08/05/12 13:20:17 QVQWZUYY
しかし>>420のコメント欄にあるみたいな円周率談義は何とかならないものかなあ。円周率～３をけな
してさえいれば何か立派なことを言っていると思いこんでいる人が多いみたいだけどそんなことないん
だよ。3.14とみなすのは発想としては工学で、3とみなすのは本質的には理学の範疇なの。一桁近似な
んかじゃなくてね。
一応解説。3.14と言うのは、3.1415926535･･･の頭3つを切り取ったもの。さて皆さん、なぜ円周率が
この値なのかイメージわきますか？このイメージをつかむには、円の外周をもっとわかりやすい図
形で近似すればいいのです。直径1の円があるとして、これを円に内接する四角形で近似する。この
１辺は1/√2だから、四角形の辺の長さは2√2～2.828････。
と言っても、これだとちょっと円に離れすぎ。なのでもう少し角の数を増やして6角形で近似してみる。
これは１辺0.5の正三角形6つの組み合わせなので、辺の長さは0.5*6=3。これが円周率～3の意味な
のです。理学の範疇ってのは、数字的な近似ではなくこういう図形的・概念的な近似を行うから。
もう少し細かくして8角形だと中心角45度の2等辺三角形8つだから、辺の長さは8*0.5*2*√{(1-1/√2)/2}
～3.06146・・・。実際には、内接多角形の辺の長さは円周より確実に短いので、円周率はこれよりま
だ少し大きいと予想できる。一般に円周を円に内接する正n角形で近似した場合、その辺の長さは
n*sin(2π/n)
円周率を3とみなすのは、こういう近似概念の入り口なのです。ちなみに、上の式は増加関数だけど、
3.14を超えるのは正57角形のとき、3.1415を超えるのは正237角形のとき・・・3.14と覚えていても、こう
いうイメージについてはどう？
(厳密には、内接多角形と外接多角形で挟み込んで近似していくけどここでは省略。)
さて皆さん御立会い。円周は正多角形で近似すれば良く、仮に正6角形で近似したら3になると教える
よりも、円周率は3.14と暗記させることが絶対に正しいと言い切れます？