11/02/08 14:47:14
掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす…
問１．レベル（目糞）---------------------
a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ
1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)
問２．レベル（鼻糞）---------------------
x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ
0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
179:回答ー目糞
11/02/08 23:58:19
（１）P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d)
q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}
どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から 是が最小値になる。
ｑ＞＝０
180:回答ー鼻糞
11/02/09 00:33:05
q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1)
の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
181:１３２人目の素数さん
11/02/09 02:29:03
>>178
問１（目糞）
{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。
問２（鼻糞）
右側
-1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
(1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
182:１３２人目の素数さん
11/02/09 07:48:14
問３．レベル（耳糞）-------------------------------
実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ
(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)
-----------------------------------------------
※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
ミジンコといえば…
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
183:１３２人目の素数さん
11/02/09 07:49:18
>>182
ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
184:１３２人目の素数さん
11/02/11 00:21:14
>>182-183
問３（耳糞）
ミジンコだが、差を取ってみた。
a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
185:184
11/02/13 02:46:47
>>183
ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････
186:１３２人目の素数さん
11/02/13 05:53:59
>>153
あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ１９
187:１３２人目の素数さん
11/02/13 06:02:07
〔問題〕
(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
188:１３２人目の素数さん
11/02/13 06:24:28
>>187
485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
189:１３２人目の素数さん
11/02/13 11:06:40
>>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
190:１３２人目の素数さん
11/02/13 17:13:26
>>189
上手いなあ・・・
191:１３２人目の素数さん
11/02/13 21:58:06
>>153
ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ１９
192:１３２人目の素数さん
11/02/14 00:58:05
〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:220-222番)
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
193:１３２人目の素数さん
11/02/14 14:02:05
π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
194:１３２人目の素数さん
11/02/15 02:48:13
>>193
お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
195:１３２人目の素数さん
11/02/16 21:56:14
このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
196:１３２人目の素数さん
11/02/16 21:57:24
>>191-194
巣に戻れやボケ！
197:１３２人目の素数さん
11/02/16 22:23:34
君こそ消えたまえ！
198:１３２人目の素数さん
11/02/16 23:09:57
sin(23^23)>1/2
199:１３２人目の素数さん
11/02/17 06:26:46
>>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
200:１３２人目の素数さん
11/02/17 12:29:35
157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
201:１３２人目の素数さん
11/02/17 14:14:52
どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り
202:１３２人目の素数さん
11/02/17 14:33:46
このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
203:１３２人目の素数さん
11/02/18 13:53:48
>>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
204:１３２人目の素数さん
11/02/18 22:38:59
>>198 お願いします
205:１３２人目の素数さん
11/02/19 21:50:20.35
>>198 >>204
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
と言う他はない。
206:１３２人目の素数さん
11/02/20 00:42:17.01
>>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
207:206
11/02/20 03:54:59.36
>>194 (訂正)
π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
208:１３２人目の素数さん
11/02/20 04:19:51.61
>>192
y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
209:208
11/02/20 04:33:00.68
>>192
またまた訂正････
π < 355/1１3 ･･････ 密率
π < 22/7 ･･････ 約率
210:１３２人目の素数さん
11/02/20 07:58:37.53
222/77 < π < 22/7
211:１３２人目の素数さん
11/02/20 08:02:12.86
3555/1133 < π < 355/1１3
212:１３２人目の素数さん
11/02/20 11:38:15.55
〔問題649〕
a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
213:１３２人目の素数さん
11/02/20 23:44:56.31
>>195
正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
214:１３２人目の素数さん
11/02/26 05:15:12.79
今年の京大
1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
215:１３２人目の素数さん
11/02/27 07:19:26.19
>>214
左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:253番)
東大入試作問者スレ１９
216:１３２人目の素数さん
11/02/27 10:20:07.83
〔問題〕
0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
217:１３２人目の素数さん
11/02/28 03:57:23.98
今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
218:１３２人目の素数さん
11/02/28 06:32:54.58
>>217
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
219:１３２人目の素数さん
11/02/28 10:19:21.16
阪大のってこれか
URLﾘﾝｸ(nyushi.nikkei.co.jp)
220:Fランク受験生
11/03/03 00:49:07.67
内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。
(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
221:１３２人目の素数さん
11/03/03 23:48:54.04
>>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
222:１３２人目の素数さん
11/03/04 02:52:40.02
↑ 解いてから言え
223:１３２人目の素数さん
11/03/04 08:37:16.00
新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
224:１３２人目の素数さん
11/03/04 08:47:21.33
数人の自演ｽﾚだからなぁ
225:１３２人目の素数さん
11/03/04 09:37:23.59
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
226:１３２人目の素数さん
11/03/04 10:49:02.96
その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
227:１３２人目の素数さん
11/03/05 12:42:07.49
>>226
URLﾘﾝｸ(kotonoha.cc)
228:１３２人目の素数さん
11/03/07 21:32:08.20
もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
229:１３２人目の素数さん
11/03/07 21:46:33.46
ageんな
230:猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 13:50:17.70
猫
231:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:29:40.79
猫
232:１３２人目の素数さん
11/03/08 19:36:06.98
猫は小便垂れ流し
233:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:40:50.01
目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。
猫
234:１３２人目の素数さん
11/03/14 01:35:56.47
「不等式」大関清太
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
235:１３２人目の素数さん
11/03/17 15:37:44.25
a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
236:１３２人目の素数さん
11/03/19 01:36:36.10
>>235
(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
237:１３２人目の素数さん
11/03/22 06:15:56.83
今月は不等式が一杯載っている
Problem 365.
