10/05/11 21:01:29
問．f(x)=x^nに対して、(x+1)(x-1)^2で割った余りを求めよ。
以下に自分の解答を途中まで記します。
まずf(x)を(x+1),(x-1),(x-1)^2でそれぞれ割って余りを求める。
f(-1)=(-1)^n…①
f(1)=1^n=1…②
f(x)を(x-1)^2で割った余りをax+b,商をQ(x)とするとf(x)=(x-1)^2・Q(x)+ax+b…③
②よりf(1)=a+b=1 ∴b=1-aこれを③に代入し、
f(x)=(x-1)^2・Q(x)+ax+1-a
⇔x^n=(x-1)^2・Q(x)+a(x-1)+1
⇔x^n -1=(x-1)｛(x-1)・Q(x)+a｝
⇔(x-1)(1+x+x^2+x^3+…+x^n-1)=(x-1){(x-1)・Q(x)+a} (∵等比数列の和)
⇔1+x+x^2+x^3+…+x^n-1=(x-1)・Q(x)+a
ここでx=1を代入すると
1+1+1+…+1=a ∴a=n, b=1-a=1-n より
f(x)を(x-1)^2で割った余りは、nx-n+1
この後の処理が上手くできません。どなたか教えてください。
勿論これ以外の解法でも全然構いません。お願いします。