09/10/13 07:14:18
代数的整数論 015
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
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2:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/13 07:16:32
過去スレ014の836への補足
>= (∫[0, 1] d_1f(a + tx, b + y) dt)x - (d_1)f(a, b)x
>+ (∫[0, 1] d_2f(a, b + ty) dt)y - (d_2)f(a, b)y
過去スレ014の832を適用するには、(a + tx, b + y) と (a, b + ty) が U に含まれて
いなければならない。
このためには、(x, y) が (a, b) を中心とする十分小さい開球体または開立方体に
含まれていれば十分である。
3:１３２人目の素数さん
09/10/13 07:31:57
また立てたのか
いい加減にしろ
4:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/13 08:46:53
R を実数体とする。
U を R^2 の開集合とし、f: U → R をC^2級写像とする。
過去スレ014の835より、
p ∈ U
w = (w_1, w_2) ∈ R^2 のとき、
df(p)(w) = (d_1)f(p)(w_1) + (d_2)f(p)(w_2)
である。
明らかに、
(d_1)f(p)(w_1) = (∂f/∂x)(p)w_1
(d_2)f(p)(w_2) = (∂f/∂y)(p)w_2
よって、
df(p)(w) = (∂f/∂x)(p)w_1 + (∂f/∂y)(p)w_2
この式の p を変数とみて省略すると、
df(w) = (∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2
5:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/13 09:02:44
>>4の続き
(d^2)f を計算しよう。
p ∈ U
v = (v_1, v_2) ∈ R^2 のとき、
w = (w_1, w_2) ∈ R^2 のとき、
(d^2)f(p)(v, w) = d(df(w))(p)(v)
ここで、df は関数 u → df(u) ∈ L(R^2, R) と見なしている。
>>4と過去スレ014の835より、
d((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)(v)
= d_1((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)v_1
+ d_2((∂f/∂x)w_1 + (∂f/∂y)w_2)(p)v_2
= (∂^2f/∂^2x)(p)v_1w_1 + (∂^2f/∂x∂y)(p)v_1w_2
+ (∂^2f/∂y∂x)(p)v_2w_1 + (∂^2f/∂^2y)(p)v_2w_2
即ち、(d^2)f は ∂^2f/∂^2x, ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂^2y を
係数とする２次形式である。
6:猫は珍獣 ◆xqlNKJ6FBE
09/10/13 09:06:19
おはようさん
猫
7:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/13 09:32:59
過去スレ014の818は複素数体上でも同様である：
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のノルム空間とする。
T ∈ L(K, F), x ∈ K のとき T(x) = xT(1) である。
よって、|T| = |T(1)| である。
よって、T ∈ L(K, F) に T(1) に対応させる写像は L(K, F) から F への
ノルム空間としての同型である。
U を K の開集合とし、f : U → F を微分可能(>>816)とする。
t ∈ U のとき、df(t) ∈ L(K, F) である。
df(t)(1) を f’(t) または df/dt と書く。
h → 0 のとき、
lim |f(t + h) - f(t) - df(t)h|/|h| = 0
df(t)h = f’(t)h である。
よって、
f’(t) = lim (f(t + h) - f(t))/h である。
8:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/13 09:52:36
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、p ∈ U とする。
f : U → F が p で微分可能とする。
t ∈ K
v ∈ E
のとき、
(df/dt)(p + tv)|t = 0 が存在し、df(p)(v) に等しい。
証明
ψ(t) = p + tv とおく。
合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、
df(ψ(0))(1) = df(p)(dψ(0)(1)) = df(p)(v)
df(ψ(0))(1) は>>7より、(df/dt)(p + tv)|t = 0 である。
証明終
9:１３２人目の素数さん
09/10/13 11:07:15
>>3
>また立てたのか
>いい加減にしろ
お前も他人にケチばかり付けてないで、ちったあましなスレッドでも立てて見ろ。
このホモチョン野郎が。
10:１３２人目の素数さん
09/10/13 11:56:26
ねずむ乙
人種差別主義者は氏ね
11:１３２人目の素数さん
09/10/13 14:21:22
>>10
チョンはすぐファビョるな。
12:１３２人目の素数さん
09/10/14 00:21:03
なにこの単純作業スレ
13:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/14 06:23:01
>>5
>即ち、(d^2)f は ∂^2f/∂^2x, ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂^2y を
>係数とする２次形式である。
即ち、(d^2)f は ∂^2f/∂^2x, ∂^2f/∂x∂y, ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂^2y を
係数とする双１次形式である。
14:Kunmer
09/10/15 12:41:35
>>9=>>11=Kummer
わ！ 下品下劣下等つおし
15:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:08:39
過去スレ014の819は複素数体上でも同様に成り立つ：
命題(微積分の基本定理)
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間とする。
f: [a, b] → F を連続写像とする。
t ∈ (a, b) のとき g(t) = ∫[a, t] f(x) dx とおく。
ここで、dx は R のLebesgue測度(過去スレ009の710)であり、
∫[a, t] f(x) dx は過去スレ008の356で定義されたものである。
このとき、g’(t) = f(t) である。
証明
t ∈ (a, b) のとき
|g(t + h) - g(t) - f(t)h| = |∫[t, t + h] (f(x) - f(t))dx|
≦ M(h)|h|
ここで、M(h) = sup {|f(x) - f(t)| ; x ∈ [t, t + h]}
h → 0 のとき、M(h) → 0 であるから、
g’(t) = f(t) である。
証明終
16:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:24:51
補題
K を実数体または複素数体とする。
f: [a, b] → K を連続写像とする。
f が (a, b) で微分可能で (a, b) 上で f’(t) = 0 とする。
このとき f は [a, b] 上で定数である。
証明
f(t) = a(t) + b(t) とする。
f’(t) = a’(t) + b’(t) であるから、
a’(t) = 0 かつ b’(t) = 0 である。
よって、本補題は K が実数体のときに帰着する。
しかし、K が実数体のときは平均値の定理より本補題は直ちに得られる。
証明終
17:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:29:09
過去スレ014の820は複素数体上でも同様に成り立つ：
補題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のノルム空間とする。
f: [a, b] → F を連続写像とする。
f が (a, b) で微分可能で (a, b) 上で f’(t) = 0 とする。
ここで、f’(t) は>>7で定義したもの。
このとき f は [a, b] 上で定数である。
証明
ある t ∈ [a, b] に対して f(t) ≠ f(a) とする。
Hahn-Banachの定理の系(過去スレ006の755)より、
連続線形写像 g: F → K で、g(f(t)) ≠ g(f(a)) となるものが存在する。
合成関数の微分法(過去スレ014の803)より、
d(gf)(t) = dg(f(t))df(t)
よって、
d(gf)(t)(1) = dg(f(t))df(t)(1)
即ち
(gf)’(t) = dg(f(t))f’(t) = 0
よって、>>16より、gf は定数である。
これは、g(f(t)) ≠ g(f(a)) に矛盾である。
よって、f は [a, b] 上で定数である。
証明終
18:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:35:38
過去スレ014の821は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：
命題
K を実数体または複素数体とする。
F を K 上のBanach空間とする。
U を R の開集合とし、f: U → F をC^1級とする。
[a, b] ⊂ U のとき
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(t) dt
証明
g(t) = ∫[a, t] f’(x) dx - f(t) とおく。
>>15より、g’(t) = 0 である。
よって、>>17より、g(t) は [a, b] 上で定数である。
特に、g(b) = g(a) である。
即ち、
f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(t) dt
証明終
19:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:41:51
過去スレ014の828は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
V を R の開集合で [0, 1] ⊂ V とする。
ψ: V → U をC^1級写像とする。
x = ψ(0), y = ψ(1) とする。
このとき
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] df(ψ(t))(ψ’(t)) dt
証明
g(t) = f(ψ(t)) とおく。
合成関数の微分法(過去スレ014の803)より、
dg(t) = df(ψ(t))dψ(t)
よって、
dg(t)(1) = df(ψ(t))dψ(t)(1)
>>7より、
g’(t) = df(ψ(t))(ψ’(t))
>>18より、
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] g’(t) dt = ∫[0, 1] df(ψ(t))(ψ’(t)) dt
証明終
20:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:47:13
過去スレ014の832は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：
命題
R を実数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
x, y ∈ U とする。
任意の t ∈ [0, 1] に対して ψ(t) = (1 - t)x + ty ∈ U とする。
このとき、
f(y) - f(x) = (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)
証明
>>19より、
f(y) - f(x) = ∫[0, 1] df(ψ(t))(y - x) dt
過去スレ014の830より、この右辺は (∫[0, 1] df(ψ(t)) dt) (y - x)
証明終
21:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:50:23
>>20の訂正
>R を実数体とする。
K を実数体または複素数体とする。
22:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:55:46
過去スレ014の836は F が複素Banach空間でも同様に成り立つ：
命題
K を実数体または複素数体とする。
E_1, E_2 を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
E = (E_1)×(E_2) とおく。
U を E の開集合とし、f: U → F を写像とする。
偏微分 (d_1)f と (d_2)f が U の各点で存在し、U 上で連続なら
f は C^1級である。
証明
(a, b) を U の任意の点とする。
>>20より、
f(a + x, b + y) - f(a, b) - (d_1)f(a, b)x - (d_2)f(a, b)y
= f(a + x, b + y) - f(a, b + y) - (d_1)f(a, b)x
+ f(a, b + y) - f(a, b) - (d_2)f(a, b)y
= (∫[0, 1] d_1f(a + tx, b + y) dt)x - (d_1)f(a, b)x
+ (∫[0, 1] d_2f(a, b + ty) dt)y - (d_2)f(a, b)y
= (∫[0, 1] (d_1f(a + tx, b + y) - (d_1)f(a, b)) dt)x
+ (∫[0, 1] (d_2f(a, b + ty) - (d_2)f(a, b)) dt)y
ここで、
M_1(x, y) = sup {|d_1f(a + tx, b + y) - (d_1)f(a, b)| ; 0 ≦ t ≦ 1}
M_2(x, y) = sup {|d_2f(a, b + ty) - (d_2)f(a, b)| ; 0 ≦ t ≦ 1} とおく。
|f(a + x, b + y) - f(a, b) - (d_1)f(a, b)x - (d_2)f(a, b)y|
≦ M_1(x, y)|x| + M_2(x, y)|y|
≦ (M_1(x, y) + M_2(x, y))(|x| + |y|)
(続く)
23:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 13:56:27
(x, y) → (a, b) のとき、M_1(x, y) → 0 かつ M_2(x, y) → 0
