10/05/27 23:03:46 BE:151474144-S★(522522)
●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ～おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...] （上下付き１成分表示）
●行列 M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j] M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可） ●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)
●関数・数列：f(x), f[x] a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y) ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x| ●共役複素数：z~ ●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）
3:１３２人目の素数さん
10/05/27 23:03:58 BE:85204433-S★(522522)
●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）
●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨￢∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換
4:１３２人目の素数さん
10/05/27 23:04:37 BE:340816166-S★(522522)
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雑談はここに書け！【３７】
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くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(64桁略)8164
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【業務連絡】
■レスの数が970ぐらいになったら新しいスレッドを立て、そちらには
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◆ わからない問題はここに書いてね ２６６ ◆
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5:１３２人目の素数さん
10/05/28 07:39:10 BE:284013465-S★(522800)
前スレで誘導忘れてた
6:１３２人目の素数さん
10/05/28 07:40:50
それをココで書いても、スレ終わる頃には忘れてるでしょ。
7:１３２人目の素数さん
10/05/28 22:49:42
凸関数に関することです。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
に
「1変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が単調非減少であることである。」
とあるのですが，これってどう示すのでしょうか？
微分可能性は1階しか仮定しません。
[前スレ.970]
8:１３２人目の素数さん
10/05/28 22:56:57
>>7
a<b<c とする。
f '(x) は単調非減少,
↓
f '(ξ) ≦ f '(b) ≦ f '(η), (ξ≦b≦η)
↓
{f(b) - f(a)}/(b-a) ≦ {f(c) - f(b)}/(c-b),
↓
f(b) ≦ {(b-a)f(c) + (c-b)f(a)}/(c-a), …… Jensen
↓
y=f(x) は下に凸
かな？
9:１３２人目の素数さん
10/05/28 23:36:31
0^0は？
10:１３２人目の素数さん
10/05/28 23:39:16
>>9
定義できん。
lim[x→+0]x^x=1
11:１３２人目の素数さん
10/05/30 04:04:15
0^0=1
12:１３２人目の素数さん
10/05/30 08:13:40
実値は定義できんと書いてあるだろボケ
13:１３２人目の素数さん
10/05/30 11:38:36
関数g(t)、h(t)がt→0の時g(t)→0、h(t)→0を満たすとき
ほとんどの場合、lim[t→0]g(t)^h(t)=1となり、
そうならないg(t)、h(t)の組み合わせはかなり限られるんだよな。
この「ほとんどの場合」って所をうまく厳密に定義して、0^0=1に延長できないかなぁ…
14:１３２人目の素数さん
10/05/30 11:45:02
ｘ（ｔ）＝ｅｘｐ（－ｔ－２ｔ＾２・ｉ）
ｙ（ｔ）＝１＋（１／ｔ）ｉ
とすると
ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ－＞＋∞｝ｘ（ｔ）＝０
ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ－＞＋∞｝ｙ（ｔ）＝１
ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ－＞＋∞｝ｘ（ｔ）＾ｙ（ｔ）
＝ｌｉｍ＿｛ｔ∈Ｒ，ｔ－＞＋∞｝ｅｘｐ（ｔ－（１＋２ｔ＾２）ｉ）
＝∞
だから０＾１は定義できん。
15:１３２人目の素数さん
10/05/30 12:06:02
0^0はともかく0＾1=0だろJK
16:１３２人目の素数さん
10/05/30 12:13:31
定義できん
17:１３２人目の素数さん
10/05/30 12:15:31
QA
18:１３２人目の素数さん
10/05/30 12:19:56
場合に応じて合理的に処理する道を探すのか
物理的かつ絶対的な真理を追究するのか
19:１３２人目の素数さん
10/05/30 12:46:35
>>13
結局のところ「文脈に依存するので一般には定義しない」の範疇を出ません。
20:１３２人目の素数さん
10/05/30 14:05:41
