18/05/23 04:14:21.29 .net
たとえば、通常、数学の土台とされる公理系自体が不自然、欠陥ありとおもってるのがいるが。ゲーデルもだが。
連続体仮説 - Wikipedia
この仮説は 19 世紀に集合論の創始者、ゲオルク・カントールによって提出された。
ヒルベルトは彼の有名な 23 の問題の第一番にこの連続体仮説を取り上げた。
その後、1940年にゲーデルは任意の ZF のモデルにおいて構成可能集合全体のクラス L が連続体仮説をみたすことを証明し、「ZFC からは連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。
さらに1963年、ポール・コーエンは「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している。
連続体仮説の公理性
現代数学では、標準的な枠組みとして ツェルメロ-フレンケルの公理系 ZF などの公理系を基礎におく理論構築がなされている。
公理的な立場から重要なことは、ZFC と連続体仮説は独立であるということである。連続体仮説は ZFC においては真としても偽としてもよいともいえる。
ゲーデルは、連続体仮説は偽であると強く主張したことで知られている。彼の見方では、連続体仮説の独立性の証明は ZFC に欠点があることを示していることになる。
もっとよい公理系を選べば連続体仮説が偽であることが証明できると考えたのである。
ヒュー・ウッディンのように連続体仮説が偽であるとする専門家のうちには、「自然な仮定」を加えて構築される数学モデルでは連続体濃度が ? 2に一致するといった形で定式化を試みる動きもある。
ヒュー・ウッディン - Wikipedia
ジェネリック・マルチヴァースの理論と関連するΩ論理を研究。これは通常は連続体仮説が数学的プラトニズムの意味で決定不能かまたは偽だと述べる。
だがウッディンは、それでは直観に反する帰結が得られるとして異を唱えた。
彼の主張によれば、これらおよび他の関連する数学的な結果から（直観的に）導かれる結論として、連続体仮説には真理値がありプラトニズム的なアプローチは理に適っているのだという。
ウッディンは既知の殆ど全ての巨大基数について内部モデルを構成できると予想しており、これを究極のL (Ultimate L) と呼んでいる。
これはゲーデルの構成可能宇宙と類似した性質を持つという。特に、この宇宙では連続体仮説が真になる。