よって、
df(a, b)(x, y) = (d_1)f(a, b)x + (d_2)f(a, b)y
(a, b) は U の任意の点だから df が U の各点で存在する。
次に、df が U 上で連続なことを示す。
p_i: E → E_i を射影とする。
ψ_i ∈ L(L(Ei,F), L(E, F)) を ψ_i(T) = T(p_i) で定義すると、
df = ψ_1(d_1)f + ψ_2(d_2)f
である。
(d_1)f と (d_2)f は連続であるから、df は連続である。
証明終
24:１３２人目の素数さん
09/10/15 14:52:28
恥ずかしくないの？
Lang が地獄で怒ってるわよ！
25:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 16:19:14
K を実数体または複素数体とする。
U を K^n (r ≧ 1)の開集合とし、f: U → K をC^r (r ≧ 1)級写像
(過去スレ014の798と813)とする。
p ∈ U
v_i ∈ K^n, 1 ≦ i ≦ r とし、
v_i = (v_(i, 1), ..., v_(i, n)) とする。
x = (x_1, ..., x_n) は U の一般点を表すとする。
(d^r)f(p)(v_1, v_2, ..., v_r)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_1)∂x_(i_2)...∂x_(i_r))(p)v_(1, i_1)...v_(r, i_r)
を r に関する帰納法により証明する。
ここで、Σ は 1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n となる組 (i_1, ..., i_r) 全体に渡る。
>>4と同様に、
df(p)v_1 = (∂f/∂x_1)(p)v_(1, 1) + ... + (∂f/∂x_n)(p)v_(1, n)
= Σ(∂f/∂x_(i_1))(p)v_(1, i_1)
よって、 r = 1 のときは成り立つ。
r ≧ 2 として、
(d^(r-1))f(p)(v_2, ..., v_r)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_2)...∂x_(i_r)))(p)v_(2, i_2)...v_(r, i_r)
を仮定する。
(d^r)f(p)(v_1, v_2, ..., v_r)
= d((d^(r-1))f(x)(v_2, ..., v_r))(p)(v_1)
= d(Σ(∂^rf/∂x_(i_1)...∂x_(i_(r-1)))(p)v_(2, i_1)...v_(r, i_r)(p)(v_1)
= Σ(∂^rf/∂x_(i_1)∂x_(i_2)...∂x_(i_r))(p)v_(1, i_1)...v_(r, i_r)
よって、任意の r ≧ 1 に対して成り立つ。
26:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 16:23:42
>>25より、f が U 上でC^r級であるためには、
U 上で ∂^rf/∂x_(i_1)∂x_(i_2)...∂x_(i_r) が
1 ≦ i_1, ..., i_r ≦ n となるすべて組 (i_1, ..., i_r) に対して存在して
連続であることが必要十分である。
27:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 19:10:41
>>25への補足
>(d^r)f(p)(v_1, v_2, ..., v_r)
>= d((d^(r-1))f(x)(v_2, ..., v_r))(p)(v_1)
これは、説明不足であった。
これは次の補題から明らかになる。
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → L(E, F) を微分可能写像とする。
p ∈ U
v, w ∈ E のとき、
d(f(x)(w))(p)(v) = df(p)(v, w)
ここで、d(f(x)(w)) は w を固定したとき、関数 x → f(x)(w) の微分である。
証明
ψ: L(E, F) → F を T → T(w) により定義する。
ψ は線型写像であるから ψ は微分可能で、
S ∈ L(E, F), T ∈ L(E, F) のとき、
dψ(S)(T) = T(w) である。
合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、
p ∈ U
v ∈ E のとき、
d(ψf)(p)(v) = dψ(f(p))df(p)(v) = df(p)(v)(w) = df(p)(v, w)
一方、
d(ψf)(p)(v) = d(f(x)(w))(p)(v)
証明終
28:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 19:48:31
補題
R を実数体とする。
f: [0, 1] → R を連続写像とする。
∫[0, 1] f(t) dt = f(θ) となる θ ∈ [0, 1] がある。
証明
m = inf {f(x); x ∈ [0, 1]}
M = sup {f(x); x ∈ [0, 1]}
とおく。
f は連続だから m ∈ f([0, 1]), M ∈ f([0, 1]) である。
m ≦ ∫[0, 1] f(t) dt ≦ M
である。
中間値の定理から
∫[0, 1] f(t) dt = f(θ) となる θ ∈ [0, 1] がある。
証明終
29:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 21:33:58
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を２回微分可能とする。
p を U の点とし、T ∈ L(G, E) とする。
ψ: G → E を ψ(v) = p + T(v) により定義する。
このとき、v ∈ ψ^(-1)(U), (w, z) ∈ G^2 のとき、
d^2(fψ)(v)(w, z) = (d^2f(ψ(v))(T(w), T(z))
証明
v, u ∈ G のとき、
dψ(v)(u) = T(u) である。
よって、合成関数の微分法(過去スレ014の803)より、
v ∈ ψ^(-1)(U), z ∈ G のとき、
d(fψ)(v)(z) = df(ψ(v))dψ(v)(z) = df(ψ(v))T(z)
よって、
d^2(fψ)(v)(w, z) = d(d(fψ)(.)(z))(w)
= d(df(ψ(.))T(z))(v)(w)
= (d^2f(ψ(v))(T(w), T(z))
証明終
30:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 22:01:28
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, Fを K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^2級とする。
このとき、任意の p ∈ U に対して (d^2)f(p) は対称関数である。
即ち、任意の、v, w ∈ E に対して
(d^2)f(p)(v, w) = (d^2)f(p)(w, v)
証明
ψ: K^2 → E を ψ(x, y) = p + xv + yw で定義する。
e_1 と e_2 を K^2 の標準基底とする。
>>29より、
d^2(fψ)(0, 0)(e_1, e_2) = d^2f(p)(v, w)
d^2(fψ)(0, 0)(e_2, e_1) = d^2f(p)(w, v)
よって、d^2(fψ)(0, 0)(e_1, e_2) = d^2(fψ)(0, 0)(e_2, e_1) を証明すればよい。
よって、∂^2(fψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(fψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。
Hahn-Banachの定理の系(過去スレ006の755)より、
任意の連続線形写像 h: F → K に対して、
h(∂^2(fψ)/∂x∂y(0, 0)) = h(∂^2(fψ)/∂y∂x(0, 0)) を証明すればよい。
即ち、
∂^2(hfψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(hfψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。
K が実数体の場合は、これは微積分の教科書(例えば高木の解析概論)で
良く知られている。
K が複素数体の場合は、多変数複素関数論の初歩でよく知られているように、
hfψ は２変数のベキ級数に展開されるからやはりこの等式が成り立つ。
証明終
31:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 23:27:29
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, Fを K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を r 回微分可能とする。
(v_1, ..., v_(r-1)) を固定して
g: U → F を g(x) = (d^(r-1))f(x)(v_1, ..., v_(r-1)) で定義する。
このとき、g は微分可能で、v ∈ E に対して、
dg(x)(v) = (d^r)f(x)(v, v_1, ..., v_(r-1))
証明
ψ: L(E^(r-1), F) → F を T → T(v_1, ..., v_(r-1)) により定義する。
ψ は線型写像であるから微分可能であり、
S ∈ L(E^(r-1), F), T ∈ L(E^(r-1), F) のとき、
dψ(S)(T) = T(v_1, ..., v_(r-1)) である。
h(x) = (d^(r-1))f(x) とおく。
合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、
x ∈ U
v ∈ E のとき、
d(ψh)(x)(v) = dψ(h(x))dh(x)(v)
= (d^r)f(x)(v, v_1, ..., v_(r-1))
一方、
d(ψh)(x)(v) = dg(x)(v)
証明終
32:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 23:50:20
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, Fを K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^r級(r ≧ 2)とする。
このとき、任意の p ∈ U に対して (d^r)f(p) は対称関数である。
証明
r に関する帰納法を使う。
r = 2 のときは>>30で証明されている。
よって、
(d^r)f(p)(v_1, v_2, v_3, ..., v_r) = d^2(d^(r-2)f)(p)(v_1, v_2)(v_3, ..., v_r)
= d^2(d^(r-2)f)(p)(v_2, v_1)(v_3, ..., v_r)
= (d^r)f(p)(v_2, v_1, v_3, ..., v_r)
他方、帰納法の仮定より、σ を {2, ..., r} の置換としたとき、
(d^(r-1))f(p)(v_2, ..., v_r) = (d^(r-1))f(p)(v_σ(2), ..., v_σ(r))
この両辺を p に関して微分すると、>>31より、
(d^r)f(x)(v_1, v_2, ..., v_r) = (d^r)f(x)(v_1, v_σ(2), ..., v_σ(r))
以上から、(d^r)f(p) は対称関数である。
証明終
33:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/15 23:59:02
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F を r 回微分可能とする。
p を U の点とし、T ∈ L(G, E) とする。
ψ: G → E を ψ(v) = p + T(v) により定義する。
このとき、v ∈ ψ^(-1)(U), (w_1, ..., w_r) ∈ G^r のとき、
(d^r)(fψ)(v)(w_1, ..., w_r) = ((d^r)f(ψ(v))(T(w_1), ..., T(w_r))
証明
r に関する帰納法を使う。
後は、>>29と同様である。
34:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 08:43:21
命題(部分積分の公式)
R を実数体とする。
E, F を R 上のノルム空間とする。
G を R 上のBanach空間とする。
U を R の開集合とし、[a, b] ∈ U とする。
f : U → E および g : U → F はC^1級とする。
B: E×F → G を連続な双線型写像とする。
このとき、
∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt = ∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt - ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt
証明
Leibnizの公式(過去スレ014の808)より、t ∈ U のとき、
d(B(f×g))(t)(1) = B(f(t), dg(t)(1)) + B(df(t)(1), g(t))
即ち、
B(f(t), g(t))’= B(f(t), g’(t)) + B(f’(t), g(t))
両辺の [a, b] における積分をとると、
∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt = ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt + ∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt
よって、
∫[a, b]B(f’(t)g(t))dt = ∫[a, b]B(f(t), g(t))’dt - ∫[a, b]B(f(t)g’(t))dt
証明終
35:猫は珍獸 ◆qpfqB6kFcs
09/10/16 09:15:11
参考文献示してさっさと本題入らんかい
待ちくたびれた猫
36:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 11:03:45
補題
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、
F を R 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^(r+1)級とする。
p ∈ U
h ∈ E
とし、任意の t ∈ [0, 1] に対して p + th ∈ U とする。
このとき、
∫[0, 1](1 - t)^(r-1)/(r-1)!(d^r)f(p + th)h^r dt
= (1/r!)(d^r)f(p)h^r + ∫[0, 1]((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1) dt
証明
f(t) = -(1 - t)^r/r!