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
238:１３２人目の素数さん
11/03/22 06:18:57.91
C950、M1862、C944など
URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
239:１３２人目の素数さん
11/03/25 23:48:58.94
>>237
Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
240:１３２人目の素数さん
11/03/26 01:40:10.75
>>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
241:１３２人目の素数さん
11/03/27 23:30:24.83
>>239-240
附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
242:１３２人目の素数さん
11/03/28 07:26:05.27
1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
243:１３２人目の素数さん
11/03/28 08:37:32.00
>>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
244:１３２人目の素数さん
11/03/28 09:52:08.74
>242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
245:243
11/03/28 10:52:27.44
では、引き継いで頑張ってみます
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
246:243
11/03/28 10:56:30.96
>>245
>>242の４行目から → >>244の下から２行目から
だけど、もはやどうでもいい…
247:１３２人目の素数さん
11/03/29 02:54:50.22
>>241
鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
248:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:07:21.35
>>238
M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
249:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:38:26.07
>>248
部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
250:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:43:12.09
>>249
x - 1/2 という発想はどこから？
251:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:18:19.82
>>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
252:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:49:37.86
>>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
253:１３２人目の素数さん
11/04/04 01:51:35.18
>>239-240
しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
254:１３２人目の素数さん
11/04/04 03:44:39.82
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
なんかみつけたけん
255:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:24:10.34
>>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
256:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:37:51.12
>>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
257:１３２人目の素数さん
11/04/04 09:04:09.55
a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
258:１３２人目の素数さん
11/04/04 10:01:03.59
>>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
259:１３２人目の素数さん
11/04/05 01:02:06.67
>>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
260:239
11/04/05 01:47:07.55
>>259 >>244
お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
261:１３２人目の素数さん
11/04/05 02:01:12.29
>>242
が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
262: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:00:00.55
>>248
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
263: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:59:59.72
>>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
264:１３２人目の素数さん
11/04/09 09:02:08.28
a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ
前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
265:１３２人目の素数さん
11/04/09 13:52:52.11
バンチで
266:１３２人目の素数さん
11/04/10 09:44:59.54
【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
267:１３２人目の素数さん
11/04/10 18:56:36.30
>>264 >>107
>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:44-45番)
数検総合スレ４
URLﾘﾝｸ(www.suken.net) → 1級 検定問題(2次)
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
268:１３２人目の素数さん
11/04/12 10:48:14.35
a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
269:じゅー
11/04/12 21:29:19.35
>>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
270:訂正
11/04/12 21:34:07.11
523→522
60→59
に訂正です。
271:１３２人目の素数さん
11/04/13 21:45:47.80
>>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
272:１３２人目の素数さん
11/04/14 08:28:54.62
失敗かよ！
273: ◆BhMath2chk
11/04/14 18:00:00.06
ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
274:じゅー
11/04/14 21:33:49.09
正解!!
275:１３２人目の素数さん
11/04/14 21:55:29.13
？
276:２７１
11/04/14 22:28:05.71
>>273
すげー！
このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ
>>275
相加相乗
277:１３２人目の素数さん
11/04/14 23:26:13.93
>>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・
a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
278:277
11/04/14 23:31:35.12
符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
279:１３２人目の素数さん
11/04/15 12:42:51.39
p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
280:１３２人目の素数さん
11/04/16 00:58:02.78
p>0,x[i]≧0のとき
min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
281:１３２人目の素数さん
11/04/17 11:42:27.80
流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
282:１３２人目の素数さん
11/04/17 14:12:27.19
@273
a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
283:１３２人目の素数さん
11/04/17 20:03:58.97
>>269
F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
284:１３２人目の素数さん
11/04/18 12:55:14.00
(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
285:じゅー
11/04/18 15:27:18.36
すげぇ
286:１３２人目の素数さん
11/04/18 17:17:34.76
どうやって思いついたんだ??
