09/10/20 18:46:38
>>101
あほすぎ。整数論を白名杉。
103:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:52:06
>>102=Kummerの負け惜しみ
104:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:56:43
代数的整数論といいながら微積の本を写すのが許されるわけがない。
下等つおしより非道い。
105:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:58:03
>>102=Kummer=微積すら知らないアホ
106:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:00:11
代数的数論では微積必要ないとか思ってるのか、話にならないなｗｗ
107:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:02:25
ポントリャーギン双対定理はどこで片づいたのか？
108:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:04:01
>>106
必要ないなんて誰が云ったんだよ
話にならないのはオマエの理解力だよ
109:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 21:08:27
>>99
杉浦も数列を使って証明している(これも高木の影響だろう)。
数列を使った証明は回りくどい感じがする。
110:１３２人目の素数さん
09/10/21 01:52:32
>>109
わたしも点列を使うのは好きじゃないんですけど、解析寄りの面倒な話になってくると、
証明の組み立て上、適当に構成した点列から収束する部分列を引っ張り出してきて、
というタイプの議論が増えるので、そのへんの習慣の影響なんですかね。
111:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 07:56:50
>>110
よくわからないです。
他の箇所では ε-δ でやってるのにここだけ点列を使うのは違和感が
ありますね。
ここで点列を使うのは明らかに高木の影響ですね。
小平は解析入門の中でよく点列を使った証明をしてますが。
112:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 08:24:17
因みに高木の解析概論における陰関数の証明は少し雑ですね。
m 個の n + m 変数の関数の場合の帰納法による関数行列式の計算は杉浦が
示しているように少々面倒です。
これを高木は２個の３変数の関数の場合に証明しただけで n 変数の場合も
同様であるの一言ですましている。
多変数の定理の証明を２変数とか３変数で代用するというのは解析入門の教科書で
多いですがあまり感心しません。
高校の教科書なら線型代数の定理の証明を２変数とか３変数で代用するというのは
しかたないでしょうが。
陰関数の定理は解析や幾何で重要なので力を入れてやってもらいたいです。
113:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 10:31:28
話はがらっと変わりますが解析の入門でニュートン力学の話が出てこないのは
不思議とまでは言いませんが不自然ですね。
微積分は力学から出てきたということを故意に無視してるように見えますね。
大昔は物理と数学はほとんど一体だったわけですが１９世紀に楕円関数論が
出てきたあたりから分かれるようになった。
しかし、数学それだけでは発展の原動力として足りないように思う。
例えば、リーマンがリーマン面の理論でモデルにしたのは当時発展途上の電磁気学
だったし、位相群の無限次元の表現は最初は物理的な要請から出てきた。
それから、これは私が前から言ってることですが解析の入門で微分方程式が
出てこないのはまずいでしょう。
微分方程式こそが解析の真髄、ハートなわけで、これをまったく取り上げない
のは不思議としか言いようがない。
指数関数とか三角関数というのは微分方程式の観点から扱うのが自然でしょう。
114:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 11:08:55
高木批判のついでに。
彼の解析概論の複素関数論におけるCauchyの定理の証明はやや技巧的で
定理の本質が見えにくい。
確か Ahlfors も高木と同じような証明だったと記憶している。
条件をやや緩めて平面におけるStokesの定理、すなわちGreenの定理を使えば
わかりやすい。
115:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 12:35:57
K を実数体または複素数体とする。
n を整数 ≧ 1 とし、K^n に任意のノルム関数を与えノルム空間と見なす。
U ⊂ K^n を開集合とし、
f: U → K^n を微分可能(過去スレ014の788)とする。
f の第 i 成分を f_i とする。
即ち、x ∈ K^n のとき f(x) = (f_1(x), ..., f_n(x)) である。
過去スレ014の817より、df の K^n の標準基底に関する行列は、
(∂f_i/∂x_j), 1 ≦ i, j ≦ n である。
この行列を f の Jacobi 行列(Jacobian matrix)と呼び、
J_f(x) または、∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n) と書く。
x → J_f(x) は U 上の行列値関数である。
p ∈ K^n のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
この行列の行列式 det(∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n)) を
f の Jacobi 行列式(Jacobian determinant)と呼ぶ。
Jacobi 行列式を ∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n) と書く流儀もあるが、
それだと Jacobi 行列を表すのに別の記号が必要になる。
116:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 12:39:47
>>115
>p ∈ K^n のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
p ∈ U のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
117:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:04:28
>>115をやや拡張する。
K を実数体または複素数体とする。
n, m を整数 ≧ 1 とし、K^n と K^m にそれぞれ任意のノルム関数を与え
ノルム空間と見なす。
U ⊂ K^n を開集合とし、
f: U → K^m を微分可能とする。
f の第 i 成分を f_i とする。
即ち、x ∈ U のとき f(x) = (f_1(x), ..., f_m(x)) である。
過去スレ014の817より、df(x) の K^n と K^m の標準基底に関する行列は、
(∂f_i/∂x_j), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n である。
この行列を f の Jacobi 行列(Jacobian matrix)と呼び、
J_f(x) または、∂(f_1, ..., f_m)/∂(x_1, ..., x_n) と書く。
----------------------------------------------------
U ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
g: V → K^r を微分可能とする。
g の第 i 成分を g_i とする。
即ち、(x, y) ∈ V のとき g(x, y) = (g_1(x, y), ..., g_r(x, y)) である。
g の第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)g の K^m, K^r の標準基底に関する行列は、
(∂g_i/∂y_j), 1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ j ≦ m である。
この行列を ∂(g_1, ..., g_r)/∂(y_1, ..., y_m) と書く。
118:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:15:36
Spivakも書いているように偏微分の記号 ∂f/∂x は変数 x が不要のときも変数 x を
書く必要があるなど不都合な点がある。
そこで ∂f/∂x_i を (D_i)f と書くなどの流儀もある。
しかし、記号 ∂f/∂x も便利な場合があり、このあたり悩ましい。
119:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:17:54
>>117
>U ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
V ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
120:１３２人目の素数さん
09/10/21 13:52:50
こうなったら、一秒でも長生きしたもんの勝ちやで。 ほんま。(^o^)
121:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 15:23:04
>>114
>条件をやや緩めて
条件をやや強めて
122:１３２人目の素数さん
09/10/21 15:37:41
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