g(t) = (d^r)f(p + th)h^r
とおく。
ここで、h^r = (h, ..., h) ∈ E^r である。
連続な双線型写像 B: R×F → F を (s, v) = sv により定義する。
B(f’(t), g(t)) = f’(t)g(t) = (1 - t)^(r-1)/(r-1)! (d^r)f(p + th)h^r
B(f(t), g’(t)) = f(t)g’(t) = -((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1)
よって、部分積分の公式(>>34)より本補題の等式が得られる。
証明終
37:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 13:49:16
命題(Taylorの定理)
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、
F を R 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f : U → E をC^r級とする。
p ∈ U
h ∈ E
任意の t ∈ [0, 1] に対して p + th ∈ U とする。
このとき、
f(p + h)
= f(p) + df(p)h + (1/2)d^2f(p)h^2 + ... + (1/r!)d^rf(p)h^r + R_r(p, h)h^r
ここで、h^r = (h, ..., h) ∈ E^r で、
R_r(p, h) = ∫[0, 1] (1 - t)^(r-1)/(r-1)! ((d^r)f(p + th) - (d^r)f(p)) dt
証明
r に関する帰納法による。
>>20より、
f(p + h) = f(p) + (∫[0, 1] df(p + th) dt)h
= f(p) + df(p)h + (∫[0, 1] (df(p + th) - df(p)) dt)h
よって、r = 1 のときは本命題は成り立つ。
(続く)
38:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 13:52:43
F_r(p, h) =
f(p+h) - (f(p) + df(p)h + (1/2)d^2f(p)h^2 + ... + (1/r!)d^rf(p)h^r)
とおく。
r のときに本命題が成り立つと仮定すると、
F_(r-1)(p, h) = (1/r!)d^rf(p)h^r + R_r(p, h)h^r
= ∫[0, 1] (1 - t)^(r-1)/(r-1)! (d^r)f(p + th)h^r dt
>>36より、これは、
(1/r!)(d^r)f(p)h^r + ∫[0, 1]((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1) dt
に等しい。
よって、
F_r(p, h) = F_(r-1)(p, h) - (1/r!)(d^r)f(p)h^r =
∫[0, 1]((1 - t)^r/r!) (d^(r+1))f(p + th)h^(r+1) dt
よって、
F_(r+1)(p, h) = R_(r+1)(p, h)h^(r+1)
証明終
39:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 14:28:27
逆関数定理を証明するため
まず縮小写像の不動点定理(contraction mapping theorem)を証明する。
40:１３２人目の素数さん
09/10/16 14:33:21
いい加減にしろよ
41:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 14:49:41
命題(縮小写像の不動点定理)
X を完備距離空間とする。
f: X → X を写像とする。
k を実数 0 ≦ k ＜ 1 とし、任意の x, y ∈ X に対して、
d(f(x), f(y)) ≦ kd(x, y) とする。
このとき、f は不動点をただ一つ持つ。
証明
a_0 を X の任意の点とする。
a_(n+1) = f(a_n), n = 0, 1, . . .
とする。
d(a_n, a_(n+1)) ≦ k^nd(a_0, a_1), n = 0, 1, . . .
よって、n ＜ m のとき、
d(a_n, a_m) ≦ (k^n + . . . + k^(m-1))d(a_0, a_1)
1 + k + k2 + k3 + . . . は収束するから
点列 (a_n) はCauchy列である。
X は完備だから lim a_n = a が存在する。
d(f(x), f(y)) ≦ kd(x, y) より f は連続だから
lim f(a_n) = f(a) である。
一方、a_(n+1) = f(a_n) より、lim f(a_n) = a
よって、f(a) = a である。
f(b) = b とすると、
d(a, b) = d(f(a), f(b)) ≦ kd(a, b)
0 ≦ k ＜ 1 だから d(a, b) = 0 でなければならばい。
即ち a = b
証明終
42:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 14:52:45
縮小写像の不動点定理は逆写像定理の他に常微分方程式の解の存在定理などにも
応用される。
43:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 15:18:14
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
T を L(E, E) の元で |T| ＜ 1 とする。
このとき、 S = I + T + T^2 + . . . + T^n + . . . は L(E, E) において収束し、
(I - T)S = S(I - T) = I である。
証明
過去スレ014の829より、L(E, E) は完備である。
|T| ＜ 1 より、|I| + |T| + |T|^2 + . . . + |T|^n + . . . は収束する。
|T^n| ≦ |T|^n であるから、
I + T + T^2 + . . . + T^n + . . . は収束する。
(I - T)(I + T + T^2 + . . . + T^n) = I - T^(n+1)
n → +∞ とすれば (I - T)S = I である。
同様に S(I - T) = I である。
証明終
44:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 15:30:32
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
このとき、GL(E) は L(E, E) の開集合である。
証明
T を GL(E) の任意の元とする。
S ∈ L(E, E) で |S - T| ＜ 1/|T^(-1)| とする。
|T^(-1)(T - S)| ≦ |T^(-1)||S - T| ＜ 1 だから
>>43より、I - T^(-1)(T - S) ∈ GL(E) である。
S = T(I - T^(-1)(T - S)) だから S ∈ GL(E) である。
よって、GL(E) は L(E, E) の開集合である。
証明終
45:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 16:27:27
補題(平均値の不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
K を U に含まれるコンパクトな凸集合とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ K} とおく。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。
このとき、任意の x, y ∈ K に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明
>>20より
f(y) - f(x) = (∫[0, 1] df(1 - t)x + ty) dt) (y - x)
よって、
|f(y) - f(x)| ≦ |∫[0, 1] df(1 - t)x + ty) dt||y - x|
≦ (∫[0, 1] |df(1 - t)x + ty)| dt) |y - x|
≦ M |y - x|
証明終
46:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 18:17:48
>>45において K はコンパクトである必要はなかった。
さらに K という文字は実数体または複素数体を表すために使っているので
別の文字を使うべきだった。
後の参照のために改めて補題を述べる。
補題(平均値の不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
S を U に含まれる凸集合とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ S} とおく。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。
このとき、任意の x, y ∈ K に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明
>>45と同じである。
47:１３２人目の素数さん
09/10/16 19:40:54
いい加減にしろよ
48:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 19:45:16
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
U を E の開集合で 0 を含むとする。
f : U → E をC^1級写像で f(0) = 0 とする。
さらに、df(0) = I (恒等写像)とする。
このとき、0 ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。
証明
g(x) = x - f(x) とおく。
dg(0) = 0 である。
f はC^1級であるから dg は連続である。
よって、|x| ≦ δ なら |dg(x)| ≦ 1/2 となるような δ ＞ 0 がある。
平均値の不等式(>>45)より、
|x| ≦ δ なら |g(x)| ≦ δ/2 である。
ε ＞ 0 に対して B(ε) = {x ∈ E; |x| ≦ ε}, U(ε) = {x ∈ E; |x| ＜ ε}
とおく。
y ∈ U(δ/2) に対して g_y(x) = y + g(x) とおく。
x ∈ B(δ) のとき、|g_y(x)| ≦ |y| + |g(x)| ＜ δ/2 + δ/2 = δ
よって、g_y : B(δ) → U(δ) である。
x ∈ B(δ) のとき、|d(g_y)(x)| = |dg(x)| ≦ 1/2
平均値の不等式(>>46)より、
x, z ∈ B(δ) のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|
(続く)
49:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 19:45:59
B(δ) は完備だから縮小写像の不動点定理(>>41)より、
g_y は不動点を一意に持つ。
この不動点 x は f(x) = y の B(δ) における一意解である。
g_y(x) = x であり、g_y : B(δ) → U(δ) であるから x ∈ U(δ) である。
V = U(δ) ∩ f^(-1)(U(δ/2)) とおく。
f は U において連続だから V は E の開集合である。
f(V) ⊂ U(δ/2) であるが、任意の y ∈ U(δ/2) に対して f(x) = y となる
x ∈ U(δ) があるから f(V) = U(δ/2) である。
不動点の一意性より、f の V への制限 f|V は単射である。
即ち、f|V : V → U(δ/2) は全単射である。
f|V の逆写像を h とする。
h の連続性を証明することが残っている。
y ∈ U(δ/2) かつ x, z ∈ B(δ) のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|
であった。
V ⊂ B(δ) であるから、
y ∈ U(δ/2) かつ x, z ∈ V のとき、|g_y(x) - g_y(z)| ≦ (1/2)|x - z|
y = 0 とすれば、x, z ∈ V のとき、|g(x) - g(z)| ≦ (1/2)|x - z|
即ち、|x - f(x) - z + f(z)| ≦ (1/2)|x - z|
よって、
|x - z| - |f(x) - f(z)| ≦ (1/2)|x - z|
よって、
(1/2)|x - z| ≦ |f(x) - f(z)|
即ち、
|x - z| ≦ 2|f(x) - f(z)|
よって、
|h(f(x)) - h(f(x))| ≦ 2|f(x) - f(z)|
よって、h は連続である。
証明終
50:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 19:55:18
>>48の訂正
>平均値の不等式(>>45)より、
>|x| ≦ δ なら |g(x)| ≦ δ/2 である。
平均値の不等式(>>46)より、
|x| ≦ δ なら |g(x)| ≦ δ/2 である。
51:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 20:28:13
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
