10/05/16 22:05:15
>>731
(2m)^{4} ≡ 0, (mod 16)
(2m+1)^{4} ≡ 1, (mod 16)
(2m+1)^{2010} ≡ (2m+1)^{2006} ≡ ･････ ≡ (2m+1)^{2}, (mod 16)
(8m±1)^{2010} ≡ 1, (mod 16) …… 252個 + 251個
(8m±3)^{2010} ≡ 9, (mod 16) …… 251個 * 2
∴ 5021 ≡ 13, (mod 16)
737:１３２人目の素数さん
10/05/16 22:10:43
>>732 >>735
フェルマーの小定理より
a^{p} ≡ a, (mod p)
a^{2010} ≡ a^{2010-(p-1)} ≡ a^{2010-2(p-1)} ≡ ……
とくに a^{2010} ≡ a^{10}, (mod 17)
(pm±k)^{10} ≡ k^{10}, (mod p)
(17m)^{10} ≡ 0, (mod 17)
(17m±1)^{10} ≡ 1, (mod 17)
(17m±2)^{10} ≡ 4, (mod 17)
(17m±3)^{10} ≡ 8, (mod 17)
(17m±4)^{10} ≡ 16, (mod 17)
(17m±5)^{10} ≡ 9, (mod 17)
(17m±6)^{10} ≡ 15, (mod 17)
(17m±7)^{10} ≡ 2, (mod 17)
(17m±8)^{10} ≡ 13, (mod 17)
Σ[k=1,8] (17m+k)^{10} ≡ Σ[k=1,8] (17m-k)^{10} ≡ 0, (mod 17)
∴ (与式) ≡ Σ[1,4] (2006+k)^{10} ≡ Σ[1,4] k^{10} = 1108650 ≡ 12, (mod 17)
738:１３２人目の素数さん
10/05/16 22:52:56
>>733-734
オイラーの定理より
a^{1+φ(n)} ≡ a, (mod n)
ここに φ(n) は オイラーの totient函数。
a^{2010} = a^{2010-φ(n)} ≡ a^{2010-2φ(n)} ≡ …… (mod n)
とくに φ(3･5) = (3-1)(5-1) = 8,
a^{9} ≡ a, (mod 15)
a^{2010} ≡ a^{2002} ≡ …… ≡ a^{2}, (mod 15)
(nm±k)^{2} ≡ k^{2}, (mod n)
(15m)^{2} ≡ 0, (mod 15)
(15m±1)^{2} ≡ 1, (mod 15)
(15m±2)^{2} ≡ 4, (mod 15)
(15m±3)^{2} ≡ 9, (mod 15)
(15m±4)^{2} ≡ 1, (mod 15)
(15m±5)^{2} ≡ 10, (mod 15)
(15m±6)^{2} ≡ 6, (mod 15)
(15m±7)^{2} ≡ 4, (mod 15)
Σ[k=1,7] (15m+k)^{2} ≡ Σ[k=1,7] (15m-k)^{2} ≡ 5, (mod 15)
Σ[k=1,45] (15m+k)^{2} ≡ 0, (mod 15)
∴ (与式) = Σ[k=1,30] (1980+k)^{2} ≡ 5*4 ≡ 5, (mod 15)
※ 実は a^{5} ≡ a, (mod 15) が成り立つ。
a^{5} - a = (a-1)a(a+1)(a^{2} +1) = (a-1)a(a+1){(a-2)(a+2) +5},
739:べ
10/05/16 23:40:29
>>728
念のためだがそれは>>716にだけ言ってるんだよな？
念のためだが、オレは全角「記号」は＜しか使っておらず、
この「＜」は>>716の文から引用したんだが。
もし全角「数字」使ってるやつがキモイと言うのであれば、
>>728自信もキモイ事になるが。
740:１３２人目の素数さん
10/05/17 01:03:29
2以上の自然数はいくつかの自然数の和で表すことができる
2010個の自然数の和で表されるもののうちその約数の個数が最大となるものを求めよ
741:１３２人目の素数さん
10/05/17 01:03:56
自分も ＜, ＞ は全角だな
≦, ≧ と <, > を混ぜると気持ち悪い
742:１３２人目の素数さん
10/05/17 01:05:47
やっぱり最小のやつで
743:１３２人目の素数さん
10/05/17 01:19:44
三角形を2010個の相似な三角形に分割できるか
744:１３２人目の素数さん
10/05/17 05:24:10
>>742
2048
745:１３２人目の素数さん
10/05/17 09:24:32
素数になるときが約数の個数2個で最小じゃないの？
746:１３２人目の素数さん
10/05/17 09:35:49
問題に改良の余地あり
素材は悪くないと思うが
2010個の自然数の和で表される自然数って無数にあるとういか
2010以上の自然数すべてだし
約数の個数って条件じゃ上に制限つかないから
いくらでも大きいものが用意できる
747:１３２人目の素数さん
10/05/18 23:04:28
>>743
各辺の中点を結んで4等分する方法だと、△の数が3づつ増える。
2010-1 は 3で割り切れないから、この方法では無理……
748:１３２人目の素数さん
10/05/19 12:38:47
各辺を44等分して結べば44^2=1936個に分割できてる
小三角形の3つを選びそれぞれ
各辺の中点を結んで4つに分割
各辺を3等分して9個に分割
各辺を8等分して64個に分割
とすれば元の三角形を1936+64-1+4-1+9-1=2010個に分割できる
749:１３２人目の素数さん
10/05/19 12:51:01
>>748
それ相似な図形にならなくね
750:１３２人目の素数さん
10/05/19 21:31:38
>>743
まづ、各辺の中点を結んで４つの△に分割し、
ラグランジュの４平方和の定理を使ってさらに分割する方法もある。
（但し n≠1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41, (4^k)*2, (4^k)*6, (4^k)*14）
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
751:１３２人目の素数さん
10/05/20 21:01:59
>>750
辺の2等分をm_2回、辺の3等分をm_3回行うと、△の個数nは
n = 1 + (2x2-1)m_2 + (3x3-1)m_3 = 1 + 3m_2 + 8m_3,
となる。
∴ n≠ 2,3,5,6,8,11,14 のとき、n個の相似な△に分割できる。
まあ、意匠(デザイン)的には >>750 が優っているが……
752:１３２人目の素数さん
10/05/20 21:54:09
西暦の数使う問題って数オリとかだけじゃねぇの？
実際の入試で過去にあった？
753:１３２人目の素数さん
10/05/21 00:02:54
結構あったような
754:１３２人目の素数さん
10/05/21 00:07:35
>>752
入試問題を探せば無数に見つかる。
東大では2003年の数列のやつとか、2000年の場合の数の問題とか。
755:１３２人目の素数さん
10/05/21 00:12:22
毎年出てるもんな
756:１３２人目の素数さん
10/05/21 21:26:30
>>752
2010
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2009
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)