287:１３２人目の素数さん
11/04/18 21:12:59.72
二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡}
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ エレガントな証明を見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
288:１３２人目の素数さん
11/04/19 01:17:01.91
>>286
p = a^2 -ab +bc,
q = b^2 -bc +ca,
r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
289:１３２人目の素数さん
11/04/19 03:02:58.17
>>288
> p = a^2 -ab +bc,
> q = b^2 -bc +ca,
> r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、
どうやって思いついたんだ??
290:286
11/04/19 06:56:22.13
確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
291:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:03:28.82
〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},
なら簡単だが･････
292:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:12:30.94
>>291 の訂正 ｽﾏｿ
４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
293:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:16:10.72
>>291-292
相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
294:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:20:00.49
思いつくんじゃないのならできる。
295:１３２人目の素数さん
11/04/20 01:31:20.75
>>289,290
それは, 秘密です. DX
296:１３２人目の素数さん
11/04/20 02:06:55.71
初代スレの頃には、ここで不等式を探してﾊｧﾊｧ…してたんだけど、移転したのかな？
Kalva homepage
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？
URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
297:１３２人目の素数さん
11/04/23 23:38:27.16
〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ 不等式 549, 574
298:１３２人目の素数さん
11/04/24 02:39:10.57
>>297
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
299:１３２人目の素数さん
11/04/25 20:25:11.82
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
300:１３２人目の素数さん
11/04/26 00:31:40.08
>>298 の訂正....
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
301:１３２人目の素数さん
11/04/26 12:45:59.84
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:542番)
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
302:１３２人目の素数さん
11/04/26 22:58:09.11
>>301 左側
∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
303:１３２人目の素数さん
11/04/27 02:34:23.79
>>299
PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
304:１３２人目の素数さん
11/04/27 09:45:05.17
>>302
正解です。
右側評価をお願いします。
305:１３２人目の素数さん
11/04/27 10:02:46.60
URLﾘﾝｸ(izu-mix.com)
306:１３２人目の素数さん
11/04/28 02:09:28.16
>>301 >>304
∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
307:１３２人目の素数さん
11/04/28 12:55:42.80
a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
308:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:44:03.42
はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^
309:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:51:01.39
a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
310:307
11/04/28 23:31:17.26
>>308
すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ？・・・ってどうやって？
311:１３２人目の素数さん
11/04/29 06:47:11.86
>>309
2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
312:１３２人目の素数さん
11/04/29 08:23:28.12
>>311
そんな変形、思いつきませぬ！
313:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:15:15.97
>>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
となったけど、
{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
と、どっちが大きいん？
314:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:51:49.21
>>309を改造
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
315:１３２人目の素数さん
11/04/29 11:14:28.55
a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46
のとき
6a-3b+9c-15d+24e
の最小値を求めよ
316:311
11/04/29 16:09:24.65
>>313
√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。
>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2,
かな？
317:１３２人目の素数さん
11/04/29 16:45:31.78
>>315
f = 2a -b +3c -15d -12e,
g = 2a -6b -c -5d +11e,
h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
= 129 + (30/23)h
≧ 129, (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
318:１３２人目の素数さん
11/04/29 18:43:56.56
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> ≧ (a+b+c)/2,
さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！ にくいぜっ！
319:１３２人目の素数さん
11/04/29 20:59:49.54
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
ここが分かりません…
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
ここはCSでシコシコするんですね
320:１３２人目の素数さん
11/04/29 21:13:18.80
コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
321:１３２人目の素数さん
11/04/29 22:06:13.23
>>317
f と g の係数をうまく変えて
6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
322:１３２人目の素数さん
