10/09/11 21:15:29
大きな実数を探索するスレッドです。
2:１３２人目の素数さん
10/09/17 14:38:19
君の思いつく数に１をたすスレッドを創設する
3:１３２人目の素数さん
10/09/18 12:02:54
簡単すぎwwwwwwww
10…(0が10兆個)…00^10…(0が10兆個)…00
ハンパなくでけえwwww
4:１３２人目の素数さん
10/09/21 08:11:12
糞スレ終了
5:１３２人目の素数さん
10/09/21 21:13:13
意味のある数ならグーゴル数でFA
6:１３２人目の素数さん
10/09/23 02:54:28
age
7:１３２人目の素数さん
10/09/23 05:06:44
>>3
3↑↑6よりちいせえ
8:１３２人目の素数さん
10/09/23 09:42:08
アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
と言いたいが、前スレ張ってないなあ
ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが
9:１３２人目の素数さん
10/09/23 15:45:40
>>8
> アホなこと言ってるやつは前スレ読めよ
> と言いたいが、前スレ張ってないなあ
> ふぃっしゅ数とか面白い話もあったんだが
同意
前スレはちゃんとしたrecursion theory的な巨大数に関する内容だったからね
早く古いスレをHDから復旧してくれないかなあ
つうことで前スレ張っておく
前スレ 巨大数探索スレッド8
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
10:１３２人目の素数さん
10/09/30 10:37:14
sage
11:１３２人目の素数さん
10/09/30 19:48:21
前スレみれねえよ。
↑記号より効率よく巨大化してしかもシンプルな定義が与えられている記号ある？
12:１３２人目の素数さん
10/09/30 21:44:55
既に名前がついていてそれなりに知られてる記号だと、
クヌースの矢印表記 (↑)
ハイパー演算子 (① ② ③ ....)
コンウェイのチェーン表記 (→)
くらいじゃないか？
この中だとチェーンが一番大きい数が作れるが、
クヌースの矢印表記よりは多少定義は複雑。
以下に示す多変数アッカーマン関数は
コンウェイのチェーンと同じくらいの複雑さの定義で
チェーンよりずっと大きな数が作れる。
-----------------
□ : 0個以上の0をカンマ区切りで並べた記述
Ｘ : 0個以上の0以上の整数をカンマ区切りで並べた記述
a, b : 0以上の整数
Ak(□, a) = a+1
Ak(Ｘ, b+1, 0) = Ak(Ｘ, b, 1)
Ak(Ｘ, b+1, a+1) = Ak( Ｘ, b, Ak(Ｘ, b+1, a) )
Ak(Ｘ, b+1, 0, □, a ) = Ak(Ｘ, b, a, □, a)
13:１３２人目の素数さん
10/10/01 23:45:57
>>12
正直そこくらいまでしか具体的によくわからん
14:１３２人目の素数さん
10/10/02 08:33:19
巨大数研究室の現行スレはいつまで７のままなの
15:１３２人目の素数さん
10/10/07 09:07:45
sage
16:１３２人目の素数さん
10/10/12 00:39:39
sage
17:１３２人目の素数さん
10/10/19 08:47:03
lim[x→0]{1/x}
18:１３２人目の素数さん
10/10/19 21:41:11
> 大きな実数を探索するスレッドです。
19:１３２人目の素数さん
10/10/19 22:08:06
intで括ればいいの？
20:１３２人目の素数さん
10/10/22 23:52:51
sage
21:１３２人目の素数さん
10/10/24 22:59:42
大きな実数を数値計算に応用する
22:１３２人目の素数さん
10/10/27 00:34:37
猫に小判、まで読んだ。
23:１３２人目の素数さん
10/10/28 06:11:58
猫に巨判、まで読んだ。
24:１３２人目の素数さん
10/10/31 17:04:36
過去スレは結構ドラマティックで 2ch の中ではかなり優良スレだと思うんだが。
魅力が伝わってなさそうなのでリンク。
過去ログ
part１～７: URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
part８：URLﾘﾝｸ(desktop2ch.net)
まとめサイト「巨大数研究室」
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ふぃっしゅ氏著「巨大数論」
URLﾘﾝｸ(gyafun.jp)
Large numbers - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
あと、Robert Munafo 氏 (Part 3 あたりでふぃっしゅ氏がメール送ってた人）のサイトが
移転して見つからなかったけど探したら出てきたのでリンク
URLﾘﾝｸ(mrob.com)
25:１３２人目の素数さん
10/11/01 19:14:09
猫が寝転んだ。
26:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:15:42
エメラルド・ポテト数というものを考える
エメラルド・ポテト数は、グラハム数が、今までに数学史において証明に使われた最大の数であるならば、
逆に、今後何年かかろうが数学史において証明に使われることが絶対にないであろう最小の数をそう定義する。
数学史は人類の歴史と同じぐらい長く続くだろうが、
宇宙に寿命があるように、いずれ人類の歴史も終わりを迎える。
宇宙の法則を打ち破るほどの科学技術だかなんだか分からんものを
作れないかぎり、50億年後だか150億年後だか分からないが、いずれ終わりはくる。
それまでの数よりも大きな数を定義する方法として、人は足し算の次の掛け算という表現法を編み出した。
そしてべき乗を編み出し、その延長線上にあるのかどうかわからないが、グラハム数というものも編み出した。
しかし、人の思考はどんなものでも時間をかけて行われるものであり、
仮に宇宙最短の時間間隔でこれを為したとしても、大きな数を定義することを無限に行うことはできない。
つまり、どんな編み出しにも少しの時間はかかるということである。
科学技術は偉大であり、人は思考することなくコンピューターを用いて編み出しを行わせることにも成功しただろう。
しかし、コンピューターの制作にも当然時間はかかる。つまり、いかなる大きな数の編み出しにも相応の時間がかかるのである。
27:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:23:59
>>26
エメラルド・ポテト数の逆数は、グラハム数より大きいの？
28:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:33:32
そもそも実数を指示しなければならないんだから、操作回数は文字数で限られるに決っている。
一番効率が良い指数はなにかって話だよな。
29:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:38:48
たとえばここで、誰かがグラハム数：G_64(3) よりも大きな数を編み出したとしよう。
この数はどのような数か分からないが、グラハム数を用いて
最短時間によって編み出したものだとする。これをグラハム数の”子供”と定義し、
編み出した手法を”継承”と呼ぶ。一方、グラハム数を用いないでグラハム数よりも大きな数を編み出したとする。
この数と、先に述べたグラハム数の"子供"との大小を比較し、より大きい方(等しい場合も含める)を、"第一世代数"と呼ぶ
ここでは、最短でも3つの手順が行われている。
"継承"による編み出し、それ以外の編み出し、比較による"第一世代数"の3手順である。
このうち、2つの編み出しは同時に行えるので、最短時間でまとめて行える。
しかし、比較して"第一世代数"を決定するのは編み出しが終わった後でなければ行えない
から、どうしてももう一度最短時間がかかる。この2回の最短時間による"第一世代数"を、先のグラハム数に置き換え、
同様の手順を実行して"第二世代数"を編み出す。つまり、最短時間が4回かかっている。最短時間をtとすれば、4tの時間が経過しているわけである。
同様に第三世代数・・・・第n世代数を編み出すことが可能である。第n世代数を編み出すには
2のn乗倍tの時間がかかる。 2のn乗倍t をこの先人類の歴史において数学史にかけられる時間とした場合の、nの値を決定し、
最後に編み出すことのできるものを最終世代数と呼び、最終世代数+1を、エメラルド・ポテト数と呼ぶ。
(別に+1でなくてもいいのではないかとも考えられるが、1を足す以外に、より大きな数を生み出すのに
もっとも短時間で済む手続きは存在しない。最小の自然数1を加えるのがもっとも最速だと判断した。)
30:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:42:36
言葉が足らなかった。
エメラルド・ポテト数は、
それは数学史上で使われることがあるであろう
最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。
最大の巨大数の上限+1がエメラルド・ポテト数
別に +1でなくてもいいが、理由は上で述べた。
つまり、数学史がどうしても辿りつけないであろう、謎のベールの最初の数。
あと一瞬、あと一瞬でも数学史が続いていれば知り得た数。
31:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:45:42
ビジービーバーじゃないの？
32:１３２人目の素数さん
10/11/06 20:52:46
アキレスとカメが居る。
アキレスはカメの位置まで走るのを繰り返し、追い抜いたとする。
この繰り返しの回数をアキレス数と定義する。
33:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:02:39
>>31
長文でややこしくなってるけど、
例えばビジービーバーのBB(10)とか概数すら分かってないし、
急速な増大をすればいいってことじゃないって問題提起なんじゃない？
f(x)ではなく、f(x)/TIME[f(x)]を評価しようってことじゃ？
※TIME[f(x)]は、f(x)の時間計算量とでもしよう。
34:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:05:47
>>33
>>32みたいなのは？
35:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:10:10
そもそも止まらないアルゴリズムだっていうのは置いておいて、
アキレス数の計算中は、繰り返し回数との比は1じゃね？
36:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:13:17
>>35
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだよ。
37:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:45:04
最小時間が存在すれば、アキレス数は計算できるってことでいい？
38:１３２人目の素数さん
10/11/06 21:59:16
そういえば量子論的には空間距離には解像度があるって聞いたけど、
だとしたらそのアキレス数は有限の値を取るのかな。
39:１３２人目の素数さん
10/11/06 22:05:21
>>30
> エメラルド・ポテト数は、
> それは数学史上で使われることがあるであろう
> 最大の巨大数が取り得る数よりも大きな最小の数という意味。
エメラルド・ポテト数が数学史上で使われたら矛盾するじゃねえか。
40:１３２人目の素数さん
10/11/06 22:14:35
巨大基数と巨大数ではどっちが大きいの？
41:１３２人目の素数さん
10/11/07 00:42:55
比較すな
42:１３２人目の素数さん
10/11/07 14:05:28
>>29の 2のn乗倍tの時間がかかるというのは誤りで、
実際は2n倍tの時間がかかる。
現時点ではエメラルド・ポテト数は確定していない。
数学史がいずれ終わることは、宇宙時間が無限でなければ間違いない
ことだから、エメラルド・ポテト数が存在すること自体は明らかだが、
存在することが明らかであることと、その数が確定的に分かっていることは違う。
最小時間を、およそ5.39×10^(-44)秒であるプランク時間Tpだと仮定すると、
宇宙の寿命を、たとえば10^(100)年後(1googo年後) だとすると、
この寿命のときまで何らかの理知的な手法により数学的編み出しが可能だと考え、
1年＝31 556 926秒≒3.2×10^7秒と考えれば、
3.2×10^107秒程度の時間が、数学史に残されている時間だと考えられるから、
(3.2×10^107) ÷ (5.39×10^(-44)) ≒6 ×10^150 回の編み出しが可能である。
第n-1世代数から第n世代数を編み出すには2回編み出しが必要だから、
実際にはおよそ第 310^150 世代数 が、数学史において最終最大の数ということになる。
したがって、(第3×10^150世代数)+1が、エメラルド・ポテト数ということになるが、
この数が確定するためには、第3×10^150世代数が確定しなければならない。
しかし、第3×10^150世代数の確定は、数学史の終わりの時に実現するから、
エメラルド・ポテト数は永遠に分からないままである。
43:１３２人目の素数さん
10/11/07 14:20:41
エメラルド・ポテト数 ： およそ 第3×10^150世代数+1
宇宙の寿命（厳密には数学史の寿命)が伸びれば、もっと大きい可能性はある。
ここでは10^100年後を宇宙の終焉(数学史の終焉)と仮定している。
宇宙の終わりが約50億年後であれば、 第1.5×10^60世代数+1になる。
宇宙の終わりが1年後であれば、第3×10^50世代数+1
宇宙の終わりが1秒後であれば、第10^43世代数+1
宇宙の終わりが(プランク時間(秒)Tpの10倍)秒後であれば、第5世代数+1
44:１３２人目の素数さん
10/11/07 20:36:02
アキレスがカメを追い抜くのは確実だけど、そもそも宇宙って発散するか収束するか決まった訳？
45:１３２人目の素数さん
10/11/08 00:46:37
>>42
「エメラルド・ポテト数」は既に掲示板の数学板で語られている。
これは「エメラルド・ポテト数」の定義と矛盾する。
よって「エメラルド・ポテト数」を定義することは出来ない。
「数学史上で使われることがあるであろう巨大数」をもっと数学的に記述しないと、
「このスレで一番大きな数 +1」と同レベルの記述。
46:１３２人目の素数さん
10/11/23 00:10:41
sage
47:１３２人目の素数さん
10/11/23 00:13:49
で、巨大数は増加しているの？
48:１３２人目の素数さん
10/11/23 07:27:38
ここ3年くらいまったく。
49:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:12:46
※初めてこのスレを覗いた人へ
以下の内容は、過去スレを読んでいることを前提としています。興味のある人は過去スレを読んで下さい。
計算可能な範囲では、おそらくこれまでのスレで最も巨大な数(を作り出せる関数)を定義しています。
8スレ目6レス目(以下、8-6のように表記)の関数の元となる、順序数としてのψの定義を見返してみると、問題がありました。
ψの定義は7-202を8-11で修正したもの
ψ_α(β)は、0に対して加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても
作ることのできない、濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数である。
ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
また、ψの添字としては上の条件を満たさない順序数を用いてもよいが、
そのようにして作った順序数をψの引数として用いてはいけない。
これだと、例えばψ_1(1)=ψ_1(0)+ψ_0(1)になってしまいます。
7-202や8-11を書いた頃とは英語版Wikipediaの記述が変わっているので、
今の英語版Wikipediaの記述に沿ってψを定義しなおすと、
ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して
加法、Veblen関数、ψを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
ただし、ψの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
のようになります。ただ、この定義に従うと、
ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_1(0))は成り立ちますが、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_1(ψ_1(0))は成り立ちません。
というのも、ψ_1(ψ_1(0))を考えるときにω_1=ψ_1(0)より小さい順序数を用いることができるので、
ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))＜ψ_1(ψ_1(0))となるからです。
古い定義では、ψ_1(ψ_1(0))=lim{ψ_1(0), ψ_1(ψ_0(0)), ψ_1(ψ_0(ψ_0(0))), …}
となっていたのが、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))に収束列は存在せず、
ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))=lim{0, ψ_0(ψ_1(0)), ψ_0(ψ_1(ψ_0(ψ_1(0)))), …}
のようになります。
50:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:13:56
新しい定義のψに比べると、古い定義のψの値はずっと小さくなると思われます。
というのも、新しい定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+Ω)となる所が
古い定義だとψ_1(ψ_1(0))=Γ_(Ω+ψ_0(Ω))というようになってしまい、
巨大な非可算順序数がうまく作れないからです。
8-696で、8-6のψ_0(Ψ)と同じ大きさの順序数をより簡潔に定義したという人がいましたが、
古い定義でVeblen関数を除いた8-696は、8-6より小さい可能性もあります。
もしかしたら、新しい定義に基づいた英語版Wikipediaのψ_0(ε_{Ω_ω+1})の方が
古い定義に基づいた8-6のψ_0(Ψ)より大きいかもしれません。
新しい定義ではψの定義からVeblen関数を除いても、ψ_0(Ψ)の大きさはおそらく変わらないと思われます。
新しい定義をきちんと書くためには収束列以外にも色々と書くべきことがあり、
それらを書くと非常に長くなるので、txtファイルにまとめてアップロードしました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
txtファイルの中身の説明
■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
Veblen関数を用いたせいでやたらと複雑になっているので、読む必要はないと思います。
細かい所まであまりチェックしていないので、間違いがあるかもしれません。
■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
巨大数を計算するプログラムを書くために必要な情報はすべて書いてあります。
■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
Ordinal collapsing functionをもう一種類定義することで、より巨大な帰納的順序数を定義しています。
■三変数ψの定義
上のψ、Ωをψ_α(β)=ψ(0,α,β)、Ω_α(β)=ψ(1,α,β)として、三変数のψに拡張したもので、
上よりさらに巨大な帰納的順序数を定義しています。
間違いはできる限り見つけて直しましたが、それでも間違いはあるかもしれません。
51:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:14:43
以下、txtファイルの中身の補足
新しい定義と古い定義では、ψ_α(0)を入れ子にして置き換える方法が変わります。
古い定義では、ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))の形の順序数が出てきたら必ず
ψ_α(f(ψ_β(f(ψ_β(…)))))のように置き換えていたので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))は常に収束列の存在する極限順序数となります。
これは、ψ_β(f(ψ_{β+1}(0))以上でψ_{β+1}(0)より小さい数を用いることができないからです。
しかし新しい定義では、もしα≧β+1なら、ψ_α(0)未満の数が自由に使えるので、
ψ_α(f(ψ_{β+1}(0)))自体は収束列の存在しない極限順序数となります。
そして、ψ_β(ψ_α(f(ψ_{β+1}(0))))のようになったときに、
ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(ψ_α(f(ψ_β(…)))))))と入れ子にすることになります。
結局、入れ子にするかどうかは、ψの添字の大小関係で決まることになります。
新しい定義では順序数の大小関係を考える必要があるので、
順序数の大小関係を判断する方法もきちんと書く必要があります。
そうすると、異なる表記が同じ順序数を表しているかも判断する必要があるので、
「正則な表記」というものを表記可能な各順序数に対して一つ定めるのが便利です。
正則な表記はできる限り簡潔な表記を選び、
和は大小関係の規則を単純にするためα+(β+(γ+δ))のように右結合で考えます。
ψの引数はψ_α(β)＜ψ_α(β+1)となるようなものを選んでいます。
もし、ψ_α(β+1)を考えるときにβを作ることができないと、ψ_α(β)=ψ_α(β+1)となってしまいます。
以前の定義では同じ順序数でも表記が異なると収束列の定義が異なったので、
順序数の関数としてきちんと定義されたものではありませんでしたが、
新しい定義では正則な表記が一つ定まるので順序数の関数としてもきちんと定義されます。
52:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:15:51
txtファイルの定義は、
1.正則な表記の定義
2.正則な表記への書き換え
3.大小関係の定義
4.収束列の定義
の順で書いてあります。
収束列の定義に単純に従うと、正則でない表記が出てきてしまうので、
正則な表記への書き換え規則も書く必要があります。
ψの引数がψ_α(β)=ψ_α(β+1)のようになってしまう表記が出てくる例としては、
ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))があります。
{ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(φ_0(ψ_1(0)+1)))}_0=ψ_0(φ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))
となりますが、ψ_0(ψ_0(ψ_1(0)))=ψ_0(ψ_0(ψ_1(0))+1)=ψ_0(ψ_1(0))となります。
定義を変えて、収束列の存在しない極限順序数もきちんと大量に作れるようになったので、
定義がややこしくなるだけのVeblen関数は除いて考えることにします。
さらに巨大な順序数を作るにはどうすればいいかということを考えて、
ψと同じ考え方で新たな基数を次々と作り出せる関数Ωを定義しました。
ω_0, ω_1, ω_2…を使ってψを定義したのと同様に、
ω2_0, ω2_1, ω2_2…という順序数を考えてΩを定義することにします。
ω2_αは以下のような性質を持っているとします。
ω_0＜ω_1＜ω_2＜…＜ω2_0=ω_{ω2_0}＜ω_{ω2_0+1}＜…＜ω2_1=ω_{ω2_1}＜ω_{ω2_1+1}＜…
「α→ω2_αという写像を使わずにω2_α未満の数からω2_αを作り出すことはできない」
「…」の定義は曖昧ですが、ψやΩを規則で定義する分には問題ありません。
ψ_αがω_α以上ω_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すように、
Ω_αはω2_α以上ω2_{α+1}未満の順序数を次々と作り出すようにします。
53:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:16:49
そのようなψ、Ωの定義を考えた結果、以下のようになりました。
ψ_α(β)は、ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数(ただしα=0のときは0のみ)に対して
加法、ψ、ψ_α、Ωを繰り返し適用しても作ることのできない最小の順序数である。
ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
Ω_α(β)は、ω2_αより小さい順序数に対して加法、ψ、Ωを適用したり、
γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得ることを繰り返しても
作ることのできない最小の順序数である。
ただし、ψ、Ωの引数はβより小さい順序数でなくてはならない。
ψ_α(β)の定義でψ_αを使えるようにしたのは、ω_α=αとなるようなαに対しても
ψ_α(0)＜ψ_α(1)＜ψ_α(2)＜…となるようにするためです。
例えば、ψ_{Ω_0(1)}(1)を考えるとき、Ω_0(1)はω_{Ω_0(1)}=Ω_0(1)未満ではなく、
1にΩ_0を適用することもできないので、ψ_{Ω_0(1)}を使えるようにしないとψ_{Ω_0(1)}(0)が作れず、
ψ_{Ω_0(1)}(0)=ψ_{Ω_0(1)}(1)となってしまいます。
Ω_α(β)の定義で「γ＜ω2_(α+1)を満たすγからδ＜γを満たす任意の順序数δを得る」という操作があるのは、
ψ_{Ω_α(0)}を用いたときよりも大きな順序数を作れるようにするためです。
ω2_0は十分大きな順序数でω_{ω2_0}=ω2_0を満たしていればどんな順序数でもいいのですが、
ψやΩの引数に入れたとき常にω_ω_ω_…ω_0の極限と同じ収束列になるので、
ω2_0をω_ω_ω_…ω_0の極限と定義します。
例えばψ_α(Ω_1(0))がどのような順序数となるかは、αの大きさによって異なります。
ψ_α(0)≧Ω_1(0)のときは、Ω_1(0)より小さい任意の順序数をψ_αの引数に使えるので、
ψ_α(Ω_1(0))に収束列は存在しません。
ψ_α(0)＜Ω_0(Ω_1(0))のときは、引数がΩ_1(0)を超えるまでΩ_0(Ω_1(0))を使えないので、
ψ_α(Ω_1(0))=ψ_α(Ω_0(Ω_1(0)))=lim ψ_α(Ω_0(Ω_0(…Ω_0(0)…)))となります。
Ω_0(Ω_1(0))≦ψ_α(0)＜Ω_1(0)のときは、
ψ_α(Ω_1(0))=lim ψ_α(ψ_{ψ_{…ψ_{ψ_α(0)+1}(0)…}(0)}(0))となります。
54:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:18:15
ψ、Ωの定義を参考にして、さらに大きな順序数が作れる三変数ψを定義しています。
三変数ψでも収束列でψ(α,β,γ)=ψ(α,β,γ+1)のようになってしまう表記が出てくることがあります。
例としては、{ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),ψ(0,ψ(ψ(0,1,0),0,0),1),0))}_0
=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))が正則な表記ではなく、
ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0)),0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,1,0),0,0))となります。
55:１３２人目の素数さん
10/11/26 22:29:34
とりあえず、アキレス数はどの範囲にあるの？
56:１３２人目の素数さん
10/11/27 15:28:22
新しい定義と古い定義で作れる順序数の大きさが違うという例を書いておきます。
Veblen関数も「加法も」用いずに新しい定義のψと古い定義のψ'を定義すると、
ψ'_0(ψ'_{ψ'_1(0)}(0))=ψ_0(ψ_ω(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(0))}(0))=ε_0=φ_1(0)
ψ'_0(ψ'_{ψ'_{ψ'_1(0)}(0)}(0))=ψ_0(ψ_{ω^2}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_1(ψ_1(0)))}(0))=η_0=φ_2(0)
十分大きい順序数Ψに対し、
ψ'_0(Ψ)=ψ_0(ψ_{ω^ω}(0))=ψ_0(ψ_{ψ_0(ψ_2(0))}(0))=φ_ω(0)
となるようです。
ψ_0(Ψ)より大きな順序数で収束列まで定義されているものには、7-571のたろう氏の多変数C1があります。
URLﾘﾝｸ(gyafun.jp) 7-850、7-858で補足、訂正あり
といっても、私には理解力不足で多変数C1はよく分からないのですが…。
(規則自体が分からないのではなく、それぞれの規則がどういう意味なのかがよく分からない)
あと、収束列は定義されていても、C1で表された順序数の大小関係の規則が明記されていないので、
プログラムで計算できるようにはなっていません。
ただ、7-389を参考にし、「帰納的定義で表現できない順序数」がψの新しい定義と同じくらい有効活用されていると考えると、
C1(1,0,0)≒ω(0,1)=ψ(0,1,0)
C1(2,0,0)≒ω(0,2)=ψ(0,2,0)
C1(1,0,0,0)≒ω(1,1)=ψ(1,1,0)
C1(1,1,0,0)≒ω(0,ω(1,1)+1)=ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
C1(2,0,0,0)≒ω(1,2)=ψ(1,2,0)
C1(1,0,0,0,0)≒ω(2,1)=ψ(2,1,0)
ということで、多変数C1ではψ(0,0,ψ(ω,0,0))=ψ(0,0,ψ(ψ(0,0,1),0,0))未満の
帰納的順序数を表せるのではないかと推測はできます。
(古い定義では「帰納的定義で表現できない順序数」が十分に活用されていないので、
C1(C1(1,0,0,0),0)はおそらく古いψ_0(Ψ)よりずっと大きいと思います)
57:１３２人目の素数さん
10/11/27 21:40:40
wikipedia の ψ は、
昔が[ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義]
で
今が[ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義]
だから
