11/01/31 00:26:04
〔問題〕
A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))･tr(exp(B)),
ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n, (Ｅは単位行列)
(注意)
A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。
この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。
数セミ増刊「数学の問題 第２集」No.96, 日本評論社 (1978)
114:１３２人目の素数さん
11/01/31 00:59:02
>>113
荒木不二洋 先生（元･京大、RIMS）の名作だな。
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
115:１３２人目の素数さん
11/01/31 15:43:55
>>106
>適当な T 正則マトリクス,が存在して
>線形変換ｘ＝Tｙにより
>
>Q1=ty.E.ty
>Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
116:１３２人目の素数さん
11/01/31 16:51:00
>>115
> A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
はい。
A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA（可換）なので、
>>106の証明は誤りです。
これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・
117:１３２人目の素数さん
11/01/31 17:00:47
>>103
一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。
もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。
一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。
118:仙石６０
11/01/31 17:22:17
>>113
AB=BA ならば
Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A))
Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか？
つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね？
119:仙石６０
11/01/31 17:33:14
>>116
>>106の証明は誤りです。
実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
（証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない）
A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化（Lamda,En)が可能であるというのは
よく使ったような気がする。（正定の定義が違うのかな？）
120:１３２人目の素数さん
11/01/31 20:10:22
>>119
> 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
違います。
実際、AとBが同時対角化されたとします。
つまり、ある１つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。
対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。
つまり、
(T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T)
が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、
T^t AB T = T^t BA T
つまり，AB=BA となります。
しかし、任意の２つの正定値対称行列は交換可能とは限らないので、これは矛盾です。
121:仙石６０
11/01/31 20:28:27
対角化の意味ですが、
E、と Lamda＝固有値マトリクス のふたつを意味しているのですが。
122:１３２人目の素数さん
11/01/31 20:43:42
>>121
何を言いたいのか全く分かりません。
>>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。
A,Bを一般の正定値対称行列に対して
> Q1=tx.A.x>0
> Q2=tx.B. x>0 ｘはn次元ヴェクター
>
> A または Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
> 適当な T 正則マトリクス,が存在して
> 線形変換ｘ＝Tｙにより
>
> Q1=ty.E.ty
> Q2=ty.L.y ：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
123:仙石６０
11/01/31 20:46:31
正定マトリクスの定義 （x*）Ax>0 for all x not zero
2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式
Q1=TxAx,Q2=TXBX とする。
Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて
2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y L:対角まとりくす
とあらわせる
証明 略
124:仙石６０
11/01/31 20:47:54
＞何を言いたいのか全く分かりません。
チョット時間をおきませう
125:１３２人目の素数さん
11/01/31 22:16:26
>>123
その主張が間違っているんですよ。
具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y
と表される（つまり、Q_1=<y,y> ）のは良いのですが、
「Lが対角行列」というのが間違いです。
これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。
理由は>>120です。
126:仙石６０
11/01/31 22:30:16
CLAIM:
BがC^mxn ならばA:=B*B：C^nxnは準正定マトリクスである。
逆に
エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば rank(B)=m (mはAの固有地の数）なるマトリクスB:C^mxn
をもちいてA=B*Bと表すことができる。
を証明せよ
A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという
A*はAの共役転置
127:仙石６０
11/01/31 22:39:06
Claim2
2個の実対称マトリクス：R^nxn、B:R^nxnについての２次形式
Q1=txAx,Q2＝ｔxBx ｘ：R^n ｔ:transpose
A ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn による線形変換ｘ＝Ty
によって、新変数ｙについては２次形式がｙの各成分の二乗項だけをふくむ
Q1=ty ｙ、Q2=ty L y、 L:対角マトリクス
と表せる
を証明せよ
128:仙石６０
11/01/31 22:44:10
↑なお 一般にLの対角要素はBの固有地ではない。
129:１３２人目の素数さん
11/01/31 23:07:07
仙石６０さんよ、これ以上書くと恥晒しになるから止めとけや
130:Fランク受験生
11/01/31 23:18:13
システム制御工学で使われるマトリクス演算手法ですね。
証明を期待しています。
131:１３２人目の素数さん
11/01/31 23:23:47
こんなやつは、30年ぐらい前いっぱい流行したよねえ。
恥を晒して墓までよ 気にすることは無い。
132:１３２人目の素数さん
11/02/01 00:09:59
正則行列と直交行列を混同しているような…
133:仙石６０
11/02/01 00:22:36
そうだね
134:１３２人目の素数さん
11/02/01 01:33:17
>>128
糞コテめ！
さっさと消えろ！
我々のスレを荒らすな！
ここは不等式のスレだ、日本語読めるか？ あん？
質問は質問スレでやれ！
135:１３２人目の素数さん
11/02/01 02:16:43
120と123は何ら矛盾してない。この件については仙石が正しい。
136:１３２人目の素数さん
11/02/01 20:11:43
【問題】
n次の実行列 A,B,C,D に対して，2n次の行列 X を
X = [A B]
[C D]
とおく．X が正定値対称行列のとき，
det (X) ≦ det (A)・det(D)
を示せ．
137:１３２人目の素数さん
11/02/02 13:21:13
Det(A) !=0 としてもよい。 A=tF.F
Det(X)=Det(A)Det[D-B.A^-1.C]
X X が正定値対称行列-=> C=tB ,A=tF.F-->B.A^-1.C=B.A^-1.tB=B.(tF.F)^-1.tB
=B.(F)^-1.tF^-1.tB=B.F^-1.t(B.F^-1)
=Y.Ty : y:=B.F^-1
Det[D-B.A^-1.C]=Det[D-Y.tY]<=Det(D)
det (X) ≦ det (A)・det(D)
q.e.d
138:Fランク受験生
11/02/02 15:36:31
(1) A1>=B1,A2>=B2==>A1+A1>=B1+B2
(2) A>=B>=C ==> A >=C
(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
間違っているのは（１）、（２）、（３）のどれでしょうか？
139:１３２人目の素数さん
11/02/02 15:57:27
>>138
オコチャマは消えろ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
140:１３２人目の素数さん
11/02/02 16:14:29
↑ わからないとすぐそうやってごまかすんだから
141:１３２人目の素数さん
11/02/02 16:19:29
なんかアホの巣窟になっちまったなｗ
142:１３２人目の素数さん
11/02/02 16:24:41
猫がいなくなったから、猫に構ってた連中が持て余してんだろｗ
猫も必要悪ということだ。
143:１３２人目の素数さん
11/02/02 16:34:19
(1),(2) OK
(3) マちが日
144:１３２人目の素数さん
11/02/02 17:14:49
大学は試験シーズンだからな
ところで猫って大学の教員なの？
145:１３２人目の素数さん
11/02/02 17:21:50
>>144
無職のルンペンだよ
146:１３２人目の素数さん
11/02/02 18:14:26
一応非常勤をやっているんじゃなかったか？
147:１３２人目の素数さん
11/02/03 01:09:18
>>113
まづ、exp( ) の定義から、
exp(xE) = (e^x)E,
AB = BA ⇒ exp(A+B) = exp(A)･exp(B),
exp(A'+xE) = (e^x)･exp(A'),
exp(B'+yE) = (e^y)･exp(B'),
ところで、
A = (tr{A}/n)E + A',
B = (tr{B}/n)E + B',
とおくと tr{A'} = tr{B'} =0 となる。
これらを上記に代入すると、本問は
tr{A'} = tr{B'} =0 ⇒ tr{exp(A'+B')} ≦ tr{exp(A')}･tr{exp(B')},
