09/10/24 22:44:51
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
前スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2:１３２人目の素数さん
09/10/24 22:57:05
乙
3:１３２人目の素数さん
09/10/25 06:56:10
744 ：１３２人目の素数さん：2009/09/25(金) 08:58:50
Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。
4:１３２人目の素数さん
09/10/25 06:57:34
893 ：１３２人目の素数さん：2009/10/11(日) 09:15:48
円錐の底面の円周上の点Aを出発し, 側面を一周して
Aに戻る道のりで, 最も短い道をαとする. 曲線αは
空間内のある1つの平面上に存在するか？
理由も答えよ.
5:１３２人目の素数さん
09/10/25 07:10:00
451 ：１３２人目の素数さん：2009/09/07(月) 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
6:１３２人目の素数さん
09/10/25 07:13:21
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
この漸化式難しくない？
7:１３２人目の素数さん
09/10/25 19:33:08
>>4
1つの平面上には存在しない。
(理由)
点Aと円錐の頂点Oをとおる直線（母線）で切った展開図を考える。
これは点Oを中心とする扇形OA'A" となる。
α ⇒ 線分A'A",
∠OA'A" + ∠OA"A' = 180ﾟ - ∠A'OA" < 180ﾟ,
∴ 点Aにおけるαの2本の接線は、一直線上には存在しない。
∴ αは1つの平面上には存在しない。
（∵ 2つの平面の交線は1本の直線)
8:１３２人目の素数さん
09/10/25 20:27:46
区間0 =< x =< \pi/2において、y=3 e^{-x} sin xのグラフを
与えられたグラフ用紙に描け。
尚、e=2.71...、\pi=3.14...とする。
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
(パスキー: todai)
9:１３２人目の素数さん
09/10/25 20:47:51
【問題】
3枚のコインがある。 この3枚のコインを机の上に並べ次の操作を繰り返し行う
『操作』：サイコロを振り、出た目が1,2なら左端のコイン、3,4なら真ん中のコイン、5,6なら右端のコイン
を裏返す。
この時、3枚が「表表表」である状況から初めて、ｎ回の操作の結果「表表表」又は
「表裏表」となる確率を求めよ。
10:１３２人目の素数さん
09/10/25 20:54:40
作問者が媚びるスレになったか．．．
11:１３２人目の素数さん
09/10/27 04:56:56
某スレ見てて思いついた問題
x^3+ax^2+bx+cの解をα、β、γとする。
a、b、c及び複素数の定数から
四則演算と平方根を有限回用いて得られる式 f(a,b,c) で
任意の複素数a,b,cに対して f(a,b,c) はα、β、γのいずれかと等しい
を満たすような式 f(a,b,c) は存在しないことを示せ。
12:１３２人目の素数さん
09/10/27 08:59:47
>>11
なんでそれを東大作問者スレに書き込むんだ。
他にスレがいくらでもあるだろうに。
もうちょっと東大っぽくアレンジしたら？
13:１３２人目の素数さん
09/10/27 15:26:23
新型インフルエンザにかかり、来年度の国立大学の２次試験を受けられない受験生への対応を検討していた国立大学協会は２６日、
各大学が本試験のおおむね１週間後に追試験を実施するなどの救済措置をとる方針を決めた。
２０１０年度だけの特例措置で、基本的に新型インフルエンザ患者と疑われる人が対象。
本試験の１週間前から当日までに診断書や追試験受験申請書を提出させるなどして認定する。
ただ、方針に拘束力はなく、追試験を実施するかを含め、具体的な日程や方法は、各大学の判断にゆだねる。
14:１３２人目の素数さん
09/10/27 22:56:19
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第七問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第八問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十問
15:１３２人目の素数さん
09/10/27 22:58:12
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十一問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問(前スレ)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
16:１３２人目の素数さん
09/10/30 00:38:44
m,nを自然数とする.
1<n<mならば、a^m+b^m=c^n をみたす(a,b,c)は無数に存在するか？
17:１３２人目の素数さん
09/10/30 00:39:35
ただし、a,b,cは正整数であるとする.
18:１３２人目の素数さん
09/10/30 23:42:29
f(x) は区間 [0,1] で連続rとする．
∫[0,1]f(x)dx＝∫[0,1]x・f(x)dx＝∫[0,1]x^2･f(x)dx＝0
が成り立つとき，f(x)＝0 は区間 [0,1] ですくなくとも3個の相異なる実数解をもつ事を示せ．
ちょっと難し過ぎたか？
19:１３２人目の素数さん
09/10/31 16:47:02
＞連続r
中国の方ですか？
20:１３２人目の素数さん
09/11/01 23:56:35
>>16
LCD(m,n)=1 ならば、 qn-pm=1 なる自然数(p,q) について
(2^p)^m + (2^p)^m = (2^q)^n,
また (p,q) は無数に存在する。
21:１３２人目の素数さん
09/11/02 18:22:29
>>18は簡単すぎて誰も解かないのかも
22:１３２人目の素数さん
09/11/02 21:59:44
>>16
LCD(m,n) =L ≧ 3 ならば、
a^(m/L) =A, b^(m/L) =B, c^(n/L) =C とおくと、
A^L + B^L = C^L, L≧3,
となり、フェルマーの大定理に反する。
よって存在しない。
LCD(m,n) =2 の場合を考えればよい。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
casphy - highmath - 東大数学について
23:１３２人目の素数さん
09/11/03 16:22:12
>>20
>>22
正解です.
24:１３２人目の素数さん
09/11/03 22:29:46
LCD(m,n) =2 の場合の証明はそんなに難しいの？
25:１３２人目の素数さん
09/11/03 22:35:26
LCDとかなんだよ
知らねえし
26:１３２人目の素数さん
09/11/03 22:42:37
>>25
GCDですた。 ｽﾏｿ.
27:１３２人目の素数さん
09/11/04 21:24:55
>>25
発光ダイオード
28:１３２人目の素数さん
09/11/04 22:39:45
液晶ディスプレー
と言ってほしかった....
>>27
LED
29:１３２人目の素数さん
09/11/05 15:49:08
>>25
麻薬
30:１３２人目の素数さん
09/11/05 21:24:38
>>29
LSD（Lysergsäure Diäthylamid）
31:１３２人目の素数さん
09/11/06 17:42:18
m,nを自然数とする.ただし,mとnの最大公約数は２であるとする.このとき
a^m+b^m=c^n
をみたす自然数の組(a,b,c)は無数に存在するか？
32:１３２人目の素数さん
09/11/07 00:12:55
(2^n+3^n)/n
が自然数となるような自然数nをすべて求めよ.
33:１３２人目の素数さん
09/11/07 01:11:53
>>31
m=n=2も許しちゃうの？
34:１３２人目の素数さん
09/11/07 12:13:18
>>32
明らかに、n=1の時与式は自然数。
2^n+3^nは明らかに2でも3でも割り切れない為、nは「2の倍数及び3の倍数」とならない。
nが2及び3と互いに素である時、フェルマーの小定理より
2^n+3^n=2+3(mod n)
よって満たす数は1及び5>>32
35:１３２人目の素数さん
09/11/07 12:43:34
＞nが2及び3と互いに素である時、フェルマーの小定理より
＞2^n+3^n=2+3(mod n)
ダウト
フェルマの小定理が成立するのはnが素数でなければならない。
実際2^n≡2(mod n)はnが奇数といえども必ずしも成立しない、
例えばn=9のとき
2^9=512≡8 (mod 9)
36:１３２人目の素数さん
09/11/07 15:36:37
>>34
n=５が成立することが分かったら……あと少し。
>>33
どのような(m,n)の組についても
を追加します。
37:１３２人目の素数さん
09/11/07 19:58:11
一辺の長さがa（0<a<3)で、残りの３辺の長さが１の四角形がある.
これの面積が最大となるのは、どのようなときか.
38:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:16:09
>>37
簡単すぎて拍子抜けしたんだが、どこか間違ってるかな。
a=1+2cosθと置くとその最大面積Sは
S=sinθcosθ+sinθ
と書ける。θで微分して最大値を求めるとθ=1/2の時最大。よって
a=1+√3の時に最大面積を取る。
39:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:16:45
>>32
〔補題〕
n>0 は奇の自然数で
5^e | (2^n + 3^n),
ならば
5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),
(略証)
(x^5 + y^5)/(x+y) = (x^2)^2 -(x^2)xy + (xy)^2 -xy(y^2) +(y^2)^2,
2･2 ≡ 3･3 ≡ -1 (mod 5)
2･3 ≡ 1 (mod 5)
より
{2^(5n) + 3^(5n)}/(2^n + 3^n) = 2^(4n) - 2^(2n)･6^n + 6^(2n) -6^n･3^(2n) + 3^(4n)
≡ 1 - (-1)^n + 1 - (-1)^n + 1
= 5
≡ 0 (mod 5)
〔系〕
nが5の冪乗のとき
5 | (2^n + 3^n) /n,
40:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:17:39
ミスミス。cosθ=1/2の時最大で、a=2
41:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:22:41
>>38
>>40
問題の書き方が悪かったようです…すみません
aは定数です.
>>37
正解です
42:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:26:27
>>37
じゃなくて
>>39でした
43:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:44:55
>>32, >>36
〔補題〕
n>0 が奇の自然数ならば
5 | {2^(5n) + 3^(5n)} / (2^n + 3^n),
〔系〕
nが5の冪乗のとき
5 | (2^n + 3^n) /n,
44:１３２人目の素数さん
09/11/07 20:56:34
〈訂正版〉
一辺の長さがa（aは定数：0<a<3)で、残りの３辺の長さが１の四角形がある.
この四角形の形を、４辺の長さを変えずに変化させるとき、この四角形の面積が最大になるような形はどのようなものか.
45:１３２人目の素数さん
09/11/07 23:02:08
東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
URLﾘﾝｸ(wind.ap.teacup.com)
46:１３２人目の素数さん
09/11/08 00:31:15
>>18
は誰か解けないかい？
47:１３２人目の素数さん
09/11/08 00:42:32
>>42
ちょっとおかしいぞ nは2^n+3^nを割り切るようなｎとし、
2^n+3^n = abn (a,b は自然数)とすると、
an は 2^{an}+3^{an} を割り切る 実際 2^5+3^5 = 275 = 5^{2}*11
で 2^{55}+3^{55}は55で割り切れる
>>32の自然数をすべて求めるのは不可能だと思うけど？
48:１３２人目の素数さん
09/11/08 01:27:17
>>18
[0,1]内でのf(x)の零点がa,b（0<a<b<1）だけとすると
f(x)の符号変化が+-+なら 0<∫_[0,1] (x-a)(x-b)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が-++なら 0<∫_[0,1] (x-a)f(x)dx=0より矛盾
f(x)の符号変化が+++なら 0<∫_[0,1] f(x)dx=0より矛盾
他の場合も同じようにして矛盾が出る
49:１３２人目の素数さん
09/11/08 02:24:41
>>47
試しにプログラムに解かせてみたら55を筆頭に出るわ出るわ。
(2^n+3^n)/nが整数になる数nのうち小さいもの
1,5,25,55,125,
275,605,625,1375,3025,
3125,6655,6875,15125,15625,
30025,31375,33275,34375,73205,
75625,78125
50:１３２人目の素数さん
09/11/08 10:47:00
>>48
よく分かりました。有難う。
51:１３２人目の素数さん
09/11/09 19:22:55
>>5
ｉってその形であらわせるんかな？
52:１３２人目の素数さん
09/11/09 19:28:16
違った、－ｉはあらわせるのかな
53:１３２人目の素数さん
09/11/09 19:43:13
>>5
問題文が曖昧
誰か書き直して
54:１３２人目の素数さん
09/11/09 20:21:11
問題文はおかしくないだろ
55:１３２人目の素数さん
09/11/09 20:25:44
Cnが有限数列なのか無限数列なのか、
a+biに依存するのかしないのかはやや曖昧で
文法的には両方の解釈が出来る。
まあ文脈と常識で補えるけど、数学の大学入試問題の場合、
「いかなる悪意をもって解釈しても」こういう風にしか解釈できない
というのがベストで、実際そういう東大や京大の問題文は
そういう感じになってるはず。
56:１３２人目の素数さん
09/11/09 20:38:12
>>55
0,1無限列(Cn)がa,bによらず一様に取れて、適当な有限和でa+bi=∑[k=1,n]C(k)(1-i)^k
なのか、それとも
0,1有限列(Cn)がa,bを決めるごとに定まるかということだな
文脈的に捉えると下？
57:１３２人目の素数さん
09/11/09 21:46:36
下の場合、－ｉは作れる？
58:１３２人目の素数さん
09/11/09 23:11:36
整数を n 進法で表すのと同じような話なんだよね
この場合ガウス整数を (-1 + i) 進法で表すという話
59:１３２人目の素数さん
09/11/09 23:23:45
-i 無理みたいだね
60:１３２人目の素数さん
09/11/09 23:52:28
つうか b は必ず偶数になりますね
61: ◆BhMath2chk
09/11/10 00:00:00
－ｉ＝１＋（ｉ－１）＋（ｉ－１）＾２。
62:１３２人目の素数さん
09/11/20 02:17:22
y=f(x)が有理数係数多項式の時任意のx,yについて
xが有理数⇔yが有理数
を満たすためのf(x)の必要十分条件を求めよ
63:１３２人目の素数さん
09/11/20 05:41:39
｢n,m,pは自然数
n!はm^pで割り切れる。pの最大値をp[max]とするとき
極限値lim(n→∞)p[max]/nを求めよ｣
64:１３２人目の素数さん
09/11/20 06:30:00
m=1.
p[max]=inf.