11/04/30 01:34:37.87
R^3＼{(0,0,0)}上の関数
f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
323:１３２人目の素数さん
11/04/30 03:58:12.84
>>322
f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},
4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は 2x+z=y=0 のとき。
ついでに最小値は
f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は y=z=0 のとき。
324:１３２人目の素数さん
11/04/30 12:13:00.52
a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
325:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:33:26.86
>>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
やっぱ、これが分からんです
326:１３２人目の素数さん
11/05/01 12:59:13.28
>>324
2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),
(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
≧ (3/2) + (3/2) (← 相加･相乗平均)
= 3,
327:１３２人目の素数さん
11/05/01 14:41:38.31
>>320
相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。
醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
328:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:33:40.90
このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
329:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:59:56.98
ただの通りすがりの不等式ヲタです
330:１３２人目の素数さん
11/05/02 05:19:12.09
>>303
1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
|ｅ_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。
〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,
(略証)
ｅ_A = (cosα, sinα)
ｅ_B = (cosβ, sinβ)
ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
0 <γ-β<π,
π <γ-α<2π,
このとき
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
≦ 1, (終)
331:１３２人目の素数さん
11/05/02 10:21:35.49
a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
332:１３２人目の素数さん
11/05/02 21:54:16.57
>>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
333:１３２人目の素数さん
11/05/02 22:06:04.19
>>331
(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}
(右辺) - (左辺)
= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D (←通分)
= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)
= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)
= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)
= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)
≧ 0, (相加･相乗平均)
ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
334:１３２人目の素数さん
11/05/02 23:09:47.20
>>332
ない。
y/x=u で一変数に還元するのみ。
335:１３２人目の素数さん
11/05/03 06:01:51.43
>>328
少人数の自演者が、自分で問題出して自分で解いてるんだよ。
336:１３２人目の素数さん
11/05/03 07:30:14.11
数式の最後に ， があるかみたらいい
337:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:02:22.47
||Ax-b||^2の最小値に最も近い数値はどれか
A=
┌+4,+2,+6┐
│+1,+2,+5│
│+0,+1,+1│
└-3,+0,+3┘
b=
┌-3┐
│+1│
│+2│
└+3┘
１．0.102
２．0.103
３．0.104
４．0.105
５．0.106
338:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:15:35.62
x^2+y^2+z^2=1のもとで
f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+4xy+4yz
の最大値を求めよ
log1.5に最も近い数値はどれか
１．0.38
２．0.4
３．0.42
４．0.44
５．0.46
-2a-b+c+d=2
-3a+b+c-d=1
a,b,c,d≧0
のもとで
-6a+2b+5c+3dの最小値を求めよ
339:◇Pandysv26
11/05/03 14:43:50.27
バカオツ（ーー；）
340:１３２人目の素数さん
11/05/03 17:35:34.36
>>337
５
Ax-b =
[4x+2y+6z+3]
[x+2y+5z-1]
[y+z-2]
[-3x+3z-3]
||Ax-b||^2 = (4x+2y+6z+3)^2 + (x+2y+5z-1)^2 + (y+z-2)^2 + (-3x+3z-3)^2
= 26x^2 + 9y^2 + 71z^2 + 20xy + 46yz + 40zx +40x +4y +4z + 23
= 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 134X^2 + 110Z^2 -100ZX} + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 50(X-Z)^2 + 84X^2 + 60Z^2} + (9/85)
≧ 9/85
= 0.105882353,
ここに、X=x+(225/170), Y=y-(363/170), Z=z+(59/170) とおいた。
（平行移動した。）
〔別法〕
F(X,Y,Z) = 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX
とおく。Fの固有多項式は
f(λ) = (26-λ)(9-λ)(71-λ) + 2(10*20*23) -23*23(26-λ) -20*20(9-λ) -10*10(71-λ)
= -λ^3 +106λ^2 -1690λ+1360
∴ λ≦0 ならば f(λ) ≧ 1360
ところで、実対称行列の固有値はすべて実数(*)。
∴ λ > 0
∴ Fは正定値、 F(X,Y,Z) ≧ 0 (等号成立は X=Y=Z=0 のみ)
*) エルミート行列の場合も成立つ。
341:１３２人目の素数さん
11/05/03 18:26:59.88
>>338 (上)
最大値
5(x^2+y^2+z^2) - f(x,y,z) = 4x^2 +2y^2 +4z^2 -4xy -4yz
= (2x-y)^2 + (y-2z)^2 ≧ 0,
最小値
f(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 +4y^2 +2z^2 +4xy +4yz
= (x+2y+z)^2 + (x-z)^2 ≧ 0,
〔別解〕
軸を回して
u = (x-y+z)/√3,
v = (x-z)/√2,
w = (x+2y+z)/√6,
とおく。
u^2 +v^2 +w^2 = x^2 +y^2 +z^2,
で
f(x,y,z) = (-1)u^2 +1v^2 +5w^2,
342:１３２人目の素数さん
11/05/03 22:19:53.71
>>338 (中)
２
〔解1〕
(3/2)^2 = 2*(9/8) = 2*(1 + 1/8),
2log(3/2) = log(2) + log(9/8) ≦ log(2) + 1/8,
= 0.69314718 + 0.125
= 0.81814718
log(3/2) ≦ 0.40907359
〔解2〕
(3/2)^5 = (2^3)(243/256) = (2^3)(1 - 13/256)
