18/04/01 15:21:10.32 //EuH1G7.net
>>485
任意の2以上の整数nとする. n!に対して素数kの素因数の数が F(n, k) になる事は機知とする.
F(n, k) = [n/k] + [n/(k^2)] + ...
またガウス記号の定義([x] は x を超えない最大の整数)から任意の実数 x に対して,
x - 1 < [x] <= x ……☆.
m_k を n/(k^m_k) >= 1 となる最大の整数とすると,
n/(k^m_k) >= 1 ⇔ n < k^m_k ⇔ log_k(n) >= m_k なので, m_k = [log_k(n)].
また m_k より大きな任意の整数 i に対して n/(k^i) < 1 なので, [n/(k^i)] = 0.
従って, F(n, k) = [n/k] + [n/(k^2)] + ... + [n/(k^m_k)].
さて, ☆より
F(n, 5) <= n/5 + n/(5^2) + ... + n/(5^m_5)
= n*(1/5)*(1 - 1/(5^m_5))/(1 - 1/5)
= n*(1 - 1/(5^m_5))/(5 - 1)
= n*(1 - 1/(5^[log_5(n)]))/(5 - 1)
<= n*(1 - 1/(5^log_5(n)))/(5 - 1)
= (n - 1)/4,
F(n, 2) > n/2 - 1 + n/(2^2) - 1 + ... + n/(2^m_2)
= n*(1/2)*(1 - 1/(2^m_2))/(1 - 1/2) + (-1)*m_2
= n*(1 - 1/(2^m_2)) - m_2
> n*(1 - 1/(2^(log_2(n) - 1))) - log_2(n)
= n - log_2(n) - 2.
依って2以上の任意の整数nに対して,
F(n, 5) <= (n - 1)/4 < n - log_2(n) - 2 < F(n, 2)
となり題意は示された.
((n - 1)/4 < n - log_2(n) - 2 は増減表を書くなりして確かめて)