今の方が小さいと思うんだけど、違うの？
それとも、新しい定義のψってのは、wikipedia のとは違うあなたの定義？
8-6 は昔の定義のψ、
8-696 は（実質）今の定義のψ、
だと思ってるんだけど。
古いψの限界のΨ、
新しいψの限界のΨ、
はどちらも同じ大きさだと思う。
58:１３２人目の素数さん
10/11/27 22:05:34
今のwikipediaのψの定義は「べき」も含まれてるけど、
>>50 の [ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義] には含まれてない。
wikipedia の [Making the function less powerful] の定義の方？
59:１３２人目の素数さん
10/11/28 00:15:56
>>57
古い定義と新しい定義で一番重要な違いは、
「0に対して……濃度がω_α(α番目の無限基数)の最小の順序数」を
「ω_α(α番目の無限基数)より小さい順序数に対して……最小の順序数」に変えたことです。
昔のwikipediaには方針だけで具体的な定義が書いてなかったので上のように解釈したのですが、
今のwikipediaでより詳しく書かれているのを読むと、下の方がおそらくずっと大きくなることが分かりました。
古い定義では、ψ_α(β)はβ＞0ならば常に収束列の存在する極限順序数となるので、
加法しか使えなければω^(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできませんし、
加法とVeblen関数しか使えなければΓ_(ω_1+ω_1)のような数を作ることはできません。
しかし、新しい定義では収束列の存在しない極限順序数も作れるので、
使える演算が限られていてもω^(ω_1+ω_1)やΓ_(ω_1+ω_1)などを作ることができます。
なので、(Hardy functionのHとFの定義の違いがε_0以上でほとんど関係ないように)
おそらく新しい定義では使える演算の種類はほとんど関係ないと思います。
各定義でのψ_0(Ψ)の大きさはおそらく、
「旧定義Veblenなし(8-696)」＜「旧定義Veblenあり(8-6)」＜「新定義Veblenなし」=「新定義Veblenあり」
となるでしょう。
新定義では使える演算の種類はあまり重要ではないと思われるので、
できる限り定義が単純になるように加法のみを用いています。
(加法が無くとも大きさは同じだと思いますが、
定義は単純にならず分かりにくくなるだけなので加法は入れました)
"Making the function less powerful"ではψ_1などがないので、
使える演算の種類によって作れる順序数の大きさは大きく変わります。
60:１３２人目の素数さん
10/11/28 00:47:11
ところでこういう関数って、増加率のグラフ書いたらどんな形しているの？
61:１３２人目の素数さん
10/11/28 01:11:38
>>60
普通に書いたらほぼ垂直に上がっていく
縦軸を1桁になるまでのlogの回数にしても
縦軸をコルモゴロフ複雑性にしたら
途中からほぼ真横に伸びていく
62:１３２人目の素数さん
10/11/28 13:30:53
A. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いた時の定義
B. >50 ■ψの定義でVeblen関数を用いない時の定義
C. >50 ■2種類の関数ψ、Ωを用いた定義
D. >50 ■三変数ψの定義
E. wikipediaの古い定義の添え字付きψ
F. wikipediaの新しい定義の添え字付きψ
G. 7-202
H. 8-6
I. 8-696
D > C > A = B = F > E = G = H > I
これであってますか？
63:１３２人目の素数さん
10/11/28 14:00:39
>>62
wikipediaには添え字付きψの定義自体はないので、E、Fというのはありません。
G(正確には7-203)とHは同じものです。
D > C > A = B > G = H > I
なお、7-202、8-11の言葉での定義は間違っています。
>>50のtxtの言葉での定義には今のところ間違いを見つけてはいません。
64:１３２人目の素数さん
10/11/28 14:31:28
7-202 はwikipediaに載ってたψの拡張法って書いてあるけど違うの？
今のwikipediaもψ1 とかの記述があって、その1を順序数に拡張したのかと思った。
添え字無しのψだと、
古いwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,φ,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
新しいwikipediaのψ(α)は
{0,1,ω,Ω,+,^,ψ} で到達できない最小の順序数 (ただしψにはα未満のみ入れられる)
で、やっぱり古い方が大きいと思う。
65:１３２人目の素数さん
10/11/28 15:49:45
>>64
古い定義で参考にしたのは、
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
です。新しい定義で参考にしたのは、
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
です。どちらも、wikipediaの記述そのままではありません。
添え字なしなら、使える演算の種類が多いほど作れる順序数は大きくなります。
添え字が0と1に限られている場合や、Ω_ωまでの基数を用いる場合も同様です。
なので、wikipediaのψは使える演算の種類によって大きさは変わります。
添え字ありの場合、新定義では積や冪やVeblen関数が含まれていなかったとしても、
ψ_α, ψ_{α+1}, ψ_{α+2}, …を用いることで、
Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができます。
なので、使える演算の種類にほとんど関係なく、作れる順序数は同じになると思われます。
旧定義では、おそらく使える演算の種類に大きく影響されます。
66:１３２人目の素数さん
10/11/28 16:41:53
>>65 の古い定義の方には
添え字付きψもΩ_nも書かれないけど、
古いwikipediaの定義では「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」
というのはどういうこと？
リンク先が間違ってる？
67:１３２人目の素数さん
10/11/28 17:31:32
>>66
>>65で「旧定義」と言っているのはwikipediaの定義ではなく、7-203や8-6の定義のことです。
昔のwikipediaではψの拡張の方針だけが書かれていて、添え字付きψはありません。
wikipediaのψの拡張の方針に基づいて私が定義した添え字付きψが7-203や8-6です。
7-203や8-6の定義は私が自分で考えた事なので、定義に問題があって
「Ω_αに積や冪やVeblen関数を用いた順序数を作ることができない」ということです。
68:１３２人目の素数さん
10/11/28 17:59:06
>>67
了解しました。
ということは Ruby でプログラムを書いた人ですね？
新定義の3変数ψも Ruby 化お願い出来ませんか？
69:１３２人目の素数さん
10/11/28 23:17:57
いくつか疑問点
121, 126行目 : maxargとは？
137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？
70:１３２人目の素数さん
10/11/29 05:18:10
>>68
時間があったら書きます。
>>69
＞121, 126行目 : maxargとは？
＞137-144行目 : maxpsiarg はここでしか出てこないけど、H[ψ_0(Ψ)](n) の定義に必要なの？
maxpsiargと書くべき所をmaxargと書いていました。
121, 126行目のmaxargはmaxpsiargの間違いです。
＞82, 280, 445 行目 : ψ_α(β) のαの方はαが正則であれば変更不要ということ？
そうです。αはψ_α(β)の濃度を表しているので、正則な表記に書き換えるときに変わることはありません。
＞493 行目 : Ω_α(β) のαの方はαが正則であればそのままで良いということ？
＞706 行目 : ψ(α,β,γ) のα, β はα, βが正則であればそのままで良いということ？
これも上と同様です。
＞131, 198, 327, 587行目 : 131行目のcardは引数の濃度、198行目のcard_s, 327行目のcard, 587行目のcardは引数の共終数の濃度を表わす？
131, 198, 327行目についてはそうです。
587行目のcardは、subst_type(γ)が0のときγの共終数の濃度がω_card(γ)となり、
subst_type(γ)が1のときγの共終数の濃度がω2_card(γ)となります。
＞784行目 : subst_arg1 はsubst の後継？
＞796行目 : subst_arg2 はsubst_typeの後継？
subst_typeに対応するものがsubst_arg1で、cardに対応するものがsubst_arg2です。
γの共終数の濃度はω(subst_arg1(γ),subst_arg2(γ))となります。
＞2変数ψの極限ΨをψとΩで表わすとどうなる？
Ψ=Ω_0(0)です。
＞ψとΩの極限Ψを3変数ψで表すとどうなる？
Ψ=ψ(2,0,0)です。
71:１３２人目の素数さん
10/11/29 08:34:29
>>70
thx
72:１３２人目の素数さん
10/12/02 03:17:48
>>50のtxtでの定義に、問題がありました。
言葉での定義に従うと、例えばΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))には収束列がないのに、
規則に従うとΩ_0(ψ_{Ω_0(0)+1}(0))は収束列を持つことになってしまいます。
それに関連して、例えばψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))の
収束列のn≧2を求めて正則な表記に書き直すと、
ψ(0,ψ(1,0,0)+1,ψ(1,1,ψ(0,ψ(1,0,0),ψ(1,2,0)))+ψ(1,1,0))に戻ってしまうという問題も生じます。
言葉での定義に一致するように規則を訂正したものをアップロードしました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
また、Rubyでのプログラムが完成したので、消えていた前のプログラムと一緒にアップロードしました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
73:１３２人目の素数さん
10/12/04 21:57:31
8-696 が 8-6 より小さいってのが良くわからない。
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_2n(0)} > ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_n(0)}
となって、
ψ[8-696]_0 {ψ[8-696]_ω(0)} ＝ ψ[8-6]_0 {ψ[8-6]_ω(0)}
で追いつくと思う。
74:１３２人目の素数さん
10/12/06 01:21:16
>>72
規則とプログラムに誤りがあったので、修正したものをアップロードしました。
規則のtxtファイル
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
プログラム
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
>>73
以下では、8-6のψをψと書き、8-696のψをψ'と書きます。
また、厳密な議論は困難なので、大雑把な話をしています。
もしも新定義の方針で定義されたならば、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))が収束列を持たず、共終数がΩ_1なので、
ψ_1(ψ_1(0))=Γ_{Ω_1+Ω_1}、ψ'_1(ψ'_1(0))=ε_{Ω_1+Ω_1}のようになります。
ψ'_1(Ω_2を用いた順序数)でΩ_1にVeblen関数を用いるより大きい順序数を作れるので、
ψ'_0(Ω_2を用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_1を用いた順序数)となり、
同様にしてψ'_0(Ω_2nを用いた順序数) ＞ ψ_0(Ω_nを用いた順序数)のようになり、Ω_ωで追いつくと思われます。
しかし、旧定義の方針(元々の8-6、8-696)だと、ψ_1(ψ_1(0))やψ'_1(ψ'_1(0))は収束列のある順序数で、
ψ_1(α)≒Γ_{Ω_1+ψ_0(α)}、ψ'_1(α)≒ε_{Ω_1+ψ'_0(α)}のようになってしまいます。
ψ_0(f(ε_{Ω_1+Ω_1}))≒ψ_0(f(ε_{Ω_1+ψ_0(f(…))}))
ψ'_0(f(Ω_2))≒ψ'_0(f(ψ'_1(f(…))))≒ψ'_0(f(ε_{Ω_1+ψ'_0(f(…))}))
となることから、8-696でのΩ_2は8-6でのε_{Ω_1+Ω_1}に相当する程度の働きしかしません。
同様にして、おそらく8-696でのΩ_αは8-6でのε_{Ω_1×α}に相当します。
なので、ψ'_0(Ψ)≒ψ_0(η_{Ω_1+1})≒ψ_0(φ_2(ψ_1(0)+1))となりそうです。
上での考察は大雑把なので間違いがあるかもしれませんが、8-696は8-6より小さいと思います。
75:１３２人目の素数さん
10/12/06 02:30:05
>>74
ありがとうございます。
ちょっと考えてみます。
新定義のψと旧定義のψの違いは、
ψ(δ, γ) で、δ ≧ card(γ) の場合だけである
ψ(δ, γ) で、δ ＜ card(γ) の場合と、ψ(α, 0) の定義が異なっているのは単に記述方法の違いである
というところまで理解したつもりです。
あってますか？
Ω = ψ(1,0)
Ω2 = ψ(2,0)
とすると、
ψ(0, α) = ω^α (0≦α＜ε_0)
ψ(0, α) = ε_0 (ε_0≦α≦Ω)
ψ(0, Ω*2) = ε_1
ψ(0, Ω*3) = ε_2
ψ(1, Ω) = Ω^2
ψ(1, Ω^2) = Ω^3
ψ(1, Ω^3) = Ω^4
ψ(1, Ω2) = Ω^ω
これで合ってますか？
76:１３２人目の素数さん
10/12/06 02:38:46
アキレス数ってそれらに追いつく？ 追いつかない？
77:１３２人目の素数さん
10/12/06 02:40:18
これって記述量を分母として、その上で現れた数がどれだけでかいかだよね
記述量の定式化って過去スレのどっかにあった？
78:１３２人目の素数さん
10/12/06 02:44:54
>>74
ψ以外で許す関数を、add(x,y) = x+y じゃなくて、successor(x) = x+1 だけでもψ(0,Ψ)の大きさは同じですかね？
もし同じなら定義がすごく簡単になると思うので。
ψ(0,α) = ω*(1+α) (0≦α＜ω^ω)
ψ(0,Ω) = ω^ω
ψ(0,Ω*2) = ω^ω *2
ψ(0,Ω^2) = ω^ω^2
ψ(1,α) = Ω+ω^α
ψ(1,Ω) = Ω*2
ψ(1,Ω*2) = Ω*3
ψ(1,Ω*3) = Ω*4
ψ(1,Ω2) = Ω*ω
こうかな？
はじめはすごくゆっくり。
79:１３２人目の素数さん
10/12/06 02:53:00
>>77
計算可能なものに限定すれば、
巨大数探索スレッド7 の >>260 や、
■■C++で大きな数を作るスレ■■
ｽﾚﾘﾝｸ(tech板)
80:１３２人目の素数さん
10/12/06 22:03:58
>>75