5log(3/2) = 3*log(2) + log(243/256)
≦ 3*log(2) - 13/256
= 3*0.69314718 - 0.05078125
= 2.02866029
log(3/2) ≦ 0.40573206
〔解3〕
(3/2)^12 = (2^7)(531441/524288) = (2^7){1 + 7153/(2^19)},
12log(3/2) = 7log(2) + log(531441/524288)
≦ 7log(2) + 7153/(2^19)
= 7*0.69314718 + 0.013643265
= 4.86567353
log(3/2) ≦ 0.40547279
なお、log(3/2) = 0.405465108
343:１３２人目の素数さん
11/05/04 01:24:52.76
>>299 >>303
PA + PB + PC = f(P) とおく。
〔系〕
P,Qが△ABCの内部にあるとき
|f(P)-f(Q)|/PQ ≦ 1,
344:１３２人目の素数さん
11/05/04 03:14:00.34
この場合log2の値出すの反則じゃない？
345: 忍法帖【Lv=9,xxxP】
11/05/04 10:14:23.79
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
346:１３２人目の素数さん
11/05/04 11:11:36.85
>>338 (中)
>>344
e = 2.71828183 は使っていい？
3^(1/3) ≦ e^(1/e),
の対数をとって
log(3) ≦ 3/e = 1.10363832 (1.09861229)
〔解1〕
(3/2)^3 = 3*(9/8) = 3*{1 + 1/(2^3)},
3log(3/2) = log(3) + log(9/8) ≦ 3/e + 1/(2^3),
log(3/2) ≦ 1/e + 1/(3*2^3) = 0.4095461
〔解2〕
(3/2)^8 = (3^3)(243/256) = (3^3){1 - 13/(2^8)},
8log(3/2) = 3log(3) + log(243/256) ≦ 9/e - 13/(2^8),
log(3/2) ≦ (9/8e) - 13/(8*2^8) = 0.4075167
〔解3〕
(3/2)^19 = (3^7)(531441/524288) = (3^7){1 + 7153/(2^19)},
19log(3/2) = 7log(3) + log(531441/524288) ≦ 21/e + 7153/(2^19)
log(3/2) ≦ (21/19e) + 7153/(19*2^19) = 0.40732166
347:１３２人目の素数さん
11/05/04 15:06:56.84
>>346
log(3) = 1 + log(3/e) ≦ 1 + (3/e -1) = 3/e,
348:１３２人目の素数さん
11/05/06 16:43:56.28
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
A,B,C,Dのどの三点をとっても同一直線上になく
線分ACとBDが一点で交わるとき
PA+PB+PC+PDが最小となる点Pの位置を決定せよ
349:１３２人目の素数さん
11/05/06 21:59:52.30
>>348
>>299 の類題でござるな。
線分ACとBDが交わるから、ABCD は凸四角形。
PA + PC ≧ AC,
PB + PD ≧ BD より、
PA + PB + PC + PD ≧ AC + BD,
より 対角線の交点。
一方、Dが△ABCの内部（または辺上）にあるときは
>>299-303 により D.
350:１３２人目の素数さん
11/05/06 22:07:51.60
〔問題593〕
a,b,c≧ 0 とする。相加・相乗平均を用いて次式を示せ。
{(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3,
等号成立は a=b=c のとき。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
ｷｬｽﾌｨｰ - 高校数学 - 不等式スレ
351:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:06:06.34
>>350
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
352:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:55:39.25
A(x,y)は非負整数から非負整数への二変数関数であり
A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))
を満たす
A(x+1,y)>A(x,y)を示せ
353:猫は重症のかまってちゃん ◆ghclfYsc82
11/05/07 06:33:28.42
ゐとかゑってどうやって入力するの？
354:１３２人目の素数さん
11/05/07 15:18:57.49
〔350の類題〕
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3),
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
355:１３２人目の素数さん
11/05/07 16:19:36.97
>>354
左から２つめ
ab+bc+ca =t とおく。
(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2 = (1/8){(a+b+c)t-abc}
= (1/9)(a+b+c)t + (1/72){(a+b+c)t-9abc}
≧ (1/9)t(a+b+c)
= (1/9)t√(a^2 +b^2 +c^2 +2t)
≧ (1/9)t√(3t)
= (t/3)^(3/2),
３つめは
(1/3)(ab+bc+ca) = (1/9){(ab+bc+ca) +a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}
≧ (1/9){(ab+bc+ca) +2a√bc +2b√(ca) +2c√(ab)}
= (1/9){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^2,
ぬるぽ
356:１３２人目の素数さん
11/05/07 19:16:23.92
>>354
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
357:１３２人目の素数さん
11/05/08 21:07:45.02
a,b,cをa+b+c=0を満たす実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
358:１３２人目の素数さん
11/05/09 02:53:53.07
>>325
対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
359:１３２人目の素数さん
11/05/09 04:48:30.04
>>358
ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
360:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:56:19.96
>>360
{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3) (r=3)
≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3 (r～5/2)
≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3} RMS(r=2)
≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)} (r～3/2)
≧ (a+b+c)/3 相加平均(r=1)
≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) (r～3/4)
≧ √{(ab+bc+ca)/3} (r～1/2)
≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 (r～1/4)
≧ (abc)^(1/3) 相乗平均(r→0)
≧ 3abc/(ab+bc+ca), 調和平均(r=-1)
〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) ～ (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
362:１３２人目の素数さん
11/05/10 02:46:58.18
ひどい自演見た
363:１３２人目の素数さん
11/05/10 06:41:22.70
>>362
2ch初心者は黙ってろ！
364:１３２人目の素数さん
11/05/10 11:08:11.69
>>354
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)
By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)
By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)
by Newton's Inequality.