65:63
09/11/20 06:42:37
m≧2なる自然数で
66:１３２人目の素数さん
09/11/20 07:15:40
pはいくらでも大きく取れるからp[max]はない
67:１３２人目の素数さん
09/11/20 10:22:20
k,lを自然数として
n=m^k^lとおくとp[max]=k^l+k^(l-1)+k^(l-2)+･･･+1=(k^(l+1)-1)/(k-1)
よってlim(n→∞)p[max]/n
=lim(n→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)
=lim(l→∞)(k^(l+1)-1)/((k-1)m^k^l)=0
68:１３２人目の素数さん
09/11/20 14:06:49
n→∞ と m^k^l→∞ は同値なのか凄いね
69:１３２人目の素数さん
09/11/20 20:51:03
9×6664213698523614
=2222222236254Ｘ
Ｘの値を求めよ
70:１３２人目の素数さん
09/11/20 21:17:36
正八面体を1つの平面で切断する。
切り口がN角形であるとすると、N≦6であることを示せ。
71:１３２人目の素数さん
09/11/22 00:15:06
lim(x→+0){(1/x^n)-(1/sin^nx)}を求めよ。
72:１３２人目の素数さん
09/11/22 03:01:03
{1/tanx^n-1/sinx^n}＜{(1/x^n)-(1/sin^nx)}＜0
(sinx＜x＜tanx)
lim(x→0){(cosx^n-1)/sinx^n}
=lim(x→0)x^n/sinx^n×(cosx^n-1)/x^2n×x^n
=(定数)*0=0
あとは挟み撃ち
(∵cosx^n-1=√(1-sinx^2n)-1
=-sinx^2n/(√(1-sinx^2n)+1))
73:１３２人目の素数さん
09/11/22 09:25:09
>>18
>>48のとちょっと違う方法で解けてみます。
0 = ∫［0,1] x^2・f(ｘ）ｄｘ
=[ｔ・∫[0,t] s・f(s）ｄs][t=0,1] - (∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt ) (部分積分法)
=(∫[0,1] s・f(s）ｄs - 0) - ∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt
= 0 -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt (∵∫[0,1] s・f(s）ｄs = 0)
= -∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt
∴∫[0,1]∫[0,t] s・f(s）ｄs dt = 0
∃ａ∈[0,1] s.t. ∫[0,ａ] s・f(s）ｄs = 0
74:１３２人目の素数さん
09/11/22 11:04:37
>>73 すみません、手が滑ってしまいました…
そして自分の証明に問題あったのを気付きました。証明を完成したから出直します。
75:１３２人目の素数さん
09/11/22 22:26:25
>>62
n=2 のとき -1,
n>2 のとき ∞
>>65
1/(m1 -1), m1はmの最大の素因数。
>>70
隣接する面が△と▲になるように色付けする。
４つの△（▲）のうち、３つと交わる平面はあるが、４つと交わる平面はない
ことを示す。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
casphy - 高校数学 - 来年の東大入試を的中させる
76:１３２人目の素数さん
09/11/23 22:25:22
>>63がmとnを決めたときのpの最大値をp[max]としたのだとしても
>>75は間違ってるよ。
77:１３２人目の素数さん
09/11/23 23:35:01
>>71
ライプニッツの微分公式とテイラー展開使うから解けない。
まあ上記の二つを証明して解くなら別だが…
78:べ
09/11/24 01:21:32
0に近い時sinx≒xと、
帰納法でできたりしない…？
79:１３２人目の素数さん
09/11/24 17:13:21
【問】
m^a+n^aが(mn)^bで割りきれるための自然数組(a,b,n,m)の必要十分条件を求めよ
80:１３２人目の素数さん
09/11/24 20:07:09
>>79
{mnの素因数} = {mの素因数} U {nの素因数},
素数p が {mの素因数}、{nの素因数} の一方のみに含まれるとすると, 題意に矛盾する。
∴ {mの素因数} = {nの素因数} = {mnの素因数} = S,
そこで
S = {p_1,p_2,････,p_#S}
m = Π(i=1,#S) (p_i)^(μ_i),
n = Π(i=1,#S) (p_i)^(ν_i),
とおく。与式より
∀(1≦i≦#S) a･min(μ_i,ν_i) ≧ b･(μ_i+ν_i),
81:１３２人目の素数さん
09/11/24 23:31:59
>>80
正解
82:１３２人目の素数さん
09/11/24 23:37:17
んなわけない
83:１３２人目の素数さん
09/11/25 00:04:43
おぱーいの横の断面図は4次関数で表せることを示せ。
84:１３２人目の素数さん
09/11/25 02:05:11
>>83
命題が偽
85:１３２人目の素数さん
09/11/25 08:15:36
>>83
両乳によるはさみうちの原理
86:１３２人目の素数さん
09/11/25 11:03:42
ｆ(x) = 1/√x とおく。
(1) nを正の整数として、
f(n+1) < ∫[n,n+1] f(x)dx 及び f(n) > ∫[n,n+1] f(x)dx + (1/2)( f(n) - f(n+1) )
が成り立つことを示せ。
(2) Σ[k=1,100] f(k) の値を、小数第一位を四捨五入して求めよ。
87:１３２人目の素数さん
09/11/25 14:09:54
19ぐらいだったっけ。
88:１３２人目の素数さん
09/11/25 18:00:00
>>80
ｍ＝２。
ｎ＝２。
89:80
09/11/25 19:00:03
>>88 すみません、手が滑ってしまいました…
そして自分の証明に問題あったのを気付きました。証明を完成したから出直します。
90:１３２人目の素数さん
09/11/25 19:52:16
4444^3333+3333^4444を7で割ったときの余りは？
91:１３２人目の素数さん
09/11/25 20:06:07
つまらなすぎるだろ >>90
92:１３２人目の素数さん
09/11/25 20:15:06
>>86
(1) y=f(x) は下に凸だから、
f(n+1) < ∫[n+0.5, n+1.5] f(x)dx,
(1/2){f(n) + f(n+1)} > ∫[n, n+1] f(x)dx,
(2)
S < ∫[0.5, 100.5] f(x)dx = [ 2√x ](x=0.5, 100.5)
= 2(√100.5 - √0.5)
= 18.635724093390326301957049778242…
S > ∫[1, 100] f(x)dx + (1/2)f(1) + (1/2)f(100)
= [ 2√x ](x=1,100) + (1/2) + (1/20)
= 18.55
平均をとって 18.59
S = Σ[k=1,100] f(k) = 18.589603824784153422358163109306･･･
93:１３２人目の素数さん
09/11/25 22:45:08
>>90
余り0
4444 = (-1) mod 7、3333 = 1 mod 7より、4444^3333 = (-1) mod 7、3333^4 = 1 mod 7
これはどこのFランの問題ですか？
94:べ
09/11/26 00:51:51
解けるか分からんの出していいよねー？
95:べ
09/11/26 01:17:54
次の証明の真偽を答え、それを証明せよ。
m,nを実数とする。
x^2+m=xsinxを満たす解、x^2+m=xsin2xを満たす解が存在しない時、
x^2+m=xsinnxを満たす解は存在しない。
96:べ
09/11/26 01:20:18
訂正
×m,nを実数とする。
○m,nを正の数とする。
97:１３２人目の素数さん
09/11/27 00:22:46
>>95-96 偽
0.204<m<1/4, x=√m のとき
x + m/x < 1,
98:１３２人目の素数さん
09/11/27 23:14:57
>>95-96
|x| < π/3 では |sin(2x)| =2|sin(x)|cos(x) > |sin(x)|,
だから sin(2x) の方に注目する。
f(x) = x･sin(2x) - x^2 = {sin(2x)/2}^2 -{(1/2)sin(x) -x}^2 ≦ {sin(2x)/2}^2 ≦ 1/4,
∴ m>1/4 のとき、f(x)=m の解は存在しない。
m≦1/4 のとき
f(x0) = m0 が重解 x=x0 をもつとしよう。
x=x0 で極値をとることから
f '(x0) = sin(2x0){1 - 2x0･tan(x0)} = 0,
∴ tan(x0) = 1/(2x0),
∴ x0 ≒ 0.653271187･･･
∴ m0 = (x0^2)(3-4x0^2)/(1+4x0^2) ≒ 0.203831351･･･
∴ m0 < m < 1/4, n = π/(2√m)) のとき
g(x) = x･sin(n･x) - x^2 とおくと
g(0) = 0 < m,
g(√m) = √m - m > m,
∴ g(x) = m は 0<x<√m に解をもつ。 （← 中間値の定理）
99:べ
09/11/28 00:04:19
y=tan(x+0.57)とy=tan(x/225)-xは1以上2以下の解を持つか？
100:１３２人目の素数さん
09/11/28 00:24:48
【問題】OA＝OB＝OC＝p，AB＝c，BC＝a，CA＝b の四面体OABC
の成立条件を p，a，b，c を用いて表せ．
【発展問題】(未解決)
上記の成立条件および p＋a＋b＋c＝1 を満たすとき，
四面体OABCの体積の最大値を求めよ．
101:１３２人目の素数さん
09/11/28 00:31:19
ここ、未解決問題晒すとこじゃないんだけど
102:べ
09/11/28 00:55:04
>>99訂正するから、その間この問題やっといて
y=frac(tanx)とy=(10x+6.5)^2-0.7は-1以上0以下の解を持つか？
ただし、frac(x)はxの小数部分を持つ関数である。
103:べ
09/11/28 01:19:20
>>99の訂正
tan(x)/169.178-xとtan(x+0.6)は１以上２以下の解を持つか？
100frac(tanx)は-7<x<7の範囲で解を４つ持つ。
これを証明せよ。（難）
104:１３２人目の素数さん
09/11/28 04:56:09
小数点こねくりまわして楽しい？
105:１３２人目の素数さん
09/11/28 14:00:54
このスレに数学専攻者ってどれくらいいるのだろうか
106:１３２人目の素数さん
09/11/28 19:46:33
>>103
くだらねぇ問題スレで書いてこいよ。
107:１３２人目の素数さん
09/11/29 00:59:38
ちょっと簡単すぎるかもしれんが。
１．時刻t=0において、正k角形（kは3以上の自然数）のある頂点に動点Aがある。
Aは、今いる頂点に留まるか、正k角形の辺上又は対角線上を通って他の頂点に移動するかを１秒ごとに選択する。
Aがある頂点を選ぶ確率が全て1/kであるとき、時刻t=n（nは非負整数）において訪れている頂点の数の期待値E(n)を求めよ。
ただし、Aの移動速度は一定ではなく、時刻t=0,1,2,・・・,nにおいて必ずどこかの頂点にあるものとする。
２．ある格子点(a,b)を中心とする半径r(>0)の円Cを考える。
rの大きさを色々と変化させる時、円周上に少なくともn個の格子点があるような円Cが存在する事を示せ。
108:１３２人目の素数さん
09/11/29 12:33:02
Ａ，Ｂは事象、Ｐ(・)はある事象が起こる確率とする。
(1)不等式Ｐ(Ａ∩Ｂ)≦Ｐ(Ａ)≦Ｐ(Ａ∪Ｂ)を示せ。
(2)等式Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)―Ｐ(Ａ∩Ｂ)を示せ。
(3)事象ＡとＢは空でないとする。Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。(1)の不等式をみたすときlimＰn(Ａ)＝1であることを示せ。
109:１３２人目の素数さん
09/11/29 17:24:19
>>100
取りあえず，体積を a,b,c,p で表す事はできた．
110:１３２人目の素数さん
09/11/29 19:00:29
>>109
結果をつる山塊
111:１３２人目の素数さん
09/11/29 19:25:55
>>110
底面△ABC の外接円の半径をR, 面積を⊿ とすると
R = abc/(4⊿),
４面体の高さをh, 体積をVとすると
V = (1/3)⊿･h = (1/3)⊿√(p^2 - R^2) = (1/3)√{(⊿･p)^2 - (abc/4)^2},
⊿ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
s = (a+b+c)/2,
112:１３２人目の素数さん
09/11/29 21:59:36
>>111
最後まで書くように．
113:１３２人目の素数さん
09/11/29 22:32:45
>>108
簡単だけど、俺は好き
114:35
09/11/30 21:46:17
>>112
(a+b+c)/2 = s とおくとき、
s-a >0,
s-b >0,
s-c >0,
p > abc/{4√[s(s-a)(s-b)(s-c)]},
115:１３２人目の素数さん
09/12/01 22:02:38
