09/10/14 03:07:41
>>670
で、もちろん上の説明はなんの説明にもなっていないと言うこともできます。
そこには単なる習慣的な規約がたくさん含まれているから。
まず、無限小数を上の意味の有限和で決まる列の極限と看做すというのは単なる規約です。
そうじゃなくて、形式的な無限和のこと（つまりシンボルの列）と見立てるのだって数学的な整合性という意味では全然問題ないでしょう。
単に通常の習慣から外れているだけです。
また、有理数体上に可算個ある付値からアルキメデス付値を選んだことも、それしかないわけじゃないことを考えれば規約です。
もちろん|x|_p型の付値を考えると、上の列は発散します。
ただし、p進で書くときはp=0+1*p=0.1と書く方が合理的で、その記法のもとでは
-0.1 = 0.999...
と収束します。
それから、これはかなりtrivialな話だけど、アルキメデス付値で考えるときも何を底に取るかは全く規約的です。
（p進のときは自然な底があるのと違って）
10という表現には
10 = 9 + 1
だという情報が全く含まれないので、例えば
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a=9+1}
というシンボルを使って(10 = 9 + 2)進法で考えているとすれば、もちろん
1 != 0.999...
なのは当たり前です。
というわけで、いつでも
1 = 0.999...
だとは、とても言えません。