09/07/05 15:43:37
>>977
> 選択公理の否定を公理として採用することは無いし
これは数学に対する無知のなせる発言だね。まあ物理屋なら仕方ないけど。
集合論の公理として決定性公理(AD: Axiom of Determinacy)というのがある。
この公理を認めるとＲの任意の部分集合はルベーク可測という事が導かれる。
即ち、ルベーク可測でない集合を生み出しBanach-Tarskiの「逆理」を導いてしまう選択公理(AC: Axiom of Choice)とは矛盾する公理だ。
ＡＤは未だ一般の数学者には採用されてはいないが、集合論や基礎論などの分野では十分に有意だし性質の良い公理として認められていて、
ＡＤを採用した数学の世界がどうなるかも研究されている。しかもＡＤからは可算濃度集合に限定した選択公理（可算選択公理）が定理として導かれる。
実際、集合の元を一つずつ順番に並べて行けるという行為（選択公理が主張する内容を端的に言えばこういう選択行為を任意の集合に対して認めるという事に
他ならない）を、連続濃度でももっと高い濃度でも無制限に認める一般的なＡＣよりは、可算集合だけに限ってそういう行為を可能にする方が直感的には自然だ。
非可算濃度まで考えると様々な非常に奇妙な結論を導いてしまうＡＣが一般の数学者の中でそれほど疑問視されず
採用されている理由として考えられる第一のポイントは、選択公理（ＡＣ）が「極めて安全」だという事が保証されているからだろう。
即ち、ＺＦをＡＣを含まぬ通常の集合論の公理系とする時、ＺＦが無矛盾ならばＺＦにＡＣを追加した公理系も無矛盾だという事は証明されている。
つまり、集合論を用いる限り、ＡＣを追加しても何も危険性（数学の土台が矛盾してしまう危険性）が増えないという事。
残念ながら決定性公理（ＡＤ）に対しては、そこまでの安全性は保証されていない。
数学で或るステートメントが公理として採用されるか否かは、
（１）そのステートメントが数学者の多くが共有している数学美に照らして美しいとか自然だとアピールできるか？
（２）そのステートメントを仮定する事でどれだけ多くの面白い数学が生まれてくるか（ステートメントの生産性が高いか）？
（３）ステートメントの安全性
（４）数学者コミュニティの社会学
の４つの要因で決まっていると言って良い。