10/05/31 11:01:40
次の積分をラプラス変換を使って解けという問題なのですが、解けな
いで困っています。御助力をお願い致します。
∫[0,π]t・exp(-t)・sin t dt
答えは {(1+π)・exp(-t)+1}/2 になるそうです。
33:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:06:07
>>32の者です
答えは
{(1+π)・exp(-π)+1}/2
の誤りです。すいません。
34:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:36:17
>>31
計算結果は正しい
問題ミス
35:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:37:43
>>32
なんでラプラス変換使うのかわからん。
∫[0,π]t・exp((-1+i)t) dt を部分積分で計算して虚部を取れば答は出る。
36:１３２人目の素数さん
10/05/31 12:52:30
素数pのφ(p-1)個の原始根の中に必ず一つは素数があるなんて決まり無いですよね？
ぜんぶ合成数のときもありますよね？
37:１３２人目の素数さん
10/05/31 19:16:28
>>35
「使って解け」なんだから使ってやれよ
38:１３２人目の素数さん
10/05/31 19:51:00
>>32
みなも言っているように、どうラプラス変換を使うかが問題だ。次のようなもの
はどうだろう。
Io = ∫[0,π] t exp(-t) sin(t) dt, Jo = ∫[0,π] exp(-t) sin(t) dt とする。
この積分区間を [nπ, (n+1)π] としてやると、
In = (-1)^n exp(-nπ) Io + (-1)^n nπ exp(-nπ) Jo となることがわかる。
また Jn = (-1)^n exp(-nπ) Jo である。
Σ[n=0,∞] Jn = ∫[0,∞] exp(-t)sin(t)dt = L[sin(t)](s=1) = 1/2. L[f(t)] は
f(t)のラプラス変換。
ΣJn = Jo/(1+exp(-π)) = 1/2 だから、Jo = (1/2)(1+exp(-π)).
同様に t sin(t) のラプラス変換を求めて s=1 とすれば、1/2。これと ΣIn
を評価して、Io = 「解答」を得る。まどろっこしいが、無理やりラプラス変換を
使った。
39:38
10/05/31 20:09:56
そうか、これでいいのか。
Jn(s) = ∫[nπ,(n+1)π] exp(-st)sin(t)dt とすれば、求める積分は -(d/ds)Jo(s) | s=1.
一方、Σ[n=0,∞]Jn(s) = ∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt = L[sin(t)](s) = 1/(1+s^2) ---(A).
また、Jn(s) = (-1)^n exp(-nsπ) Jo(s) だから、Σ[n-0,∞]Jn(s) = Jo(s)/(1+exp(-sπ) ---(B).
AとBを比べて、Jo(s) = (1+exp(-sπ))/(1+s^2). これより -(d/ds)Jo(s) | s=1 を計算
して、解を得る。
40:38
10/05/31 20:32:35
しつこくてごめん。
Jo(s) = ∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt - ∫[π,∞]exp(-st)sin(t)dt
= (1+exp(-sπ))∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt = (1+exp(-sπ))/(1+s^2).
と計算すれば、もっと楽だった。