04/04/23 03:07
>>248、249 の４元数のパッケージの使用例
４元数 モーガン著 二木昭人訳 サイバーグ ヰッテン理論とトポロジー 培風館 ISBN 4563002623
２章のはじめの1ページ分に４元数と回転群の説明がある。
４元数体Hの中の単位球面S3 を考えると４元数体の積はS3に群構造を誘導
する。この群のHへ 共役による作用 S3 X H -> H
(a,λ) -> aλa^(-1) を考えれば ノルムを保つ、直交表現を得る。この
作用でHの中心Rは不変であり、したがってRの直交補空間である純虚数４
元数全体のなす３次元部分空間ImH も不変である。
ええっとその通りで何の疑問もないところだけど 計算でImHが不変を示す
のは結構面倒でmaximaにやらすと以下のようになる。
(C2) load("yogen.mac");
(C3) a:_a+_b*i+_c*j+_d*k$
(C4) declare([_g,_h],scalar)$
(C5) x:_e*i+_f*j+_g*k$
(C6) expand4(a.conj4(a));
(D6) _d^2+_c^2+_b^2+_a^2 //つまりノルムが1ならconj4(a)がaの逆元
(C8) ratsimp(expand4(a.x.conj4(a)));
(D8) ((_d^2-_c^2-_b^2+_a^2)*_g+(2*_c*_d+2*_a*_b)*_f+(2*_b*_d-2*_a*_c)*_e)*k
+((2*_c*_d-2*_a*_b)*_g+(-_d^2+_c^2-_b^2+_a^2)*_f+(2*_a*_d+2*_b*_c)*_e)*j
+((2*_b*_d+2*_a*_c)*_g+(2*_b*_c-2*_a*_d)*_f+(-_d^2-_c^2+_b^2+_a^2)*_e)*i
(C9) scalarpart4(d8);
(D9) 0
これで純虚数４元数全体ImH も不変であることが計算で示せた。