Ψ: GL(E) → GL(E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。
このとき、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。
証明
T → -S^(-1)TS^(-1) は線型写像であるから、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0 を
証明すればよい。
T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1) - S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1)(I - TS^(-1))
= T^(-1)(T - S)S^(-1)(T - S)S^(-1)
よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)| ≦ |T^(-1)||T - S|^2|S^(-1)|^2
よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| ≦ |T^(-1)||T - S||S^(-1)|^2
よって、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0
証明終
52:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/16 21:10:37
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
Ψ: GL(E) → GL(E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。
このとき、Ψ は C^∞級である。
証明
>>51より、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。
双線型写像 B: L(E, E)^2 → L(L(E, E), L(E, E)) を、
B(S_1, S_2)(T) = -(S_1)T(S_2) により定義する。
dΨ(S)(T) = B(S, S)(T) である。
即ち、
dΨ(S) = B(S, S) である。
|B(S_1, S_2)(T)| = |(S_1)T(S_2)| ≦ |S_1||T||S_2|
よって、B は連続である。
過去スレ014の807より、B はC^∞級である。
よって、Ψ は C^∞級である。
証明終
53:１３２人目の素数さん
09/10/16 21:14:56
ｼっﾃﾞ
54:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 10:45:16
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
U を E の開集合で 0 を含むとする。
f : U → E をC^r級(r ≧ 1)で f(0) = 0 とする。
さらに、df(0) = I (恒等写像)とする。
>>48より、0 ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。
このとき、f|V の逆写像 h はC^r級である。
証明
>>48と>>49の記号をそのまま使う。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
>>44より、GL(E) は L(E, E) の開集合である。
df : U → L(E, E) は連続で df(0) = I ∈ GL(E) であるから、
>>48 の δ ＞ 0 を十分小さくとれば x ∈ U(δ) のとき df(x) ∈ GL(E) となる。
>>52の Ψ は連続であるから x → (df(x))^(-1) = Ψ(df(x)) は連続である。
よって、δ ＞ 0 を十分小さくとれば、ある M ＞ 0 に対して
x ∈ U(δ) のとき |(df(x))^(-1)| ≦ M と仮定してよい。
(続く)
55:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 10:46:01
y_1, y_2 ∈ U(δ/2) に対して x_1 = h(y_1), x_2 = h(y_2) とおく。
|h(y_1) - h(y_2) - df(x_2)^(-1)(y_1 - y_2)|
= |x_1 - x_2 - df(x_2)^(-1)(f(x_1) - f(x_2))|
= |df(x_2)^(-1)(df(x_2)(x_1 - x_2) - f(x_1) + f(x_2))|
≦ M|f(x_1) - f(x_2) - df(x_2)(x_1 - x_2)|
>>49より、|x_1 - x_2| ≦ 2|f(x_1) - f(x_2)|
よって、
|h(y_1) - h(y_2) - df(x_2)^(-1)(y_1 - y_2)|/|y_1 - y_2|
≦ M|f(x_1) - f(x_2) - df(x_2)(x_1 - x_2)|/|y_1 - y_2|
≦ 2M|f(x_1) - f(x_2) - df(x_2)(x_1 - x_2)|/|x_1 - x_2|
y_1 → y_2 のとき、x_1 → x_2 となり、
|f(x_1) - f(x_2) - df(x_2)(x_1 - x_2)|/|x_1 - x_2| → 0
よって、
|h(y_1) - h(y_2) - df(x_2)^(-1)(y_1 - y_2)|/|y_1 - y_2| → 0
即ち、dh(y_2) = df(x_2)^(-1)
よって、Ψ: GL(E) → GL(E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義すれば、
dh = Ψ(df)h
r に関する帰納法により h がC^r級であることを証明する。
>>52より Ψ はC^∞級である。
>>48より h は連続である。
仮定より f はC^r級(r ≧ 1)だから df は連続である。
よって、dh は連続である。
即ち、h はC^1級である。
h が C^k級 (1 ≦ k ＜ r)であると仮定する。
f は C^r級だから df は C^(r-1)級である。
よって、dh = Ψ(df)h はC^k級である。
よって、h はC^(k+1)級である。
証明終
56:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 11:18:38
定理(逆写像定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間とする。
L(E, E) の可逆元全体を GL(E) とする。
U を E の開集合とし、f : U → E をC^r級(r ≧ 1)とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。
さらに、f|V の逆写像 h はC^r級である。
さらに、x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。
証明
g(x) = df(p)^(-1)(f(p + x) - f(p)) とおく。
g(0) = 0 であり、dg(0) = I である。
よって、h の存在は>>54に帰着する。
x ∈ V のとき、h(f(x)) = x
よって、
dh(f(x))df(x) = I
x ∈ V, y = f(x) のとき、f(h(y)) = y
よって、
df(h(y))dh(y) = I
即ち、
df(x)dh(f(x))) = I
よって、dh(f(x)) = (df(x))^(-1)
証明終
57:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 13:18:24
>>56をやや一般にする。
定理(逆写像定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F の線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^r級(r ≧ 1)とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f を V に制限した写像 f|V は V から f(V) への
位相同型となる。
さらに、f|V の逆写像 h はC^r級である。
さらに、x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。
証明
g(x) = df(p)^(-1)(f(p + x) - f(p)) とおく。
g は 0 の開近傍から E へのC^r級写像である。
g(0) = 0 であり、dg(0) = I である。
よって、>>54より、g は 0 の近傍でC^r級の逆写像を持つ。
g は f と線型同型の合成であるから f は p の近傍でC^r級の逆写像 h を持つ。
x ∈ V のとき、h(f(x)) = x
よって、
dh(f(x))df(x) = I
x ∈ V, y = f(x) のとき、f(h(y)) = y
よって、
df(h(y))dh(y) = I
即ち、
df(x)dh(f(x))) = I
よって、dh(f(x)) = (df(x))^(-1)
証明終
58:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 14:30:47
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のノルム空間とする。
U ⊂ E×F を開集合とし、
f: U → G をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): F → G が
位相同型とする。
h: U → E×G を h(x, y) = (x, f(x, y)) により定義する。
このとき、dh(a, b) : E×F → E×G は位相同型である。
証明
g: U → E を g(x, y) = x で定義する。
h = g×f である。
dh = dg×df
よって、
dh(a, b) = (dg×df)(a, b) = (dg(a, b), df(a, b))
よって、(v, w) ∈ E×F のとき、
dh(a, b)(v, w) = (dg(a, b)(v, w), df(a, b)(v, w)) = (v, df(a, b)(v, w))
= (v, (d_1)f(a, b)v + (d_2)f(a, b)w)
dh(a, b)(v, w) = (s, t) ∈ E×G とすると、
v = s
(d_1)f(a, b)s + (d_2)f(a, b)w = t
よって、(v, w) は (s, t) により一意に決まる。
よって、dh(a, b) は全単射である。
(d_1)f(a, b)と((d_2)f(a, b))^(-1) は連続であるから
dh(a, b) の逆写像も連続である。
証明終
59:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 16:23:34
定理(陰関数定理)
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間とする。
U ⊂ E×F を開集合とし、
f: U → G をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): F → G が位相同型とする。
このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、
1) g(a) = b
2) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 ⇔ y = g(x)
証明
h: U → E×G を h(x, y) = (x, f(x, y)) により定義する。
>>58より、dh(a, b) : E×F → E×G は位相同型である。
>>57より、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W が存在し、
h|V×W はC^r級の逆写像 ψ を持つ。
(続く)
60:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 16:24:18
h(a, b) = (a, f(a, b)) = (a, 0) である。
x ∈ V のとき、ψ(x, 0) = (x, g(x)) とおく。
σ: V → E×G を σ(x) = (x, 0) により定義する。
ρ: E×F → F を ρ(x, y) = y により定義する。
g = ρψσ である。
σ と ρ は連続な線型写像であるからC^∞級である。
よって、合成関数の微分規則(>>803)より、g はC^r級である。
ψh(a, b) = (a, b)
ψh(a, b) = ψ(a, 0) = (a, g(a))
よって、g(a) = b
h(ψ(x, 0)) = (x, 0)
h(ψ(x, 0)) = h(x, g(x)) = (x, f(x, g(x)))
よって、f(x, g(x)) = 0
(x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 とする。
h(x, y) = (x, 0) となる。
この両辺に ψ を作用させて
ψh(x, y) = ψ(x, 0) = (x, g(x))
一方、ψh(x, y) = (x, y)
よって、y = g(x)
以上で 1) と 2) が示された。
証明終
61:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 16:55:10
複素数体上の逆写像定理(>>57)および陰関数定理(>>59)を実数体上と同様の方法で