By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
365:１３２人目の素数さん
11/05/11 16:25:20.69
360:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360
この間約３分
366:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:56:28.85
>>365
別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
367:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:57:33.38
>>365
それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
368:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:59:32.17
うるせえ
369:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:03:06.74
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>368
370:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:05:48.10
くせえ
371:１３２人目の素数さん
11/05/12 02:19:08.02
3分でsageでついたレスをチェックして計算を書き上げるのかー
さすがに苦しいだろｗ
372:１３２人目の素数さん
11/05/12 07:00:03.07
俺も自演しながら荒らしてます！
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
373:必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/12 17:02:29.89
>>372
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
374:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:31:11.56
Challenge!
a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
375:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:34:04.62
問題, 打ち間違えました。正しくは, こちらです。
a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
376:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:36:23.44
何で最後のcだけ全角
377:１３２人目の素数さん
11/05/14 23:15:41.41
えっ, どの部分ですか？
378:１３２人目の素数さん
11/05/15 01:13:00.72
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
379:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:13:34.94
ここの不等式のレベルは, タイトルの割には, レベル, 低すぎ。
海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
380:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:32:31.69
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
381:１３２人目の素数さん
11/05/15 08:08:29.47
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>379
382:偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/15 08:41:56.70
>>378
偽物注意！！！！！
頑張れよ！偽物キチガイ！
パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！
>>380
パクリ乙！！！！！
さすがキチガイ！！！！！
悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
383:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:32:59.16
〔問題〕
a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)
(1) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。
(2) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
384:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:36:53.45
猫
385:猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY
11/05/21 21:48:52.94
猫
386:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:59:32.00
猫
387:１３２人目の素数さん
11/05/24 21:43:11.36
>>383
(3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
を 3つの対称式の平方和で表わせ。
388:１３２人目の素数さん
11/05/25 01:33:08.93
>>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
389:１３２人目の素数さん
11/05/25 02:20:45.94
>>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
390:１３２人目の素数さん
11/05/28 10:38:16.63
>>389
p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
391:１３２人目の素数さん
11/06/10 17:58:19.78
2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
392:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:45:14.10
-1と1
393:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:49:20.27
>>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
394:１３２人目の素数さん
11/06/11 02:05:20.80
>>391
x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
395:１３２人目の素数さん
11/06/11 04:24:49.92
ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
396:１３２人目の素数さん
11/06/11 05:50:22.01
a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
397:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:09:15.01
>>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
398:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:50:00.19
a=b=c=d=e=f.
399:１３２人目の素数さん
11/06/15 02:11:04.50
>>397
〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
400:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:51:38.00
〔補題〕
a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
401:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:54:25.60
>>400
(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
402:１３２人目の素数さん
11/06/19 06:11:46.69
>>400 と同じだが････
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
403:１３２人目の素数さん
11/06/19 07:48:50.29
>>402 念のため...
