10/03/24 18:08:44
多いですがお願い致します。
①Xの部分集合列A_1,A_2,…
B＝{x∈X;x∈A_nなるnが無限個存在する}
のとき、BをA_n,∪,∩,c(補集合)を用いて表してください。
∀や∃は用いないでください。
②f(x)＝sin(1/x^(1/2)) *(1-x)^n /(x)^(1/2)
のとき、lim[n→∞] ∫[0→1]f(x)dx を求めてください。
|f(x)|≦(1-x)^n /(x)^(1/2) としてこの積分値が有限ならlimと∫が交換できる(答えは0)はずなのですが、積分の仕方がわからないです。
方針が間違っているのでしょうか。
③f(x)＝1/(nx+1/2^n)
のとき、lim[n→∞] ∫[0→1]f(x)dx を求めてください。
ルベーグ積分の定義どおりに∫fdx を計算したら、
lim[m→∞] (∑[0≦k≦m*2^m-1](k/2^m)*(f^(-1)(k/2^m)－f^(-1)((k+1)/2^m)) + m*f^(-1)(m))
＝lim[m→∞] (∑[0≦k≦m*2^m-1](1/n(k+1)) + (1-m/2^n)/n)
＝lim[m→∞] ((α+log(m*2^m))/n + (1-m/2^n)/n) (0＜α＜1)
＝lim[m→∞] ((1+α)/n + (1/n)logm + (log2-1/2^n)m)
＝∞
となってしまった(答えは∞)のですが、どこが間違っているのでしょうか。
もっと楽な方法があるのでしょうか。