新定義と旧定義の本質的な違いはδ≧card(γ)の場合のψ(δ,γ)で、
それ以外の違いは作れる順序数の大きさに影響しないと思います。
ψ(1,Ω)=Ω^2までは合ってますが、
ψ(1,Ω*2)=Ω^3
ψ(1,Ω*3)=Ω^4
ψ(1,Ω^2)=Ω^Ω
ψ(1,Ω^3)=Ω^Ω^2
ψ(1,α)=Ω*ω^α (0≦α≦ε_{Ω+1})
ψ(1,Ω2)=ε_{Ω+1}
となります。
>>78
単なる私の直感ですが、加法ありと加法なしの場合、二変数関数の有無という差が大きいのではないかと思います。
二変数関数である加法があれば、ψの引数にψ(ψ()+ψ()+ψ()+…)の形でψを複数入れることができますが、
二変数関数がないとψの引数にψ(ψ_{ψ_{ψ_{…}()}()}())の形でしかψを複数入れることができないので、
両者の差が埋まる前にψ_0(Ψ)に達してしまうと思います。
81:１３２人目の素数さん
10/12/08 21:55:55
URLﾘﾝｸ(web.mit.edu)
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
[An Ordinal Notation] vs [三変数ψ]
C(1,0,0) ψ(0,1,0)
C(1,0,C(1,0,0)) ψ(0,2,0)
C(1,1,0) ψ(0,ω,0)
C(1,α,0) ψ(0,ω^α,0)
C(2,0,0) ψ(1,0,0)
C(1,0,C(2,0,0)) ψ(1,1,0)
C(1,1,C(2,0,0)) ψ(1,ω,0)
C(1,α,C(2,0,0)) ψ(1,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,0)) ψ(2,0,0)
C(1,0,C(2,0,C(2,0,0))) ψ(2,1,0)
C(1,1,C(2,0,C(2,0,0))) ψ(2,ω,0)
C(1,α,C(2,0,C(2,0,0))) ψ(2,ω^α,0)
C(2,0,C(2,0,C(2,0,0))) ψ(3,0,0)
C(2,1,0) ψ(ω,0,0)
C(2,α,0) ψ(ω^α,0,0)
C(3,0,0) Ψ
82:１３２人目の素数さん
10/12/09 03:53:12
>>81
Dmytro氏のページは読んでもよく理解できなくて挫折していましたが、
もしそれが正しければ、Dmytro氏のnotationは7-389でたろう氏が解釈していたよりも
ずっと大きいということになりますね。
Bachmann-Howard ordinalは、Dmytro氏によればC(0^{++},0)=C(C(1,0,C(1,0,0)),0)であり、
三変数ψで表すとψ(0,0,ψ(0,2,0))となるので、この二つを比較する分には、
たろう氏の言っていたC1(2,0,0)がψ_2(0)=ψ(0,2,0)に相当するというのは間違いで、
C(1,0,C(1,0,0))がψ(0,2,0)に相当するという方が正しいように思えます。
すると、たろう氏の定義した多変数C1で表せるのは、実のところC(2,1,0)未満の順序数ということになりそうです。
83:１３２人目の素数さん
10/12/09 22:14:50
>>81
もっと小さかったかも。
C(1,C(2,0,0),0) ψ(1,0,0)
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(1,1,0)
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(1,ω^α,0)
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)) ψ(2,0,0)
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0))) ψ(3,0,0)
C(1,C(2,0,0)+1,0) ψ(ω,0,0)
C(1,C(2,0,0)+α,0) ψ(ω^α,0,0)
C(1,C(2,0,0)*2,0) Ψ
84:１３２人目の素数さん
10/12/10 01:11:24
ψ(α+1,0,0)自体は共終数がωの順序数と定義しているので、
ψ(α+1,0,0)ではなくψ(α+1,1,0)の方が正しいと思います。
それは些細なことですが、さらなる拡張の方針として、
ψ(0,α,β)=ψ2(0,ψ2(1,0)*α+β)
ψ(1,1,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2)
ψ(1,α,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^2*α)
ψ(α,β,0)=ψ2(0,ψ2(1,0)^(1+α)*β)
のようなものができないか考えていたのですが、
この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
のような基数が存在しますが、
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(0,ψ(1,1,0)+1,0)
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(0,ψ(1,1,0)+ω^α,0)
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)) ψ(1,1,1)
C(1,C(2,0,0)+α,0) ψ(1,1,ω^α)
C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0) ψ(1,2,0)
C(1,C(2,0,0)*α,0) ψ(1,α,0)
C(1,C(2,0,0)^2,0) ψ(2,1,0)
C(1,C(2,0,0)^α,0) ψ(α,0,0) (αは極限順序数)
C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0) Ψ
となりませんか？
C(2,0,0)^C(2,0,0)=C(0,C(0,C(2,0,0),C(2,0,0)),C(2,0,0))だと思うので、
C(2,1,0)どころかC(1,0,C(2,0,0))にすら達していないみたいですが。
85:１３２人目の素数さん
10/12/10 04:36:26
Zという値を定義してみた。
z=(十分に大きな自然数)
z以外の変数=(0以上の整数)
演算記号の結合法則(優先順位)
(a,b,c)=(a,(b,c))=((a,b),c)
(a+b,c)=((a+b),c)
(a,b+c)=(a,(b+c))
(a,b:0)=(a)
(a:0,b)=(b)
(a:b+1)=(a,a:b)
(a:b+c)=(a:(b+c))
(a+b:c)=((a+b):c)
(a,b:c)=(a,(b:c))
(a:b,c)=((a:b),c)
((a,b):c+1)=(a,b,(a,b):c)
(#a)=(a_{a},a_{a-1},a_{a-2},...,a_{3},a_{2},a_{1})
(a,#0)=(a)
(#0,a)=(a)
86:１３２人目の素数さん
10/12/10 04:44:39
Zの定義
f(0)=z
f(a+1)=f(a)+z
f(0:n+2)=f(z:n+1)
f(0:n+1,a+1)=f(f(0:n+1,a):n+1)
f(#c,b+1,0:n+1)=f(#c,b,z:n+1)
f(#c,b+1,0:n,a+1)=f(#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1)
f([0])=f(z:z)
f([a+1])=f(f([a]):f([a]))
f([0],0:n+1)=f([z:z],z:n)
f([a+1],0:n+1)=f([f([a],0:n+1):f([a],0:n+1)],f([a],0:n+1):n)
f([0],#d,b+1,0:n)=f([z:z],#d,b,z:n)
f([a+1],#d,b+1,0:n)=f([f([a],#d,b+1,0:n):f([a],#d,b+1,0:n)],#d,b,f([a],#d,b+1,0:n):n)
f(0:n+1,[0])=f(z:n,[z:z],z:z)
f(0:n+1,[a+1])=f(f(0:n+1,[a]):n,[f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a])],f(0:n+1,[a]):f(0:n+1,[a]))
f(#e,b+1,0:n,[0])=f(#e,b,z:n,[z:z],z:z)
f(#e,b+1,0:n,[a+1])=f(#e,b,f(#e,b+1,0:n,[a]):n,[f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a])],f(#e,b+1,0:n,[a]):f(#e,b+1,0:n,[a]))
f(#e,[0:n+2],#d)=f(#e,[z:n+1],#d)
f(#e,[0:n+1,a+1],#d)=f(#e,[f([0:n+1,a]):n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n+1],#d)=f(#e,[#c,b,z:n+1],#d)
f(#e,[#c,b+1,0:n,a+1],#d)=f(#e,[#c,b,f(b+1,0:n,a):n+1],#d)
Z=f(z:z,[z:z],z:z)
87:１３２人目の素数さん
10/12/10 15:26:37
>>84
訂正します。やはり、ψ(α+1,1,0)ではなくψ(α+1,0,0)が正しいようです。
C(1,0,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(0,ψ(1,0,0)+1,0)
C(1,α,C(1,C(2,0,0),0)) ψ(0,ψ(1,0,0)+ω^α,0)
C(1,C(2,0,0),C(1,C(2,0,0),0)) ψ(1,0,1)
C(1,C(2,0,0)+α,0) ψ(1,0,ω^α)
C(1,C(2,0,0)+C(2,0,0),0) ψ(1,1,0)
C(1,C(2,0,0)*α,0) ψ(1,α,0)
C(1,C(2,0,0)^2,0) ψ(2,0,0)
C(1,C(2,0,0)^α,0) ψ(α,0,0)
C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0) Ψ
だと思います。
帰納的順序数で比較すると、
C(0,C(0,C(1,C(2,0,0)^C(2,0,0),0),C(2,0,0)),0)=ψ(0,0,Ψ)
でしょうか。
二変数ψと比較すると、
ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
=C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
だと思います。
88:１３２人目の素数さん
10/12/10 19:29:06
>>84
> あと、例えばψ(1,1,0)とψ(1,2,0)の間には、
> ψ(1,1,0)＜ψ(0,ψ(1,1,0)+α,0)＜ψ(1,1,1)＜ψ(1,1,α)＜ψ(1,2,0)
> のような基数が存在しますが、
あらすみません。
よく定義を見ずに書いてしまいました。
>>86
f(#(e+1), [a], #(d+1)) の定義が無いような。
89:１３２人目の素数さん
10/12/11 00:21:24
>>84
> この時のψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するということでしょうか？
wikipediaにある普通の1変数のψは、突然Ωという順序数が現れます。
この順序数Ωは十分に大きく、十分にキリが良ければ絶対的な大きさはどうでもよく、
最小の帰納的でない順序数としても、
最小の非可算順序数としても、
もっとずっと大きな基数としても、
ψで作れる帰納的順序数の大きさに影響しません。
ψ(2,0,0) も、
{ 0, +, ψ(0,a,b), ψ(1,a,b) } で作れる順序数に比べて
十分大きく十分キリの良い順序数としておけば良いと思います。
たとえば、最小の到達不能基数であるとか。
90:１３２人目の素数さん
10/12/11 00:28:28
C(a,b,c) の場合、実際には作れる順序数はすべて可算です。
絶対的な大きさで比べるならば、すべてψ(0,1,0)未満です。
C(a,b,c) は、admissibility degree が a である順序数と記述されています。
正確な定義は判りませんが、意味的には、
e の admissibility degree が a+1 である <====>
e は e未満の順序数有限個と関数fと帰納的定義では作れない順序数である
（ただし、f(x) = 『xを超える最小の (degree が a) の順序数』）
のようなものと思っています。
C(1,0,0) = ω_1^CK
C(1,0,C(1,0,0)) = ω_1^CK
C(1,0,a) = 『aを超える最小のadmissibleな順序数』= 『aと帰納的定義で作れない最小の順序数』
C(1,0,ω_a^CK) = ω_(a+1)^CK
実際のCの定義は以上のようなものですが、
e の degree が a+1 である <====> e が a-到達不能基数 である
e の degree が a+1 である <====> e が a-Mahlo基数 である
などとしてもまったくCが作れる帰納的順序数の大きさは変わりません。
91:１３２人目の素数さん
10/12/11 16:17:22
>>87
訂正
> ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m}(ω^β_1+ω^β_2+…+ω^β_n)
> =C(0,β_n,…C(0,β_2,C(0,β_1,C(1,α_m,…C(1,α_2,C(1,α_1,0))…)))…)
にβ_i≧ψ_{ω^α_1+ω^α_2+…+ω^α_m+1}(0)という条件を追加します。
>>89
帰納的でない順序数の大きさを直接比較するのに意味がないのは分かっているので、
表記上の役割としてψ2(1,0)がC(2,0,0)に相当するかどうかという意味で書きました。
ψ(0,0,α)は帰納的順序数でC(1,0,0)未満の数に相当し、
ψ(0,α,β)はある順序数から帰納的に定義される順序数を作るためにcollapseさせて用いる、
より大きい順序数でC(2,0,0)未満の数に相当すると考えています。
ただ、より大きい順序数を作るためにψ(α,β,γ)を定義したものの、
それは役割的にはC(2,0,0)未満の数に相当するものでしかなかったので、
どのような役割をすればC(2,0,0)に相当するか知るために聞きました。
ψ2(1,0)はcollapseさせることでψ(α,β,γ)など、
C(2,0,0)未満に相当する帰納的に定義されない順序数が作れる(という構想だった)ので、
役割的にC(2,0,0)に相当するだろうか、ということです。
ただ、Dmytro氏の記法はAn Ordinal Notationの時点でも、
今までこのスレに出てきた帰納的順序数よりずっと大きな帰納的順序数が表せるようだということが分かったので、
むやみにこれ以上ψの拡張を考える前に、Dmytro氏の表記を正しく理解すべく努力しようと思っています。
7-389の「ψ_a(0)がAn Ordinal NotationのC(a,0,0)に相当する」という意味の発言に
このスレの>>81まで誰も異を唱えなかったということは、
それまで誰もDmytro氏の表記を正しく理解していなかったということですし。
92:１３２人目の素数さん
10/12/14 01:44:17
Dmytro氏のAn Ordinal Notationで表される順序数の収束列を定義しました。
ただし、細かくチェックをしていないので間違いがあるかもしれません。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
間違いさえなければ、今までこのスレで出てきた収束列の定義のある帰納的順序数の中では最も大きく、
