09/06/30 20:36:44
しゃーないな、だれも書かないなら、１次元の場合でやってみよう。
どんな教科書にでものってるんだけど…。
密度をρ(x,t)、流体の速度をu(x,t)とする。
微小区間(x, x+Δx)を考える。
区間の左側から単位時間に流入する液体の質量はρ(x,t)u(x,t)
区間の右側から単位時間に流出する液体の質量はρ(x+Δx,t)u(x+Δx,t)
よって純流出は
ρ(x+Δx,t)u(x+Δx,t) - ρ(x,t)u(x,t)
≒ ∂/∂x (ρ(x,t) u(x,t)) ・Δx + O(Δx^2)
これが区間での単位時間当たりの液体の減少に等しいから
-∂/∂t (ρ(x,t) Δx) ≒ ∂/∂x (ρ(x,t) u(x,t)) ・Δx + O(Δx^2)
両辺をΔxで割って、Δx→0の極限をとれば、連続の方程式
-∂/∂t ρ(x,t) = ∂/∂x (ρ(x,t) u(x,t))
が得られる。
３次元の場合は、３辺がΔx, Δy, Δzの直方体を考えて、向かい合う２面からの
純流出を偏微分で表せば、どうようにして連続の方程式を導ける。