_| ┌─┐ |丿
| ├─┤ |
| ├─┤ |
600:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:28:24.02
間違いに気付いたか
馬鹿め
601:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:37:45.00
訂正
BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
602:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:39:19.07
上を下に入れると
a+bがきれいにきえて
（2a+b+c）/２(a+b+c)
になるんで、上のほうの解答は大間違い
603:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:41:40.55
>>601
a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが
604:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:53:35.71
解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ
605:１３２人目の素数さん
11/08/31 07:59:55.86
ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ
606:１３２人目の素数さん
11/08/31 08:36:42.89
適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね
607:１３２人目の素数さん
11/08/31 17:25:11.12
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━|::::: (● (● |━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
荒れたスレに不等式ヲタが光臨！ 整理すると以下の如しだ！
【1991 IMO 問１】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27
【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
608:１３２人目の素数さん
11/08/31 17:50:46.29
>>590、>>595-602 をあぼーんすればよろし
609:１３２人目の素数さん
11/08/31 18:59:22.02
なんで590、598、600は偉そうなの？ 馬鹿なのに
610:１３２人目の素数さん
11/08/31 19:52:41.70
a>0 のとき (a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n
って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。
611:610
11/08/31 19:53:43.74
間違えました。>じゃなくて≧でした。
(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。
612:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:13:46.88
n≧1かな？
凸不等式でおｋ
613:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:35:31.95
変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか？
クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。
614:１３２人目の素数さん
11/08/31 20:46:46.40
不等式で評価する
って普通に使うね。
615:１３２人目の素数さん
11/08/31 21:48:26.70
進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。
数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
616:１３２人目の素数さん
11/08/31 21:51:24.37
>>615
> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
なんで？
617:１３２人目の素数さん
11/09/01 11:19:10.51
>>607
なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが
618:１３２人目の素数さん
11/09/01 11:42:35.32
何言ってだこいつ
619:１３２人目の素数さん
11/09/01 12:14:01.46
しーっ、目を合わせちゃいけません
620:１３２人目の素数さん
11/09/01 16:33:02.11
a+b+cってどこにあるの
621:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:15:08.17
上から評価、下から評価
とか言った使い方をよくする
622:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:41:35.38
>>525
〔補題〕
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.
623:１３２人目の素数さん
11/09/01 22:45:57.36
>>622
(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで 題意より
f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴ f(P) < f(C),
* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
a≠0 のとき双曲線。
a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。
624:１３２人目の素数さん
11/09/02 22:57:20.36
0＜a、a≠1
((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！
625:１３２人目の素数さん
11/09/03 08:01:27.09
1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値（上限）は？
626:１３２人目の素数さん
11/09/04 20:20:23.84
>>625
通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3) (k=1/8)
= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
= (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
≧ 0,
627:626
11/09/04 20:25:44.92
>>625 (続き)
〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。
〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
(2b-a)(2c-b)(2a-c) = 2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。
628:１３２人目の素数さん
11/09/04 23:58:47.65
〔類題〕
1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.
[第２章.325-326 , 514-519]
上限（～17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
629:１３２人目の素数さん
11/09/05 01:06:11.79
ついでに....
>>102
[第２章.643-645]
>>350-356
[第２章.780 , 786-818]
630:１３２人目の素数さん
11/09/05 01:54:00.74
>>628
題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2, 4-b-c≧0.
加比の理 より、
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.
[第２章.522,526]
631:１３２人目の素数さん
11/09/05 03:01:55.82
>622
(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
CP < CA', CP < CB'
直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴ AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕
∴ AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB, または
AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,
[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)