これを用いて定義される関数は、今まで出てきた計算可能な関数の中で最も巨大なものになります。
>>91
さらに訂正
C(0,C(1,0,0),C(0,C(1,0,0),0))=ψ_0(ψ_1(0)+ψ_1(0))ですが、
C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(0,C(1,0,C(1,0,0)),0))=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_1(ψ_2(0)))となり、
C(0,C(0,C(1,0,C(1,0,0)),C(1,0,C(1,0,0))),0)=ψ_0(ψ_2(0)+ψ_2(0))となるようです。
なので、そう簡単にはψとCの書き換えはできないようです。
93:１３２人目の素数さん
10/12/14 21:50:53
さすが。
数日で理解して収束列定義まで完成させてしまいましたか。
今後はΩの追加、Ω_n の追加と進んで行って、
最終目標は最後の章のC(a, b, c)の収束列定義でしょうか。
>>92 についていくつか疑問、質問があるのでお願いします。
○ 大小比較、
元のドキュメントでは、C(a, b, c) の a, b が最大であれば良いように書かれていますが、
>>92 では c, f が最小であるという条件が加わっています。
この条件は必要でしょうか？
○ standard representation
各収束列からは標準形でないものが生まれにくいような感じがするのですが、
H[C(0,X,0)](n) を求める上で標準形でない形が生まれる場合がありますか？
○ 誤植
subst_arg1(...,x) / subst_arg3(...,x)
x は不要ですよね？
94:１３２人目の素数さん
10/12/15 22:07:52
>>92
案の定、問題点があったので訂正したものをアップしました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
C(pred(subst_arg1(c)),subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),subst_arg3(c))と
C(d,subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),0,subst_arg3(c))),e)を比較して場合分けをしていましたが、
これだと例えばC(0,C(2,0,0),C(1,C(1,0,0),0))で問題が生じます。
C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))とC(d,c,e)で比較すればおそらく問題ないと思いますが、
きちんと確かめたわけではありません。
>>93
> ○ 大小比較
c,fは最小でなくとも大小比較には問題ないようです。
結局のところ、(aは常に最大なので)bさえ最大であれば、
standard representationであろうとなかろうと大小比較はできます。
> ○ standard representation
きちんと確かめたわけではありませんが、標準形でない形はおそらく出ないと思います。
標準形でない形が出る可能性のある箇所としては、
cの中にf(x)という形の順序数が出てきて、f(x)＞C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))かつx＞cだと、
{C(d,c,e)}'_{n+1}=subst(c,C(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c)))
のC(pred(subst_arg1(c)),{C(d,c,e)}'_n,subst_arg3(c))が標準形でなくなることがあり得ます。
ただ、このときC(d,c,e)が標準形であるためにはf(x)＜C(d,c,e)となる必要があり、
C(subst_arg1(c),0,subst_arg3(c))＜C(d,c,e)となります。
すると、C(d,c,e)＞C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))となり、
もう一つの規則の方が適用されるので問題は生じないかと思います。
> ○ 誤植
コピペした時に消し忘れただけなので、xは不要です。
95:１３２人目の素数さん
10/12/16 21:55:57
比較の条件だけじゃなくて、
収束列が微妙に変わったのは、
こっちの方が値がきれいになるからですか？
前の方が定義が簡単そうですが。
96:１３２人目の素数さん
10/12/17 07:35:35
>>95
C(d,c,e)=C(pred(subst_arg1(c)),c,subst_arg3(c))のとき、
どちらでも収束列が同じになるようにしたかっただけです。
同じにする必要性はありませんが。
97:１３２人目の素数さん
10/12/17 23:52:53
きちんと検証せずに類推で書いたので正しいか保証はできませんが、
A Stronger Ordinal Notationの収束列を定義しました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
98:１３２人目の素数さん
10/12/18 02:32:08
>>92 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
99:１３２人目の素数さん
10/12/18 02:51:26
>>97 の C(Ω*a+b, c) が >>94 の C(a,b,c) に対応するので、
C(X,0) は帰納的じゃない、もっとずっと大きな順序数だと思う。
C(C(X,0),0)
こうしなきゃいけないんじゃ？
100:9-49
10/12/18 11:20:47
>>99
確かにそうですね。C(C(X,0),0)じゃないと帰納的になりません。
どれが私の書き込みか他の人に分かるようにまとめておきます。
>49-54, >56, >59, >63, >65, >67, >70, >72, >74, >80, >82, >84, >87, >91, >92, >94, >96, >97
>>98は私ではありません。
101:１３２人目の素数さん
10/12/18 11:31:40
>>100
このスレで順序数に関する記述を行っているのは、
あなたと私の二人だけだと思います。
102:9-49
10/12/19 18:16:41
正しさの保証はできませんが、
A Step towards Second Order Arithmetic (C+Ω_n)の収束列を定義しました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
ただ、根本的に間違っている可能性もあるかもしれません。
103:昔の住人
10/12/19 21:11:35
今、いるのはお二人だけですか？
104:１３２人目の素数さん
10/12/20 00:48:00
素数とか使うのはどうなの？
105:１３２人目の素数さん
10/12/20 23:24:23
>>102
ついに correctness が出てきましたか。
これって、degree より大きな単位といった感じでしょうか？
degree が α-到達不能基数で、
correctness が α-マーロ基数
という感じの。
それとも、全然概念が違うものでしょうか？
その前に、まだ [A Stronger Ordinal Notation] が理解できてない。
[An Ordinal Notation] では
収束列のない極限順序数aに対し
cf(a) = C( subst_arg1(a), 0, subst_arg3(a) ) とした時、
a = sup { subst(a, x) | x < cf(a) }
という感じでしたが、
[A Stronger Ordinal Notation] だと、subst が3種類も存在します。
もうちょっと subst, subst_arg について説明していただけると非常にうれしいです。
106:9-49
10/12/21 02:36:57
>>105
到達不能基数やマーロ基数を知らないのでその例えが正しいかはわかりませんが、
私の理解としても、correctnessはdegreeより大きな単位というような認識です。
An Ordinal Notationでは、C(1,0,0)のような大きな順序数(correctness 1)を用いて、
帰納的順序数(correctness 0)を表していました。
A Stronger Ordinal Notationになると、さらに大きな順序数Ω(correctness 2)を用いて、
correctness 1の順序数を表しています。
A Step towards Second Order Arithmeticでは、同様にして
correctness n+1の順序数を用いてcorrectness nの順序数を表すものだと思っています。
substの意味をAn Ordinal Notationとの対応関係で説明します。
C(a,b,c)をC(Ω*a+b,c)のように表して拡張したのがA Stronger Ordinal Notationなので、
bを得たり置き換えたりするのにも関数を定義する必要があります。
C(a,b,c)のbに相当するのが、C(a,b)のsubst_arg1(a)です。
これを別のものに置き換えるのがsubst1です。
C(a,b,c)のC(subst_arg1(b),0,subst_arg3(b))に相当するのが、C(a,b)のsubst_arg2(C(a,b))です。
これを別のものに置き換えるのがsubst2で、An Ordinal Notationのsubstに相当します。
C(a+1,0,c)はC(Ω*a+Ω,c)になるので、C(a,x,c)に相当するのはC(Ω*a+x,c)になります。
同様にして、Ωを置き換えればいいと推測できるので、Ωを別のものに置き換えるのがsubst3です。
107:１３２人目の素数さん
10/12/21 23:11:25
>>97
subst2(Ω), subst_arg2(Ω) の定義はいらない？
たとえば、
C(C(C(Ω,Ω),Ω),0) つまり、C(Ω^2, 0) に対して subst_arg2 を求めようとすると、
subst_arg2( C(Ω^2, 0) ) = subst_arg2( subst_arg1(Ω^2) ) = subst_arg2(Ω) となります。
subst_arg2(Ω) = Ω, subst2(Ω, x) = x
ですか？
[An Ordinal Notation] の範囲から外れる C(Ω^2, 0) を調べようとして
いきなりつまづきました。
>>106
b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
z = sup { subst2(z, x) | x < subst_arg2(z) }
z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
これで合ってますか？
108:9-49
10/12/22 04:41:35
>>107
subst_arg2(C(C(C(Ω,Ω),Ω),0))を求めるときには、
subst_arg1(C(C(Ω,Ω),Ω))=subst_arg1(C(Ω,Ω))=subst_arg1(Ω)=Ωなので、
「subst_arg2(C(c,d))=subst_arg2(subst_arg1(c))」ではなく、
「subst_arg2(C(c,d))=C(c,d)」となります。
なので、subst_arg2(C(Ω^2,0))=C(Ω^2,0)、subst2(C(Ω^2,0),x)=xです。
> b = sup { subst1( C(Ω*a+b, c), x ) | x < subst_arg1( C(Ω*a+b, c) ) }
Ω*a+b = sup { subst1( Ω*a+b, x ) | x < subst_arg1( Ω*a+b ) }
となります。
subst_arg3(z)=Ωと定義すれば、i=1, 2, 3に対して、
z = sup { substi(z, x) | x < subst_argi(z) }
となります。
Ω*a+bは例として挙げただけなので、Ω^2*a+Ω*bやΩ^Ω*a+Ω^bのような形の場合に
bを得たり置き換えたりするのにもsubst1やsubst_arg1を用います。
表記の関係上、subst_arg1(…)=bではなくω^bやω^ω^bになったりという程度の違いはありますが。
109:9-49
10/12/22 20:42:05
>>108
訂正
> z = sup { subst3(z, x) | x < Ω }
となるのは、subst_arg1(c)=Ωを満たすようなz=C(c,d)に対してのみです。
そうでないzに対してもsubst3は定義されますが、
定義の中でsubst3が用いられているときは上の条件を満たしています。
110:１３２人目の素数さん
10/12/23 15:35:35
久しぶりに来たので前スレ置いておきますね
URLﾘﾝｸ(unkar.org)
111:１３２人目の素数さん
10/12/23 17:32:31
前スレより
Q.これは初心者は最初何を勉強すればいいの？
A.以下の順に理解していくと良い。
クヌースの矢印表記
コンウェイのチェーン表記
多変数アッカーマン関数
ハーディー関数
カントールの標準形
ベブレン関数
ビジービーバー関数
コンウェイのチェーン表記は飛ばしても良いし、
ハーディー関数の前にふぃっしゅ数V5を入れてもいい。
ビジービーバー関数はもっとずっと前でもいい。
112:１３２人目の素数さん
10/12/23 18:04:55
暫近線とこれらの関数が交差するのってどこ？
113:１３２人目の素数さん
10/12/24 01:17:56
>>97 で作られる順序数の
標準形判別、標準形化、収束列の表示などを行うツールを作りました。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
114:１３２人目の素数さん
10/12/25 01:01:20
明石家サンタでも見るかな。
115:猫は糖質 ◆MuKUnGPXAY
10/12/26 08:15:15
でもアンタ達が名誉棄損とか誹謗中傷をスル場として利用しました。だからその
報いをアンタ達は受けなければなりません。なので：
★★第一の論点★★
> アホだのバカだの
> 面と向かって言えない言葉で相手を愚弄するのは良くないな！
コレは正に２ちゃんの住人達がコレまで散々やって来た事であって、だから私
の行為は：
★★★『唯単に数学板で起こっている事から学んで全く同じ事を真似てやってるだけ』★★★
という認識なんですね。だから私がこういう指摘をうけるのであれば、その行
為を元々やってはった人達に対しては何もご注意が無いのかという疑問ですね。
★★第二の論点★★
> 賢いのか知らんが、
> 人間性を疑うぜ！
という事なんですけどね、でもコレも第一の論点と全く同じで、私がやった事
はですね、２ちゃんで皆さんが頻繁にやってる事を唯単に真似ただけなんです
よね。だからもし私の人間性を疑うのであれば、昔からそういう事を好き放題
にやって、無記名で名誉棄損とか誹謗中傷をやりまくってる人達の人間性って
何なのかなぁ～ってな疑問ですね。そもそも人間性って何なんですかねぇ～
私は頭が悪いので判らなくなってしまいましてねぇ～
猫
116:１３２人目の素数さん
10/12/28 22:19:40
やっと >>97 の３つの subst, subst_arg の意味が理解できました。
ちょっとずつ理解を進めてますが、全部を理解するにはまだ時間がかかりそうです。
>>97 で作れない最小の帰納的順序数 C(C(ε_(Ω+1), 0), 0) を
>>102 で表すと何になりますか？
>>102 の Ω_nを、一番最後の章のC(a,b,c)で表すとどうなりますか？
大小関係から考えると、
Ω_1 = C(1,0,0)
Ω_2 = C(1,0,Ω_1)
Ω_3 = C(1,0,Ω_2)
....