述べている教科書(主に多変数複素関数論の教科書)は少ないように思う。
大抵は実数体上の逆写像定理または陰関数定理を援用して逆写像または陰関数の
存在を述べ、その関数の正則性はCauchy-Riemannの関係式を確かめることで
済ましている。
>>57と>>59で示したように逆写像定理および陰関数定理は実数体上でも複素数体上でも
まったく同じ方法で得られる。
これの主な根拠は平均値の不等式(>>46)が複素数体上でも成り立つことであるが、
これは、>>17が複素数体上でも成り立つことに原因がある。
さらに、>>17はHahn-Banachの定理と>>16を使っている。
これ等は複素数体上でも成り立つ。
複素数体上の有限次元線型空間においてはC^1級写像は正則であるので
>>57と>>59では逆写像または陰関数の正則性は直ちに得られる。
62:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 22:06:19
>>46を少し変える。
補題(平均値の不等式)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間とし、F を K 上のBanach空間とする。
U を E の凸開集合とし、f: U → F をC^1級写像とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ U} ＜ +∞ とする。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。
このとき、任意の x, y ∈ U に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明
>>45と同じである。
63:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 23:01:01
逆写像定理の証明としては、RudinのPrinciples of mathematical analysisのそれが
綺麗にまとまっているので紹介する。
>>48の証明と似ているがよりすっきりしている。
ただし、Rudinでは R^n を扱っているが、実数体または複素数体上のBanach空間に
おいて証明する。
64:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 23:21:22
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F への線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^1級とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
証明
T = df(p) とおく。
T^(-1) が存在し連続であるから |T^(-1)| ＜ +∞ である。
T^(-1) ≠ 0 であるから |T^(-1)| ≠ 0 である。
λ = 1/(2|T^(-1)|) とおく。
f はC^1級であるから df は p で連続である。
よって、p を中心とする開球 V ⊂ U があり
x ∈ V なら |df(x) - T| ＜ λ となる。
y ∈ F に対して g_y(x) = x + T^(-1)(y - f(x)) とおく。
g_y(x) = x と y = f(x) は同値であることに注意する。
d(g_y)(x) = I - T^(-1)df(x) = T^(-1)(T - df(x))
よって、x ∈ V なら、
|d(g_y)(x)| = |T^(-1)(T - df(x))| ≦ |T^(-1)||T - df(x)| ＜ 1/2
平均値の不等式(>>62)より、
x_1, x_2 ∈ V のとき、|g_y(x_1) - g_y(x_2)| ≦ (1/2)|x_1 - x_2|
(続く)
65:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 23:22:41
g_y(x_1) = x_1 かつ g_y(x_2) = x_2 とすると、
|x_1 - x_2| ≦ (1/2)|x_1 - x_2| となり x_1 = x_2 でなければならない。
即ち、g_y は V において不動点を高々１個しか持たない。
即ち、y = f(x) となる x ∈ V は高々１個である。
よって、f は V 上で単射である。
f(V) が開集合であることを示せばよい。
y_0 ∈ f(V) を任意に選ぶ。
y_0 = f(x_0) となる x_0 ∈ V がある。
B(x_0; δ) ⊂ V となるように δ ＞ 0 を選ぶ。
U(y_0; λδ) ⊂ f(V) を示そう。
y ∈ U(y_0; λδ) を任意に選ぶ。
|g_y(x_0) - x_0| = |T^(-1)(y - y_0))| ≦ |T^(-1)||y - y_0)| ＜ δ/2
x ∈ B(x_0; δ) のとき、
|g_y(x) - x_0| ≦ |g_y(x) - g_y(x_0)| + |g_y(x_0) - x_0|
＜ (1/2)|x - x_0| + δ/2 ≦ δ
よって、g_y(B(x_0; δ)) ⊂ B(x_0; δ)
B(x_0; δ) はBanach空間の閉集合であるから完備である。
よって、縮小写像の不動点定理(>>41)より、g_y は B(x_0; δ) において
不動点 x をもつ。
この x に対して y = f(x) となる。
よって、y ∈ f(B(x_0; δ)) ⊂ f(V)
よって、U(y_0; λδ) ⊂ f(V) である。
よって、f(V) は開集合である。
証明終
66:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/17 23:27:02
>>65の補足
ノルム空間 E の点 p と ε ＞ 0 に対して
U(p; ε) = {x ∈ E; |x - p| ＜ ε}
B(p; ε) = {x ∈ E; |x - p| ≦ ε}
と書く。
67:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 01:40:48
定理(逆写像定理)
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上のBanach空間とする。
E から F の線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F をC^r級(r ≧ 1)とする。
ある p ∈ U において df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
さらに、f|V の逆写像 h はC^r級である。
さらに、x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。
証明
>>64の記号をそのまま使う。
>>64より、f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
>>64より、x ∈ V なら |df(x) - T| ＜ λ = 1/(2|T^(-1)|) である。
よって、
|T^(-1)(T - df(x))| ≦ |T^(-1)||T - df(x)| ＜ 1/2
>>43より、I - T^(-1)(T - df(x)) ∈ GL(E) である。
df(x) = T(I - T^(-1)(T - df(x))) であるから df(x) ∈ GL(E, F) である。
即ち、df(x)^(-1) が存在して |df(x)^(-1)| ＜ +∞ である。
(続く)
68:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 01:46:24
y_1, y ∈ f(V) に対して x_1 = h(y_1), x = h(y) とおく。
>>64より、
|g_(y)(x_1) - g_(y)(x)| ≦ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|x_1 - x - T^(-1)(y_1 - y))| ≦ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|x_1 - x| - |T^(-1)(y_1 - y))| ≦ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|T^(-1)(y_1 - y)| ≧ (1/2)|x_1 - x|
よって、
|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y|
一方、
|h(y_1) - h(y) - df(x)^(-1)(y_1 - y)|
= |x_1 - x - df(x)^(-1)(f(x_1) - f(x))|
= |df(x)^(-1)(df(x)(x_1 - x) - f(x_1) + f(x))|
|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y| より、
|h(y_1) - h(y) - df(x)^(-1)(y_1 - y)|/|y_1 - y|
≦ 2|T^(-1)||df(x)^(-1)||df(x)(x_1 - x) - f(x_1) + f(x))|/|x_1 - x|
|x_1 - x| ≦ 2|T^(-1)||y_1 - y| より、
y_1 → y のとき x_1 → x
よって上の不等式の右辺 → 0
よって、左辺 → 0
よって、dh(y) = df(x)^(-1)
(続く)
69:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 01:47:06
よって、Ψ: GL(E, F) → GL(F, E) を Ψ(S) = S^(-1) で定義すれば、
dh = Ψ(df)h
r に関する帰納法により h がC^r級であることを証明する。
>>52と同様に Ψ はC^∞級である。
h は微分可能だから過去スレ014の800より h は連続である。
仮定より f はC^r級(r ≧ 1)だから df は連続である。
よって、dh は連続である。
即ち、h はC^1級である。
h が C^k級 (1 ≦ k ＜ r)であると仮定する。
f は C^r級だから df は C^(r-1)級である。
よって、dh = Ψ(df)h はC^k級である。
よって、h はC^(k+1)級である。
証明終
70:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 11:07:22
補題
R を実数体とする。
E を R 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
f: [a, b] → E を連続写像とし、
f は (a, b) で微分可能とする。
このとき、
|f(b) - f(a)| ≦ (b - a)|f’(c)| となる c ∈ (a, b) が存在する。
証明
v = f(b) - f(a) とおく。
ψ(t) = <v, f(t)> とおく。
ψ(t) は [a, b] 上の実数値連続関数であり、(a, b) で微分可能である。
平均値の定理より、
ψ(b) - ψ(a) = (b - a)ψ’(c) = (b - a)<v, f’(c)>
となる c ∈ (a, b) が存在する。
Cauchy-Schwarzの不等式(過去スレ010の594)より
|ψ(b) - ψ(a)| ≦ (b - a)|v||f’(c)|
他方、
ψ(b) - ψ(a) = <v, f(b) - f(a)> = <v, v>
よって、
|v|^2 ≦ (b - a)|v||f’(c)|
よって、
|v| ≦ (b - a)|f’(c)|
証明終
71:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 11:19:20
>>70は、RudinのPrinciples of mathematical analysisによる。
これは彼の本のロシア語訳の訳者Havinがオリジナル本に追加したものだという。
この補題により>>62における f は R 上の前Hilbert空間の場合に
単に微分可能写像と仮定出来る。
72:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 13:22:36
補題(平均値の不等式)
R を実数体とする。
E を R 上のノルム空間とし、
F を R 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)とする。
U を E の凸開集合とし、f: U → F を微分可能写像とする。
M = sup{|df(x)|; x ∈ U} ＜ +∞ とする。
ここで、|df(x)| は L(E, F) における df(x) のノルムである。
このとき、任意の x, y ∈ U に対して、
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明
t ∈ [0, 1] のとき ψ(t) = (1 - t)x + ty とおく。
U は凸だから、t ∈ [0, 1] のとき ψ(t) ∈ U である。
f は微分可能だから過去スレ014の800より連続である。
よって、g(t) = fψ(t) は [0, 1] で連続である。
合成関数の微分規則(過去スレ014の803)より、t ∈ (0, 1) のとき
dg(t) = df(ψ(t))dψ(t)
よって、
dg(t)(1) = df(ψ(t))(dψ(t)(1))
即ち
g’(t) = df(ψ(t))(ψ’(t))
よって、
|g’(t)| = |df(ψ(t))||ψ’(t)| ≦ M(y - x)
>>70より、