(x,y)→(0,1)のときx^yは収束しないので19は0^1を定義しない。
21:13
10/05/30 14:42:07
>>19
0^0=1で困る文脈ってのが非常に限られてるんじゃないか、って話なんだが。
z=x^yのグラフを描くと、x=0がある意味で特異点になっていて、
>>13の話でg(t)^h(t)→1にならないのは、x=0に急速に近づく動きをする場合に限られるだろ？
22:１３２人目の素数さん
10/05/31 04:02:15
t
23:１３２人目の素数さん
10/05/31 05:11:24
>>21
そもそも、不定形に白黒つけたら数学なんぞつまらなくなる。微分
にしろ何にしろ、0 と ∞ の間にある不定形というプリズムから色
取り取りの概念が生れる。
24:１３２人目の素数さん
10/05/31 05:14:42
0^1は不定形
25:１３２人目の素数さん
10/05/31 06:41:30
0^1=0
26:１３２人目の素数さん
10/05/31 07:19:58
0^1=∞
27:１３２人目の素数さん
10/05/31 09:22:40
正１２面体の展開図は何通りあるか
正２０面体の展開図は何通りあるか
合同なものは１通りとする
例、立方体の展開図は１１通り
こんなのしらみつぶし以外で解き方あるのか？
28:１３２人目の素数さん
10/05/31 09:28:34
展開図って何か定義されてないし。
察するに、数片に分かれてるのはNGなんだろうけど。
29:１３２人目の素数さん
10/05/31 09:45:48
定義を挙げると面倒だし
厳密にすればいっそう＞＞２８みたいな揚げ足取りのツッコミが入るでしょ
だから展開図と普通言われた時に一般的なものだと示すため
例示ですませている
辺だけで切り開くとは限らないと言って
一つの面を分割するような展開図もあるなどとツッコんでた人もいたな。
30:１３２人目の素数さん
10/05/31 10:14:03
その程度の指摘で気分を損ねるようなら、2chは向いてないよ
31:１３２人目の素数さん
10/05/31 10:20:10
正則関数fにたいして
Δlog(1+|f(z)|^2)=4|f'(z)|^2/(1+|f(z)|^2)
を示せ
Δlog(1+|f(z)|^2)
=Δ|f(z)|^2/(1+|f(z)|^2)-{(∂[x]|f(z)|^2)^2+(∂[y]|f(z)|^2)^2}/(1+|f(z)|^2)^2
=4|f'(z)|^2/(1+|f(z)|^2)^2
となったけど、計算間違いしてる？
32:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:01:40
次の積分をラプラス変換を使って解けという問題なのですが、解けな
いで困っています。御助力をお願い致します。
∫[0,π]t・exp(-t)・sin t dt
答えは {(1+π)・exp(-t)+1}/2 になるそうです。
33:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:06:07
>>32の者です
答えは
{(1+π)・exp(-π)+1}/2
の誤りです。すいません。
34:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:36:17
>>31
計算結果は正しい
問題ミス
35:１３２人目の素数さん
10/05/31 11:37:43
>>32
なんでラプラス変換使うのかわからん。
∫[0,π]t・exp((-1+i)t) dt を部分積分で計算して虚部を取れば答は出る。
36:１３２人目の素数さん
10/05/31 12:52:30
素数pのφ(p-1)個の原始根の中に必ず一つは素数があるなんて決まり無いですよね？
ぜんぶ合成数のときもありますよね？
37:１３２人目の素数さん
10/05/31 19:16:28
>>35
「使って解け」なんだから使ってやれよ
38:１３２人目の素数さん
10/05/31 19:51:00
>>32
みなも言っているように、どうラプラス変換を使うかが問題だ。次のようなもの
はどうだろう。
Io = ∫[0,π] t exp(-t) sin(t) dt, Jo = ∫[0,π] exp(-t) sin(t) dt とする。
この積分区間を [nπ, (n+1)π] としてやると、
In = (-1)^n exp(-nπ) Io + (-1)^n nπ exp(-nπ) Jo となることがわかる。
また Jn = (-1)^n exp(-nπ) Jo である。
Σ[n=0,∞] Jn = ∫[0,∞] exp(-t)sin(t)dt = L[sin(t)](s=1) = 1/2. L[f(t)] は
f(t)のラプラス変換。
ΣJn = Jo/(1+exp(-π)) = 1/2 だから、Jo = (1/2)(1+exp(-π)).
同様に t sin(t) のラプラス変換を求めて s=1 とすれば、1/2。これと ΣIn
を評価して、Io = 「解答」を得る。まどろっこしいが、無理やりラプラス変換を
使った。
39:38
10/05/31 20:09:56
そうか、これでいいのか。
Jn(s) = ∫[nπ,(n+1)π] exp(-st)sin(t)dt とすれば、求める積分は -(d/ds)Jo(s) | s=1.
一方、Σ[n=0,∞]Jn(s) = ∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt = L[sin(t)](s) = 1/(1+s^2) ---(A).
また、Jn(s) = (-1)^n exp(-nsπ) Jo(s) だから、Σ[n-0,∞]Jn(s) = Jo(s)/(1+exp(-sπ) ---(B).
AとBを比べて、Jo(s) = (1+exp(-sπ))/(1+s^2). これより -(d/ds)Jo(s) | s=1 を計算
して、解を得る。
40:38
10/05/31 20:32:35
しつこくてごめん。
Jo(s) = ∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt - ∫[π,∞]exp(-st)sin(t)dt
= (1+exp(-sπ))∫[0,∞]exp(-st)sin(t)dt = (1+exp(-sπ))/(1+s^2).
と計算すれば、もっと楽だった。