こうはならなそうですね。
117:１３２人目の素数さん
10/12/28 23:15:20
[Bachmann-Howard Ordinal] のΩがΩ_1
[A Stronger Ordinal Notation] のΩがΩ_2
このような拡張をn回繰り返したのがΩ_n
という感じですか。
なんかすごく大きい気がしてきました。
118:9-49
10/12/29 03:28:32
>>116
C(C(ε_(Ω+1), 0), 0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)となります。
Dmytro氏の文章の例で、
aがcorrectness n＞0で、bがaより大きいcorrectness nの最小の順序数で、c＜aのとき、
C(ε_(a+1),c)=C(b,c)
というのがありますが、a=Ω_2, n=2とするとb=C(Ω_3,Ω_2)なので、
C(ε_(Ω_2+1),0)=C(C(Ω_3,Ω_2),0)となります。
また、>>102の定義に従ってもそうなります。
最後の章のC(a,b,c)はcorrectnessがaで、そのcorrectnessに対するdegreeがbで、
cより大きい最小の順序数という定義なので、n＞0に対してΩ_n=C(n,0,0)となると思います。
C(1,0,Ω_n)はΩ_nより大きいcorrectness 1の最小の順序数なので、
C(1,0,Ω_1)=C(Ω_2,Ω_1)
C(1,0,Ω_2)=C(C(Ω_3,Ω_2),Ω_2)
C(1,0,Ω_3)=C(C(C(Ω_4,Ω_3),Ω_3),Ω_3)
のようになると思います。
119:１３２人目の素数さん
10/12/29 10:46:15
>>118
(Ω_3,0) = Ω_2, Ω_n = C(n,0,0)とすると、
C(0,C(3,0,0),0) = C(2,0,0) となって
Cの一般的な大小比較の法則とは異なってしまいます。
[A Step towards Second Order Arithmetic]では、
C(a,b,c) はCの一般的な法則を満たすと書いてあります。
[A Step towards Second Order Arithmetic] と
[Second Order Arithmetic and Beyond] と
でcorrectness の定義が微妙に異なるようですが、
[Second Order Arithmetic and Beyond] の定義だと
>>102 とは異なってくるんでしょうか？
120:9-49
10/12/29 12:15:52
>>119
C(a,b)=C(0,a,b)ではなく、C(a,b)のcorrectnessをnとして、C(a,b)=C(n,d,b) (dはある順序数)だと思います。
dがどのように定まるかは一般には簡単に表せないと思います。
C(a,b)のcorrectnessがn＞0となるのは、b＜c≦aを満たすcorrectness n+1の順序数cが存在するときです。
ただ、このままではcorrectnessを順序数に拡張したとき、例えばC(Ω_ω,0)のcorrectnessがうまく定義できません。
0とΩ_ωの間にはΩ_n (0＜n＜ω)があるので、correctnessが自然数とするわけにはいきません。
また、C(Ω_(ω+1),0)でcorrectnessがωとなるので、correctnessがω以上というわけにもいきません。
なので、C(a,b)のaとbの大きさからcorrectnessが決まるという定義では、correctnessを順序数に拡張できません。
だから、correctnessを指定する表記に変えてcorrectnessを順序数に拡張しようという方針だと思います。
C(0,C(3,0,0),0)=C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)＜C(Ω_3,0)=Ω_2となると思います。
C(C(C(Ω_3,Ω_2),0),0)は、Ω_3以上の数を用いないと表せないcorrectness 0の最小の順序数です。
correctnessの定義は、私の知識では理解できないので飛ばしていますが、
その違いは帰納的順序数の定義にはおそらく影響しないだろうと勝手に思っています。
ただ、"by tweaking the notion of maximality in the previous section"というのが気になりますが。
121:１３２人目の素数さん
11/01/04 20:15:49
ふぃっしゅ数の大きさに感動している俺に
>>111のハーディー関数を日本語で解説しているサイトがあれば有り難いんだが
122:１３２人目の素数さん
11/01/06 23:16:06
ビジービーバー面白いな。
Σ(5)（候補）まではシミュレート出来るけど、Σ(6)以降はどうしようもなくて笑えるけど。
で Σ(5)（候補）の最初の10万ステップ画像作ってみた。
348KBだけど画像サイズはデカい（12289x100000）んで、しょぼいソフトだと表示できないが。
URLﾘﾝｸ(harakiri.run.buttobi.net)
123:１３２人目の素数さん
11/01/07 00:48:17
ビューアでもブラウザでもエラー吐いて落ちるなぁ。
面倒だし諦めよう。
124:１３２人目の素数さん
11/01/07 01:10:02
じゃ1/10サイズの1万ステップで。
URLﾘﾝｸ(harakiri.run.buttobi.net)
これは Firefox でも普通に表示できる。
125:１３２人目の素数さん
11/01/07 01:59:30
おう、見れた。サンクス。
序盤だからか、全然停止するところが想像できないなー。
126:１３２人目の素数さん
11/01/07 02:14:55
ラスト1万はこうなる。
URLﾘﾝｸ(harakiri.run.buttobi.net)
真っ白（1づくし）だった領域を縞々にしていって、唐突に左端（から一つ右）で終わる。
結果は、1 0 (1 0 0 が4095回ループ)1 1.
127:１３２人目の素数さん
11/01/13 21:38:24
Σ(2k+4) > 3 ↑^k 3
だそうだ。
ということは、比較的少ないステート数で
アッカーマン関数相当の処理ができるってこと。
1ステートは非常に低レベルな処理であって、
普通のコンピューター言語のような命令を作るには非常に多くのステートを消費するが、
チューリングマシン語で考えられれば
実はそれなりに効率的なのではないだろうか。
128:お久しぶりです
11/01/20 03:48:10
(￣￣< ／￣＞
＼ ヽ ／ ／ｿ
プ ロ ジ ェ ク ト＼ ヽ P r o j e c t X
───────────
挑戦者たち ／|_／ ／＼Challengers
| ／ ＼ 丶
＼／ ＼__ノ
エーックス・・・
語り：トモロヲ
2011年、経済大国 日本。
その名は、過去のものになろうとしていた。日本は成長著しい２大国 中国とインドに追い上げられ、
アジアの盟主からまさに落日の時を迎えようとしていた。
便所の落書き‥‥‥ そう蔑まれた世界最大の匿名掲示板２ちゃんねるも、ネット上の新たな波の
うねり呑まれ、かつての輝きを失おうとしていた。
巨大数スレッド、知る人ぞ知る８年以上続いているスレッドが過疎化が進む数学板に依然として
存在していた。プロジェクトはもはやスレッド参加者達の人生をかけた挑戦になっていた。
この８年間に、それぞれの人生があった。それぞれのドラマがあった。しかし
このスレが存在していることを密かに心の支えにして みんな歯を食いしばって生きた。
アカデミー賞のように注目もされない。オリンピックのようなヒーローもいない、
ましてやノーベル賞やフィールズ賞など、学問の表舞台とも無縁だったが、
プロジェクトは確かに存在しメンバーは「名も無き栄光」を目指した。
これはそんな男達の生涯をかけた静かだが熱き物語である。
129:お久しぶりです
11/01/20 03:48:51
♪風のなかのすーばるー 『グラハム数を超えて』
♪砂の中の銀河－ 『ふぃっしゅ数 誕生 』
♪みんなどこへ行った－ 『チェーン関数の衝撃』
♪見守られることも無く－ 『消えたバード数と矢印回転』
♪草原のペガサス－ 『３重帰納から多重帰納へ』
♪街角のビ－ナス－ 『順序数とHardy関数』
♪みんなどこへ行った－ 『巨大順序数への道』
♪見守られる事もなく－ 『新たな世代の咆吼』
♪地上にある星を 『２重リスト？多重リスト？』
♪誰も覚えていない－ 『拡張！Vebelen関数』
♪人は空ばかり見てる～ 『Ｖer3.からＶer6への道』
♪つばめよ～高い空から～ 『百花斉放 百家争鳴』
♪教えてよ～地上の星を～ 『そびえるＢＢの壁』
♪つばめよ～地上の星は～ 『人生は短し 数学は長し』
♪今どこに～あるのだろう～『 旅 は ま だ 終 わ ら な い 』
『 長 き 旅 路 の 果 て 』 ～はるかなる巨大数～
国井アナ「みなさん前回より約５年間のご無沙汰でした。いや～時間がたちましたね」
善場アナ「私はNHK時代がもうはるか昔に感じます。今ではＴＢＳの番組の印象が
みなさんにとっても印象に強いんじゃないかと」
久保ジュン「私も、フジTVでのお仕事が多くて、この前 渋谷に行ったらすっかり
変わっていて驚いちゃいました」
住吉アナ「今日は、先輩達に独立してからのノウハウを聞こうと思って楽しみにしてたん
です。」
国井アナ（‥‥‥‥‥）
130:１３２人目の素数さん
11/01/22 05:21:51
そろそろ ふぃっしゅ数Ver.7的なものを一発作っておいてはどうでしょう？？
計算可能関数で一番おおきいものを。
かくいう私は、Ver.5までしか理解しておりませんが…。
131:１３２人目の素数さん
11/01/22 19:33:38
パラドックスだな。
132:１３２人目の素数さん
11/01/24 18:36:39
ふぃっしゅ氏が理解できる範囲だとΓ_0もいかない気がする。
133:１３２人目の素数さん
11/01/31 17:10:42
なんかこのスレは初心者の侵入を拒んでる感じなんだよね
初心者の俺は入りにくいんだよな
134:１３２人目の素数さん
11/01/31 19:52:09
初心者大歓迎
135:１３２人目の素数さん
11/01/31 20:32:57
で、アキレス数は亀にどの位近づいた時に、それらの関数を追い越すの？
それとも永遠に追い越せないの？
136:１３２人目の素数さん
11/01/31 23:07:22
アキレス数ってこれのこと？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
亀に近づくとは？
それらの関数とは？
わかるように書いてね！
137:１３２人目の素数さん
11/01/31 23:27:29
小学生が大きな数を競う時に書きそうな大きな数
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1の後ろに0が100個つらなった数。
こんな数でも名前が付いている。
グーゴル(googol)
命名したのは小学生。
検索サイトのgoogleの元になったとも言われている。
観測可能な宇宙の範囲にある原子の数より大きいと言われているが、
こんな大きな数でも、べき乗表現を使うと
100
10
と簡単に表わせてしまう。
じゃあ次はべき乗表現を使って大きな数を作ってみよう。
10
10
10
ちょっと記述が面倒なんで、^をつかって
10^10^10 と表わすことにする。（※ a^b^c = a^(b^c) とする）
これは 1 の後ろに 0 が 10^10 = 10000000000 個もついた巨大な数。
さらに 10^10^10, 10^10^10^10 と大きくすることができる。
ここまで来ると、確率論や組み合わせ論でしか出てこないくらいに大きい。
138:１３２人目の素数さん
11/02/01 03:52:58
>>136
ここで言ってるのは>>32
139:１３２人目の素数さん
11/02/01 14:22:23
数直線上の0から1の間には無限個の点がある
というのを説明してほしいの?
140:１３２人目の素数さん
11/02/01 16:32:19
追い抜いているんだから無限とは言えない。
級数のNの値がふぃっしゅ数その他をとることができるかって話だろ？
141:１３２人目の素数さん
11/02/01 16:53:20
馬鹿かお前は。
142:１３２人目の素数さん
11/02/01 17:43:07
馬鹿というなら証明してみなよ。
143:１３２人目の素数さん
11/02/01 18:59:12
V_a > V_b.
A_0 = 0.
B_0 = 1.
A_{n+1} = B_n.
B_{n+1} = B_n + (B_n - A_n)/V_a * V_b.
n → +∞ の時、B_n - A_n → 0
144:１３２人目の素数さん
11/02/01 19:33:06
0と1がどうしたの？
145:１３２人目の素数さん
11/02/01 19:35:46
馬鹿かお前は。
146:１３２人目の素数さん
11/02/01 19:52:30
他人が問題だと言うことに対して馬鹿だと言うなら、それを解かなければならない。
数直線の話をしているのはあなただけだから、そんな話をしても馬鹿の一つ覚え。
147:１３２人目の素数さん
11/02/01 19:59:59
そ、そうだね。
追い抜いたって言ってるんだから必ず有限時間で止まるんだねw
148:１３２人目の素数さん
11/02/01 20:59:02
順序数って何ですか？
149:１３２人目の素数さん
11/02/02 19:07:38
>>138
有限回繰り返しても抜けない。
だからアキレス数は実数じゃない。
150:１３２人目の素数さん
11/02/02 19:22:33
>>149
カメが止まれば抜けるんだよ。
151:１３２人目の素数さん
11/02/02 20:13:30
追い抜いたという事実は、カメの動作にムラがあったということを示している。まあノロマな奴なんだから当然だろう。
微視的に見ればカメにも止まっている期間がある。寝ているウサギに追いつくのは遅いカメでもできた話だ。
で、それではカメがウサギになってしまって面白くないので、できるだけなめらかに動く特訓をしたクマを用意する。
それをシカが同様に追い抜く場合、アキレス数、いや被っているらしいのでチデジカ数か？これはどこまで増加させられるだろうか？
152:１３２人目の素数さん
11/02/02 20:43:44
馬鹿かお前は。
153:１３２人目の素数さん
11/02/02 21:19:13
馬なんて出てないだろ、変な奴だな。
154:１３２人目の素数さん
11/02/05 19:18:53
冪乗とか階乗の計算できるサイトってありませんか？
155:１３２人目の素数さん
11/02/05 19:29:10
URLﾘﾝｸ(www.google.com)
156:１３２人目の素数さん
11/02/05 20:02:21
>>155
2^{1180591620734591303680}
とかできないじゃん
157:１３２人目の素数さん
11/02/05 21:38:09
>>155じゃないけど>>156
第一に条件を後付けするな。
第二にその式が計算できたとして、どういう出力を望んでるんだ?
