10/01/20 11:17:58
命題
>>414の関係 ψ_1 ≡ ψ_2 は同値関係である。
証明
推移律を証明すればよい。
[a, b] と [c, d] と [e, f] を実数体 R における有限区間とし、
ψ_1: [a, b] → M と ψ_2: [c, d] → M と ψ_3: [e, f] → M
を区分的に C^1 級の曲線(>>380)とし、
ψ_1 ≡ ψ_2
ψ_2 ≡ ψ_3
とする。
a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b を [a, b] の分点とする。
Δ_1: c = s_0 ＜ s_1 ＜ . . . ＜ s_n = d と
Δ_2: c = u_0 ＜ u_1 ＜ . . . ＜ u_m = d を [c, d] の分点とする。
e = v_0 ＜ v_1 ＜ . . . ＜ v_m = f を [e, f] の分点とする。
ψ_1 は各 [t_(i-1), t_i] で C^1 級とし、
ψ_1 の [s_(i-1), s_i] への制限を ψ_(1, i) とする。
ψ_2 は各 [s_(i-1), s_i] で C^1 級とし、
ψ_2 の [s_(i-1), s_i] への制限を ψ_(2, i) ととする。
ψ_2 の [u_(j_1), u_j] への制限を φ_j とする。
ψ_3 は は各 [v_(j-1), v_j] で C^1 級とし、
ψ_3 は の [v_(j-1), v_j] への制限を ψ_(3, j) とする。
(続く)
416:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 11:18:42
>>415の続き
各 i に対して、ψ_(1, i) と ψ_(2, i) が同値(>>413)とし、
各 j に対して、φ_j と ψ_(3, j) が同値ととする。
Δ_1 と Δ_2 の各点を合併したものから重複する点を除いたものを Δ とする。
Δ_1 ≦ Δ、Δ_2 ≦ Δ である(>>331)。
Δ に対応する [a, b] の各小区間への ψ_1 の制限と
Δ に対応する [c, d] の各小区間への ψ_2 の制限は同値である。
同様に
Δ に対応する [c, d] の各小区間への ψ_2 の制限と、
Δ に対応する [e, f] の各小区間への ψ_3 の制限は同値である。
よって、ψ_1 ≡ ψ_3 である。
証明終
417:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 12:34:19
補題
X を位相空間とし、A_1, . . ., A_n をその閉集合で
X = A_1 ∪. . . ∪ A_n とする。
f: X → Y を X から位相空間 Y への写像とし、各 f|A_i は連続とする。
このとき f は連続である。
証明
F を Y の閉集合とする。
各 i に対して、f^(-1)(F) ∩ A_i は A_i の閉集合である。
A_i は閉集合であるから f^(-1)(F) ∩ A_i は X の閉集合である。
よって、f^(-1)(F) = ∪(f^(-1)(F) ∩ A_i) は閉集合である。
証明終
418:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 12:42:41
補題
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
[a, b] と [c, d] を実数体 R における有限区間とし、
ψ_1: [a, b] → M と ψ_2: [c, d] → M を C^1 級の曲線(>>380)とする。
ψ_1(b) = ψ_2(c) とする。
このとき、R の任意の区間 [u, v] と u ＜ w ＜ v となる任意の w
に対して区分的に C^1 級の曲線(>>380) φ: [u, v] → M があり、
ψ_1 ≡ φ|[u, w] かつ ψ_2 ≡ φ|[w, v] となる。
証明
[u, w] から [a, b] への C^1 級の写像 f(t) で
t ∈ [u, w] のとき f’(t) ＞ 0 であり、
a = f(u)、b = f(w) となるものが存在する。
例えば次のような１次関数をとればよい。
f(t) = ((b - a)/(w - u))t + a - u(b - a)/(w - u)
同様に [w, v] から [c, d] への C^1 級の同型 g(t) で
t ∈ [w, v] のとき g’(t) ＞ 0 であり、
c = g(w)、d = g(v) となるものが存在する。
写像 φ: [u, v] → M を、
t ∈ [u, w] のとき φ(t) = ψ_1(f(t))
t ∈ [w, v] のとき φ(t) = ψ_2(g(t))
と定義する。
ψ_1(f(w)) = ψ_1(b) = ψ_2(c) = ψ_2(g(w))
であるから φ(t) は矛盾なく定義される。
>>417より、φ は連続である。
よって、φ は区分的に C^1 級である。
ψ_1 ≡ φ|[u, w] かつ ψ_2 ≡ φ|[w, v] は明らかである。
証明終
419:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 12:59:10
補題
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
p を M の任意の点とする。
このとき p の開近傍 U があり、U の任意の２点 x, y は
U 内の C^1 級の曲線で結ばれる。
即ち、C^1 級の曲線 ψ: [a, b] → U があり、
x = ψ(a) かつ y = ψ(b) となる。
証明
V を p の座標近傍とし、x = (x_1, . . ., x_n) をその座標近傍とする。
x(V) は R^n の開集合である。
U(p, r) = {x ∈ R^n; |x - p| ＜ r} ⊂ V となる r ＞ 0 をとる。
U(p, r) の任意の２点は U(p, r) 内の直線で結ばれる。
このとき U = {q; |x(q) - x(p)| ＜ r} とおけばよい。
証明終
420:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:08:19
命題
M を n 次元の連結なC^∞級多様体でとする。
このとき、M の任意の２点は区分的に C^1 級の曲線(>>380)で結ばれる。
証明
M の任意の点 p を固定する。