に帰着する。
148:１３２人目の素数さん
11/02/03 01:27:19
>>113
A',B'は跡なしの2次行列だから、Cayley-Hamilton より
(A')^2 = (a^2)E, a = √(-det{A'}),
(B')^2 = (b^2)E, b = √(-det{B'}),
よって exp( ) の定義から
exp(A') = cosh(a)･E + {sinh(a)/a}･A',
exp(B') = cosh(b)･E + {sinh(b)/b}･B',
となる。また、
tr{E} = n = 2,
tr{A'} = tr{B'} = 0,
tr{A'B'} = det{A'} + det{B'} - det{A'+B'} = 2ab･cosθ,
よって、
tr{exp(A')exp(B')} = cosh(a)cosh(b)tr{E} + (････)*tr{A'} + (････)*tr{B'} + {sinh(a)sinh(b)/(ab)}tr{A'B'}
= 2cosh(a)cosh(b) + 2sinh(a)sinh(b)･cosθ
= (1+cosθ)cosh(a+b) + (1-cosθ)cosh(a-b)
= (1+cosθ)f((a+b)^2) + (1-cosθ)f((a-b)^2) (← *)
≧ 2f(a^2 + b^2 +2ab･cosθ)
= 2f(-det{A'} -det{B'} +tr{A'B'})
= 2f(-det{A'+B'})
= tr{exp(A'+B')},
*) f(t) = cosh(√t) = Σ[k=0,∞) (1/(2n)!)t^n, は t≧0 で下に凸。
149:103
11/02/03 19:02:06
うわっ、凄い勢いでレスが伸びていてびっくり!!
>>104-105>>109-110>>117
文献の案内ありがとうございます。
作用素環へ繋がっていくのですね。
それは奥が深いわけだ。
150:１３２人目の素数さん
11/02/03 23:28:08
>>138 >>143
(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
ガ誤りであるような 実例を教えてください。
151:１３２人目の素数さん
11/02/04 00:11:48
A1=A2=[1,1],B1=B2=[-10,-10]
A1,A2,B1,B2>0 の例をもとむ
152:147-148
11/02/04 00:53:49
>>113
････つまり、本題は次の補題に帰着した。
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
(略証) 成分を使って計算するだけ。
153:１３２人目の素数さん
11/02/04 01:19:06
√2+√3＞πを示せ
ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
154:１３２人目の素数さん
11/02/04 13:18:51
√2+√3=3.14626...>π
155:１３２人目の素数さん
11/02/04 13:21:32
ｴﾚｶﾞﾝﾄを 求めるのは厨房
156:Fランク受験生
11/02/04 13:43:44
>>152
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),
計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。
どこがまちがっているのでしょうか
det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33
157:１３２人目の素数さん
11/02/04 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
158:１３２人目の素数さん
11/02/04 13:54:04
147-148 は似非かはったりか？
159:１３２人目の素数さん
11/02/04 14:51:36
新着レスがあると思ってみたら、便所の落書き未満だったり…
160:１３２人目の素数さん
11/02/04 18:28:28
>>158
ということになります。
161:１３２人目の素数さん
11/02/04 18:44:13
(π-x)^3=31 実数ｘをもとむ
ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
162:１３２人目の素数さん
11/02/04 19:14:14
156は何を計算してるのやら
2次の正方行列つってんだろが
163:１３２人目の素数さん
11/02/04 20:39:09
[問題]
正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)．
164:１３２人目の素数さん
11/02/04 21:11:26
ばかばかし>>162
165:１３２人目の素数さん
11/02/04 21:13:14
えらそうにしている割に程度低すぎ>>162
166:１３２人目の素数さん
11/02/04 21:42:20
>>163
det (tA + (1-t)B)． はｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｎの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
たとえば ｔ＝～０
(1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１－ｔ）＞（１－ｔ）＾ｎ
167:１３２人目の素数さん
11/02/04 22:04:27
>>166
> たとえば ｔ＝～０
すまんが、ｔ＝～０ の意味を教えてもらえまいか？
168:１３２人目の素数さん
11/02/04 22:12:53
～０
169:１３２人目の素数さん
11/02/04 22:18:54
精子かＹＯ！
170:１３２人目の素数さん
11/02/05 00:51:07
>>163
det (tA + (1-t)B)． はｔのｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はｔの一次多項式
主張にムリガあるような気がするのだが？
171:１３２人目の素数さん
11/02/05 01:42:23
>>170
多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。
例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
172:１３２人目の素数さん
11/02/05 01:45:16
というか凸函数におけるイェンセンの不等式を知らんのか？
173:１３２人目の素数さん
11/02/05 02:48:24
>>170
多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。
174:163
11/02/05 03:46:34
>>170
確かに主張は間違っていました。
（多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません）
[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い）
t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。
あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして
t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。
175:１３２人目の素数さん
11/02/05 04:02:00
>>166 >>170
t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B),
176:１３２人目の素数さん
11/02/05 06:13:39
>>166 >>170
t=0,1 のとき 左辺は０ゆえ、因数定理から
t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B),
(例) n=2 の場合、
t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),
177:Fランク受験生
11/02/05 21:00:57
＞実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
（１）n>=3のばあいは
（２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？
178:１３２人目の素数さん
11/02/08 14:47:14
掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす…
問１．レベル（目糞）---------------------
a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ
1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)
問２．レベル（鼻糞）---------------------
x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ
0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
179:回答ー目糞
11/02/08 23:58:19
（１）P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d)
q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}
どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から 是が最小値になる。
ｑ＞＝０
180:回答ー鼻糞
11/02/09 00:33:05
q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1)
の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
181:１３２人目の素数さん
11/02/09 02:29:03
>>178
問１（目糞）
{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。
問２（鼻糞）
右側
-1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
(1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
182:１３２人目の素数さん
11/02/09 07:48:14
問３．レベル（耳糞）-------------------------------
実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ
(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)
-----------------------------------------------
※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
ミジンコといえば…
URLﾘﾝｸ(www.yomiuri.co.jp)
※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
183:１３２人目の素数さん
11/02/09 07:49:18
>>182
ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
184:１３２人目の素数さん
11/02/11 00:21:14
>>182-183
問３（耳糞）
