10/03/07 23:38:59
>>849の修正
>>772の双対
定義
C を圏とする。
I を２点 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b からなるグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
図式 F：I → C (>>833)とは C における２個の射
f：X → Y
g：X → Y
のことである。
colim F (>>823)を射 f と g の差余核(difference cokernel)
またはコイコライザー(coequalizer)と呼び、Coker(f, g) と書く。
即ち CokerKer(f, g) は C の対象 K と射 u：Y → K の組で次の条件を満たすものである。
(ⅰ) uf = ug
(ⅱ) h：Y → Z で hf = hg となるものがあるとき
w：K → Z で h = wu となるものが一意に存在する。
このとき、用語の濫用で K を f と g の差余核またはコイコライザーとも呼ぶ。
851:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/07 23:41:30
>>774の双対
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
下の図式において X → Z が Coker(f, g) (>>850)のとき、この図式は完全であると言う。
X ⇒ Y → Z
ここで ⇒ は２本の射 f, g を表す。
852:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:21:47
>>779の双対
例
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
X と Y を Set の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
Y の元 u と v は u = f(x) かつ v = g(x) となる x ∈ X があるとき u ～ v と書く。
Y における関係 ～ で生成される同値関係を R とする。
p：Y → Y/R を標準写像とすれば、これが Coker(f, g) (>>850)である。
853:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:36:34
>>780の双対
命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
次の図式を考える。
X ⇒ Y → Z
ここで ⇒ は２本の射 f, g を表す。
この図式が完全(>>851)であるためには
任意の T ∈ Ob(C) に対して、次の図式が完全(>>774)であることが必要十分である。
Hom(Z, T) → Hom(Y, T) ⇒ Hom(X, T)
証明
>>779と Coker(f, g) の定義(>>850)から明らかである。
証明終
854:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:38:51
>>852の修正
>>779の双対
例
Set を小さい集合(>>321)全体の圏とする。
X と Y を Set の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
Y の元 u と v は u = f(x) かつ v = g(x) となる x ∈ X があるとき u ～ v と書く。
Y における関係 ～ で生成される同値関係(>>830)を R とする。
p：Y → Y/R を標準写像とすれば、これが Coker(f, g) (>>850)である。
855:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:42:43
>>781の双対
例
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
A と B を Ab の対象とする。
f：A → B
g：A → B
を射とする。
このとき、Coker(f, g) (>>850) は標準写像 B → Coker(f - g) である。
これが差余核という名前の由来である。
856:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:46:59
>>794の双対
定義
C を零対象(>>791)をもつ圏とする。
f：X → Y を C における射とする。
0：X → Y を零射(>>791)とする。
このとき、Coker(f, 0) (>>850)を f の余核(cokernel)と呼び Coker(f) と書く。
即ち Coker(f) は C の対象 K と射 u：Y → K の組で次の条件を満たすものである。
(ⅰ) uf = 0
(ⅱ) h：Y → Z で hf = 0 となるものがあるとき
v：K → Z で h = vu となるものが一意に存在する。
このとき、用語の濫用で K を f の余核とも呼ぶ。
857:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:48:38
>>795の双対
例
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
f：A → B を Ab における射とする。
Coker(f) (>>856) は f の通常の意味の余核である。
即ち、Coer(f) = B/f(A)
858:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 00:54:04
>>796の双対
例
Grp を小さい群全体の圏とする。
f：G → H を Grp における射とする。
このとき、Coker(f) (>>856) は標準射 H → H/N である。
ここで N は f(G) で生成される H の正規部分群である。
859:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 01:01:55
命題
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
K = Coker(f, g) とする。
このとき標準射 Y → K は全射(>>345)である。
証明
>>853より、任意の T ∈ Ob(C) に対して、
Hom(K, T) → Hom(Y, T) は単射である。
よって、Y → K は全射(>>345)である。
証明終
860:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 01:17:51
>>800の双対
定義
I を３点 a, b, c と２本の射 c → a、c → b からなるグラフ(>>325)とする。
c → b
↓
a
C を圏とする。
図式 F：I → C (>>833)とは C における次の図式のことである。
図式 (１)
Z→ Y
↓
X
P = colim F (>>823) が存在すれば、次の図式が可換になる。
図式 (２)
Z → Y
↓ ↓
X → P
このとき P を図式 (１)の押し出し(pushout)または
ファイバー余積(fibered coproduct)またはファイバー和(fibered sum)
と言い、P = (X＋Y)/Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー余積またはファイバー和とも言う。
f:Z → X
g:Z → Y
のとき P を (f, g) の押し出しまたはファイバー余積またはファイバー和と言う。
図式 (２)を押し出し四角形(pushout square)と言う。
861:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 08:29:20