(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
404:１３２人目の素数さん
11/06/29 17:33:48.88
問A-2
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
405:１３２人目の素数さん
11/07/01 12:35:17.26
>>350
abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
406:１３２人目の素数さん
11/07/01 22:16:20.04
>>404
[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
407:１３２人目の素数さん
11/07/01 23:13:10.37
>>405
s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
408:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:26:12.66
>>402-403 の続き
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
409:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:33:17.08
>>408
ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
410:１３２人目の素数さん
11/07/14 04:04:48.39
外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
411:１３２人目の素数さん
11/07/14 11:52:16.90
>>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
412:１３２人目の素数さん
11/07/15 21:09:37.12
これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
413:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:40:25.36
>>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
414:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:42:23.82
>>298
[初代スレ.465]
415:１３２人目の素数さん
11/07/16 06:55:35.88
>>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
416:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:00:21.68
●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
417:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:10:48.41
〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
418:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:00:01.26
（１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
419:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:03:45.05
>>418
なん…だと！
420:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:22:13.62
>>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
421:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:08:41.04
>>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
422:１３２人目の素数さん
11/07/17 08:05:05.56
a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
423:１３２人目の素数さん
11/07/17 09:15:12.50
>>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
424:１３２人目の素数さん
11/07/17 15:20:11.27
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
425:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:50:11.85
定石ですよ、定石！
426:１３２人目の素数さん
11/07/17 18:07:58.81
ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
427:１３２人目の素数さん
11/07/17 21:16:34.07
>>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
428:１３２人目の素数さん
11/07/17 22:06:41.54
>>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
429:１３２人目の素数さん
11/07/18 00:06:54.77
>>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
430:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:21:39.49
>>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
431:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:26:59.25
うーん、ぬぬぬ…
432:１３２人目の素数さん
11/07/18 02:19:45.59
>>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
433:１３２人目の素数さん
11/07/18 04:27:35.04
>>431
う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
434:１３２人目の素数さん
11/07/18 11:59:43.81
1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
435:１３２人目の素数さん
11/07/18 14:17:03.31
ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
436:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:11:08.55
AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
437:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:17:17.77
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
438:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:18:42.48
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
439:１３２人目の素数さん
11/07/18 19:05:38.49
>>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
440:１３２人目の素数さん
11/07/18 22:26:06.82
〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
441:１３２人目の素数さん
11/07/19 00:21:55.69
∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
442:１３２人目の素数さん
11/07/19 06:33:56.04
>>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
443:１３２人目の素数さん
11/07/19 09:27:04.02
Nice Solution!
444:１３２人目の素数さん
11/07/19 12:25:03.59
>>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
445:１３２人目の素数さん
11/07/19 13:20:00.38
(0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
446:１３２人目の素数さん
11/07/20 10:14:37.63
このスレ恐ろしすぎる
447:１３２人目の素数さん
11/07/20 17:21:02.92
不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
448:１３２人目の素数さん
11/07/20 18:25:13.74
〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
449:１３２人目の素数さん
11/07/20 21:26:23.94
>>447
正解！
450:１３２人目の素数さん
11/07/20 23:35:36.28
>>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
451:１３２人目の素数さん
11/07/21 00:29:09.54
>>450
神すぎる…
452:１３２人目の素数さん
11/07/21 09:53:30.81
Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
453:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:21:14.26
>>448
By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy
∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
454:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:23:42.09
>>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？ ０にいくらでも近づく？
455:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:27:42.91
>>454
下限というか最小値は１かな？
456:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:43:07.23
>>453
Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
457:１３２人目の素数さん
11/07/21 10:59:00.10
No, your proof is CORRECT!
458:１３２人目の素数さん
11/07/21 20:29:14.21
>>453 の weighted AM-GM というのは
p,q,x,y>0, p+q=1 ⇒ x^p･y^q ≦ px + qy,
459:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:26.03
重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
460:１３２人目の素数さん
11/07/22 04:35:52.11
>>453, >>458
凸不等式から出る。別名 ベルヌーイの式。
数セミ、2010/08月号 NOTE (大塚氏) も参照。
461:１３２人目の素数さん
11/07/30 15:16:53.93
x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して
( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
462:１３２人目の素数さん
11/07/30 17:25:09.46
>>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>859
463:コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY
11/07/30 17:25:21.59
>>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応
さっきから必死に頑張ってます！
ｂｙ>>462
464:１３２人目の素数さん
11/07/30 18:00:36.44
>>461
むむむ…、分からん
465:１３２人目の素数さん
11/07/30 21:48:35.22
どうみても二項定理だろアホｗ
466:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:10:33.54
>>465
証明してみろ！
467:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:49:10.99
>>461
(略証)
g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴ f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴ f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴ z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴ {g(x)}^m ≧ g(x^m),
[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
468:１３２人目の素数さん
11/07/30 22:51:17.31
>>467 の続き
【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。
このとき, 0≦x≦1 において
r>1 ⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
(math_board_watcherによる)
(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k), a_k ≧ 0.
Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
469:１３２人目の素数さん
11/07/31 05:50:42.62
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
470:１３２人目の素数さん
11/07/31 12:49:57.13
[前スレ.608] の小改良....
