10/04/28 22:49:55
>>23
ありがとうございます。
物理屋なもので、言葉の使い方が粗くて申し訳ありません。
> 微分自体が各点で存在しない。
それはもちろんその通りで、
この場合問題にしたいのは、微分方程式を差分化した結果得られた値の組である数値解が、
厳密解の満たす性質を差分幅の何次の精度で満たしているかが重要になります。
もちろん、最も重要なのは、数値解が厳密解と局所的に差分幅の何次で離れているかであって、
例えばEuler法は1次だとか、よく用いられるRunge-Kuttaは4次だとか、
陰的Gauss公式は任意の2n次作れるとか、そういう事実が知られているわけです。
しかし、それ以外にも厳密解が満たしている性質で数値解にも満たしてほしいものがあるケースは多々あって、
例えば、Hamilton系なんかは、差分化した数値解もエネルギー保存してほしいわけですが、
Runge-Kuttaなんかでやると数値化した結果のエネルギーが発散してしまったりして、
そういう数値解は厳密解の「近似」とは言い難い。
それで、エネルギーを局所的に差分幅の2次とか4次で保存する、シンプレクティック解法というのが知られていたりします。
複素微分方程式でも同様に、差分化したCauchy-Riemann方程式を差分の何次かで満たしてほしい。
得られた数値解の実部／虚部に、Laplacianの差分化施しても、
ちゃんとその値が差分幅のn次で抑えられるような解法はどういうものか。
どのように
> 多項式近似して少し進めて初期値を取り直す
という操作を行うのが良いか、その辺をお聞きしたいのです。
>>24
解きたいのは「初期化問題」なので境界条件ありませんし、
Green関数が簡単に求まるようなら数値解法なんて使わなくていいのですが、
解析的に解けなそうな方程式の数値近似が知りたいのです。