158:１３２人目の素数さん
11/02/06 01:12:29
>>155 でも >>157 でもないけど >>156
2^2^70
＝ 10^( 2^70 * log_10(2) )
＝ 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 10^( 2^70 + 355393490465494856465) * 10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
＝ 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^1535985111182906159889
階乗はスターリングの近似を使え
159:１３２人目の素数さん
11/02/06 01:17:26
なんか間違った。
2^2^70
= 10^( 2^70 * log_10(2) )
= 10^355393490465494856465.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....
= (10^0.94206556711248688766431633432471656237382271341679698.....) * 10^355393490465494856465
= 8.75115884874047610417106853456142033180020093019414..... * 10^355393490465494856465
160:１３２人目の素数さん
11/02/06 01:21:15
2^70 かとおもったら微妙に違うのか。
2^1180591620734591303680
= 10^( 1180591620734591303680 * log_10(2) )
= 10^355393490470666551868.512941390863707073748263583672433578549457107429727...
= 10^0.512941390863707073748263583672433578549457107429727... * 10^355393490470666551868
= 3.25792731483911607440672655117361363927155523220250236505899263846061278..... * 10^355393490470666551868
161:１３２人目の素数さん
11/02/06 01:26:04
2^70+2^34+2^17 か
何の計算？
162:１３２人目の素数さん
11/02/06 20:21:48
10文字部門 9を99!回階乗する
20文字部門 f(n):=nに階乗をn回
. f^9!(9)
この「nに階乗をn回」って「nをn回階乗」とは違うの？
163:１３２人目の素数さん
11/02/06 21:09:30
>>162
その記録いろいろとおかしいのであまり深く考えない方が良いかと。
なんでこんなのが長年記録として掲げられてるのかまったくわからない。
20文字部門では f^9!(9) なのに、30文字部門では f^(99!)(9) とカッコでくくってたり、
「9に階乗を999!回」がなぜか許されず、「nに階乗をn回」はなぜか許されてたり、
20文字/30文字部門の改行が数えられて無かったり、
:= という記号を突然使ったり、
「****に」 がどこまで含んでるか不明だったり、
記録の洗練もされていないし、
OK/NGの判断も曖昧すぎる。
まったくゲームになってない。
164:１３２人目の素数さん
11/02/11 16:51:42
巨大数論ってのを読んでるけど
順序数以降が全く分かりません
どうすればいいですか…
165:１３２人目の素数さん
11/02/11 17:19:57
大丈夫俺も良く分からん。
166:165
11/02/11 17:50:50
PDF読み直して、今更分かった気がする。
2重帰納(アッカーマン)、3重帰納(フィッシュ1)、n重帰納、まで作って、
∀n { n重帰納関数 < F } となるようなFが出来ちゃったので、
極限順序数から借りて、「ω帰納」みたいに呼ぼうっていうのが、
ハーディ関数ってことか？
167:１３２人目の素数さん
11/02/12 01:13:44
巨大数を作るために、巨大関数(急激に増大する関数)を作っていく。
それには、「既に作った巨大関数から、それらより大きい巨大関数を作る」ということをする。
巨大関数を新たに作る度に表記を考える(名前を付ける)必要があるが、それに順序数が使える。
順序数には、「順序数の任意の集合に対して、集合のどの要素よりも大きい最小の順序数が存在する」という性質がある。
例えば、空集合に対しては0、{0}に対しては1、{α}(αは順序数)に対してはα+1、{0,1,2,3,…}に対してはω、のように。
これを利用して、順序数に対応した巨大関数を作ることで、
大きい順序数に対応した大きい巨大関数を作ることができる、というのがHardy関数。
大きい順序数を表記する方法は既に色々と考案されているので、それを使うだけでも簡単に大きい巨大関数が作れる。
順序数αに対応する関数をH[α]と書くことにして、α＜βならばH[α]＜H[β]となるようにH[α]を作る。
（自然数の関数f, gに対して、f＜g ⇔ ∃N, ∀n≧N, f(n)＜g(n)とする）
上の「 」で括った二つの部分が対応している。
既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。
それらの順序数の集合を考えると、どの要素よりも大きい最小の順序数が存在して、
それに対応する巨大関数は既に作った巨大関数よりも大きくなる。
168:１３２人目の素数さん
11/02/12 01:15:04
「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つには、適切な収束列の選び方をする必要がある。
そのような収束列の選び方の十分条件（必要条件ではない）は、以下のようになる。
順序数αに対し、集合A(α)を次のように定義する。
・α∈A(α)
・β+1∈A(α)ならば、β∈A(α)
・βが極限順序数かつβ∈A(α)ならば、β_0, β_1∈A(α)（β_0, β_1はβの収束列の0,1番目の要素）
上の性質を満たす、最も小さい集合をA(α)とする。
収束列が単調増加であり、任意のα, nに対してα_n∈A(α_{n+1})ならば、「α＜βならばH[α]＜H[β]」が成り立つ。
上の条件を満たさない収束列の例
ω*(n+1)の収束列を{0,1,…,n,n+1,ω*n+n+2,ω*n+n+3,…}とすると、
H[ω^2](n)=H[ω*n](n)=H[(ω*n)_n](n)=H[n](n)=2n＜4n=H[ω*2](n)となる。
変な収束列の選び方をしなければ、問題ないと思われる。
169:１３２人目の素数さん
11/02/12 11:26:37
1E18=10^18
この「E」の使い方教えてくれないか？
170:１３２人目の素数さん
11/02/12 12:00:59
指数表記だろ？ なんかの工業規格にでもあるんじゃないの？
171:１３２人目の素数さん
11/02/12 18:54:50
>>169
浮動小数点記法、とか、科学的表記法ってやつ。
丸め誤差を含むことを明示する意味があると思う。
Eは指数(exponent)とかの頭文字じゃないかな。
172:１３２人目の素数さん
11/02/12 20:31:25
コンピュータの浮動小数点数の表記でよく使われる。
[a]E[b] で a * 10^b を表す
1.2345E67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E+67 = 1.2345 * 10^67
1.2345E-67 = 1.2345 * 10^(-67)
こんな表記は無い
1E1E10
科学では普通に
23
6.022 * 10
と表記する方が多いと思う。
173:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:09:55
>>168
十分条件である説明と、
ε_0 未満のすべての極限順序数に対し、
カントール標準形の普通の収束列を選んだ場合
Aがどのようになるか
をご教示願いたい。
174:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:17:56
ところで、一番微細な数の定義ってどうなってるの？
175:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:20:11
ε
176:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:25:29
>>174
巨大数の逆数で良いから本質的に巨大数の検索と同等。
177:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:30:10
計算可能性とかってどうなるんだろう？
178:１３２人目の素数さん
11/02/12 22:54:29
ある単一の小数の値が計算可能であることは、
その小数の小数第n位の値を返す関数が計算可能であること
と同値
179:１３２人目の素数さん
11/02/13 00:05:26
>>173
証明は、任意の順序数αに対して、
(1)H[α]は単調増加である
(2)∀β∈A(α)-{α}に対し、H[β](1)≦H[α](1)かつ∀n≧2, H[β](n)＜H[α](n)
(3a)α=α'+1のとき、H[α']＜H[α]
(3b)αが極限順序数のとき、∀n, H[α_n]＜H[α]
を帰納的順序数についての帰納法で示せばよい。
細かいところは省略して書くと、
α=0のとき、H[0](n)=nは単調増加、A(0)-{0}=φであるから、(1)(2)が成り立つ。
α=α'+1のとき、H[α']が単調増加であるから、H[α'+1]も単調増加で∀n, H[α'](n)＜H[α'+1](n)である。
よって(1)(3a)が成り立つ。α'について(2)が成り立つので、∀n, H[α'](n)＜H[α](n)から(2)が成り立つ。
αが極限順序数のとき、仮定よりα_n∈A(α_{n+1})であるから、
H[α_0](1)≦H[α_1](1)かつ∀n, ∀m≧2, H[α_n](m)＜H[α_{n+1}](m)である。
H[α_n]は単調増加なのでH[α_n](n)＜H[α_n](n+1)となるから、H[α]は単調増加で(1)が成り立つ。
α_0, α_1について(2)が成り立つので、H[α_0](1)≦H[α_1](1)=H[α](1)かつ
∀n≧2, H[α_0](n)＜H[α_1](n)＜H[α_n](n)=H[α](n)より(2)が成り立つ。
∀n, ∀m≧max(n+1,2), H[α_n](m)＜H[α_m](m)=H[α](m)より(3b)が成り立つ。
あとは、(3a)(3b)を用いれば「α＜βならばH[α]＜H[β]」が示せる。
Aの例としては、
A(ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3)
={0,1,ω,ω^ω,ω^ω^ω,ω^(ω^ω+1),ω^(ω^ω+ω),
ω^(ω^ω+ω^2),ω^(ω^ω+ω^2)+1,ω^(ω^ω+ω^2)+ω,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^ω,
ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1),ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+1,
ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+2,ω^(ω^ω+ω^2)+ω^(ω+1)+3}
のようになる。
書いた後で気づいたが、>>168の「β_0, β_1∈A(α)」は「β_1∈A(α)」に変えても問題ない。
180:１３２人目の素数さん
11/02/14 21:45:38
>>167
> 既に作った巨大関数には、それに対応する順序数が存在している。
関数と順序数を厳密に対応づけることは非常に難しい。
Hardy関数が3種類あることや、
複数の順序数に対応するHardy関数にまたがって無限回振幅するような関数の存在、
順序数に複数の表記が存在しその表記ごとに収束列が定義されるような収束列の定義、
......