以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,
log(2) = a とおくと
cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,
McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2, (0<t<1/2)
sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3, (0<t<1/2)
以上から
x^(2y) + y^(2x)
= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
= 1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
= 1 -0.000427268･t^2, (0<t<1/2)
471:１３２人目の素数さん
11/07/31 13:28:12.30
>>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。
[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n ・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m ・・・(2)
事象の包含関係から (2)≧(1) 。
472:１３２人目の素数さん
11/08/01 23:36:30.55
>>470
4 > (181/64)√2 の証明
128√2 > 181
2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,
2X^2 - Y^2 = 7,
(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
473:１３２人目の素数さん
11/08/03 10:28:00.18
x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
474:１３２人目の素数さん
11/08/03 12:00:02.32
ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
475:１３２人目の素数さん
11/08/03 14:18:15.05
>>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
476:１３２人目の素数さん
11/08/05 01:50:12.86
>>461 の類題
(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,
(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)
+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,
つまらねぇ....
477:１３２人目の素数さん
11/08/05 02:03:18.01
しょうがないなあ
A536, B4364, B4370
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
478:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:10:52.07
a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1
(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
479:１３２人目の素数さん
11/08/05 10:12:41.91
↑
>>477
A536
480:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:04:44.11
>>477
[B4370.]
頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),
（略解)
a>b ⇔ BC > CA ⇔ ∠BAC > ∠ABC ⇔ ∠BAI > ∠ABI ⇔ BI > AI ⇔ v > u,
∴ {a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
481:１３２人目の素数さん
11/08/06 00:36:05.93
質問スレに張られてた奴
a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
482:１３２人目の素数さん
11/08/06 02:51:33.91
>>481
コーシーより、
(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
= (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
= (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
≧ 3/{2(abc)^(4/3)} (相加･相乗平均)
= 3/2,
※ a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
483:１３２人目の素数さん
11/08/06 07:12:31.74
>>482
成程な～
484:１３２人目の素数さん
11/08/06 11:26:48.95
>>482
＿＿＿
|┃三 .／ ≧ ＼ ちょ～っと待ったあ！！
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①
が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。 ここまでは見事ですが
だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
485:１３２人目の素数さん
11/08/06 12:53:39.49
>>484
出直してこい
486:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:39:40.36
>>477
B4364
a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)
2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)
a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)
(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
487:１３２人目の素数さん
11/08/06 13:42:38.09
ダメじゃないの。
488:482
11/08/06 14:17:02.81
>>484
等号成立条件は a=b=c=1。
が抜けてたな.....
ぬるぽ
489:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:20:07.02
すまん、積でしたな
490:１３２人目の素数さん
11/08/06 14:40:31.10
>>477
[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき 次を示せ。
(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,
(略解)
(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
= 2(a^2 - b^2)/b
= {2(a+b)/b}(a-b)
≧ 4(a-b),
以下簡単。
491:486
11/08/06 18:26:09.37
>>490
うまい…
492:１３２人目の素数さん
11/08/06 22:05:29.24
>>477
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。
(略解)
(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,
{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,
cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
1/cos(2kπ/7) (k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。
Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
493:492
11/08/06 22:11:32.65
>>492 訂正
[B4371.]
1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
494:１３２人目の素数さん
11/08/07 09:00:49.56
For real numbers $p,\ q,\ r$, prove that
p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
495:１３２人目の素数さん
11/08/07 15:33:09.16
p^2+q^2+r^2=x^2
G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
496:１３２人目の素数さん
11/08/08 00:04:38.81
>>494
f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
≧ (2/3)(p+q+r),
Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)) [下に凸]
≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r)) [単調増加]
= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
497:１３２人目の素数さん
11/08/08 09:27:01.04
正じゃない。
498:１３２人目の素数さん
11/08/08 15:02:45.71
For positive real numbers a, b, c, d with abcd=1,
Prove that
1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
499:１３２人目の素数さん
11/08/11 00:34:49.08
a≧b≧c≧dとする。
abcd=1よりa≧1である。
(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
500:499
11/08/11 00:42:47.14
間違えたorz
501:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:11:15.95
あほ
502:１３２人目の素数さん
11/08/14 14:44:52.56
>>501
口が悪いな、直したほうがいい
503:１３２人目の素数さん
11/08/14 17:09:15.69
>>498 難しくない？
504:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:09:44.14
>>494 >>497 難しくない。
19 = 3^2 + 3^2 + 1^2
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
505:１３２人目の素数さん
11/08/15 01:18:09.31
なんだ、ただの神か…
506:１３２人目の素数さん
11/08/15 10:35:43.41
>>504 の補足
まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。
難しくない。
507:１３２人目の素数さん
11/08/15 20:13:45.05
>>477
[A536.]
a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき 次を示せ。
(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},
(略解)
abcd≧1 のとき
(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),
abcd≦1 のとき、補題により
t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),
〔補題〕
a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
左辺をtとおいて
2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴ t ≧ 6,
508:１３２人目の素数さん
11/08/16 05:09:19.68
>>498
左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
= (√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
= (√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6, (A≧1)
に帰着する。