ミジンコだが、差を取ってみた。
a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
185:184
11/02/13 02:46:47
>>183
ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････
186:１３２人目の素数さん
11/02/13 05:53:59
>>153
あまりエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ１９
187:１３２人目の素数さん
11/02/13 06:02:07
〔問題〕
(14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。
188:１３２人目の素数さん
11/02/13 06:24:28
>>187
485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
189:１３２人目の素数さん
11/02/13 11:06:40
>>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
[A B] ＝ [ I O][A B]
[C D] [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
190:１３２人目の素数さん
11/02/13 17:13:26
>>189
上手いなあ・・・
191:１３２人目の素数さん
11/02/13 21:58:06
>>153
ちっともエレガントぢゃねぇが････
6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,
ところで、
(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ１９
192:１３２人目の素数さん
11/02/14 00:58:05
〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:220-222番)
東大入試作問者スレ１９
・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,
・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,
・22/7 < √2 + √3 は >>186
・√2 + √3 < √10 は
y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
193:１３２人目の素数さん
11/02/14 14:02:05
π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
194:１３２人目の素数さん
11/02/15 02:48:13
>>193
お見事でござる。それでは次を出さねば････
〔補題〕
31^(1/3) < 306^(1/5) < π
左側は
31^3 = 29791 < 29800,
31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗･相加平均)
ハｧハｧ
195:１３２人目の素数さん
11/02/16 21:56:14
このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ
ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。
受験生は受験板でやれや
どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
196:１３２人目の素数さん
11/02/16 21:57:24
>>191-194
巣に戻れやボケ！
197:１３２人目の素数さん
11/02/16 22:23:34
君こそ消えたまえ！
198:１３２人目の素数さん
11/02/16 23:09:57
sin(23^23)>1/2
199:１３２人目の素数さん
11/02/17 06:26:46
>>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！
しかも、他スレのコピペだし
200:１３２人目の素数さん
11/02/17 12:29:35
157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
201:１３２人目の素数さん
11/02/17 14:14:52
どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り
202:１３２人目の素数さん
11/02/17 14:33:46
このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
203:１３２人目の素数さん
11/02/18 13:53:48
>>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ
スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
204:１３２人目の素数さん
11/02/18 22:38:59
>>198 お願いします
205:１３２人目の素数さん
11/02/19 21:50:20.35
>>198 >>204
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
と言う他はない。
206:１３２人目の素数さん
11/02/20 00:42:17.01
>>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････
π^10 = 93555ζ(10)
= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
> 93555･(1 + 1/1024)
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + 91
= 93646
= 306^2,
207:206
11/02/20 03:54:59.36
>>194 (訂正)
π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
208:１３２人目の素数さん
11/02/20 04:19:51.61
>>192
y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
209:208
11/02/20 04:33:00.68
>>192
またまた訂正････
π < 355/1１3 ･･････ 密率
π < 22/7 ･･････ 約率
210:１３２人目の素数さん
11/02/20 07:58:37.53
222/77 < π < 22/7
211:１３２人目の素数さん
11/02/20 08:02:12.86
3555/1133 < π < 355/1１3
212:１３２人目の素数さん
11/02/20 11:38:15.55
〔問題649〕
a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
213:１３２人目の素数さん
11/02/20 23:44:56.31
>>195
正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
214:１３２人目の素数さん
11/02/26 05:15:12.79
今年の京大
1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
215:１３２人目の素数さん
11/02/27 07:19:26.19
>>214
左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:253番)
東大入試作問者スレ１９
216:１３２人目の素数さん
11/02/27 10:20:07.83
〔問題〕
0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
217:１３２人目の素数さん
11/02/28 03:57:23.98
今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
218:１３２人目の素数さん
11/02/28 06:32:54.58
>>217
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
219:１３２人目の素数さん
11/02/28 10:19:21.16
阪大のってこれか
URLﾘﾝｸ(nyushi.nikkei.co.jp)
220:Fランク受験生
11/03/03 00:49:07.67
内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。
(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
221:１３２人目の素数さん
11/03/03 23:48:54.04
>>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
222:１３２人目の素数さん
11/03/04 02:52:40.02
↑ 解いてから言え
223:１３２人目の素数さん
11/03/04 08:37:16.00
新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
224:１３２人目の素数さん
11/03/04 08:47:21.33
数人の自演ｽﾚだからなぁ
225:１３２人目の素数さん
11/03/04 09:37:23.59
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
226:１３２人目の素数さん
11/03/04 10:49:02.96
その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
227:１３２人目の素数さん
11/03/05 12:42:07.49
>>226
URLﾘﾝｸ(kotonoha.cc)
228:１３２人目の素数さん
11/03/07 21:32:08.20
もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
229:１３２人目の素数さん
11/03/07 21:46:33.46
ageんな
230:猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 13:50:17.70
猫
231:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:29:40.79
猫
232:１３２人目の素数さん
11/03/08 19:36:06.98
猫は小便垂れ流し
233:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:40:50.01
目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。
猫
234:１３２人目の素数さん
11/03/14 01:35:56.47
「不等式」大関清太
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
235:１３２人目の素数さん
11/03/17 15:37:44.25
a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
236:１３２人目の素数さん
11/03/19 01:36:36.10
>>235
(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
237:１３２人目の素数さん
11/03/22 06:15:56.83
今月は不等式が一杯載っている
Problem 365.
URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
238:１３２人目の素数さん
11/03/22 06:18:57.91
C950、M1862、C944など
URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
239:１３２人目の素数さん
11/03/25 23:48:58.94
>>237
Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
240:１３２人目の素数さん
11/03/26 01:40:10.75
>>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
241:１３２人目の素数さん
11/03/27 23:30:24.83
>>239-240
附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
242:１３２人目の素数さん
11/03/28 07:26:05.27
1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
243:１３２人目の素数さん
11/03/28 08:37:32.00
>>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
244:１３２人目の素数さん
11/03/28 09:52:08.74
>242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
245:243
11/03/28 10:52:27.44
では、引き継いで頑張ってみます
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
246:243
11/03/28 10:56:30.96
>>245
>>242の４行目から → >>244の下から２行目から
だけど、もはやどうでもいい…
247:１３２人目の素数さん
11/03/29 02:54:50.22
>>241
鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
248:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:07:21.35
>>238
M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
249:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:38:26.07
>>248
部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
250:１３２人目の素数さん
11/04/03 15:43:12.09
>>249
x - 1/2 という発想はどこから？
251:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:18:19.82
>>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
252:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:49:37.86
>>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
253:１３２人目の素数さん
11/04/04 01:51:35.18
>>239-240
しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
254:１３２人目の素数さん
11/04/04 03:44:39.82
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
なんかみつけたけん
255:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:24:10.34
>>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
256:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:37:51.12
>>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
257:１３２人目の素数さん
11/04/04 09:04:09.55
a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
258:１３２人目の素数さん
11/04/04 10:01:03.59
>>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
259:１３２人目の素数さん
11/04/05 01:02:06.67
>>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
260:239
11/04/05 01:47:07.55
>>259 >>244
お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
261:１３２人目の素数さん
11/04/05 02:01:12.29
>>242
が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
262: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:00:00.55
>>248
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
263: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:59:59.72
>>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
264:１３２人目の素数さん
11/04/09 09:02:08.28
a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ
前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
265:１３２人目の素数さん
11/04/09 13:52:52.11
バンチで
266:１３２人目の素数さん
11/04/10 09:44:59.54
【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
267:１３２人目の素数さん
11/04/10 18:56:36.30
>>264 >>107
>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:44-45番)
数検総合スレ４
URLﾘﾝｸ(www.suken.net) → 1級 検定問題(2次)
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
268:１３２人目の素数さん
11/04/12 10:48:14.35
a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
269:じゅー
11/04/12 21:29:19.35
>>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
270:訂正
11/04/12 21:34:07.11
523→522
60→59
に訂正です。
271:１３２人目の素数さん
11/04/13 21:45:47.80
>>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
272:１３２人目の素数さん
11/04/14 08:28:54.62
失敗かよ！
273: ◆BhMath2chk
11/04/14 18:00:00.06
ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
274:じゅー
11/04/14 21:33:49.09
正解!!
275:１３２人目の素数さん
11/04/14 21:55:29.13
？
276:２７１
11/04/14 22:28:05.71
>>273
すげー！
このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ
>>275
相加相乗
277:１３２人目の素数さん
11/04/14 23:26:13.93
>>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・
a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
278:277
11/04/14 23:31:35.12
符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
279:１３２人目の素数さん
11/04/15 12:42:51.39
p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
280:１３２人目の素数さん
11/04/16 00:58:02.78
p>0,x[i]≧0のとき
min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
281:１３２人目の素数さん
11/04/17 11:42:27.80
流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
282:１３２人目の素数さん
11/04/17 14:12:27.19
@273
a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
283:１３２人目の素数さん
11/04/17 20:03:58.97
>>269
F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
284:１３２人目の素数さん
11/04/18 12:55:14.00
(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
285:じゅー
11/04/18 15:27:18.36
すげぇ
286:１３２人目の素数さん
11/04/18 17:17:34.76
どうやって思いついたんだ??
287:１３２人目の素数さん
11/04/18 21:12:59.72
二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡}
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ エレガントな証明を見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
288:１３２人目の素数さん
11/04/19 01:17:01.91
>>286
p = a^2 -ab +bc,
q = b^2 -bc +ca,
r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
289:１３２人目の素数さん
11/04/19 03:02:58.17
>>288
> p = a^2 -ab +bc,
> q = b^2 -bc +ca,
> r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、
どうやって思いついたんだ??