自然数の数列 {a[n]} を次の(ア)と(イ)を満たすように定める。
(ア) a[1] = 1
(イ) ｎを自然数として、
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
(ちなみに、{a[n]}の項を初項からいくつか順に並べると 1,3,4,5,7,9,11,・・・ となる。)
Nを自然数とし、{a[n]}の項でN以下のものの個数をF(N)で表す。
このとき、 F(4N) = 2N + F(N) が成り立つことを示せ。
116:115
09/12/02 10:33:12
>>115 の問題文に ちょっとミスがあった。
誤
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(＜n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
正
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在するときは a[n+1] = a[n] + 2
・a[n]+1 = 2*a[m] となるm(≦n) が存在しないときは a[n+1] = a[n] + 1
117:１３２人目の素数さん
09/12/02 14:21:56
>>79
こういう先っぽだけちょろっとのぞいてる仮性包茎大好き
118:１３２人目の素数さん
09/12/02 14:24:15
ごめんなさい、誤爆しました
119:１３２人目の素数さん
09/12/02 15:38:54
これはひどいｗ
120:１３２人目の素数さん
09/12/03 01:11:12
【問】
(1)A_(n+1)=1+2/A_n,A_1=1/2を満たす数列A_nの一般項を求めよ
(2)A_nが整数値をとるnを全て求めよ
(3)lim(n→∞)A_nを求めよ
いつもより易しいかも
121:１３２人目の素数さん
09/12/03 02:13:21
>>117
ほもおつ
122:某予備校数学科講師
09/12/03 02:31:52
日本人の成人男性にケツ毛が生えている確率を求めよ。ただし、ケツ毛とはお尻に生えている毛のことをいう。
123:１３２人目の素数さん
09/12/03 02:44:40
俺は穴周りは脱毛してるからな？
124:１３２人目の素数さん
09/12/03 02:59:23
>>122
よくできた問題ですね
予備校の東大模試には採用されなかった問題ですか？
125:１３２人目の素数さん
09/12/03 07:55:15
(1)平面の方程式は適当な実数定数a,b,c,dと変数x,y,zを用いて
ax+by+cz+d=0
が成り立つことを示せ。
(2)xyz空間において、点(p,q,r)と(1)の平面の距離をDとすると
D=|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)
が成り立つことを示せ。
126:１３２人目の素数さん
09/12/03 11:53:09
>>115
F(2N)＝2N－F(N)が成り立つことを証明する。これが示せれば、
F(4N)＝4N－F(2N)＝4N－(2N－F(N))＝2N＋F(N)となる。
a[n＋1]－a[n]＝1 or 2 であるから、「a[1],a[2],a[3],…」と
並べて眺めると、隣り合った2つのa[i],a[i＋1]について、
その差が1のときは、この2つは連続しているということであり、
差が2のときは、この2つは連続しておらず、間に「虫食い」が
1個あるということである。そこで、「F(2N)＝2N－虫食いの個数」
という形で計算することを考える。
上記の考察から、一般に、自然数kが「虫食い」であるのは、
a[n＋1]－a[n]＝2かつa[n]＜k＜a[n＋1] を満たすnが
存在するときに限る。このときk＝2a[m]となるmが存在する。
逆に、k＝2a[m]のとき、kは「虫食い」になることが言える
(自明ではないが、難しくもないので証明は省略する)。
以上より、虫食いは2a[1],2a[2],2a[3],…で全てである。
特に、1,2,…,2Nの中にある虫食いは
2a[1],2a[2],…,2a[M] (Mは2a[M]≦2N＜2a[M＋1]を満たす)
のM個である。a[M]≦N＜a[M＋1]であるから、M＝F(N)と
表せるので、以上より、F(2N)＝2N－F(N)を得る。
127:１３２人目の素数さん
09/12/03 15:11:48
関数f(x)を次のように定義する。
f(x)=1(xが有理数)、0(xが無理数)
このとき、
∫[0,1]f(x)dx=0であることを証明せよ。
128:１３２人目の素数さん
09/12/03 15:15:46
失笑
129:１３２人目の素数さん
09/12/03 16:19:54
失禁
130:１３２人目の素数さん
09/12/03 17:31:32
最近は高校もルベーグ積分を教えてるのか
ゆとりｗとか笑ってる場合じゃないな
131:１３２人目の素数さん
09/12/03 18:00:19
最近の高校生は類体論までは必須らしい
132:１３２人目の素数さん
09/12/03 20:49:14
23世紀の高校生ならあるいはそうかもな。
133:１３２人目の素数さん
09/12/03 21:15:17
>>120
(1) A_n = { 2^n + (-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } と予想。帰納法で示すのは容易。
(2) A_n - 2 = { 3*(-1)^n }/{ 2^(n-1) + (-1)^(n-1) } 。 この右辺は、
n=1のとき -3/2、n=2のとき 3、
n≧3のときは(分子の絶対値)＜(分母)が容易に示せるので整数にならない。
よって答は 「n=2」。
(3) 蛇足。
134:１３２人目の素数さん
09/12/03 22:35:19
問 曲線y=cosxのx=t(0<t<π/2)における接線とx軸,y軸の囲む三角形の面積をS(t)とする。
(1)tの関数として,S(t)(0<t<π/2)を求めよ。
(2)S(t)はある1点t=t_0で最小値をとることを示せ。また、π/4<t_0<1を示せ。
(3)S(t_0)=2t_0cost_0を示せ。また、S(t_0)>(√2)π/4を示せ。
135:１３２人目の素数さん
09/12/03 22:53:26
>>134
それは俺が受験した年の京大ではないか
136:１３２人目の素数さん
09/12/03 22:58:21
合格したといいたいんでしょ
137:１３２人目の素数さん
09/12/03 22:59:41
そらまあ合格はしたけど、そんなのこの板では何の価値もないでしょ
138:１３２人目の素数さん
09/12/03 23:03:37
～年の京大の問題ではないか
でいいっしょ。
139:１３２人目の素数さん
09/12/03 23:46:44
別にそんなのどっちでもいいだろ
140:１３２人目の素数さん
09/12/03 23:48:21
はい、おっぱっぴ～
141:１３２人目の素数さん
09/12/03 23:51:22
>>135
いつの問題?
142:１３２人目の素数さん
09/12/03 23:55:45
なんだかな
143:１３２人目の素数さん
09/12/04 01:17:37
97年前期理系の6だろ
144:１３２人目の素数さん
09/12/04 01:18:45
【問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[n→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
145:１３２人目の素数さん
09/12/04 02:58:22
>>133正解です
【問】(B***くらい？)
0≦x≦n,0≦y≦2sin(πx/n)
を満たす領域をDnとして
Dn内の格子点の数をf(n)
面積をS(n)とするとき
lim(n→∞)f(n)/S(n)を求めよ
146:１３２人目の素数さん
09/12/04 06:31:35
>>145
A**くらいだよこんなおなにー
147:１３２人目の素数さん
09/12/04 09:42:36
>>145
> >>133正解です
(3)の答は「蛇足」が正答なのかww
148:１３２人目の素数さん
09/12/04 16:24:51
このスレの人達って性格悪そう
149:１３２人目の素数さん
09/12/04 17:39:39
滅茶苦茶でござりますがな
＞ lim[n→∞]f(x)/h
150:１３２人目の素数さん
09/12/04 18:13:40
【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(x)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
151:１３２人目の素数さん
09/12/04 21:53:57
>>150
(2)はまだおかしい。
「lim[h→0]f(h)/hを求めよ。」 じゃないのか？
152:１３２人目の素数さん
09/12/05 00:07:22
>>120
A_n = B_n / B_(n-1) とおくと、線形漸化式
B_(n+1) = B_n + 2B_(n-1),
が出る。
B_1 / B_0 = A_1 = 1/2,
より、
B_n = (2^n) + (-1)^n,
lim(n→∞) A_n = 2,
153:152
09/12/05 00:24:50
>>120
(1/2)log(2) = a とおくと、
A_n = (√2)cosh(an)/cosh(a(n-1)), (n:偶数)
A_n = (√2)sinh(an)/sinh(a(n-1)), (n:奇数)
とも表わせる。
154:１３２人目の素数さん
09/12/05 00:39:42
>>151
ご指摘ありがとう
【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→∞]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
155:１３２人目の素数さん
09/12/05 01:15:27
kを自然数とする
関数f_k(x)=x^ke^(-x)のx≧0における最大値をM_kとおく
(1) M_kを求めよ
(2) x≧0において，f_{k+1}(x)≦M_{k+1}が成り立つことを利用して，lim[x→∞]f_k(x)を求めよ
(3) lim[k→∞]M_{k+1}/kM_kを求めよ
156:１３２人目の素数さん
09/12/05 14:06:22
>>154
(2) は h→∞ でいいの？ h→0 じゃなくて？
157:１３２人目の素数さん
09/12/05 16:38:35
【第１問】関数f(x)はすべての実数s,tに対して,
f(s+t)=f(s)e^t+f(t)e^s
を満たし,さらにx=0で微分可能でf'(0)=1とする。
(1) f(0)を求めよ。
(2) lim[h→0]f(h)/hを求めよ。
(3) 関数f(x)はすべてのxで微分可能であることを示せ。さらに,f'(x)をf(x)を用いて表せ。
(4) 関数g(x)をg(x)=f(x)e^(-x)で定める。g'(x)を計算せよ。また,f(x)を求めよ。
158:１３２人目の素数さん
09/12/05 16:53:39
>>108
を誰かおしえてくれ
159:１３２人目の素数さん
09/12/06 12:59:54
1,2,3の数が書かれたカードがそれぞれたくさんある.
これらのカードの中から無作為にn枚のカードをとりだし,一列に並べる.
このとき,どの隣り合う２枚のカードに書かれた数の和も奇数であるような確率を求めよ.
160:１３２人目の素数さん
09/12/06 14:14:56
全素数の現れ方の定理を述べなさい
制限時間５００年
161:１３２人目の素数さん
09/12/06 14:23:59
ｘ以下の素数の個数はｘ－１以下。
162:１３２人目の素数さん
09/12/06 14:32:11
>>158
(1),(2)は普通に計算。(3)は
＞Ｐn(Ａ)をnを含む式とする。
ここが意味不明。
163:１３２人目の素数さん
09/12/06 16:40:33
>>157
誰か教えてくれ
164:１３２人目の素数さん
09/12/06 16:49:01
>>163
どれも定義を確認していくだけの問題。
165:１３２人目の素数さん
09/12/06 17:40:54
>>164
答え教えてください
略解でいいので
166:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:22:34
>>157は宿題スレにでも行けば？
167:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:29:11
>>157 >>165
(1) 与式でs=t=0とすれば容易にf(0)=0を得る。
(2) f(h)/h = { f(h) - f(0)}/h (∵(1))。h→0とすればその極限値はf'(0)=1。
(3) { f(s+t) - f(s) }/t = f(s)*( e^t - 1)/t + { f(t)/t}*e^s で、t→0とすれば右辺は f(s)+e^s 。
よってf(x)は任意のxで微分可能。とくに f'(x) = f(x) + e^x 。
(4) g(x)は g'(x) = 1 を満たす。g(0) = 0 とあわせて g(x)=x 。よってf(x)=xe^x
168:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:37:54
東大A
URLﾘﾝｸ(uproda.2ch-library.com)
東大A*
URLﾘﾝｸ(uproda.2ch-library.com)
東大B
URLﾘﾝｸ(uproda.2ch-library.com)
URLﾘﾝｸ(uproda.2ch-library.com)
169:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:41:05
>>168
TEXで作問?
