代数的解析幾何学

代数的解析幾何学at MATH

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76:75
 09/08/25 22:40:15 
また、n次元単体の表面積を考えれば、i-頂点以外のｎ個の頂点で作られる(n-1)次元単体を i-対面(i=0…n)と呼ぶと、 
n次元単体の表面積は i-対面の(n-1)次元超体積 v_i^(n-1) の i=0…n の総和と言える。ここで、i=1…n の v_i^(n-1) は 
>>75の超体積の方向表記と余因子行列の性質より、i行成分だけ1で他の成分は0のi-単位ベクトル\e_iを用いて、 
v_i^(n-1) = √(\e_i^T \C[\L^T \L] \e_i) / ((n-1) !) と書ける。v_0^(n-1) の場合は特別で、>>75の超体積の位置表記より、 
v_0^(n-1) = √(\1^T \C[\L^T \L] \1) / ((n-1) !) と書ける。これらをふまえれば、表面積は \sum_{i=0…n} v_i^(n-1) と方向表記できる。 
 
ここで、n次元単体を作る\L=[\l_1, …, \l_n]の各ベクトルが直交基底となるとき、\Xの対角成分以外0にした対角行列を \Σ[\X] で表せ 
ば、\sum_{i=1…n} (v_i^(n-1))^2 = \sum_{i=1…n} (\e_i^T \C[\L^T \L] \e_i) / ((n-1) !)^2 = (\1^T \Σ[\C[\L^T \L]] \1) / ((n-1) !)^2 
と書けて、直交基底の性質からこのとき \C[\L^T \L] は対角行列となり \Σ[\C[\L^T \L]] = \C[\L^T \L] であるので、 
「\sum_{i=1…n} (v_i^(n-1))^2 = (\1^T \C[\L^T \L] \1) / ((n-1) !)^2 = (v_0^(n-1))^2」がこの場合に限り成り立つことがわかる。 
この式は、下記リンク先にある、2次元の場合のピタゴラスの定理、3次元の場合のデグアの定理、についてのn次元への拡張式である。 
 
Pythagorean theorem 
http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem 
De Gua's theorem 
http://en.wikipedia.org/wiki/De_Gua%27s_theorem

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