290:286
11/04/19 06:56:22.13
確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
291:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:03:28.82
〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},
なら簡単だが･････
292:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:12:30.94
>>291 の訂正 ｽﾏｿ
４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
293:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:16:10.72
>>291-292
相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
294:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:20:00.49
思いつくんじゃないのならできる。
295:１３２人目の素数さん
11/04/20 01:31:20.75
>>289,290
それは, 秘密です. DX
296:１３２人目の素数さん
11/04/20 02:06:55.71
初代スレの頃には、ここで不等式を探してﾊｧﾊｧ…してたんだけど、移転したのかな？
Kalva homepage
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？
URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
297:１３２人目の素数さん
11/04/23 23:38:27.16
〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ 不等式 549, 574
298:１３２人目の素数さん
11/04/24 02:39:10.57
>>297
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
299:１３２人目の素数さん
11/04/25 20:25:11.82
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
300:１３２人目の素数さん
11/04/26 00:31:40.08
>>298 の訂正....
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
301:１３２人目の素数さん
11/04/26 12:45:59.84
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:542番)
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
302:１３２人目の素数さん
11/04/26 22:58:09.11
>>301 左側
∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
303:１３２人目の素数さん
11/04/27 02:34:23.79
>>299
PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
304:１３２人目の素数さん
11/04/27 09:45:05.17
>>302
正解です。
右側評価をお願いします。
305:１３２人目の素数さん
11/04/27 10:02:46.60
URLﾘﾝｸ(izu-mix.com)
306:１３２人目の素数さん
11/04/28 02:09:28.16
>>301 >>304
∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
307:１３２人目の素数さん
11/04/28 12:55:42.80
a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
308:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:44:03.42
はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^
309:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:51:01.39
a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
310:307
11/04/28 23:31:17.26
>>308
すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ？・・・ってどうやって？
311:１３２人目の素数さん
11/04/29 06:47:11.86
>>309
2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
312:１３２人目の素数さん
11/04/29 08:23:28.12
>>311
そんな変形、思いつきませぬ！
313:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:15:15.97
>>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
となったけど、
{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
と、どっちが大きいん？
314:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:51:49.21
>>309を改造
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
315:１３２人目の素数さん
11/04/29 11:14:28.55
a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46
のとき
6a-3b+9c-15d+24e
の最小値を求めよ
316:311
11/04/29 16:09:24.65
>>313
√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。
>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2,
かな？
317:１３２人目の素数さん
11/04/29 16:45:31.78
>>315
f = 2a -b +3c -15d -12e,
g = 2a -6b -c -5d +11e,
h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
= 129 + (30/23)h
≧ 129, (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
318:１３２人目の素数さん
11/04/29 18:43:56.56
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> ≧ (a+b+c)/2,
さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！ にくいぜっ！
319:１３２人目の素数さん
11/04/29 20:59:49.54
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
ここが分かりません…
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
ここはCSでシコシコするんですね
320:１３２人目の素数さん
11/04/29 21:13:18.80
コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
321:１３２人目の素数さん
11/04/29 22:06:13.23
>>317
f と g の係数をうまく変えて
6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
322:１３２人目の素数さん
11/04/30 01:34:37.87
R^3＼{(0,0,0)}上の関数
f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
323:１３２人目の素数さん
11/04/30 03:58:12.84
>>322
f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},
4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は 2x+z=y=0 のとき。
ついでに最小値は
f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は y=z=0 のとき。
324:１３２人目の素数さん
11/04/30 12:13:00.52
a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
325:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:33:26.86
>>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
やっぱ、これが分からんです
326:１３２人目の素数さん
11/05/01 12:59:13.28
>>324
2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),
(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
≧ (3/2) + (3/2) (← 相加･相乗平均)
= 3,
327:１３２人目の素数さん
11/05/01 14:41:38.31
>>320
相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。
醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
328:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:33:40.90
このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
329:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:59:56.98
ただの通りすがりの不等式ヲタです
330:１３２人目の素数さん
11/05/02 05:19:12.09
>>303
1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
|ｅ_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。
〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,
(略証)
ｅ_A = (cosα, sinα)
ｅ_B = (cosβ, sinβ)
ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
0 <γ-β<π,
π <γ-α<2π,
このとき
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
≦ 1, (終)
331:１３２人目の素数さん
11/05/02 10:21:35.49
a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
332:１３２人目の素数さん
11/05/02 21:54:16.57
>>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
333:１３２人目の素数さん
11/05/02 22:06:04.19
>>331
(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}
(右辺) - (左辺)
= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D (←通分)
= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)
= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)
= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)
= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)
≧ 0, (相加･相乗平均)
ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
334:１３２人目の素数さん
11/05/02 23:09:47.20
>>332
ない。
y/x=u で一変数に還元するのみ。
335:１３２人目の素数さん
11/05/03 06:01:51.43
>>328
少人数の自演者が、自分で問題出して自分で解いてるんだよ。
336:１３２人目の素数さん
11/05/03 07:30:14.11
数式の最後に ， があるかみたらいい
337:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:02:22.47
||Ax-b||^2の最小値に最も近い数値はどれか
A=
┌+4,+2,+6┐
│+1,+2,+5│
│+0,+1,+1│
└-3,+0,+3┘
b=
┌-3┐
│+1│
│+2│
└+3┘
１．0.102
２．0.103
３．0.104
４．0.105
５．0.106
338:１３２人目の素数さん
11/05/03 14:15:35.62
x^2+y^2+z^2=1のもとで
f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+4xy+4yz
の最大値を求めよ
log1.5に最も近い数値はどれか
１．0.38
２．0.4
３．0.42
４．0.44
５．0.46
-2a-b+c+d=2
-3a+b+c-d=1
a,b,c,d≧0
のもとで
-6a+2b+5c+3dの最小値を求めよ
339:◇Pandysv26
11/05/03 14:43:50.27
バカオツ（ーー；）
340:１３２人目の素数さん
11/05/03 17:35:34.36
>>337
５
Ax-b =
[4x+2y+6z+3]
[x+2y+5z-1]
[y+z-2]
[-3x+3z-3]
||Ax-b||^2 = (4x+2y+6z+3)^2 + (x+2y+5z-1)^2 + (y+z-2)^2 + (-3x+3z-3)^2
= 26x^2 + 9y^2 + 71z^2 + 20xy + 46yz + 40zx +40x +4y +4z + 23
= 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 134X^2 + 110Z^2 -100ZX} + (9/85)
= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 50(X-Z)^2 + 84X^2 + 60Z^2} + (9/85)
≧ 9/85
= 0.105882353,
ここに、X=x+(225/170), Y=y-(363/170), Z=z+(59/170) とおいた。
（平行移動した。）
〔別法〕
F(X,Y,Z) = 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX
とおく。Fの固有多項式は
f(λ) = (26-λ)(9-λ)(71-λ) + 2(10*20*23) -23*23(26-λ) -20*20(9-λ) -10*10(71-λ)
= -λ^3 +106λ^2 -1690λ+1360
∴ λ≦0 ならば f(λ) ≧ 1360
ところで、実対称行列の固有値はすべて実数(*)。
∴ λ > 0
∴ Fは正定値、 F(X,Y,Z) ≧ 0 (等号成立は X=Y=Z=0 のみ)
*) エルミート行列の場合も成立つ。
341:１３２人目の素数さん
11/05/03 18:26:59.88
>>338 (上)
最大値
5(x^2+y^2+z^2) - f(x,y,z) = 4x^2 +2y^2 +4z^2 -4xy -4yz
= (2x-y)^2 + (y-2z)^2 ≧ 0,
最小値
f(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 +4y^2 +2z^2 +4xy +4yz
= (x+2y+z)^2 + (x-z)^2 ≧ 0,
〔別解〕
軸を回して
u = (x-y+z)/√3,
v = (x-z)/√2,
w = (x+2y+z)/√6,
とおく。
u^2 +v^2 +w^2 = x^2 +y^2 +z^2,
で
f(x,y,z) = (-1)u^2 +1v^2 +5w^2,
342:１３２人目の素数さん
11/05/03 22:19:53.71
>>338 (中)
２
〔解1〕
(3/2)^2 = 2*(9/8) = 2*(1 + 1/8),
2log(3/2) = log(2) + log(9/8) ≦ log(2) + 1/8,
= 0.69314718 + 0.125
= 0.81814718
log(3/2) ≦ 0.40907359
〔解2〕
(3/2)^5 = (2^3)(243/256) = (2^3)(1 - 13/256)
5log(3/2) = 3*log(2) + log(243/256)
≦ 3*log(2) - 13/256
= 3*0.69314718 - 0.05078125
= 2.02866029
log(3/2) ≦ 0.40573206
〔解3〕
(3/2)^12 = (2^7)(531441/524288) = (2^7){1 + 7153/(2^19)},
12log(3/2) = 7log(2) + log(531441/524288)
≦ 7log(2) + 7153/(2^19)
= 7*0.69314718 + 0.013643265
= 4.86567353
log(3/2) ≦ 0.40547279
なお、log(3/2) = 0.405465108
343:１３２人目の素数さん
11/05/04 01:24:52.76
>>299 >>303
PA + PB + PC = f(P) とおく。
〔系〕
P,Qが△ABCの内部にあるとき
|f(P)-f(Q)|/PQ ≦ 1,
344:１３２人目の素数さん
11/05/04 03:14:00.34
この場合log2の値出すの反則じゃない？
345: 忍法帖【Lv=9,xxxP】
11/05/04 10:14:23.79
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
346:１３２人目の素数さん
11/05/04 11:11:36.85
>>338 (中)
>>344
e = 2.71828183 は使っていい？
3^(1/3) ≦ e^(1/e),
の対数をとって
log(3) ≦ 3/e = 1.10363832 (1.09861229)
〔解1〕
(3/2)^3 = 3*(9/8) = 3*{1 + 1/(2^3)},
3log(3/2) = log(3) + log(9/8) ≦ 3/e + 1/(2^3),
log(3/2) ≦ 1/e + 1/(3*2^3) = 0.4095461
〔解2〕
(3/2)^8 = (3^3)(243/256) = (3^3){1 - 13/(2^8)},
8log(3/2) = 3log(3) + log(243/256) ≦ 9/e - 13/(2^8),
log(3/2) ≦ (9/8e) - 13/(8*2^8) = 0.4075167
〔解3〕
(3/2)^19 = (3^7)(531441/524288) = (3^7){1 + 7153/(2^19)},
19log(3/2) = 7log(3) + log(531441/524288) ≦ 21/e + 7153/(2^19)
log(3/2) ≦ (21/19e) + 7153/(19*2^19) = 0.40732166
347:１３２人目の素数さん
11/05/04 15:06:56.84
>>346
log(3) = 1 + log(3/e) ≦ 1 + (3/e -1) = 3/e,
348:１３２人目の素数さん
11/05/06 16:43:56.28
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
A,B,C,Dのどの三点をとっても同一直線上になく
線分ACとBDが一点で交わるとき
PA+PB+PC+PDが最小となる点Pの位置を決定せよ
349:１３２人目の素数さん
11/05/06 21:59:52.30
>>348
>>299 の類題でござるな。
線分ACとBDが交わるから、ABCD は凸四角形。
PA + PC ≧ AC,
PB + PD ≧ BD より、
PA + PB + PC + PD ≧ AC + BD,
より 対角線の交点。
一方、Dが△ABCの内部（または辺上）にあるときは
>>299-303 により D.