なかなか良問揃えたな
170:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:44:01
>>168
そのAとかBとかってのは何だい？
171:１３２人目の素数さん
09/12/06 18:47:24
A 優しい
B 普通
C 難しい
D very hard
*かける10分 が目安の時間
172:１３２人目の素数さん
09/12/06 19:52:51
x^2+y^2=1 のグラフ上に異なる３点A,B,Cを、三角形ABCが鈍角三角形とならないようにとる.
OA↑+OB↑+OC↑=OX↑, X=(t,0) をみたすとき, tの最大値を求めよ.
173:１３２人目の素数さん
09/12/06 20:15:40
出題者多いなwww
今日は>>168と>>172片付けようかな
174:１３２人目の素数さん
09/12/06 21:09:49
優しいのか
175:１３２人目の素数さん
09/12/06 21:36:19
優しい方がモテる
176:１３２人目の素数さん
09/12/06 21:45:38
精々いい人止まり
177:１３２人目の素数さん
09/12/06 21:56:13
結局は顔
178:１３２人目の素数さん
09/12/06 22:00:58
そして日本は終わる
179:１３２人目の素数さん
09/12/06 22:52:18
Kingさん～
180:１３２人目の素数さん
09/12/06 23:28:07
出典調べてみたら！？
181:１３２人目の素数さん
09/12/06 23:34:57
>>172
t = |OX↑| = |OA↑ + OB↑ + OC↑|,
∠(OA↑,OB↑) = 2∠ACB = 2∠C,
∠(OB↑,OC↑) = 2∠BAC = 2∠A,
∠(OC↑,OA↑) = 2∠CBA = 2∠B,
t^2 = |OA↑|^2 + |OB↑|^2 + |OC↑|^2 +2|OA↑||OB↑|cos(2C) + 2|OB↑||OC↑|cos(2A) + 2|OC↑||OA↑|cos(2B)
= 3 + 2{cos(2A) + cos(2B) + cos(2C)}
= 1 - 8cos(A)cos(B)cos(C) (← A+B+C=π)
≦ 1, (← 鋭角)
等号成立は、直角⊿ のとき。
182:１３２人目の素数さん
09/12/07 02:57:07
>>168の略解頼む
183:１３２人目の素数さん
09/12/07 19:39:37
-1≦ｘ≦2のときｙ=2ｘ^2-ａｘ-7ａ^2/16の最小値を求めよ
お願いしますm(__)m
184:１３２人目の素数さん
09/12/07 20:39:08
>>183東京大学舐めんな
185:１３２人目の素数さん
09/12/07 20:47:13
>>183
中学生でも解けそうだな
186:１３２人目の素数さん
09/12/07 22:14:15
a_n＝6^n/(3^n + 7^n) ，n＝1，2，3，．．．
とおくとき，a_n の最大値を求めよ。
187:１３２人目の素数さん
09/12/07 22:46:38
>>186
a_1 = 6/10 、 a_2 = 36/58 = 0.62・・・ 、 a_3 = 216/370 = 0.58・・・
n≧4 のとき、a_n < (6/7)^n ≦ (6/7)^4 = 0.53・・・ ≦ a_3 。
よって最大値は a_2 = 18/29 。
188:186
09/12/07 23:09:11
簡単過ぎましたか．．．
a_1＜a_2＞a_3＞a_4＞a_5＞．．．を示せ（a_2 以降単調減少）
も簡単ですよね？
189:１３２人目の素数さん
09/12/08 00:10:49
逆数取れば明らかだろ
190:１３２人目の素数さん
09/12/08 00:19:34
おそれいりました
191:１３２人目の素数さん
09/12/08 02:08:57
>>5
数オリの本に一般的な定理の形で載ってる
192:１３２人目の素数さん
09/12/08 19:05:56
>>168の出典求む
193:１３２人目の素数さん
09/12/08 19:33:30
こんなのどうかな？
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
194:１３２人目の素数さん
09/12/08 20:44:50
よくそんなの思いつくなw
195:１３２人目の素数さん
09/12/08 20:50:04
良問すぎる！！！！！
196:猫は珍獣 ◆ghclfYsc82
09/12/08 20:50:05
いやいや、無意味な事を思い付くっちゅうんは難しいんだよ。
猫
197:１３２人目の素数さん
09/12/08 22:07:41
>>193
東京大学の良問ｗ
198:１３２人目の素数さん
09/12/08 22:15:53
曲線の長さの定義をきちんとやらない高校で、
その根源に関わる円周率の大きさの評価に関する問題は
悪問と言わざるを得ない。
199:１３２人目の素数さん
09/12/08 23:08:37
そもそも面積の定義すら高校ではやらないんだが。
200:１３２人目の素数さん
09/12/08 23:34:24
URLﾘﾝｸ(uproda.2ch-library.com)
201:１３２人目の素数さん
09/12/09 00:03:07
1.
有理数で定義された実数値関数P(x)が
すべての有理数x.yについて、
P(x+y)=P(x)+P(y)
を満たしているとする。このときすべての有理数xについて
P(x)=P(1)*x
であることを示せ
2.
nを自然数とする
3^n+2^nと8*3^n+3*2^nの最大公約数を求めよ
202:１３２人目の素数さん
09/12/09 01:41:24
そもそも積分の定義すら高校ではやらないんだが。
積分が出てくる問題は悪問と言わざるを得ない。
203:１３２人目の素数さん
09/12/09 02:10:21
そもそも自然数の構成すら高校ではやらないんだが。
204:１３２人目の素数さん
09/12/09 08:04:31
>>201
1は全く同じ問題を考えた事がある
205:１３２人目の素数さん
09/12/09 11:05:31
>>201
1
P(x_1 + ・・・ + x_k) = P(x_1) +・・・+ P(x_k) が帰納法により示せる。
よって 正整数nに対してP(n)=P(1+・・・+1)=n*P(1) で、
また、正整数mに対して P(1) = P(1/m + ・・・ + 1/m) = m*P(1/m) となるので、P(1/m) = (1/m)*P(1) であり、
さらに P(n/m) = nP*(1/m) = (n/m)*P(1) がいえることが分かる。
つまり、正の有理数について題意は成り立つ。
一方、P(0+0)=P(0)+P(0)よりP(0)=0 (=0*P(1))。すると0 = P(x+(-x)) = P(x)+P(-x) より P(-x)=-P(x) がいえる。
これで0以下の有理数についても成り立つことが分かる。以上により題意は示された。
2
A=3^n+2^n , B=8*3^n+3*2^n
(A , B) = (A , B-3A) だから、3^n+2^n と 5*3^nのGCDを求めればよい。
3^n+2^nは3で割り切れず、
また 3^n+2^n ≡ (-2)^n + 2^n (mod.5)だから、nが奇数のときのみ3^n+5^nは5の倍数になる。
よって求める答は 「nが奇数のときは5、nが偶数のときは1」。
206:１３２人目の素数さん
09/12/10 16:26:01
東大の古い入試問題を解説したサイトをご存知の方はいませんか？
1992年以前のものがあれば嬉しいです。
207:１３２人目の素数さん
09/12/10 20:18:54
円に内接する六角形の面積は正六角形のときに最大となることを証明せよ｡
208:１３２人目の素数さん
09/12/10 22:27:17
>>207
ジェンセンの不等式で一発
209:１３２人目の素数さん
09/12/10 22:32:20
点はこないだろうな
210:１３２人目の素数さん
09/12/10 22:33:56
★
┻
┛┗ ＰとＱが異なる奇素数であるとき
┛ ┗ Ｐ×Ｑは完全数でないことを証明せよ。
┛☆ ┗
┛ ☆┗
┛━┳┳━┗
━━┻┻━━
A merry Christmas to you.
211:１３２人目の素数さん
09/12/10 22:44:27
>>209
イェンゼンの不等式は範囲外なのか?
212:１３２人目の素数さん
09/12/10 23:02:59
>>211
範囲内外という事で言うなら京都大学でその不等式を背景にした
不等式の証明問題が出題されたときに、2変数までは使用を認める。
3変数以降に適用する場合は要証明というスタンスで原則採点する
と大学入試懇談会で発言したんだってさ。
ただ、範囲内外がどうこうというよりも大問1題として提供されたときに
瞬殺解答を提示するのは、出題者の望むところではなく
独りよがりな解答となるので点が来なくても文句はいえないというのが理由
最近の大阪大学の問題でも
⊿OABの周または内部に点Pがある条件を
OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。
213:１３２人目の素数さん
09/12/11 00:25:13
>>210
PとQが異なる奇素数なので、任意の2つの奇素数P,Qについて
1+P+Q≠PQが言える事を示せば良い。
P=4n+1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+3
PQ=4(4mn+m+n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m+1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m+n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n+1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)+1
PQ=4(4mn+m-n)-1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
P=4n-1,Q=4m-1の場合
1+P+Q=4(m+n)-1
PQ=4(4mn-m-n)+1より、mod 4について1+P+Q≠PQ
故に、任意の2つの奇素数P,Qについて、1+P+Q≠PQ
214:１３２人目の素数さん
09/12/11 02:48:40
>>207
いい問題だな
215:１３２人目の素数さん
09/12/11 04:04:56
>>200 の4ってどうやるんだろ
216:１３２人目の素数さん
09/12/11 05:10:24
>>215
それ昨日解いた。細部の証明は自力でやるべし↓
a[n]は自然数列だから、もし収束するとしたら、途中からずっと
一定の自然数Mになる。このときM＝[√M]^2＋2m が成り立つから、
こうなる自然数Mについて考える。c＝[√M]とおけばM＝c^2＋2mだから、
c＝[√M]＝[√(c^2＋2m)] となり、c≦√(c^2＋2m)＜c＋1 となる。
両辺を2乗して整理すると0≦2m＜2c＋1だからm≦cとなる。逆に、
m≦cのとき、M＝c^2＋2mはM＝[√M]^2＋2mを満たす。a[n]に戻って
考えれば、
m≦[√a[n]]なら、a[n＋1]以降はずっと一定の自然数になる
ということ(c＝[√a[n]]，M＝c^2＋2m＝a[n＋1]と見る)。
よって、m≦[√a[n]]となる最小の自然数nについて考察すればよい。
まず、m＝1のときは極限値がすぐに出せるので、m≧2として考える。
次に、m≦[√a[n]]となる自然数nが少なくとも1つは存在することを
示す(背理法で言える)。これが言えたら、m≦[√a[n]]となる最小の
自然数をpとおく。[√a[1]]＝1及びm≧2から、p≧2だと分かる。
また、pの最小性から
[√a[p－1]]＜m≦[√a[p]]
となる。d＝[√a[p－1]]とおいて、上の不等式をdを使って書き直して
計算すると、m≧3のときは、d＝m－1でなければならないと分かる。
このとき、a[p＋1]以降はずっとm^2＋2mとなる。つまり、m≧3のときは
a[n]はm^2＋2mに収束する。m＝2のときは地道に計算して極限値を出す。
試験に出すには難しすぎるような(´・ω・｀)
217:１３２人目の素数さん
09/12/11 06:51:16
>>212
> 最近の大阪大学の問題でも
> ⊿OABの周または内部に点Pがある条件を
> OP↑=sOA↑+tOB↑, s+t≦1, s≧0. t≧0
> を証明なしに使うとあまりにもあっさり行き過ぎる問題があって
> 案の定その部分の証明がなかった答案は軽く減点されたという話もある。
出題者の能力不足。
218:１３２人目の素数さん
09/12/11 16:41:38
非負整数 n に対し A_n = √(1+√(2+√(2^2+√(2^3+√(・・・+√(2^n)))))) と定める
2^(2/3) < lim[n→∞]A_n < 2 を示せ
219:１３２人目の素数さん
09/12/11 17:18:42
>>218
2^(7/9) < lim[n→∞]A_n < 2 の間違いでした
220:１３２人目の素数さん
09/12/11 23:05:24
空間上にA,B,Cの３点が存在し、３点は同一直線状にないものとする。
今、AB上にp:1-pに内分する点A(1) , BC上にq:1-qに内分する点B(1)
CA上にr:1-rに内分する点C(1)を取る。そして、A(1)B(1)、B(1)C(1),C(1)A(1)上に
それぞれ、p:(1-p),q:(1-q).r:(1-r)に内分する点A(2),B(2),C(2)をとり、
以下同様にして、A(k),B(k),C(k)(k=3,4…..n)を取る。
ここで、nが大きくなるにつれてA(n),B(n),C(n)はある収束点に近づき、その点をDとおく。
このとき、AD↑をAB↑およびAC↑を用いて表せ。
221:１３２人目の素数さん
09/12/12 02:39:34
何時?