などいろいろがるが、
一番の問題はやはり収束列の定義方法によって大きく増大度が変わってしまう点である。
幸い、今まで出てきた収束列の定義では、
Hardy関数の大きさは大差ない。
普通に収束列を定義するならば、
収束列によらずに、同じ順序数であればほとんど同じ増大度の関数になるのだ。
ところが、この「普通」の定義が難しい。
>>168 の 「α＜β⇒H[α]＜H[β]」という条件は普通であることの必要条件の１個と思われるが、
これだけでは「普通」を定義する条件としてはまだまだ足りない。
実際、H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう。
181:１３２人目の素数さん
11/02/15 03:00:37
ここで言う「普通」と正規な (canonical) は同じことなの？
182:１３２人目の素数さん
11/02/15 19:10:45
> H[ω](n) > BB(n) というようにすることもできてしまう
これって何か問題なのか？
183:１３２人目の素数さん
11/02/15 19:48:22
関数の増加度と順序数を対応付ける為には
そういう不自然な収束列では都合が悪いってことよ
184:１３２人目の素数さん
11/02/18 18:29:06
アキレスとカメって、実は観測問題なんだよね。
アキレスとカメの距離が小さくなるというのは、亀の位置が正確に判るということだから、
不確定性原理により、その時の亀の動く速さはわからない。
亀の速さがわからない時はアキレスの速さもわからないので、アキレスは亀に追いつけるかわからない。
>>151の場合は、クマが止まれば追いつけるんだけど、クマが止まった時のシカの位置がわからないんだよな。
185:１３２人目の素数さん
11/02/19 16:59:21
>>184
「アキレスが亀に追いつくとき、
それ以前に亀がいた位置を全て通過している」
というのは、自明だと思うが、何が気に入らないのか？
186:１３２人目の素数さん
11/02/19 18:50:21
>>185
上で言ってるアキレスとカメは、亀の速さはアキレスの何分の1だが、アキレスは亀に追いつけない。って定義の奴の事だろ。
187:１３２人目の素数さん
11/02/19 19:03:18
うさぎがいくら速くたって、ゴール寸前のカメに勝てないのは自明だよね。
で、問題の巨大数は観測した回数の事だから、寝てたうさぎは論外だな。
188:１３２人目の素数さん
11/02/20 01:02:50.97
アキレスとカメやウサギと亀やクマとシカの話が
大きな実数に結びつくとはとても思えないのだが
つまり、スレ違い（もしくは板違い）
189:１３２人目の素数さん
11/02/20 02:11:04.71
>>188
では、不等号をつけてくれ。
どの数より小さいことは言えるんだ？
190:１３２人目の素数さん
11/02/20 04:40:23.01
無限ループを持ち出して、このループ回数は巨大数だ、と言う馬鹿↑。
191:１３２人目の素数さん
11/02/20 05:02:47.01
どうして無限ループになるんだよ。
少なくとも先にいる方が休んでいれば追いつくことは幼稚園児にでも自明だろ。
192:１３２人目の素数さん
11/02/20 06:02:15.70
無限数列を持ち出して、無限数列の和が収束するから有限数列だ、と言う馬鹿↑。
193:１３２人目の素数さん
11/02/20 06:16:55.04
>>192
無限を証明しろよ
194:１３２人目の素数さん
11/02/20 07:40:22.58
ユークリッド空間、ニュートン力学の世界、
双方が同じ直線上を同じ方向に異なる速さで等速直線運動、
スタート時には速い方が遅い方より後ろにいる、
ゴールする前に速い方は遅い方を抜いた、
という条件であれば答えは無限、
それ以外であれば定義をちゃんと書け
195:１３２人目の素数さん
11/02/20 07:45:30.62
>>194
ありえない。
196:１３２人目の素数さん
11/02/20 08:36:53.28
>>195
証明してみろよｗ
197:１３２人目の素数さん
11/02/20 08:59:53.38
できるだけなめらかにと指定されているので等速直線運動ではない。
微細距離を扱うのにニュートン力学はちょっと、、、
198:１３２人目の素数さん
11/02/20 09:09:26.43
「なめらか」とか意味不明、定義してみろ。
まあ証明も定義も無理だろうけど。
199:１３２人目の素数さん
11/02/20 09:17:19.38
覚えたてのゼノンのパラドックスが不思議でしょうがないんですね＾＾
200:１３２人目の素数さん
11/02/20 09:38:20.45
なめらかはなめらかだろう。
そもそも、できるだけと言っているんだから正確な所はなめらかではない。
可能な範囲でということだろう。
201:１３２人目の素数さん
11/02/20 09:47:06.52
小学生みたいだな。
202:１３２人目の素数さん
11/02/20 10:03:40.14
まあ、ニュートン力学とか言ってるんだからそうなんだろうな。
203:１３２人目の素数さん
11/02/20 10:08:14.53
定義すら出来ないゴミの話題はもう止めよう。
204:１３２人目の素数さん
11/02/20 10:10:28.36
定義はされてるだろ。解釈できる範囲は決まっている。
205:１３２人目の素数さん
11/02/20 10:14:58.36
┐(´ー｀)┌
206:１３２人目の素数さん
11/02/20 10:18:29.14
なめらかって日本語を知らないの？
207:１３２人目の素数さん
11/02/20 11:24:29.78
┐(´ー｀)┌
208:１３２人目の素数さん
11/02/20 23:17:06.63
初音ミクを定義しろと言われたら音声合成式を公開しなければならないのだろうか？
209:１３２人目の素数さん
11/02/20 23:29:44.64
正確な動きが不明であれば
アキレス数の値（もしくは存在）は不明である
210:１３２人目の素数さん
11/02/21 00:26:22.01
>>209
定義の範囲で自由に動いていいんじゃないか？
211:１３２人目の素数さん
11/02/21 00:48:00.24
>>188
結局の所、ビジービーバーの一種って事に落ち着くのだろうか？
212:１３２人目の素数さん
11/02/21 06:09:20.65
妄想乙
213:１３２人目の素数さん
11/02/21 08:26:27.74
なにを言っているんだ？
巨大数なんてどう考えても妄想そのものだろ？
実在させる方法はあるのか？
214:１３２人目の素数さん
11/02/21 08:29:42.17
せいぜい指数関数
215:１３２人目の素数さん
11/02/21 11:53:39.06
せいぜい対数関数だろ。
216:１３２人目の素数さん
11/02/21 22:48:51.49
こんなのはどう？
A f nをfをn回適用する関数とし
pを1足す関数とする←増加のための基本関数はこれに限ることにする
A p n = +n
A (A p n) n = *n
A (A (A p n) n) n = ^n
ここで、A (A (A (A f n) n) n) nと考えていけばさらに大きい数は作れるが
A' f n = A (A f) nとすれば、その考え方自体はAを使って表現出来るため
このアイデアはAの範囲で閉じている
同様にB f nを(f f)をn回適用する関数とすれば
B p n = 2^n
などが考えられ、それらが閉じているかなどを調べる
多分パターンは多数作れるが
どんなパターンもある種の基本的増加パターンの組み合わせで表すことが出来るのか？
などの疑問が出てくる
このやり方は、直接的に構成出来る関数のみで
「～の性質を満たす最小の数」といった宣言的？な関数は表現出来無いのが弱点
217:１３２人目の素数さん
11/02/21 23:07:23.23
上のAを仮に増加関数Aと呼ぶことにすると
Knuthのタワー表記はAのみの範囲で閉じてるので
Knuthタワー∈Aとなる
コンウェイのチェーンはAに収まっているかわからないが、
(何らかの変形でAに収まるかもしれない)
冪やAckermannはAの範囲に収まっていないので
別の増加関数を加えて考える必要がある
それと上のB f nはfn+1=(fn fn)という合成をn回繰り返す関数、の誤り
218:１３２人目の素数さん
11/02/22 00:56:23.93
>>216
p(x) = x +1
(A p n) x = p^n (x) = x +n
{A (A p n) n} x = (A p n)^n (x) = x +n^2
[A {A (A p n) n}] x = {A (A p n) n}^n (x) = x +n^3
219:１３２人目の素数さん
11/02/22 09:59:07.21
間抜け関数と名付けよう。
220:１３２人目の素数さん
11/02/22 18:37:59.64
表記が怪しいのはともかく
言いたいことは何となく伝わらないだろうか
変な所は218とか詳しそうな人に任せるとしてλ式で。
fをn回適用するもの自体を整数に対応させる。チャーチ数=間抜け関数
1=λf x.f x
2=λf x.f (f x)
3=λf x.f (f (f x))
+1=λnfx.f(nfx)
a+b=λabfx.b f (a f x)
a*b=λabfx.b (a f) x
b↑a=b^a==λabfx.a b f x = λab.a b = 1
b↑↑=λab.b (b a) = 2
b↑↑↑a=λab.b (b (b a)) = 3
このようにタワー表記はfをn回適用する関数Aそのものと自然に対応する
2↑↑2
=(λab.b (b a)) 2 2
=(λab.b (b a)) (λab.b (b a)) (λab.b (b a))
=λfx.f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f x)))))))))))))))
=16
221:１３２人目の素数さん
11/02/22 19:09:21.77
算法騎士団はミミズ何匹の夢を見るか？
222:１３２人目の素数さん
11/02/22 19:21:33.93
1>x>0 の時の 1/x のうちの最大の数。
223:１３２人目の素数さん
11/02/22 20:08:21.52
>>220
> 言いたいことは何となく伝わらないだろうか
ムリ
わかんない
>>222
そんなものは存在しない。
224:１３２人目の素数さん
11/02/22 20:14:34.79
わからないのに偉そうな奴が居るな。
225:１３２人目の素数さん
11/02/22 21:56:06.92
もうちょっと整理。
ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
これによる同値類で巨大数を生成する関数(のうち、帰納的に作れるもの)を分類しようとしている
p(x)=x+1、A f n=fをn回合成として
+,*,^,Knuthのタワーなどは全て同じクラスClosure(A,p)に含まれる
>>220ではX=チャーチ数の一種、pは後者関数と呼ばれているもので
このチャーチ数の作り方に対してはλnfx.f(nfx)
pは好きに選べるので、例えば
Ack(n)=Ack(n,n)とすると、Ack(Ack(n))やAck(Ack...(Ack(n)))みたいな作り方の高階関数は
上のAを使ってClosure(A,Ack)としてまとめて表せる
pはp(x)=x+1に固定し、Closure(X,p)を単にClosure(X)と表すことにして
既存の巨大数を生成可能なXの種類について調べる、みたいなアイデア
226:１３２人目の素数さん
11/02/22 22:15:34.04
その閉包はちゃんと"閉じる"のかねぇ。
227:１３２人目の素数さん
11/02/22 22:34:30.55
Closureが生成する関数がちゃんと定義されるかということなら
特に何も制限してないのでXとfの性質を受け継ぐとしかいえない
fがtotal functionであれば
Aは自己適用するだけなので
Closure(A,f)が含む関数が全てtotal functionなのは明らかだが
それはXの性質次第
既存の関数を分類するのには問題ないんじゃないかと思ってるけど。
228:１３２人目の素数さん
11/02/22 23:02:31.10
>>223
逆数が零ではない最大の実数 は存在しないってこと？
229:１３２人目の素数さん
11/02/22 23:21:32.76
> ある高階関数Xをfに繰り返し適用して作られる関数全体をClosure(X,f)とし
f : [整数たちから整数への関数]、
X : 『[整数たちから整数への関数]たちから[整数たちから整数への関数]への写像』
でいい？
f : [非負整数から非負整数への関数]
X : 『[非負整数から非負整数への関数]から[非負整数から非負整数への関数]への写像』
に限定しても実質同じ？
『繰り返し適用』ってのは定数回数適用で良い？
たとえば、
X(f) = f^2 とすると、
Closure(X) = { f(x) = x + 1, f(x) = x + 2, f(x) = x + 4, f(x) = x + 8, ..... }
で良い？
X(F[ある順序数]) で F[ある順序数 + α] 相当の関数ができるとすると、
F[0] に X を定数回数用いても F[α*ω] には到達しないから、
Closure(X) の上限は F[α*ω]
で良い？
230:１３２人目の素数さん
11/02/22 23:25:47.66
>>228
当たり前だ。
実数の逆数は（存在すれば）零じゃないから
単に「最大の実数が存在しない」と同じ意味になる
すべての実数a に対し a+1という実数が存在し a < a+1 となる
だから最大の実数は存在しない
231:１３２人目の素数さん
11/02/22 23:45:22.35
>>230
>>1
＞大きな実数を探索するスレッドです。
232:１３２人目の素数さん
11/02/23 00:46:54.82
>>229
f:a -> a
X:(a -> a) -> (a -> a)
が頭にあったので最初2つにYesと答えようとしたのだけど
そうすると既存のAがうまく扱えない(既存のAは(a -> a) -> 自然数 -> (a -> a)であるので )
ので、また整理して書く
整理したものには、別名を付けるので
既存のClosure(X,p)については229さんの理解した内容でOK
そして、定数回の繰り返しかどうかについては、
順序数を取り扱いやすいように好きに決めてもらってOK
(順序数は勉強中なのでむしろ教えてほしい)
とりあえず今日は寝る
233:１３２人目の素数さん
11/02/23 06:49:48.99
近代の情報が知りたいな
今一番でかいのはF4？F5？F6？BB？
234:１３２人目の素数さん
11/02/23 08:03:54.71
>>229
つづき
+,*,...は2入力の関数なので閉包に与えるfも2入力である必要があったため
2入力の関数に対する閉包を同様にClosure2(χ,f)とし
最初の版のpに相当するものを通常の足し算として同様にClosure2(χ)=Closure2(χ,+)とする
X∈χは(a->a->a)な関数を受け取り、(a->a->a)な関数を返す高階関数となる
220で考えたものは自然数nでパラメータ化されているので
X: (a->a->a)->自然数->(a->a->a)な関数で
この考えをHaskellで書くと
xa f n = if n==1 then f else xa (\x y -> foldl1 (\acc x -> f x acc) $ replicate y x) (n-1)
closure = map (xa (+)) [1..]
first5 = map (\f->f 2 3) $ take 5 closure
この結果は
[5,6,8,16,65536]
これはClosure({xa},(+)))の最初の5つに2と3を渡した場合の結果で
それぞれ2+3/2*3/2^3/2↑↑3/2↑↑↑3に対応する
6番目は計算が終わらなかった
235:１３２人目の素数さん
11/02/23 08:11:26.28
(2^2)^2=16なのでコードはfoldl1→foldr1の誤りかな
質問への回答は帰ってきてからまた
236:１３２人目の素数さん
11/02/23 22:50:32.05
>>234
それ止まりだと単なるハイパー演算子なので、
さらに大きな数を作れるようなXの具体例を考えなくては。
237:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:27:32.55
>>233
●厳密に定義出来ている（もしくは簡単に出来る）ものの中での最大は、
計算不可能次数が0^[大きな帰納的順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数
●厳密に定義するのは難しいが頑張れば定義できるであろうものの最大は、
計算不可能次数が0^[大きな可算順序数]であるオラクルを持つマシンによるビジービーバー関数
もしくは、
F[大きな可算順序数], H[大きな可算順序数], G[大きな可算順序数]
●アルゴリズムが具体的に示されているものの最大は、
F[大きな帰納的順序数], H[大きな帰納的順序数], G[大きな帰納的順序数]
--------
大きな帰納的順序数（収束列の定義やそれを求めるアルゴリズムまで示されている物）は
>>102 が最大
大きな可算順序数も >>102 に示されているものが使える
帰納的ではない可算順序数の収束列の作り方は、
>>7-267 で示されているような方法が使えるはず
238:１３２人目の素数さん
11/02/24 00:39:51.17
>>229
最初2つはYes。
順序数でもいいので、比較関数を含めてClosure(X,f,<)などとしてOK
3つめはNo。↓にあるように無限リスト。加算個
4つめはYes.↓の実装にサンプル
5つめはまだわからないが
計算機ではω自体は扱えないような気がする
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
このあたりがプログラム言語と数学の接点
半順序と、再帰関数をうまく扱うために最小不動点なるものを使うらしい
コードを再度整理
--Xに相当
--fを2回合成
f2 f = f.f
--2引数関数fをy個のxに(y-1)回適用
x1 f x y =foldl1 (flip f) $ replicate y x
closure x f = scanl (\acc i -> x acc) f [1..]
c1 = closure f2 ((+)1) --Closure({f^2},p)
c2 = closure x1 (+) --Closure({x1},+)
test f cl= map f $ take 5 cl
result = [test ($0) c1,test (\x->x 2 3) c2]
--結果[[1,2,4,8,16],[5,6,8,16,65536]]
--[1,2,4,8,16]はClosure(f^2,p)の先頭5つに0を適用した結果
しばらくは、過去スレの成果に追いつくことを目標に。
>>234
次はコンウェイのチェーンをやってみる