|g(1) - g(0)| ≦ |g’(c)| となる c ∈ (0, 1) がある。
よって、|g(1) - g(0)| ≦ M(y - x)
g(1) = f(y), g(0) = f(x) であるから
|f(y) - f(x)| ≦ M|y - x|
証明終
73:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 13:33:16
>>64において E が R 上のBanach空間で、 F が R 上のHilbert空間であれば
f は微分可能で df は p で連続であればよい：
補題
R を実数体とする。
E を R 上のBanach空間とし、
F を R 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E から F への線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F を微分可能とする。
ある p ∈ U において df は連続であり df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
証明
>>64の証明において>>62の代わりに>>72を使えばよい。
74:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 13:47:18
>>73の訂正
>>64において E と F が R 上のHilbert空間であれば
f は微分可能で df は p で連続であればよい：
補題
R を実数体とする。
E と F を R 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E から F への線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F を微分可能とする。
ある p ∈ U において df は連続であり df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
証明
>>64の証明において>>62の代わりに>>72を使えばよい。
75:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 13:48:16
>>74により逆写像定理(>>67)における f の仮定を弱めた次の命題が得られる。
命題
R を実数体とする。
E と F を R 上のHilbert空間(過去スレ010の600)とする。
E から F の線型写像で位相同型であるもの全体を GL(E, F) と書く。
U を E の開集合とし、f : U → F を微分可能とする。
ある p ∈ U において df は連続であり df(p) ∈ GL(E, F) とする。
このとき、p ∈ V ⊂ U となる開集合 V があり、
f(V) は開集合で、f は V 上で単射である。
さらに、f|V の逆写像 h は微分可能であり、
x ∈ V において dh(f(x)) = (df(x))^(-1) となる。
証明
>>74を使えば>>67と>>68の証明がそのまま使える。
76:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 20:04:26
念のために、>>69におけるΨ がC^∞級であることを証明する。
まず。>>44を少し拡張する。
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のBanach空間とする。
L(E, F) の可逆元全体を GL(E, F) とする。
このとき、GL(E, F) は L(E, F) の開集合である。
証明
T を GL(E, F) の任意の元とする。
S ∈ L(E, F) で |S - T| ＜ 1/|T^(-1)| とする。
|T^(-1)(T - S)| ≦ |T^(-1)||S - T| ＜ 1 だから
>>43より、I - T^(-1)(T - S) ∈ GL(E, E) である。
S = T(I - T^(-1)(T - S)) だから S ∈ GL(E, F) である。
よって、GL(E, F) は L(E, F) の開集合である。
証明終
77:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 20:06:00
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のBanach空間とする。
L(E, F) の可逆元全体を GL(E, F) とする。
Ψ: GL(E, F) → GL(F, E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。
このとき、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。
証明
S ∈ GL(E, F) のとき、
T → -S^(-1)TS^(-1) は連続な線型写像 L(E, F) → L(F, E) である。
よって、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0 を
証明すればよい。
T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1) - S^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1) + S^(-1)TS^(-1)
= T^(-1) - S^(-1) - S^(-1)(I - TS^(-1))
= T^(-1)(T - S)S^(-1)(T - S)S^(-1)
よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)| ≦ |T^(-1)||T - S|^2|S^(-1)|^2
よって、
|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| ≦ |T^(-1)||T - S||S^(-1)|^2
よって、
T → S のとき、|T^(-1) - S^(-1) + S^(-1)(T - S)S^(-1)|/|T - S| → 0
証明終
78:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 21:28:23
補題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のBanach空間とする。
L(E, F) の可逆元全体を GL(E, F) とする。
Ψ: GL(E, F) → GL(F, E) を Ψ(T) = T^(-1) で定義する。
このとき、Ψ は C^∞級である。
証明
>>77より、dΨ(S)(T) = -S^(-1)TS^(-1) である。
双線型写像 B: L(F, E)^2 → L(L(E, F), L(F, E)) を、
B(S_1, S_2)(T) = -(S_1)T(S_2) により定義する。
dΨ(S)(T) = B(Ψ(S), Ψ(S))(T) である。
即ち、
dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) である。
|B(S_1, S_2)(T)| = |(S_1)T(S_2)| ≦ |S_1||S_2||T|
よって、|B(S_1, S_2)| ≦ |S_1||S_2|
よって、B は連続である。
Ψ は微分可能だから連続である(過去スレ014の800)。
よって、dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) は連続である。
よって、Ψ はC^1級である。
Ψ がC^r級(r ≧ 1)と仮定する。
dΨ(S) = B(Ψ(S), Ψ(S)) とLeibnizの公式(過去スレ014の808)より、
dΨ はC^r級である。
よって、Ψ はC^(r+1)級である。
よって、r に関する帰納法より Ψ はC^∞級である。
証明終
79:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/18 21:30:44
>>52は間違っているので>>78をその訂正の替りとする。
80:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 17:38:32
>>30
>即ち、
>∂^2(hfψ)/∂x∂y(0, 0) = ∂^2(hfψ)/∂y∂x(0, 0) を証明すればよい。
>
>K が実数体の場合は、これは微積分の教科書(例えば高木の解析概論)で
>良く知られている。
U を R^2 の開集合とし、f: R^2 → R を C^2級とする。
(a, b) ∈ U において ∂^2f/∂x∂y(a, b) ≠ ∂^2f/∂y∂x(a, b) とする。
必要なら f を -f で置き換えることにより、
∂^2f/∂x∂y(a, b) - ∂^2f/∂y∂x(a, b) ＞ 0 と仮定してよい。
g(x, y) = ∂^2f/∂x∂y - ∂^2f/∂y∂x とおく。
g は連続だから、δ ＞ 0 を十分小さくとり、
S = [a - δ, a + δ]×[b - δ, b + δ] とおいたとき、
S ⊂ U となり g|S ＞ 0 となる。
よって、
∬[S] g(x, y) dydy ＞ 0 となる。
他方、連続関数の積分の順序交換(過去スレ010の272)より、
∬[S] g(x, y) dydy = 0 である(簡単な計算)。
これは矛盾であるから ∂^2f/∂x∂y(a, b) = ∂^2f/∂y∂x(a, b) である。
81:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 17:56:58
>>80
通常は、f(a + h, b + k) - f(Ia + h, b) - f(a, b + k) + f(a, b)
の (h, k) → (0, 0) のときの極限が ∂^2f/∂x∂y(a, b) = ∂^2f/∂y∂x(a, b)
に等しいことを平均値の定理を使って証明する。
しかし、この式が突然出てくるのがやや不自然に思える。
「微分のことは微分でせよ」というよく知られた洒落があるが、
この場合、積分を使った証明のほうが自然であろう。
82:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 18:06:07
>>80
>∬[S] g(x, y) dydy
∬[S] g(x, y) dxdy
83:１３２人目の素数さん
09/10/19 18:59:33
>>81
あほすぎる
84:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 20:59:30
>>60
>x ∈ V のとき、ψ(x, 0) = (x, g(x)) とおく。
V×{0} ⊂ h(V×W) とは限らないので x ∈ V のとき、ψ(x, 0) が定義出来るとは
限らない。
よって以下のようにする。
>>57より、h(V×W) は開集合である。
h(a, b) = (a, f(a, b)) = (a, 0) ∈ h(V×W) であるから
(a, 0) ∈ (V_1)×(U_1) ⊂ h(V×W) となる開集合 V_1 ⊂ E, U_1 ⊂ G がある。
V_1×{0} ⊂ (V_1)×(U_1) ⊂ h(V×W) である。
必要なら V_1 を V ∩ V_1 で置き換えて V_1 ⊂ V と仮定してよい。
x ∈ V_1 のとき、ψ(x, 0) = (x, g(x)) とおく。
85:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 21:47:53
>>84を考慮して改めて>>59を述べる。
定理(陰関数定理)
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間とする。
U ⊂ E×F を開集合とし、
f: U → G をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b): F → G が位相同型とする。
このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、
1) g(a) = b
2) x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0
3) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 なら y = g(x)
証明
h: U → E×G を h(x, y) = (x, f(x, y)) により定義する。
>>58より、dh(a, b) : E×F → E×G は位相同型である。
>>57より、(a, b) ∈ (V_1)×W ⊂ U となる a の開近傍 V_1 と b の開近傍 W が
存在し、h((V_1)×W) は開集合であり、h|(V_1)×W はC^r級の逆写像 ψ を持つ。
h(a, b) = (a, f(a, b)) = (a, 0) ∈ h((V_1)×W) である。
h((V_1)×W) は開集合であるから、
(a, 0) ∈ V×(W_1) ⊂ h((V_1)×W) となる開集合 V ⊂ E と W_1 ⊂ G がある。
V×{0} ⊂ V×(W_1) ⊂ h((V_1)×W) である。
z ∈ V のとき (z, 0) ∈ h((V_1)×W) であるから
(z, 0) = (x, f(x, y)) となる (x, y) ∈ (V_1)×W がある。
よって、z = x ∈ V_1 となり、V ⊂ V_1 であることがわかる。
(続く)
86:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 21:48:38