222:１３２人目の素数さん
09/12/12 02:41:31
>>207の解答が気になる
223:１３２人目の素数さん
09/12/12 18:33:10
どのような自然数n,kについても, ｛(n"C"2k-1)+1｝と｛(n"C"2k)-1｝は互いに素とならないことを示せ.
224:１３２人目の素数さん
09/12/12 18:33:18
>>220
易しすぎ
どこのＦランの問題？
225:223
09/12/12 18:39:51
間違えた。やっぱなし
226:１３２人目の素数さん
09/12/12 19:02:15
√(n^2＋1)（nは自然数）は無理数であることを証明せよ。
227:１３２人目の素数さん
09/12/12 19:09:28
>>226
√(n^2+1)>0より、有理数と仮定すると、
√(n^2+1)=p/q(p,qは互いに素な自然数)と書く事が出来る。
q(n^2+1)=p^2/q
左辺が整数なので、右辺も整数。gcd(p,q)=1よりq=1
よって、√(n^2+1)=p
(p+n)(p-n)=1
(p+n,p-n)=(1,1)となり不適。
したがって、√(n^2+1)は無理数である。
228:１３２人目の素数さん
09/12/12 19:10:27
king
229:１３２人目の素数さん
09/12/12 19:14:11
草野球に参加したn個のチームが
どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を行い
勝ち星の多寡によって順位を定めるリーグ戦方式で戦う。
引き分けがなく、同順位のチームがないとすれば
どのチームもそれより下位のチームに必ず勝っていることを示せ
230:１３２人目の素数さん
09/12/12 20:50:24
>>229
引き分けがないとき、勝敗成績としてありうるのは n-k-1勝k敗 (k=0,1,・・・,n-1) のn種類しかない。
よって本問の場合、これらn種類の成績のチームが1つずつある。
k敗のチームをA_k と表すと、
A_0 は全勝。よってA_0はA_1に勝ち、またA_1の敗戦はその1敗だけ。
A_0とA_1はA_2に勝ち、またA_2の敗戦はその2敗だけ。
以下、帰納的に「A_0,A_1,・・・,A_(k-1)はA_kに勝ち、A_kの敗戦はそのk敗だけ」といえる。
231:１３２人目の素数さん
09/12/12 23:32:11
(2n+1)が素数のとき,1≦p≦n, 1≦q≦n をみたすどのようなk, lについても
｛(n"C"2p-1)+1｝と｛(n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.
232:１３２人目の素数さん
09/12/12 23:33:32
訂正.
(2n+1)が素数のとき,1≦p≦n, 1≦q≦n をみたすどのようなp,qについても
｛(2n"C"2p-1)+1｝と｛(2n"C"2q)-1｝は互いに素とならないことを示せ.
233:１３２人目の素数さん
09/12/13 00:12:10
n,kを非負整数とする。
n"C"kは整数であることを示せ。
234:１３２人目の素数さん
09/12/13 00:16:40
>>218
不等号に等号付け忘れてる？
" < " じゃなくて " ≦ " が問題として適切だと思う
235:Pascal
09/12/13 00:19:18
>>233
nについての帰納法による。 漸化式
Ｃ[n,k] = Ｃ[n-1,k-1] + Ｃ[n,k],
を使う。
236:Pascal
09/12/13 00:20:29
>>233
nについての帰納法による。 漸化式
Ｃ[n,k] = Ｃ[n-1,k-1] + Ｃ[n-1,k],
を使う。
237:１３２人目の素数さん
09/12/13 02:06:00
>>181
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A)cos(2B)cos(2C)
= (1/2){1+cos(2A)}{1+cos(2B)}{1+cos(2C)} - (1/2){1-cos(2A)}{1-cos(2B)}{1-cos(2C)}
= 4{cos(A)cos(B)cos(C)}^2 - 4{sin(A)sin(B)sin(C)}^2, ････ (1)
cos(2A)cos(2B)cos(2C) - cos(2A+2B+2C) = cos(2A)sin(2B)sin(2C) + sin(2A)cos(2B)sin(2C) + sin(2A)sin(2B)cos(2C)
= {cos(A)^2 -sin(A)^2}sin(2B)sin(2C) + sin(2A){cos(B)^2 -sin(B)^2}sin(2C) + sin(2A)sin(2B){cos(C)^2 -sin(C)^2}
= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)sin(B)sin(C) +sin(A)cos(B)sin(C) +sin(A)sin(B)cos(C)}
-4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)cos(B)cos(C) +cos(A)sin(B)cos(C) +cos(A)cos(B)sin(C)}
= 4cos(A)cos(B)cos(C){cos(A)cos(B)cos(C) -cos(A+B+C)}
-4sin(A)sin(B)sin(C){sin(A)sin(B)sin(C) +sin(A+B+C)}
= [ 1 ] -4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) -4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C), ･････(2)
(1)-(2) より
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2A+2B+2C) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(A+B+C) + 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(A+B+C),
A+B+C+D=0 のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - 4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),
238:１３２人目の素数さん
09/12/13 10:30:46
>>232
2n+1が素数のとき、C[2n,2p-1]+1 も C[2n,2q]-1 もともに2n+1の倍数になることをいえばよい。
C[2n,k+2] - C[2n,k]
= (C[2n,k+2]+C[2n,k+1]) - (C[2n,k+1]+C[2n,k])
= C[2n+1,k+2] - C[2n+1,k+1]
であり、ここで2n+1が素数なら C[2n+1,k+2] も C[2n+1,k+1] も2n+1の倍数なので、
よって2n+1が素数なら C[2n,k+2] - C[2n,k] も2n+1の倍数である・・・★
C[2n,1]+1 = 2n+1 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,1]+1, C[2n,3]+1, C[2n,5]+1,・・・はすべて2n+1の倍数。
C[2n,0]-1 = 0 は2n+1の倍数なので、★よりC[2n,0]-1, C[2n,2]-1, C[2n,4]-1,・・・はすべて2n+1の倍数。
証明終わり。
239:１３２人目の素数さん
09/12/13 14:16:56
e^πとπ^eの大小を比べよ。
240:１３２人目の素数さん
09/12/13 14:42:21
つまんね
どっかでみたことあるし
241:１３２人目の素数さん
09/12/13 15:07:16
>>239
logx/xを考えれば終わり
242:１３２人目の素数さん
09/12/13 15:58:49
>>238
難易度どれくらいでした？
243:１３２人目の素数さん
09/12/13 17:13:51
>>242
中学入試レベル
244:１３２人目の素数さん
09/12/13 19:54:15
y=x+1/x
z=y+1/y
を同時に満たすようなx.y.zを求めよ
もしそのようなx,y,zが存在しないのならばそのことを証明せよ
ただしxを実数,yを有理数,zを整数とする
245:１３２人目の素数さん
09/12/13 20:22:52
y:有理数より、y=a/bと置くと(aは正の数で、bは非0であるとする。)
z=(a/b)+1/(a/b)=(a^2+b^2)/ab
a^2+b^2をabで割った余りが0になれば良い。
(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/aも整数であり、これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、
bはaの倍数である。
又、(a^2+b^2)/abが整数ならば(a^2+b^2)/bも整数であり、これは(a^2)/bが整数であることを意味する為、
aはbの倍数である。よってa=b又はa=-b。
すると
z=±2,y=±1(複合同順)となるが、y=±1としてxについて整理した式
x^2±x+1=0の解が複素数になってしまう。
故にx,y,zの組は存在しない。
246:１３２人目の素数さん
09/12/13 20:26:11
pを素数とする。aとbは自然数で, a+b=pが成り立つとき, a^p+b^pはp^2で割り切れることを示せ。
247:１３２人目の素数さん
09/12/13 20:30:36
>>237
A+B+C+D=0 をはずせば
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D) - sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)}
+ 2sin(A+B+C+D){cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)･Ｓ_tan + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)･Ｓ_cot},
ここに
Ｓ_tan = tan(A) + tan(B) + tan(C) + tan(D),
Ｓ_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D),
248:１３２人目の素数さん
09/12/13 21:01:40
>>244
駿台のコバタカの冬期講習のテキストにあった気がする
249:１３２人目の素数さん
09/12/13 21:02:00
>>246
p=2のときは、a=b=1、1^2+1^2=2より成立しない。
pが奇素数とすると、
a^p+(p-a)^p = a^p + p^p - C[p,1] p^{p-1} a + ... + C[p,p-1] p a - a^p
で、C[p,k] (k=1,2,...,p-1)はpの倍数なので、p^2で割れる。
250:238
09/12/13 21:08:13
>>242
一見「難しそう・・・」。
実験してみるとみんな2n+1の倍数になるみたいで、これなら何とかなりそう。
Nが素数ならC[N,k] (1≦k≦N-1) はNの倍数になることが利用できそう・・・と考えて、方針が立つ。
20分ほどでなんとか解決、という感じでした。
251:１３２人目の素数さん
09/12/13 21:49:10
>>247
A+B+C+D+E = 0 のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E)
= cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E)･(5-τ) -3sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E)･Ｓ'_cot,
ここに
τ = tan(A)tan(B) + tan(A)tan(C) + tan(A)tan(D) + tan(A)tan(E) + tan(B)tan(C) + tan(B)tan(D) + tan(B)tan(E) + tan(C)tan(D) + tan(C)tan(E) + tan(D)tan(E),
Ｓ'_cot = cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D) + cot(E),
252:１３２人目の素数さん
09/12/14 10:33:10
>>245
＞これは(b^2)/aが整数であることを意味する為、bはaの倍数である。
b＝2，a＝4のとき、(b^2)/aは整数だが、bはaの倍数ではない
253:１３２人目の素数さん
09/12/14 15:21:30
ある立体の異なる二つの平面による切り口はいずれも円であるという。この立体は球であることを示せ。
254:１３２人目の素数さん
09/12/14 15:52:01
「任意の2つ」と書かないと偽だろ。
255:１３２人目の素数さん
09/12/14 20:28:51
任意の平面による切り口は円である、で良いんじゃないの？
なんで「二つ」とか書いてるのか意味分からん
256:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:12:14
>>224
やっぱ優しすぎるよね？
模擬試験に出題しようとしていた
俺が馬鹿だったわort
257:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:14:29
>>224
疑うようで悪いが、俺のレベルの低さを
知る為に模範解答頼んでいい？
258:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:23:04
後、どこがどうFランレベルなのか
を解説付きで頼むわ
259:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:23:57
>>224
お前の数学以外の得意な科目も教えて
もらえないかな？
260:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:28:45
>>224
数学をやっていて良かったと思えること
Fランクの人間の数学レベルについて
けしからんと思う事もお願いします。
261:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:32:11
>>224
数学の難問の出題の仕方も伝授
出来ないでしょうか？
ぜひともお願いします。
262:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:34:33
キチガイと言うレスが来ると思うが
俺は分かってやっていますので
大丈夫ですよ＾＾
263:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:35:55
>>262
もしかしてあなたはケツ顎ですか？
264:１３２人目の素数さん
09/12/14 22:38:59
>>262
Back come on!!