p と区分的に C^1 級の曲線(>>380)で結ばれる点の全体を U とする。
>>418と>>419より U は開集合である。
同様に M - U は開集合である。
M は連結だから M = U でなければならない。
証明終
421:１３２人目の素数さん
10/01/20 13:09:50
g2BU0D6YN2はErnst Eduard Kummerに失礼だと思わないの？
422:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:10:11
>>420
>M を n 次元の連結なC^∞級多様体でとする。
M を n 次元の連結なC^∞級多様体とする。
423:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:19:05
命題
M を n 次元の連結なC^∞級多様体とする。
f を M 上のC^∞級の実数値関数とする。
M の各点で df = 0 なら f は定数である。
証明
>>406と>>420より明らかである。
424:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:30:43
補題
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
U を M の座標近傍とし、ω を U 上の連続な1次微分形式(過去スレ014の731)とする。
ψ: [a, b] → U を C^1 級の曲線(>>380)とする。
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ (c, d) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、
∫[ψ] ω = -∫[ψφ] ω
証明
>>408と同様である。
ただし、Σ∫[a, b]Σf_i(ψ(t))(x_iψ)’(t) dt の代わりに
Σ∫[b, a]Σf_i(ψ(t))(x_iψ)’(t) dt = - Σ∫[a, b]Σf_i(ψ(t))(x_iψ)’(t) dt
が使われる。
証明終
425:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:40:40
補題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
[a, b] を実数体 R における有限区間とし、
f: [a, b] → F を連続写像とする。
[c, d] を実数体 R における有限区間とし、
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
φ([c, d]) ⊂ [a, b] で、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、
∫[a, b] f(s) ds = -∫[c, d] f(φ(t))φ’(t) dt
証明
F(t) = ∫[a, t] f(s) ds とおく。
>>335より、各 t ∈ [a, b] に対して F’(t) = f(t) である。
φ([c, d]) ⊂ [a, b] だから合成関数 Fφ が意味をもつ。
合成写像の微分(>>55と>>365と>>368)より、
各 t ∈ [a, b] において、d(Fφ)/dt = f(φ(t))φ’(t)
よって、>>337より、
∫[c, d] f(φ(t))φ’(t) dt = F(φ(d)) - F(φ(c)) = F(a) - F(b)
= -∫[a, b] f(s) ds
証明終
426:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:47:46
>>424の修正
補題
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
U を M の座標近傍とし、ω を U 上の連続な1次微分形式(過去スレ014の731)とする。
ψ: [a, b] → U を C^1 級の曲線(>>380)とする。
[c, d] を実数体 R における有限区間とし、
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
φ([c, d]) ⊂ [a, b] で、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、
∫[ψ] ω = -∫[ψφ] ω
証明
(x_1, . . ., x_n) を U の座標系とする。
ω = f_1dx_1 + . . ., + f_ndx_n とする。
>>383より、
∫[ψφ] ω = ∫[c, d] Σ(f_i(ψ(φ(s))))(x_i(ψφ))’(s) ds
>>425より、
∫[c, d] Σ(f_i(ψ(φ(s))))(x_i(ψφ))’(s) ds
= ∫[c, d] Σ(f_i(ψ(φ(s))))(x_i(ψ)’(φ(s)) φ’(s) dt
= -Σ∫[a, b]Σf_i(ψ(t))(x_iψ)’(t) dt
= -∫[ψ] ω
証明終
427:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 13:50:58
補題
[a, b] と [c, d] を実数体 R における有限区間とし、
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ (a, b) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、[a, b] = φ([c, d]) である。
証明
c ≦ s ＜ t ≦ d となる任意の s, t に対して
平均値の定理より (φ(t) - φ(s))/(t - s) = φ’(θ) となる
s ＜ θ ＜ t がある。
仮定より、φ’(θ) ＜ 0 であるから
φ(t) ＜ φ(s) である。
即ち φ は [c, d] において狭義単調減少である。
よって、c ＜ s ＜ d となる任意の s に対して、
a = φ(c) ＜ φ(s) ＜ φ(d) = b
よって、φ([c, d]) ⊂ [a, b] である。
他方、中間値の定理より、[a, b] ⊂ φ([c, d]) である。
証明終
428:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 14:50:14
命題
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