x ∈ V のとき、(x, 0) ∈ h((V_1)×W) であるから ψ(x, 0) が意味をもつ。
ψ(x, 0) = (x, g(x)) とおく。
ψ(x, 0) ∈ (V_1)×W であるから g(x) ∈ W である。
σ: V → E×G を σ(x) = (x, 0) により定義する。
ρ: E×F → F を ρ(x, y) = y により定義する。
g = ρψσ である。
σ は連続な線型写像の V への制限であり、ρ は連続な線型写像であるから
両方ともC^∞級である。
よって、合成関数の微分規則(>>803)より、g はC^r級である。
ψh(a, b) = (a, b)
他方、ψh(a, b) = ψ(a, 0) = (a, g(a))
よって、g(a) = b
x ∈ V のとき、
h(ψ(x, 0)) = (x, 0)
他方、h(ψ(x, 0)) = h(x, g(x)) = (x, f(x, g(x)))
よって、f(x, g(x)) = 0
(x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 とする。
h(x, y) = (x, 0) となる。
この両辺に ψ を作用させて
ψh(x, y) = (x, g(x))
他方、ψh(x, y) = (x, y)
よって、y = g(x)
証明終
87:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/19 22:18:27
実数体 R 上の有限次空間における陰関数定理は、昔は逆写像定理からではなく
f: R^n → R の場合に中間値の定理を使って陰関数の存在を証明し、
f: (R^n)×(R^m) → R^m の場合は、m に関する帰納法により m = 1 の場合に
帰着させるという方法を使っていた。
そして、逆写像定理は陰関数定理から導いていた。
しかし、最近では、逆写像定理(不動点定理を使う) → 陰関数定理という流れの
教科書が多いように思う。
この方法は、ここでみたように無限次元にそのまま使える利点がある。
しかも複素数体上の線型空間にもそのまま適用できる。
しかし、昔の方法は誰でも思いつきそうな素直な方法であり捨てがたい。
復習のつもりで書いてみよう。
88:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 11:28:53
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元ノルム空間とする。
このとき E は完備である。
即ち、E はBanach空間である。
証明
過去スレ014の144より、E は K^n と位相線型空間として同型である。
一方、K^n は位相線型空間として完備である。
よって、過去スレ014の143より、E は完備である。
証明終
89:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 12:10:05
補題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし E = K^n とする。
E 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して E をノルム空間と見なす。
E の点 p と実数 r ＞ 0 に対して U(p, r) = {x ∈ E; |x - p| ＜ r} とおく。
f: U(p, r) → K をC^1級写像とする。
このとき、連続写像 h_i: U(p, r) → K があり、
任意の x ∈ U(p, r) に対して
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i)
ここで、x = (x_1, ..., x_n), p = (p_1, ..., p_n)
証明
>>88より E はBanach空間である。
x ∈ U(p, r) を固定して ψ(t) = (1 - t)p + tx おく。
>>18より、
f(x) - f(p) = ∫[0, 1] (d(fψ)/dt) dt
合成関数の微分公式より、
d(fψ)/dt = Σ(∂f/∂x_i)((1 - t)p + tx )(x_i - p_i)
よって、
f(x) - f(p) = Σh_i(x)(x_i - p_i)
ここで、
h_i(x) = (∂f/∂x_i)((1 - t)p + tx ) dt) とおいた。
(続く)
90:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 12:10:54
f はC^1級であるから ∂f/∂x_i は U(p, r) で連続である。
よって、(∂f/∂x_i)((1 - t)p + tx ) は [0, 1]×U(p, r) で連続である。
a を U(p, r) の任意の点とする。
U(p, r) は開集合だから
B(a, s) ⊂ U(p, r) となる実数 s ＞ 0 が存在する。
ここで、B(a, s) = {x ∈ E; |x - a| ≦ s} である。
B(a, s) はコンパクトである。
よって、(例えば、過去スレ010の253および259より)
h_i(x) は B(a, s) で連続である。
特に a で連続である。
よって、h_i(x) は U(p, r) で連続である。
証明終
91:１３２人目の素数さん
09/10/20 12:52:13
いい加減にしろよ
92:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 12:52:38
補題
>>89において h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i) を変形して、
f(x) = f(p) + Σh_i(p)(x_i - p_i) + Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)
H(x) = sup {|h_i(x) - h_i(p)|; i = 1, ..., n } とおく。
|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| ≦ H(x)
である。
h_i(x) は連続だから x → p のとき H(x) → 0
よって、|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| → 0
よって、df(p)(x - p) = Σh_i(p)(x_i - p_i) である。
よって、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明終
93:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 13:44:29
>>92の前に次の補題を用意しておけばよかった。
補題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし E = K^n とする。
E 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して E をノルム空間と見なす。
p を E の点とし、U をその開近傍とする。
f: U → K をC^1級写像とする。
h_i: U → K を連続写像とし、
任意の x ∈ U に対して
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i)
とする。
ここで、x = (x_1, ..., x_n), p = (p_1, ..., p_n)
このとき、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i) を変形して、
f(x) = f(p) + Σh_i(p)(x_i - p_i) + Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)
H(x) = sup {|h_i(x) - h_i(p)|; i = 1, ..., n } とおく。
|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| ≦ H(x)
である。
h_i(x) は連続だから x → p のとき H(x) → 0
よって、|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| → 0
よって、df(p)(x - p) = Σh_i(p)(x_i - p_i) である。
よって、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明終
94:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 13:57:05
>>93の各 h_i: U → K は p のみで連続であればよい。即ち：
補題
K を実数体または複素数体とする。
n ≧ 1 を整数とし E = K^n とする。
E 上の任意のノルム(例えば |(x_1, ..., x_n)| = sup{|x_i|; i = 1, ..., n))
に関して E をノルム空間と見なす。
p を E の点とし、U をその開近傍とする。
f: U → K をC^1級写像とする。
h_i: U → K を p で連続な写像とし、
任意の x ∈ U に対して
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i)
とする。
ここで、x = (x_1, ..., x_n), p = (p_1, ..., p_n)
このとき、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
さらに f は p で微分可能である。
証明
f(x) = f(p) + Σh_i(x)(x_i - p_i) を変形して、
f(x) = f(p) + Σh_i(p)(x_i - p_i) + Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)
H(x) = sup {|h_i(x) - h_i(p)|; i = 1, ..., n } とおく。
|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| ≦ H(x)
である。
h_i(x) は p で連続だから x → p のとき H(x) → 0
よって、|Σ(h_i(x) - h_i(p))(x_i - p_i)|/Σ|x_i - p_i| → 0
よって、df(p)(x - p) = Σh_i(p)(x_i - p_i) である。
よって、h_i(p) = ∂f/∂x_i(p), i = 1, ..., n である。
証明終
95:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 15:37:42
命題
R を実数体とする。
E を R 上の有限次元のノルム空間とする。
E の基底を任意にとり、E を R^n と同一視する。
U ⊂ E×R を開集合とし、
f: U → R をC^r級(r ≧ 1)とする。
(a, b) ∈ U において f(a, b) = 0 とし、
第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)f(a, b) ≠ 0 とする。
このとき、(a, b) ∈ V×W ⊂ U となる a の開近傍 V と b の開近傍 W
及び C^r級の g: V → W が存在し、
1) g(a) = b
2) x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0
3) (x, y) ∈ V×W のとき f(x, y) = 0 なら y = g(x)
証明
(d_2)f(a, b) は線型写像: R → R であるから、
(d_2)f(a, b)(1) = (∂f/∂y)(a, b) ≠ 0 である。
必要なら f を -f で置き換えることにより、
(∂f/∂y)(a, b) ＞ 0 と仮定してよい。
∂f/∂y は U で連続であるから、
(a, b) ∈ (V_1)×W ⊂ U となる a の開近傍 V_1 と b の開近傍 W が
存在し、(V_1)×W において ∂f/∂y ＞ 0 となる。
W は b を含む R の開区間とする。
δ ＞ 0 を十分小さくとれば、[b - δ, b + δ] ⊂ W となる
ψ(y) = f(a, y) とおく。
W において、dψ/dy ＞ 0 であるから ψ は W で狭義単調増加関数である。
よって、ψ(b - δ) ＜ ψ(b) ＜ ψ( b + δ)
即ち、f(a, b - δ) ＜ 0 ＜ f(a, b + δ)
(続く)
96:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 15:38:55
f は連続であるから a ∈ V ⊂ V_1 となる開集合 V があり、
x ∈ V なら f(x, b - δ) ＜ 0 ＜ f(x, b + δ) となる。
V×W ⊂ (V_1)×W であるから V×W において ∂f/∂y ＞ 0 である。
よって、x ∈ V を固定したとき、f(x, y) は y の関数として W において
狭義単調増加である。
したがって中間値の定理より f(x, y) = 0 となる y ∈ (b - δ, b + δ) が
一意に定まる。
この y を g(x) と書くことにする。
g(a) = b であり、x ∈ V のとき f(x, g(x)) = 0 である。
x ∈ V を固定したとき、f(x, y) は y の関数として W において
狭義単調増加であるから、
(x, y) ∈ V×W かつ f(x, y) = 0 なら y = g(x) である。
次に g が連続なことを証明する。