350:１３２人目の素数さん
11/05/06 22:07:51.60
〔問題593〕
a,b,c≧ 0 とする。相加・相乗平均を用いて次式を示せ。
{(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3,
等号成立は a=b=c のとき。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
ｷｬｽﾌｨｰ - 高校数学 - 不等式スレ
351:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:06:06.34
>>350
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
352:１３２人目の素数さん
11/05/06 23:55:39.25
A(x,y)は非負整数から非負整数への二変数関数であり
A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))
を満たす
A(x+1,y)>A(x,y)を示せ
353:猫は重症のかまってちゃん ◆ghclfYsc82
11/05/07 06:33:28.42
ゐとかゑってどうやって入力するの？
354:１３２人目の素数さん
11/05/07 15:18:57.49
〔350の類題〕
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3),
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
355:１３２人目の素数さん
11/05/07 16:19:36.97
>>354
左から２つめ
ab+bc+ca =t とおく。
(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2 = (1/8){(a+b+c)t-abc}
= (1/9)(a+b+c)t + (1/72){(a+b+c)t-9abc}
≧ (1/9)t(a+b+c)
= (1/9)t√(a^2 +b^2 +c^2 +2t)
≧ (1/9)t√(3t)
= (t/3)^(3/2),
３つめは
(1/3)(ab+bc+ca) = (1/9){(ab+bc+ca) +a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}
≧ (1/9){(ab+bc+ca) +2a√bc +2b√(ca) +2c√(ab)}
= (1/9){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^2,
ぬるぽ
356:１３２人目の素数さん
11/05/07 19:16:23.92
>>354
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
357:１３２人目の素数さん
11/05/08 21:07:45.02
a,b,cをa+b+c=0を満たす実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
358:１３２人目の素数さん
11/05/09 02:53:53.07
>>325
対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
359:１３２人目の素数さん
11/05/09 04:48:30.04
>>358
ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
360:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん
11/05/09 23:56:19.96
>>360
{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3) (r=3)
≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3 (r～5/2)
≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3} RMS(r=2)
≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)} (r～3/2)
≧ (a+b+c)/3 相加平均(r=1)
≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) (r～3/4)
≧ √{(ab+bc+ca)/3} (r～1/2)
≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 (r～1/4)
≧ (abc)^(1/3) 相乗平均(r→0)
≧ 3abc/(ab+bc+ca), 調和平均(r=-1)
〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) ～ (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
362:１３２人目の素数さん
11/05/10 02:46:58.18
ひどい自演見た
363:１３２人目の素数さん
11/05/10 06:41:22.70
>>362
2ch初心者は黙ってろ！
364:１３２人目の素数さん
11/05/10 11:08:11.69
>>354
a,b,c≧0 のとき
(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)
By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)
By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)
by Newton's Inequality.
By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
365:１３２人目の素数さん
11/05/11 16:25:20.69
360:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360
この間約３分
366:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:56:28.85
>>365
別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
367:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:57:33.38
>>365
それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
368:１３２人目の素数さん
11/05/11 23:59:32.17
うるせえ
369:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:03:06.74
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>368
370:１３２人目の素数さん
11/05/12 00:05:48.10
くせえ
371:１３２人目の素数さん
11/05/12 02:19:08.02
3分でsageでついたレスをチェックして計算を書き上げるのかー
さすがに苦しいだろｗ
372:１３２人目の素数さん
11/05/12 07:00:03.07
俺も自演しながら荒らしてます！
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
373:必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/12 17:02:29.89
>>372
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
374:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:31:11.56
Challenge!
a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
375:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:34:04.62
問題, 打ち間違えました。正しくは, こちらです。
a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,
frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0
が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
376:１３２人目の素数さん
11/05/14 13:36:23.44
何で最後のcだけ全角
377:１３２人目の素数さん
11/05/14 23:15:41.41
えっ, どの部分ですか？
378:１３２人目の素数さん
11/05/15 01:13:00.72
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
379:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:13:34.94
ここの不等式のレベルは, タイトルの割には, レベル, 低すぎ。
海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
380:１３２人目の素数さん
11/05/15 06:32:31.69
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
381:１３２人目の素数さん
11/05/15 08:08:29.47
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>379
382:偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6
11/05/15 08:41:56.70
>>378
偽物注意！！！！！
頑張れよ！偽物キチガイ！
パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！
>>380
パクリ乙！！！！！
さすがキチガイ！！！！！
悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
383:１３２人目の素数さん
11/05/21 21:32:59.16
〔問題〕
a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)
(1) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。
(2) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
384:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:36:53.45
猫
385:猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY
11/05/21 21:48:52.94
猫
386:猫は海賊 ◆4c5pft6zx.
11/05/21 21:59:32.00
猫
387:１３２人目の素数さん
11/05/24 21:43:11.36
>>383
(3) (a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
を 3つの対称式の平方和で表わせ。
388:１３２人目の素数さん
11/05/25 01:33:08.93
>>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 … Lagrangeの恒等式
を繰り返し用いると、
(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2
失敗でござるよ、 ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
389:１３２人目の素数さん
11/05/25 02:20:45.94
>>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
390:１３２人目の素数さん
11/05/28 10:38:16.63
>>389
p=q=r=√2 を入れて
{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
391:１３２人目の素数さん
11/06/10 17:58:19.78
2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
392:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:45:14.10
-1と1
393:１３２人目の素数さん
11/06/10 20:49:20.27
>>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1
宿題は質問スレに逝け！
394:１３２人目の素数さん
11/06/11 02:05:20.80
>>391
x-1 = X とおくと、
y = 2X/(1+X^2),
1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
395:１３２人目の素数さん
11/06/11 04:24:49.92
ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
396:１３２人目の素数さん
11/06/11 05:50:22.01
a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)
( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
397:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:09:15.01
>>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
398:１３２人目の素数さん
11/06/12 19:50:00.19
a=b=c=d=e=f.
399:１３２人目の素数さん
11/06/15 02:11:04.50
>>397
〔補題〕
a1 + a2 = A,
b1 + b2 = B,
とおくと
a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
400:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:51:38.00
〔補題〕
a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
Σ[j=1,m] a_ij = A_i, とおくとき
Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
401:１３２人目の素数さん
11/06/19 05:54:25.60
>>400
(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,
(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.
URLﾘﾝｸ(www.artofproblemsolving.com)
402:１３２人目の素数さん
11/06/19 06:11:46.69
>>400 と同じだが････
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m, (i=1,2,････,n)
H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij), (j=1,2,････,m)
とおくと、
(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
403:１３２人目の素数さん
11/06/19 07:48:50.29
>>402 念のため...