U を M の開集合とし、ω を U 上の連続な1次微分形式(過去スレ014の731)とする。
ψ: [a, b] → U を C^1 級の曲線(>>380)とする。
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ (a, b) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、
∫[ψ] ω = -∫[ψφ] ω
証明
>>396より、[a, b] の分点 a = t_0 ＜ t_1 ＜ . . . ＜ t_n = b があり、
ψ([t_(i-1), t_i]) ⊂ U_i, i = 1, . . ., n
となる座標近傍 U_i がある。
>>427の証明よりより、φ は [c, d] から [a, b] への狭義単調減少な全射であるから
[c, d] の分点 c = s_0 ＜ s_1 ＜ . . . ＜ s_n = d があり、
各 i に対して、t_i = φ(s_(n-i)) かつ φ([s_(n-i), s_(n-i+1)]) = [t_(i-1), t_i] となる。
ψ の [t_(i-1), t_i] への制限を ψ_i とし、φ の [s_(n-i), s_(n-i+1)] への制限を φ_i とする。
>>426より、
∫[ψ_i] ω = -∫[ψ_iφ_i] ω
>>398より、
∫[ψ] ω = Σ∫[ψ_i] ω
∫[ψφ] ω = Σ∫[ψ_iφ_i] ω
よって、
∫[ψ] ω = -∫[ψφ] ω
証明終
429:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 14:59:07
>>427の修正
補題
[c, d] を実数体 R における有限区間とし、
φ: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
t ∈ (c, d) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
b = φ(c)、a = φ(d) とする。
このとき、a ＜ b であり、[a, b] = φ([c, d]) である。
証明
c ≦ s ＜ t ≦ d となる任意の s, t に対して
平均値の定理より (φ(t) - φ(s))/(t - s) = φ’(θ) となる
s ＜ θ ＜ t がある。
仮定より、φ’(θ) ＜ 0 であるから
φ(t) ＜ φ(s) である。
即ち φ は [c, d] において狭義単調減少である。
よって、c ＜ s ＜ d となる任意の s に対して、
b = φ(c) ＞ φ(s) ＞ φ(d) = a
よって、φ([c, d]) ⊂ [a, b] である。
他方、中間値の定理より、[a, b] ⊂ φ([c, d]) である。
証明終
430:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 15:00:40
補題
[c, d] を実数体 R における有限区間とし、
f: [c, d] → R を C^1 級(>>325)の写像で、
各 t ∈ [c, d] に対して f’(t) ＜ 0 であり、
b = f(c)、a = f(d) とする。
このとき、a ＜ b であり、f は [c, d] から [a, b] への全単射であり、
その逆写像 g は C^1 級である。
証明
>>429の証明よりより、f は [c, d] から [a, b] への全単射である。
[c, d] はコンパクトであるから f は閉写像である。
よって、g は連続である。
s, s_0 ∈ [c. d] で s ≠ s_0 とする。
t = g(s)
t_0 = g(s_0)
とおく。
(g(s) - g(s_0))/(s - s_0) = (t - t_0)/(f(t) - f(t_0))
である。
g は連続であるから、s → s_0 のとき、t → t_0 である。
f’(t_0) ≠ 0 であるから両辺の有限な極限が存在し、
g’(s_0) = 1/f’(t_0) である。
よって、g は C^1 級である。
証明終
431:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 15:03:29
>>428
>t ∈ (a, b) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
t ∈ (c, d) のとき φ’(t) ＜ 0 であり、
432:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 15:27:42
定義
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
[a, b] を実数体 R における有限閉区間とし、
ψ: [a, b] → M を区分的に C^1 級の曲線(>>380)とする。
ψ(a) = ψ(b) のとき ψ を区分的に C^1 級の閉曲線という。
433:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 15:56:22
定義(C^1級曲線(>>380)の再定義)
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とする。
[a, b] から M への C^1 級の写像(>>371)のことを
C^1 級のパラメータ付き曲線という。
C^1 級のパラメータ付き曲線の同値類(>>413)を M におけるC^1級の曲線という。
434:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 16:05:01
定義(区分的に C^1 級の曲線(>>380)の再定義)
M を n 次元のC^∞級多様体とする。
[a, b] を実数体の有限閉区間とする。
[a, b] から M への区分的に C^1 級の写像(>>376)のことを
区分的に C^1 級のパラメータ付き曲線という。
区分的に C^1 級のパラメータ付き曲線の同値類(>>414)を
M における区分的に C^1級の曲線という。
435:Kummer ◆g2BU0D6YN2
10/01/20 18:17:43
>>60
>以上から、
>|S(α(h)) + β(T(h) + α(h))|/|h|
>≦ |S||α(h)|/|h| + M(|β(T(h) + α(h))|/|T(h) + α(h)|)
これは、T(h) + α(h) ≠ 0 でないと意味を成さない。
よって、>>58を修正する。