265:１３２人目の素数さん
09/12/15 00:31:08
名、古、屋、は、エ、～、エ、～、で、♪の文字がそれぞれ書かれたカード10枚を一列に並べたとき，
名古屋はエ～エ～で♪
となる確率を求めよ．
266:１３２人目の素数さん
09/12/15 03:02:14
>>262
解答？自明でしょ…わからない？視点をがらっとかえてごらんよ…わからない？……
数学以外の得意科目？物理学
難問作るコツ？悟りでも開けばみえてくるんじゃね？
267:１３２人目の素数さん
09/12/15 12:04:20
別スレでスルーされましたので．．．
URLﾘﾝｸ(hwm5.gyao.ne.jp)
の6番の(2)以降がが分かりません．問題が古いので解答がなく困っています．
どなたかお助けを．
ちなみに (1) S(x)＝1/x^4，f(x)－2f(2x)＝4/x^5 となりました．
268:１３２人目の素数さん
09/12/15 12:08:58
スレ違い
269:１３２人目の素数さん
09/12/15 12:30:54
>>267
>(1) S(x)＝1/x^4，f(x)－2f(2x)＝4/x^5 となりました．
これはあってる。
(2)
(2^k)*f( (2^k) x) = A_k とおく。
(1)で得た f(x)－2f(2x)＝4/x^5 の x を (2^k)x に置き換えた式を作り、両辺に2^k をかけると
A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
これを、k=0,1,・・・,nまで和をとると・・・・あとは頑張れ。
270:269
09/12/15 12:42:00
こめん。まちがえた。
下から2行め。
誤 A_k - A_(k+1) = (2^(2-5k))/x^5
正 A_k - A_(k+1) = (2^(2-4k))/x^5
271:１３２人目の素数さん
09/12/15 13:02:44
>>267
頑張って計算すると
2^n*f(2^n*x)=f(x)-64/(15x^4)*(1-(1/16)^n)
になってこれから
a(x)=f(x)-64/(15x^4)
さらに∫[x,2x]a(t)dt=0
がわかりこれが任意のxで成立しててa(x)≧0だからa(x)=0
272:１３２人目の素数さん
09/12/15 13:24:26
>>269-271
どうも有難うございました！
おかげでぐっすり眠れそうです。
この解法って定石なんですかね。
a(x)＝0 となる所なんか上手く行き過ぎてるって感じがします。
273:１３２人目の素数さん
09/12/15 13:25:34
東大・京大・早大・慶大・数学の出題方針
URLﾘﾝｸ(wind.ap.teacup.com)
274:１３２人目の素数さん
09/12/15 13:48:09
xy平面において、
( 1, 0 ), ( -1/2, (√3)/2 ), ( -1/2, -(√3)/2 ) を頂点とする正三角形の周および頂点からなる図形をTとおく。
行列 ([a, -b][b, a]) が表す一次変換によるTの像をT'とする。
TとT'が共有点をもつとき、点( a, b ) の存在する範囲を図示せよ。
275:１３２人目の素数さん
09/12/15 15:00:04
これは良問くさい
276:１３２人目の素数さん
09/12/15 15:34:30
類題を見た事がある
相似＋回転の合成変換
ありきたりだ
277:１３２人目の素数さん
09/12/15 15:56:15
そらまあ類題はいくらでもあるが、
斬新な問題よりも典型問題をちょっと発展させた問題の方が的中する可能性が高いのは事実だな。
278:１３２人目の素数さん
09/12/15 16:02:42
実際これが出たら平均点はかなり低いと思う
279:１３２人目の素数さん
09/12/15 16:27:51
自然対数の底をeとする。
またiを虚数単位とするとき、
e^(iθ)=cosθ+isinθ
が成り立つことを示せ。
280:１３２人目の素数さん
09/12/15 16:28:34
「周および頂点」なんて書いてる時点で信用をなくしている
281:１３２人目の素数さん
09/12/15 16:59:38
平面Ｐ上にある正三角形を他の平面Ｑ上に正射影する。
Ｑ上に射影された三角形の３辺の各々の長さの平方の和は
正三角形のＰ上への置き方に関係なく一定であることを示せ。
282:１３２人目の素数さん
09/12/15 17:58:21
明らか
283:１３２人目の素数さん
09/12/15 17:59:11
射影とか習わないよ
284:１３２人目の素数さん
09/12/15 18:06:46
>>281
これ見たことあるわw
まず直角三角形考えてずらすんでしょ？
285:１３２人目の素数さん
09/12/15 21:18:11
ここのHardあたりは、京大文系あたりでありそうなタイプ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:420番)
286:１３２人目の素数さん
09/12/15 21:35:22
x軸とy軸に動点P,Qをそれぞれとる. 直線PQに関して原点と対称な点をRとする.
PQの長さが常に２であるときの, Rの軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ.
287:１３２人目の素数さん
09/12/15 22:19:19
>>286
P(2sinθ,0)、Q(0, 2cosθ) と表せる。
このとき Rの座標は (2sin(2θ)*cosθ, 2sin(2θ)*sinθ) となる。
よってRの軌跡は極形式で r = 2sin(2θ) と表せる曲線である。
288:１３２人目の素数さん
09/12/16 06:59:12
nを整数とする。このとき
x^3+3xy+y^3=n
をみたす整数の組(x,y)が無限個存在するようなnをすべて求めよ。
289:１３２人目の素数さん
09/12/16 17:17:38
>>288
駿台：京大実践模試
理系乙大問３
290:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:04:42
2、2^2、2^3、・・・、2^nのn個の数のうち、最高位がNである個数をa(N)とする。
このとき、
lim[n→∞]a(N)/nを求めよ。
291:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:05:32
↑
N(1≦N≦9)つけ忘れ
292:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:18:45
>最高位がNである個数をa(N)とする。
こんな、日本語としておかしい問題文は、少なくとも東大ではありえない。
最高位がNであるものの個数をa(N)とする。
だろう。
293:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:20:42
0だな
294:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:25:30
それはない
295:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:30:28
0点だなの間違い
296:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:34:00
おｋ把握
297:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:34:06
>>292
解けないからって……
298:１３２人目の素数さん
09/12/16 22:47:38
>>292
そうですね、問題文の指摘ありがとうございます。
299:１３２人目の素数さん
09/12/16 23:04:58
>>290
log[10](1＋1/N)
300:１３２人目の素数さん
09/12/16 23:51:07
>>290
大昔の東大の過去問の類題
代ゼミ荻野の真・天にも類題掲載
301:１３２人目の素数さん
09/12/17 07:59:34
>>300
いつも思うけどこういうレスは何がしたいの？
302:１３２人目の素数さん
09/12/17 08:48:25
>>301
既出だよと言いたい
303:１３２人目の素数さん
09/12/17 09:24:45
類題≠既出
304:１３２人目の素数さん
09/12/17 11:21:12
13cm幅の長い紙がある。
この紙に22本の黒い平行線を等間隔に引き23等分する。
次に同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔に引き34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短距離は？
305:出題委員 ◆XI1TEcNOFY
09/12/17 12:55:20
>>304
おもしろいなそれいただき！
306:１３２人目の素数さん
09/12/17 13:08:31
引いた線と垂直にx軸をとり、紙の左端の位置をx=0とする。
左からm本目の黒い線の座標はx=m/23 (m=1,2,...22)
左からn本目の赤い線の座標はx=n/34 (n=1,2,...33)
ゆえにm本目の黒い線とn本目の赤い線の距離は
d(m,n)=|m/23-n/34|=|34m-23n|/(23*34)
よって|34m-23n|を最小にする場合を考えればよい。
34m-23n=0とすると34と23は互いに素だからmは23の倍数だがm=1,2,...23よりこれは不合理。
ゆえに|34m-23n|≧1だが、例えばm=2,n=3とすればこの等号は成立するので|34m-23n|の最小値は1である。
よってd(m,n)の最小値はd(2,3)=1/782
307:１３２人目の素数さん
09/12/17 13:09:12
訂正
＞m=1,2,...23よりこれは不合理。
→
＞m=1,2,...22よりこれは不合理。
308:１３２人目の素数さん
09/12/17 14:44:46
問題文には
13cm幅を等分する方向に引くとは書いてないんだが
309:１３２人目の素数さん
09/12/18 00:13:16
>>237 >>247 >>251
A+B = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) = (-1)^n･(2cc -2ss),
A+B+C = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = (-1)^n･(3ccc -Ｓ_css),
A+B+C+D = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = (-1)^n･(4cccc -4ssss),
A+B+C+D+E = nπ のとき
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = (-1)^n･(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss),
(略解)
cos(2θ_k) = cos(θ_k)cos(θ_k) - sin(θ_k)sin(θ_k)
= cos(θ_k)cos(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_n)
- sin(θ_k)sin(nπ -θ_1 ･････ -θ_(k-1) -θ_(k+1) ･････ -θ_k)
=(-1)^n {cos(θ_k)cos(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_n)
+ sin(θ_k)sin(θ_1 +･････ +θ_(k-1) +θ_(k+1) ･････ +θ_k)}
= (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) (L≠k) のn-1次の対称式},
(左辺) = (-1)^n {sin(θ_L), cos(θ_L) のn次の対称式},
310:１３２人目の素数さん
09/12/18 17:01:40
>>290
2進法で考えていいですか？
311:１３２人目の素数さん
09/12/18 17:19:53
954 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 12:43:07 ID:b9YtkA/E0
９０年代の東大理系数学ムズすぎワロタｗｗｗ
９８年とかマジ鬼畜ｗｗｗ
コテの皆さんはどのくらい解けましたか？
955 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:36:51 ID:JMkeaBaOO
>>954
98年の確率の問題(後期だったかも)は予備校講師は誰も解けなかったらしいな
956 ：大学への名無しさん：2009/12/18(金) 16:39:49 ID:XcivioAK0
９０年代の京大理系数学も難しいなあ
312:１３２人目の素数さん
09/12/18 21:48:42
「一次変換fによって平面上の正三角形ABCが正三角形A'B'C'に移るならば
すべての正三角形のfによる像は正三角形にうつる」
この命題が成立しないときはそれを証明し
成立するならばやはりそれを証明せよ
313:１３２人目の素数さん
09/12/18 22:15:09
一次変換fによって平面上の “ある”正三角形ABCが正三角形A'B'C'に移るならば
と書くほうがいいだろうな。また
この命題が成立しないときはそれを証明し
成立するならばやはりそれを証明せよ
は、
この命題が偽なら反例を示し、真ならそれを証明せよ。
と書くほうがいいだろう。
314:１３２人目の素数さん
09/12/18 23:17:56
>>312
与えられた命題は真である。
315:314
09/12/19 00:00:32
しまった証明書く前に送信しちった。
>>312
[証明]題意の一次変換をTとおく。
必要なら平行移動することにより、Cを原点としてよい。
A, Bの位置ベクトルをa, bと表す。また、原点中心60度回転変換をRと表す(その逆変換はR^と表す)。
必要なら点の名前を取り替えることにより、b = Ra としてよい。
適当な正の実数kと、原点中心の適当な回転変換Sを用いて、Ta = kSa と表せる。
また、適当な折り返し変換Uを用いて、Ta = kUa と表すこともできる。
仮定より、Ta と Tb は同じ大きさで60度の角をなすので、
Tb = RTa または Tb = (R^)Ta と書ける。
a と b は一次独立なので、任意のベクトルはx = λa + μb と書ける。
(case 1) Tb = RTa のとき：
Tx = λTa + μRTa = λkSa + μkRSa = λkSa + μkSRa (回転変換どうしは可換)
= kS(λa + μb) よって、T = kS (つまりTは拡大回転変換)
(case 2) Tb = (R^)Ta のとき：
Tx = λTa + μ(R^)Ta = λkUa + μk(R^)Ua = λkUa + μkURa (∵ (R^)U = UR)
= kU(λa + μb) よって、T = kU (つまりTは拡大折り返し変換)
いずれにしても、Tは相似変換になり、よって任意の正三角形を正三角形に写す。
316:１３２人目の素数さん
09/12/19 00:10:26
表現行列求めにいっちまったほうが楽なんじゃね。
計算はうざくなるか?