(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
404:１３２人目の素数さん
11/06/29 17:33:48.88
問A-2
URLﾘﾝｸ(www.math.kindai.ac.jp)
405:１３２人目の素数さん
11/07/01 12:35:17.26
>>350
abc = u とおく。
(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
= (1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
= (1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
= (右辺)^3
※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…
ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？
差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
406:１３２人目の素数さん
11/07/01 22:16:20.04
>>404
[問題A-2]
n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,
(略証)
√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
= (右辺)^2,
407:１３２人目の素数さん
11/07/01 23:13:10.37
>>405
s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
408:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:26:12.66
>>402-403 の続き
〔補題〕
x_ij > 0 のとき
A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n, (i=1,2,････,m)
G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m), (j=1,2,････,n)
H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij), (i=1,2,････,m)
とおくと、
(1) (A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2) (H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
409:１３２人目の素数さん
11/07/04 20:33:17.08
>>408
ヘルダーの不等式。
たとえば、まとめWiki を参照 >>1
(1) p_i → m, |a_ij|^m → x_ij, b_i = n･A_i, とおく。
(2) p_i → m, |a_ij|^m → 1/xij, b_i = n/H_i, とおいて、逆数をとる。
410:１３２人目の素数さん
11/07/14 04:04:48.39
外出だったらｽﾏｿ.
〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
411:１３２人目の素数さん
11/07/14 11:52:16.90
>>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
412:１３２人目の素数さん
11/07/15 21:09:37.12
これ前にもやったっけ？
〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
413:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:40:25.36
>>412
[初代スレ.455-456]
(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より -(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて 示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
414:１３２人目の素数さん
11/07/16 03:42:23.82
>>298
[初代スレ.465]
415:１３２人目の素数さん
11/07/16 06:55:35.88
>>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に
[10] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)
証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
416:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:00:21.68
●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
417:１３２人目の素数さん
11/07/16 07:10:48.41
〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2
左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
418:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:00:01.26
（１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
419:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:03:45.05
>>418
なん…だと！
420:１３２人目の素数さん
11/07/16 15:22:13.62
>>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
421:１３２人目の素数さん
11/07/17 02:08:41.04
>>420
cos(α+β+γ) = ････
sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
= (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
= (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
422:１３２人目の素数さん
11/07/17 08:05:05.56
a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
423:１３２人目の素数さん
11/07/17 09:15:12.50
>>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
424:１３２人目の素数さん
11/07/17 15:20:11.27
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
425:１３２人目の素数さん
11/07/17 17:50:11.85
定石ですよ、定石！
426:１３２人目の素数さん
11/07/17 18:07:58.81
ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
427:１３２人目の素数さん
11/07/17 21:16:34.07
>>412 (別法)
P1 = (a+b+c+d)/4,
P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
P4 = abcd,
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,
(略証)
P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
P1･P3 - P4 ≧ 0, (相加･相乗平均)
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
428:１３２人目の素数さん
11/07/17 22:06:41.54
>>427
n変数のときも同様に、
P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,
(略証)
P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,
〔系〕 P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
429:１３２人目の素数さん
11/07/18 00:06:54.77
>>425
その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
430:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:21:39.49
>>424 >>429
生姜ねぇ....
a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,
右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
γ = 2a-b,
431:１３２人目の素数さん
11/07/18 01:26:59.25
うーん、ぬぬぬ…
432:１３２人目の素数さん
11/07/18 02:19:45.59
>>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
433:１３２人目の素数さん
11/07/18 04:27:35.04
>>431
う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。
等号成立条件 (a+b)/2 = γ ⇔ a=b にも注意。
434:１３２人目の素数さん
11/07/18 11:59:43.81
1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2
2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa
3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2
4. Jensen
435:１３２人目の素数さん
11/07/18 14:17:03.31
ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
436:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:11:08.55
AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
437:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:17:17.77
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
438:１３２人目の素数さん
11/07/18 15:18:42.48
Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
439:１３２人目の素数さん
11/07/18 19:05:38.49
>>410
1/(1-x) ≧ 1+x より
1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
= 1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2 (←題意)
= 1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。
(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
= 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
≧ 2,
440:１３２人目の素数さん
11/07/18 22:26:06.82
〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
441:１３２人目の素数さん
11/07/19 00:21:55.69
∩＿＿＿∩三 ー＿ ∩＿＿＿∩
|ノ 三-二 ー二三 ノ ヽ
/ (ﾟ) (ﾟ)三二- ￣ - 三 (ﾟ) (ﾟ) |
| ( _●_) ミ三二 - ー二三 ( _●_) ミ テンション上がってきた！！
彡､ |∪| ､｀￣￣三- 三 彡､ |∪| ミ テンション上がってきた！！
/ ＿＿ ヽノ Y￣) 三 三 (/' ヽノ＿ |
(＿＿＿） ∩＿＿＿∩_ノ ヽ/ (＿＿＿）
442:１３２人目の素数さん
11/07/19 06:33:56.04
>>438
まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。 コーシーより
3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
0≦a≦3,
b,c,d についても同様。
次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,
x=a,b,c,d について和をとると
2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}
くそ～、テンション上がっちまった...
443:１３２人目の素数さん
11/07/19 09:27:04.02
Nice Solution!
444:１３２人目の素数さん
11/07/19 12:25:03.59
>>442
> 次に 0≦x≦3 で 2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
神！ この不等式をどうやって思いつくのか謎！
445:１３２人目の素数さん
11/07/19 13:20:00.38
(0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.
f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.
f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
446:１３２人目の素数さん
11/07/20 10:14:37.63
このスレ恐ろしすぎる
447:１３２人目の素数さん
11/07/20 17:21:02.92
不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコン だからですか？
448:１３２人目の素数さん
11/07/20 18:25:13.74
〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1