>>803の双対
C を圏とする。
f：Z → X
g：Z → Y
を C における射とする：
F を次の図式とする。
Z→ Y
↓
X
u：X → T、v：Y → T を射とし、次の図式が可換であるとする。
Z → Y
↓ ↓
X → T
即ち、uf = vg である。
よって、u：X → T、v：Y → T は F から T への錐(>>824)である。
即ち、
Cone’(F, T) (>>826) = {(u, v) ∈ Hom(X, T)×Hom(Y, T)； uf = vg}
= (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。
ここで、(Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) は
Set におけるファイバー積(>>801)である。
ファイバー余積(>>860) (X＋Y)/Z が存在するとする。
標準的に Hom((X＋Y)/Z, T) ⇔ (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。
ここで ⇔ は全単射を表す。
即ち、共変関手 T → (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) は
(X＋Y)/Z により表現(>>729)される。
862:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 08:34:41
>>804の双対
C を圏とする。
f：Z → X
g：Z → Y
を C における射とする：
余積(>>837) X＋Y が存在するとする。
p：X → X＋Y
q：Y → X＋Y
をそれぞれ標準射とする。
このとき、２本の射
pf：Z → X → X×Y
qg：Z → Y → X×Y
が得られる。
このとき、Coker(pf, qg) (>>850)が存在すれば
(X＋Y)/Z (>>860) = Coker(pf, qg) である。
863:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 08:37:57
>>806の双対
命題
圏 C においては任意の２個の対象（同じ対象も含む）の余積(>>837)と
任意の差余核(>>850)が存在するとする。
このとき、C においては任意のファイバー余積(>>860)が存在する。
証明
>>862より明らかである。
864:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 08:41:17
>>807の双対
例
Ab を小さいアーベル群全体の圏とする。
Ab においては任意の２個の対象（同じ対象も含む）の余積(>>837)と
任意の差余核(>>850)が存在する(>>855)。
よって、>>863より、Ab においては任意のファイバー余積(>>860)が存在する。
865:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 09:00:35
>>815の双対
>>862の主張はファイバー余積(>>860)と差余核(>>850)の定義に戻って考えれば
明らかであるが形式的に証明しよう。
C を圏とする。
f：Z → X
g：Z → Y
を C における射とする。
余積(>>837) X＋Y とファイバー余積(>>860) (X＋Y)/Z が存在するとする。
T を C の任意の対象とする。
>>861より、Hom((X＋Y)/Z, T) ⇔ (Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) である。
p：X → X＋Y
q：Y → X＋Y
をそれぞれ標準射とする。
>>801より、
(Hom(X, T)×Hom(Y, T))/Hom(Z, T) → Hom(X, T)×Hom(Y, T) ⇒ Hom(Z, T)
は完全(>>774)である。
ここで ⇒ は f と g からそれぞれ引き起こされる２本の射である。
標準的に Hom(X, T)×Hom(Y, T) ⇔ Hom(X＋Y, T) であるから
Hom((X＋Y)/Z, T) → Hom(X＋Y, T) ⇒ Hom(Z, T) は完全である。
よって、>>853より、
Z ⇒ X＋Y → (X＋Y)/Z は完全(>>851)である。
即ち (X＋Y)/Z = Coker(pf, qg) である。
866:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 09:05:58
>>800の修正
定義
I を３点 a, b, c と２本の射 a → c、b → c からなるグラフ(>>325)とする。
b
↓
a → c
C を圏とする。
図式(>>833) F：I → C とは C における次の図式のことである。
図式 (１)
Y
↓
X → Z
P = lim F (>>741) が存在すれば、次の図式が可換になる。
図式 (２)
P → Y
↓ ↓
X → Z
このとき P を図式 (１)の引き戻し(pullback)または
ファイバー積(fibered product)と言い、P = (X×Y)_Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー積とも言う。
f:X → Z
g:Y → Z
のとき P を (f, g) の引き戻しまたはファイバー積と言う。
図式 (２)を引き戻し四角形(pullback square)と言う。
867:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 09:08:25
>>860の修正
定義(>>866の双対)
I を３点 a, b, c と２本の射 c → a、c → b からなるグラフ(>>325)とする。
c → b
↓
a
C を圏とする。
図式 F：I → C (>>833)とは C における次の図式のことである。
図式 (１)
Z→ Y
↓
X
P = colim F (>>823) が存在すれば、次の図式が可換になる。
図式 (２)
Z → Y
↓ ↓
X → P
このとき P を図式 (１)の押し出し(pushout)または
ファイバー余積(fibered coproduct)またはファイバー和(fibered sum)
と言い、P = (X＋Y)_Z と書く。
P はまた X と Y の Z 上のファイバー余積またはファイバー和とも言う。
f:Z → X
g:Z → Y
のとき P を (f, g) の押し出しまたはファイバー余積またはファイバー和と言う。
図式 (２)を押し出し四角形(pushout square)と言う。
868:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 09:15:50
>>812の双対
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とし、余積 X＋Y (>>837)が存在するとする。
p：X → X＋Y
q：Y → X＋Y
をそれぞれ標準射(>>837)とする。
f：X → T
g：Y → T
を C における射とする。
このとき、射 h：X＋Y → T で hp = f、hq = g となるものが一意に存在する。
この h を (f, g) で表す。
869:１３２人目の素数さん
10/03/08 09:27:49
おはよう
クマーは月曜日も朝から晩まで２ちゃんですな？
870:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/03/08 10:35:47
>>851の修正
>>774の双対
定義
C を圏とする。
X と Y を C の対象とする。
f：X → Y
g：X → Y
を射とする。
下の図式において Y → Z が Coker(f, g) (>>850)のとき、この図式は完全であると言う。
X ⇒ Y → Z
ここで ⇒ は２本の射 f, g を表す。