正三角形ABCの1辺のベクトル成分を(a.b)と設定して
(a.b)と60度回転させたベクトルを基底として
fの表現行列をAとすれば
A([a.b][a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2])
=([c.d][(c.d)を60度回転したもの])([c.d][c.dを-60度回転したもの])
(a.b)と(a/2-(√3b)/2, (√3a)/2+b/2)は一次独立だから
逆行列かければAが定まるし。
317:１３２人目の素数さん
09/12/19 00:23:14
>>309
cos(2A) + cos(2B) = cos(A+B)(2cc + 2ss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = cos(A+B+C)(3ccc + Ｓ_css) + sin(A+B+C)(Ｓ_ccs +3sss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = cos(A+B+C+D)(4cccc -4ssss) + sin(A+B+C+D)(2Ｓ_cccs +2Ｓ_csss),
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)( ････ ),
318:１３２人目の素数さん
09/12/19 04:20:12
>>317 の補足
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) + cos(2E) = cos(A+B+C+D+E)(5ccccc -Ｓ_cccss -3Ｓ_cssss) + sin(A+B+C+D+E)(3Ｓ_ccccs +Ｓ_ccsss -5sssss),
319:１３２人目の素数さん
09/12/19 04:35:37
N君が1以上の整数を小さい順に発声する。（発声する数字は、発声のたびに1ずつ増えることとする）
★N君が「3の倍数」を発声する事象を「事象 A」と呼ぶ。
★「＜10進法表記においていずれかの桁に 3 が存在＞する数字をN君が発声する事象を「事象 H」と呼ぶ。
★「事象 A」と「事象H」の両方が該当するような数字をN君が発声するときの事象を、「事象O」 と呼ぶ。
また、N君が1から自然数mまで発声した時点での、「事象 O 」の累計成立回数を、
f(m) と表記する。
（１）f(31) を求めよ
（２）f(2010) を求めよ
（３）自然数 ｎについて、f(ｎ)を求めよ
320:１３２人目の素数さん
09/12/19 05:33:02
>>318
ccccc = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_ccccs = cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_cccss = cos(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + cos(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E)
+ cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_ccsss = cos(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)cos(B)cos(C)sin(D)sin(E)
+ sin(A)cos(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)cos(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)cos(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)cos(E),
Ｓ_cssss = cos(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)cos(B)sin(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)cos(C)sin(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)cos(D)sin(E) + sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)cos(E),
sssss = sin(A)sin(B)sin(C)sin(D)sin(E),
321:１３２人目の素数さん
09/12/19 20:50:49
正四面体を平面により切断するとき、切り口が直角二等辺三角形になるようにできるか。
322:１３２人目の素数さん
09/12/20 20:53:17
>>321
一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
かなり略して書いた↓
URLﾘﾝｸ(sylphys.ddo.jp)
===
↓立方体とか考えてときたいけど。。。
URLﾘﾝｸ(sylphys.ddo.jp)
323:322
09/12/21 07:08:36
書き忘れた。
＞一応解けたけど、対称性の説明しまくりめんどい。。。
＞かなり略して書いた↓
＞URLﾘﾝｸ(sylphys.ddo.jp)
の図の下の２つは展開図。
324:１３２人目の素数さん
09/12/21 18:10:30
字汚すぎﾜﾛﾀ
325:１３２人目の素数さん
09/12/22 09:48:36
>>321
正四面体OABCの辺OA、OB、OC上に、OP=p、OQ=q、OR=r となるように点P～Rをとる。
PQ^2 = p^2 + q^2 - pq 、QR^2 = q^2 + r^2 - qr 、PR^2 = p^2 + r^2 - pr である。
PQ^2 = QR^2 (⇔ p^2 - r^2 = q(p-r)・・・(i) )
かつ 2PQ^2 = PR^2 (⇔ p^2 + 2q^2 -2pq +pr -r^2 = 0・・・(ii) )
が成り立てば△PQRは直角二等辺三角形になる。
(i)のとき、p = r または q = p+r だが、ここで q = p+r を(ii)に代入すると
・・・ p^2 - 3pr + r^2 = 0 、よって p = 0.5{3±√5}*r となる。
つまり、p : q : r = (3±√5) : (5±√5) : 2 のとき(複号同順)、△PQRはQを直角とする二等辺三角形になる。
よって答は「できる」。
326:１３２人目の素数さん
09/12/22 16:20:58
a[0]=1, a[1]=p,
a[n+2] = 2p*a[n+1] - a[n] (n≧0)
により定められる数列{a[n]} がある。
n≧0において、次の(a) ～ (c) が成り立つことを示せ。
(a) {a[n+1]}^2 -2p*a[n+1]*a[n] + {a[n]}^2 = 1 - p^2
(b) {a[n+2]}^2 - 2(2p^2-1)*{a[n+1]}^2 + {a[n]}^2 = 2(1-p^2)
(c) a[2n] = 2*{a[n]}^2 - 1
327:１３２人目の素数さん
09/12/23 00:07:28
>>326
nについての帰納法により
a[n] = T_n(p),
が成り立つ。 T_n( ) はn次の第一種チェビシェフ多項式。
|p| ≦ 1 のとき a[n] = cos(nω), cos(ω) = p,
|p| ≧ 1 のとき a[n] = σ^n･cosh(nω), cosh(ω) = |p|, σ = Sgn(p),
328:１３２人目の素数さん
09/12/23 00:34:00
cos（´・ω・`）
329:１３２人目の素数さん
09/12/23 02:46:29
以下英小文字はすべて自然数である
(1)Σ[k=r,n]nCk･kCr=nCr･2^(n-r)を示せ
(2)Σ[r=s,n]Σ[k=r,n]nCk･kCr･rCsを計算せよ
(3)作ろうと思ったけど思い浮かばないや
330:１３２人目の素数さん
09/12/23 13:21:55
>>327
それは解答になっているのか
331:１３２人目の素数さん
09/12/23 22:32:36
>>330
ヒントだな…
332:１３２人目の素数さん
09/12/23 22:43:23
>>329
(1)
∑[r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]} X^r
= ∑[k=0,r] Ｃ[n,k] {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
= ∑[k=0,r] Ｃ[n,k] (1+X)^k
= {1+(1+X)}^n
= (2+X)^n
= ∑[r=0,n] Ｃ[n,r]･2^(n-r) X^r,
(2)
∑[s=0,n] {Σ[r=s,n]Σ[k=r,n] Ｃ[n,k]･Ｃ[k,r]･Ｃ[r,s]} X^s
= Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] ∑[r=0,k] Ｃ[k,r] ∑[s=0,r] Ｃ[r,s] X^s
= ∑[k=0,n] Ｃ[n,k] Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] (1+X)^r
= ∑[k=0,n] Ｃ[n,k] [1+(1+X)]^k
= {1+[1+(1+X)]}^n
= (3+X)^n
= ∑[s=0,n] Ｃ[n,s]･3^(n-s) X^s,
(1') Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r] = Ｃ[n,r](A+1)^(n-r), を示せ。
(略解)
∑[r=0,n] {Σ[k=r,n]Ｃ[n,k]A^(n-k)･Ｃ[k,r]} X^r
= ∑[k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) {Σ[r=0,k] Ｃ[k,r] X^r}
= ∑[k=0,r] Ｃ[n,k]A^(n-k) (1+X)^k
= (A+1+X)^n
= ∑[r=0,n] Ｃ[n,r](A+1)^(n-r) X^r,
これを応用して (3) を作れ…
333:１３２人目の素数さん
09/12/23 23:06:26
>>329
(1)
C[n,k]*C[k,r]=C[n,r]*C[n-r,k-r]より
Σ[k=r,n]C[n,k]*C[k,r]
=Σ[k=r,n]C[n,r]*C[n-r,k-r]
=C[n,r]Σ[k=r,n]C[n-r,k-r]
=C[n,r]*2^(n-r)
334:１３２人目の素数さん
09/12/23 23:06:53
堀川先生っていい先生だったよね
335:１３２人目の素数さん
09/12/23 23:51:00
>>286
>>287 より、 r = 2sin(2θ) と表わせる（正葉線）ので、
S = ∫[0,2π] (1/2)r^2 dθ
= ∫[0,π/4] 4r^2 dθ
= ∫[0,π/4] 16{sin(2θ)}^2 dθ
= ∫[0,π/4] 8{1 - cos(4θ)} dθ
= [ 8θ - 2sin(4θ) ](0,π/4)
= 2π,
・長さ2の鏡PQを滑らせたときの、原点Oの像の軌跡。
>>288
(左辺) = x^3 +3xy +y^3
= {x^3 -3(-1)xy +y^3 +(-1)^3} +1
= (1/2)(x+y-1){(x-y)^2 +(x+1)^2 +(y+1)^2} + 1,
から n=1 はすぐ分かるが････
336:１３２人目の素数さん
09/12/24 21:01:37
a,b を実数の定数とする。
xの2次方程式 x^2 + ax + b = 0 が異なる二つの解をもち、それらが
α, 1-2α と表すことができるとする。
このとき b の取りうる値の範囲を求めよ。
337:335
09/12/24 21:39:22
>>286-287
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)バラ曲線
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
338:１３２人目の素数さん
09/12/24 22:31:05
っ
339:１３２人目の素数さん
09/12/25 20:39:39
>>336
簡単。すぐ解けた。どこのＦランの問題？ここは東大レベルの問題晒すとこなんだけど？もうちょっと練り直してこい
340:１３２人目の素数さん
09/12/25 21:21:41
論理的にちゃんとした答案を書くにはそれなりの力が必要だろう。
ちなみに解答は？ >>339
341:１３２人目の素数さん
09/12/25 21:44:53
東大だって簡単な問題も出すだろ
確率とかカスみたいなのもあるし
342:１３２人目の素数さん
09/12/25 23:49:12
>>341
こちらへどうぞｗ
Fランク大学の数学の入試問題を考える。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
343:１３２人目の素数さん
09/12/25 23:59:46
実数α≠1/2をを媒介変数として求める方程式は
(X - α)(X - 1 + 2α) = 0 と書ける。
よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。
ゆえにbの取りうる実数値の範囲は[1/8, ∞)。
さすがに三行で解けるってのはどうよ。
344:１３２人目の素数さん
09/12/26 00:59:16
>>343
αが実数であるとは明記されていないけど
345:１３２人目の素数さん
09/12/26 01:06:16
ほんとだ。
bは任意の実数値を取り得るｗ
346:１３２人目の素数さん
09/12/26 01:11:52
>>344
aが実数だから、α+(1-2α)=-aから、αも実数。
347:１３２人目の素数さん
09/12/26 01:24:53
仮定からaは実数で、しかもa＝α－1なんだから
αも実数だよな
348:１３２人目の素数さん
09/12/26 01:25:56
あれ、、、既に書いてる人がいたか
349:１３２人目の素数さん
09/12/26 01:26:00
リロードしてから投稿しろよ
350:１３２人目の素数さん
09/12/26 07:56:30
>>343
>よって b = α(1-2α)= 2(α - 1/4)^2 - 1/8。
351:１３２人目の素数さん
09/12/26 10:36:00
>>322
>>325
間違い。
352:１３２人目の素数さん
09/12/26 10:38:07
αと１-2αが異なる、も入れておかなきゃいけないし、343はgdgdだね
353:１３２人目の素数さん
09/12/26 10:46:37
>>352
それは自明だろう。
異なる値がそれぞれα、1-2αと書き表せるんだから、
逆にαと1-2αは異なる値だよな。
354:１３２人目の素数さん
09/12/26 10:48:12
は？
α≠1/3ということですよ。
355:１３２人目の素数さん
09/12/26 16:33:11
>>336
これ高校入試で見たことある問題なんだけど
356:１３２人目の素数さん
09/12/26 20:30:30
>>274 の解答ｷﾎﾞﾝﾇ
357:１３２人目の素数さん
09/12/26 23:08:48
xyz空間にある放物線のxy平面への影は放物線もしくは半直線である事を示せ．