任意の c ∈ V に対して d = g(c) とおく。
(c, d) ∈ V×W で f(c, d) = 0 である。
δ_1 ＞ 0 を十分小さくとれば、[d - δ_1, d + δ_1] ⊂ W となる
上の f(a, b - δ) ＜ 0 ＜ f(a, b + δ) と同様の理由により
f(c, d - δ_1) ＜ 0 ＜ f(c, d + δ_1) である。
任意の ε ＞ 0 に対して ε_1 = inf(ε, δ_1) とおく。
f(c, d - ε_1) ＜ 0 ＜ f(c, d + ε_1) である。
f は連続であるから c ∈ V_2 ⊂ V となる開集合 V_2 があり、
x ∈ V_2 なら f(x, d - ε_1) ＜ 0 ＜ f(x, d + ε_1) となる。
したがって中間値の定理より f(x, y) = 0 となる y ∈ (d - ε_1, d + ε_1) が
一意に定まる。
上で示したように y = g(x) である。
よって d - ε_1 ＜ g(x) ＜ d + ε_1
よって、 |g(x) - d| ＜ ε_1 ≦ ε
よって、g は c で連続である。
c は V の任意の点であるから g は V で連続である。
(続く)
97:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 15:39:38
次に g が微分可能であることを示す。
任意の c ∈ V に対して d = g(c) とおく。
p = (c, d) とおく。
p ∈ V×W であるから、U(p, r) ⊂ V×W となる実数 r ＞ 0 が存在する。
ここで、U(p, r) = {x ∈ E×R; |x - p| ＜ r} である。
>>89より、
f(x, y) - f(c, d) = Σh_i(x, y)(x_i - c_i) + h_(n+1)(x, y)(y - d)
ここで、x = (x_1, ..., x_n), c = (c_1, ..., c_n) であり、
h_i(x, y), i = 1, ..., n+1 は U(p, r) で連続である。
y = g(x) のとき、
f(x, y) - f(c, d) = 0 - 0 = 0
よって、
Σh_i(x, g(x))(x_i - c_i) + h_(n+1)(x, g(x))(g(x) - g(c)) = 0
よって、
g(x) = g(c) - Σ(h_i(x, g(x))/h_(n+1)(x, g(x)))(x_i - c_i)
h_(n+1)(c, d) = ∂f/∂y(c, d) ≠ 0 である。
g は V で連続であるから (h_i(x, g(x))/h_(n+1)(x, g(x))) は c で連続である。
>>94より、g は c で微分可能で
∂g/∂x_i(c) = -(∂f/∂x_i)(c, g(c))/(∂f/∂y)(c, g(c))
c は V の任意の点であったから g は微分可能である。
さらに ∂g/∂x_i は連続であるから g は C^1 級である。
g が C^k 級(1 ≦ k ＜ r)であるとする。
∂g/∂x_i(x) = -(∂f/∂x_i)(x, g(x))/(∂f/∂y)(x, g(x)) において、
∂f/∂x_i は C^(r-1) 級であるから、∂g/∂x_i は C^k 級である。
よって、g は C^(k+1) 級である。
帰納的に g は C^r 級である。
証明終
98:１３２人目の素数さん
09/10/20 15:42:33
あほ
99:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 15:44:06
>>96
g(x) が連続なことを高木の解析概論では数列を使って証明している。
小平の解析入門も数列を使って証明している(この部分は高木の真似だろう)。
個人的にはこの方法はあまり好きではない。
100:１３２人目の素数さん
09/10/20 16:32:27
>>99
だからなんだよ
101:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:38:39
代数的整数論とは微積の本を写すことなのか？
102:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:46:38
>>101
あほすぎ。整数論を白名杉。
103:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:52:06
>>102=Kummerの負け惜しみ
104:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:56:43
代数的整数論といいながら微積の本を写すのが許されるわけがない。
下等つおしより非道い。
105:１３２人目の素数さん
09/10/20 18:58:03
>>102=Kummer=微積すら知らないアホ
106:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:00:11
代数的数論では微積必要ないとか思ってるのか、話にならないなｗｗ
107:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:02:25
ポントリャーギン双対定理はどこで片づいたのか？
108:１３２人目の素数さん
09/10/20 19:04:01
>>106
必要ないなんて誰が云ったんだよ
話にならないのはオマエの理解力だよ
109:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/20 21:08:27
>>99
杉浦も数列を使って証明している(これも高木の影響だろう)。
数列を使った証明は回りくどい感じがする。
110:１３２人目の素数さん
09/10/21 01:52:32
>>109
わたしも点列を使うのは好きじゃないんですけど、解析寄りの面倒な話になってくると、
証明の組み立て上、適当に構成した点列から収束する部分列を引っ張り出してきて、
というタイプの議論が増えるので、そのへんの習慣の影響なんですかね。
111:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 07:56:50
>>110
よくわからないです。
他の箇所では ε-δ でやってるのにここだけ点列を使うのは違和感が
ありますね。
ここで点列を使うのは明らかに高木の影響ですね。
小平は解析入門の中でよく点列を使った証明をしてますが。
112:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 08:24:17
因みに高木の解析概論における陰関数の証明は少し雑ですね。
m 個の n + m 変数の関数の場合の帰納法による関数行列式の計算は杉浦が
示しているように少々面倒です。
これを高木は２個の３変数の関数の場合に証明しただけで n 変数の場合も
同様であるの一言ですましている。
多変数の定理の証明を２変数とか３変数で代用するというのは解析入門の教科書で
多いですがあまり感心しません。
高校の教科書なら線型代数の定理の証明を２変数とか３変数で代用するというのは
しかたないでしょうが。
陰関数の定理は解析や幾何で重要なので力を入れてやってもらいたいです。
113:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 10:31:28
話はがらっと変わりますが解析の入門でニュートン力学の話が出てこないのは
不思議とまでは言いませんが不自然ですね。
微積分は力学から出てきたということを故意に無視してるように見えますね。
大昔は物理と数学はほとんど一体だったわけですが１９世紀に楕円関数論が
出てきたあたりから分かれるようになった。
しかし、数学それだけでは発展の原動力として足りないように思う。
例えば、リーマンがリーマン面の理論でモデルにしたのは当時発展途上の電磁気学
だったし、位相群の無限次元の表現は最初は物理的な要請から出てきた。
それから、これは私が前から言ってることですが解析の入門で微分方程式が
出てこないのはまずいでしょう。
微分方程式こそが解析の真髄、ハートなわけで、これをまったく取り上げない
のは不思議としか言いようがない。
指数関数とか三角関数というのは微分方程式の観点から扱うのが自然でしょう。
114:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 11:08:55
高木批判のついでに。
彼の解析概論の複素関数論におけるCauchyの定理の証明はやや技巧的で
定理の本質が見えにくい。
確か Ahlfors も高木と同じような証明だったと記憶している。
条件をやや緩めて平面におけるStokesの定理、すなわちGreenの定理を使えば
わかりやすい。
115:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 12:35:57
K を実数体または複素数体とする。
n を整数 ≧ 1 とし、K^n に任意のノルム関数を与えノルム空間と見なす。
U ⊂ K^n を開集合とし、
f: U → K^n を微分可能(過去スレ014の788)とする。
f の第 i 成分を f_i とする。
即ち、x ∈ K^n のとき f(x) = (f_1(x), ..., f_n(x)) である。
過去スレ014の817より、df の K^n の標準基底に関する行列は、
(∂f_i/∂x_j), 1 ≦ i, j ≦ n である。
この行列を f の Jacobi 行列(Jacobian matrix)と呼び、
J_f(x) または、∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n) と書く。
x → J_f(x) は U 上の行列値関数である。
p ∈ K^n のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
この行列の行列式 det(∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n)) を
f の Jacobi 行列式(Jacobian determinant)と呼ぶ。
Jacobi 行列式を ∂(f_1, ..., f_n)/∂(x_1, ..., x_n) と書く流儀もあるが、
それだと Jacobi 行列を表すのに別の記号が必要になる。
116:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 12:39:47
>>115
>p ∈ K^n のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
p ∈ U のとき p におけるこの行列は J_f(p) である。
117:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:04:28
>>115をやや拡張する。
K を実数体または複素数体とする。
n, m を整数 ≧ 1 とし、K^n と K^m にそれぞれ任意のノルム関数を与え
ノルム空間と見なす。
U ⊂ K^n を開集合とし、
f: U → K^m を微分可能とする。
f の第 i 成分を f_i とする。
即ち、x ∈ U のとき f(x) = (f_1(x), ..., f_m(x)) である。
過去スレ014の817より、df(x) の K^n と K^m の標準基底に関する行列は、
(∂f_i/∂x_j), 1 ≦ i ≦ m, 1 ≦ j ≦ n である。
この行列を f の Jacobi 行列(Jacobian matrix)と呼び、
J_f(x) または、∂(f_1, ..., f_m)/∂(x_1, ..., x_n) と書く。
----------------------------------------------------
U ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
g: V → K^r を微分可能とする。
g の第 i 成分を g_i とする。
即ち、(x, y) ∈ V のとき g(x, y) = (g_1(x, y), ..., g_r(x, y)) である。
g の第２偏微分(過去スレ014の833) (d_2)g の K^m, K^r の標準基底に関する行列は、
(∂g_i/∂y_j), 1 ≦ i ≦ r, 1 ≦ j ≦ m である。
この行列を ∂(g_1, ..., g_r)/∂(y_1, ..., y_m) と書く。
118:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:15:36
Spivakも書いているように偏微分の記号 ∂f/∂x は変数 x が不要のときも変数 x を
書く必要があるなど不都合な点がある。
そこで ∂f/∂x_i を (D_i)f と書くなどの流儀もある。
しかし、記号 ∂f/∂x も便利な場合があり、このあたり悩ましい。
119:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 13:17:54
>>117
>U ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
V ⊂ (K^n)×(K^m) を開集合とし、
120:１３２人目の素数さん
09/10/21 13:52:50
こうなったら、一秒でも長生きしたもんの勝ちやで。 ほんま。(^o^)
121:Kummer ◆g2BU0D6YN2
09/10/21 15:23:04
>>114
>条件をやや緩めて
条件をやや強めて
122:１３２人目の素数さん
09/10/21 15:37:41
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