19/10/04 21:24:32.75 FzFdUbJu.net
>>343
ベクトル部分はおいておくとして、まず正方行列の部分だけに限定すれば
A(BC)=(AB)C ・・・(1)
が証明できれば どんな場合でも結合側が成り立つことが数学的帰納法で
証明できます。なので、A,B,C が正方行列の時に(1)を証明すれば全体の証明が
ほぼ終わります。
【(1)の証明】
行列の積の定義により
(AB)ij=Σ_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} ・・・(2)
です。なので、
{(AB)C}mn = Σ_l(AB)_{ml}C_{ln}
= Σ_k Σ_l A_{mk} B_{kl} C_{ln} ・・・(3)
です。全く同様に、
{A(BC)}mn = Σ_k A_{mk} (BC)_{kn}
= Σ_k A_{mk} Σ_l B_{kl} C_{ln}
= Σ_k Σ_l A_{mk} B_{kl} C_{ln} ・・・(4)
となり、(3), (4) が一致することから、
{A(BC)}mn = {(AB)C}mn
が言えます。これが (1) に他なりません。 (Q.E.D)
次に、このように3つの行列の場合ではなく、一般の個数の行列の場合、
最初に書いたように数学的帰納法を使います。それは、あなた自身で
お考えください。考える力の練習になります。