358:１３２人目の素数さん
09/12/27 01:46:13
>>274
(A[1]∪A[3]∪A[5])∩B
但しA[k]は中心(cos(kπ/3), sin(kπ/3))で半径1の円の内部
BはTの外部
359:１３２人目の素数さん
09/12/27 02:04:16
>>321
そういう切り口は無いのか・・・
十分大きい正の数rをとって
(0,0,0),(r,0,r),(0,r,r),(r,r,0)
を４頂点とする正四面体を考える
a,bを正の数として
O(0,0,0), A(a,0,a), B(0,b,b), C(1,1,0)
とおくと |CA↑|=|CB↑|, (CA↑,CB↑)=0 を同時に満たす
正の数a,bは存在しない事が簡単な計算でわかる
切り口が２頂点を含む場合も多分無理
360:１３２人目の素数さん
09/12/27 14:53:53
>>325
その方針で良いと思うけど，p＝0.5{-3±√5}*r ＜ 0 で作れないんでないの？
簡単過ぎかな．
361:１３２人目の素数さん
09/12/27 19:57:05
nを自然数とする。
|x|≦1 ⇒ 0≦Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)＜1
を証明せよ。
362:１３２人目の素数さん
09/12/27 21:09:15
Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)≦Σ[k=1,n]1/k(k+1)=1-1/n＜1
x≧0で中辺≧0
-1≦x＜0では0＜x^2≦1より
Σ[k=1,n]x^(k+1)/k(k+1)
f(n)=x^2-x^2(1-x)/2-x^3(1-x)/3…-x^n(1-x)/n-x^(n+1)/nとして
|x^n(1-x)/n|,|x^(n+1)/n|は単調減少であるから
nが偶数の時
…＞f(6)＞f(4)＞f(2)=x^2/2-x^3/6=x^2(3-x)/6≧0が成り立ち
nが奇数の時
各項＞0よりf(n)＞0で満たす
363:１３２人目の素数さん
09/12/27 22:07:22
>>361
a_1 > a_2 > ･･････ > a_k > ･･･ > 0
のとき
|x|≦1 ⇒ 0 ≦ Σ[k=1,n] a_k･x^(k-1) < 0 ≦ Σ[k=1,n] a_k,
(左側: 2項づつまとめる。）
364:１３２人目の素数さん
09/12/27 22:49:54
aを正の定数とする。
周の長さがaである弓形において、弦の長さをxとし、面積をSとする。
Sはxの減少関数であることを示せ。
365:１３２人目の素数さん
09/12/28 09:18:14
>>364
教科書傍用問題集からなに抜いてんの
366:１３２人目の素数さん
09/12/28 16:53:07
高校生が宿題をここに書いてるのかな？
「弓形」は数学用語じゃないから大学入試を作問するときはもちろん
答案に書くときもきちんと考えたほうがいいぞ
367:１３２人目の素数さん
09/12/28 17:17:03
サイコロをｎ回投げて、目の最大が５、最小が２である確率を求めよ。
368:１３２人目の素数さん
09/12/28 17:31:33
>>367
いつかの千葉大医学部の問題まんま載せてんじゃねぇよ
369:１３２人目の素数さん
09/12/28 17:38:27
>>368
知らなかったんだけど。
たった今、俺が考えた問題だけど。
答えも出してみたけど、自信はあるよ。
検算したら合ってるみたいだし。
370:１３２人目の素数さん
09/12/28 17:46:20
こんなB級超頻出問題出るわけがない
371:１３２人目の素数さん
09/12/28 18:13:50
最大が5かつ最小が2だろ？難しいじゃん。医学部の問題だけのことはある。
372:１３２人目の素数さん
09/12/28 22:11:12
>>367-369
P(5以下,2以上) = (4/6)^n = (2/3)^n,
P(4以下,2以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
P(5以下,3以上) = (3/6)^n = (1/2)^n,
P(4以下,3以上) = (2/6)^n = (1/3)^n,
∴ P(5,2) = P(5以下,2以上) - P(4以下,2以上) - P(5以下,3以上) + P(4以下,3以上) = (2/3)^n -2(1/2)^n +(1/3)^n
= (2/3)^n -(1/2)^(n-1) +(1/3)^n,
373:１３２人目の素数さん
09/12/28 22:16:25
n回投げて、1及び6が出ない確率は
1-(2/3)^n
そのうち、2及び5が出る確率は
1-(2*(3/4)^n-(1/2)^n)
掛けて、答えは
(1-(2/3)^n)(1-2*(3/4)^n+(1/2)^n)
=1-2*(3/4)^n-(2/3)^n+3*(1/2)^n-(1/3)^n
合ってる自信がない。
374:１３２人目の素数さん
09/12/29 00:58:29
あなた方教師の方もトライに負けず劣らず「汚い」ですよね・・
解答の棒読み、分からないコトは「次までに自分で調べてごらん」、子供に問題をさせておいて自分はメールのやりとり、
センセー、センセーって持ち上げてるからって、あまり勘違いしないでください
375:１３２人目の素数さん
09/12/29 04:38:18
>>374
なんだよ・・・
どっかで喧嘩してるのか？
とりあえずリンク張れ
376:372
09/12/29 16:20:46
>>373
n回投げて、1及び6が出ない確率は
(2/3)^n,
･･････
･･････
掛けて、答えは
(2/3)^n･{1 -2*(3/4)^n +(1/2)^n}
= (2/3)^n -2*(1/2)^n + (1/3)^n,
逢ってる地震がある。
377:373
09/12/29 17:08:16
なんで俺あんな単純ミスしたんだろう。
378:１３２人目の素数さん
09/12/29 17:19:45
しかし3/4は重症だろう
379:１３２人目の素数さん
09/12/29 17:52:09
>>278
1も6もない4面のサイコロ(2～5が出る)をn回振ったときに2、5が出ない確率はそれぞれ
(3/4)^n、(3/4)^n
2も5も出ない確率は
(1/2)^n
故に2も5も出る確率は
1-2(3/4)^n+(1/2)^n
と考えた。
380:373=379
09/12/29 17:52:51
安価ミス
278→378
381:１３２人目の素数さん
09/12/29 20:13:50
最大が5かつ最小が2だろ？易しいじゃん。医学部の問題だけのことはある
382:１３２人目の素数さん
09/12/29 23:23:30
【問】
y=f(x)が以下のいくつかの条件を満たすための多項式f(x)の必要十分条件を求めよ
①最高次数が二次以下
②y=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
③y=f(x)上の任意の有理数組(x,y)について'xが整数⇔yが整数'を満たす
(1)①と②を満たす
(2)①と③を満たす
-(3)③を満たす
*(4)②を満たす
((3)はおまけ (4)は自分も解けてない)
383:１３２人目の素数さん
09/12/30 01:25:07
(4)
ある関数f(x)が存在し、
その関数について
y=f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが有理数⇔yが有理数'を満たす
ならば、かつそのときに限り関数f(x)について
y=e^f(x)上の任意の実数組(x,y)について'xが無理数⇔yが有理数'を満たす
ってのはありか？
384:１３２人目の素数さん
09/12/30 01:26:34
ちなみにこの場合自明な例外があるけど。
385:１３２人目の素数さん
09/12/30 01:50:09
>>382
(4)やってみた。間違ってたらゴメン。
f(x)はn次の多項式とする。f(x)の最高次の係数は正としてよい。
n≧2のときは、②を満たすf(x)が存在しないことを示す。
f(x)は②を満たすとする。このとき、簡単な議論によって、
f(x)∈Q[x]でなければならないことが分かる。よって、
ある自然数aとあるg(x)∈Z[x]が存在してf(x)＝g(x)/aと書ける。
fの最高次の係数は正だから、gもそうである。
n≠0であり、なおかつfの最高次の係数は正だから、
実数s＞0が十分大きければ、f(x)＝sは必ず実数解を持つ。
特に、s＝b/a (b∈Z)と置けば、b＞0が十分大きければ
f(x)＝b/aは必ず実数解αを持つ。ところで、b/aは有理数であり、
また、f(x)は②の仮定を満たすのだから、αは有理数でなければ
ならない。これとf(x)＝b/a ⇔ g(x)＝b から、次を得る。
・十分大きな自然数bに対して、g(x)＝bは必ず有理数解を持つ…(*)
386:１３２人目の素数さん
09/12/30 01:52:13
(続き)
g(x)＝Σ[k＝0～n]g_ix^i とおく。g_n＞0である。簡単な議論により、
g(x)＝b が有理数解x＝q/p (q∈Z,p∈N,gcd(p,q)＝1)を持つためには
p｜g_nかつq｜(g_0－b)でなければならないことが分かる。
そこで、bとして特に(b－g_0)が素数であるようなものを選ぶ。
素数は無限にあるので、このような自然数bも無限にある。このとき、
q｜(g_0－b) からq＝±1,±(g_0－b)が導かれる。すなわち、
有理数解の候補は±1/p,±(g_0－b)/p の4通りに限られる。
これと(*)から、この4つの候補のうち少なくとも1つは
実際に解でなければならない。
x＝1/pまたは－1/pが解のときは、|x|≦1ということになるが、
bを十分大きくすれば、g(x)＝b の有理数解が|x|≦1 には
存在しないようにできる。よって、最初からそのような
bだけを考えることにすれば、x＝±1/pは解になり得ない。
このとき、解の候補は自動的に±(g_0－b)/pの2つに限られる。
x＝(g_0－b)/p が解のときは、g(x)＝bに代入してg((g_0－b)/p)＝b
ということになるが、両辺を((g_0－b)/p)^n で割って
b－g_0：素数，b→＋∞
という極限を取れば、左辺はg_nに収束し(∵lim[x→±∞]g(x)/x^n＝g_n)、
また、n≧2だから右辺は0に収束する(ここでn≧2が効いている)。
よってg_n＝0となるが、これはg_n＞0に矛盾する。
x＝－(g_0－b)/pのときも同様にして矛盾する。
387:１３２人目の素数さん
09/12/30 02:06:35
(続き)
よって、②を満たすf(x)は定数関数か1次の多項式に限られる。
簡単な議論によって、
f(x)＝ax＋b, a∈Q,b∈Q,a≠0
だけが②を満たすと分かる。
以上より、多項式f(x)が②を満たすための必要十分条件は
「f(x)∈Q[x]かつdeg f(x)＝1」である。
書いてから気づいたけど、
＞有理数解の候補は±1/p,±(g_0－b)/p の4通りに限られる。
ここは語弊があって、正確には「pの取りうる値の個数×4」通りだった。
あと、bによってpの値は変化しうるから、議論の後半でb→＋∞の極限を
取るときには気をつけなくちゃいけなかった。どのみち、p｜g_n から
1≦p≦g_nが出てpは有界になるので、議論に差し支えはないけど。
388:１３２人目の素数さん
09/12/30 17:15:59
kを定数とする。
xの方程式 x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k の1つの解をαとするとき、
この方程式の他の解をαを用いて表せ。
389:１３２人目の素数さん
09/12/30 18:25:32
まず、x≠0,1…☆
x + 1/(1-x) + (x-1)/x = k
x^2(1-x)+x-(x-1)^2=kx(1-x)
-x^3+3x-1=kx(1-x)
x^3-kx^2+(k-3)x+1=0…①
αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…②と表せる（∵☆）
βについて②を展開すると
x^3-(α+β)x^2+(αβ-1/α)x+1より
αβ-1/α=k-3
k=α+β
弐式より
(α-1)β=(α+1/α-3)これを②に代入して
x^2-(α+1/α-3)x/(1-α)-1/α=0を解く
α(1-α)x^2-(α^2-3α+1)x-(1-α)=0
((1-α)x+1)(αx-(1-α))=0
∴x=1/(α-1),(1-α)/α （∵☆）
390:１３２人目の素数さん
09/12/30 21:08:38
（∵☆）のところが分からないのですが…詳しくお願いします。
391:１３２人目の素数さん
09/12/30 21:17:14
>>390
α≠0,1より1-αやαで割ることが可能ってことです
392:１３２人目の素数さん
09/12/30 21:50:26
理解力が無くて本当に申し訳ないのですが
αが解より
(x-α)(x^2-βx-1/α)=0…②と表せる（∵☆）
の詳しい論理をお願いします…。
393:１３２人目の素数さん
09/12/30 23:04:45
つ因数定理
まぁ②式を立てるよりか①式をx-αで割る方が早いと思うが
394:１３２人目の素数さん
09/12/30 23:08:57
ごめんなさい、βを①式の解の一つだと勝手に勘違いしていました。
お手数かけてすみません。
395:１３２人目の素数さん
09/12/31 00:43:33
>>388
f(x)=1/(1-x) とおくと f(f(x))=(x-1)/x, f(f(f(x)))=x だから
もとの方程式は x+f(x)+f(f(x))=k と書けて
αがその解なら f(α) も f(f(α)) も解
396:382
09/12/31 01:36:16
>>387
なんか大体あってるような気がしたけど
>>386の後半でb→∞にもってくところがちょっと怪しい気がする…
十分大きいbだと十分0に近いg_nになって一応g_n＞0は保たれているんじゃ？
曖昧でごめん
397:１３２人目の素数さん
09/12/31 01:57:39
中心がOで,半径が１である円C上の動点Pを中心に持つ円Dを考える.
円D上の動点Qは,Pと同じ向きに、２倍の速さで動く.
円D自体は回転せず、始めO,P,Qは同一直線上にあるとする. 点Qの描く軌跡によって囲まれる面積を求めよ.
398:１３２人目の素数さん
09/12/31 02:02:34
円Dの半径は１です
399:１３２人目の素数さん
09/12/31 04:41:39
そんな典型問題が東大に出るわけない
宮廷レベル
400:１３２人目の素数さん
09/12/31 06:00:42
東大は宮廷なんですが
401:387
09/12/31 06:09:27
>>396
bの値によってg_nが変動することはありえない。
g(x)はf(x)から作られた関数であって、bに依存していない。
つまり、g_nはbに依らない定数。
402:１３２人目の素数さん
09/12/31 06:14:31
>>395
f(α) や f(f(α)) が α とは別の解であること
それ以外に解がないこと
をいわないと不十分かと
403:１３２人目の素数さん
09/12/31 12:26:21
a^3-b^3=(a-b)^4
a>b>0
を満たす整数(a,b)をすべて求めよ。
404:１３２人目の素数さん
09/12/31 13:10:58
>>403
存在しない。
a>b>0より
(a-b)^4>0
a^3-b^3<0
405:１３２人目の素数さん
09/12/31 13:21:39
>>404
え？