09/08/25 22:40:15
また、n次元単体の表面積を考えれば、i-頂点以外のｎ個の頂点で作られる(n-1)次元単体を i-対面(i=0…n)と呼ぶと、
n次元単体の表面積は i-対面の(n-1)次元超体積 v_i^(n-1) の i=0…n の総和と言える。ここで、i=1…n の v_i^(n-1) は
>>75の超体積の方向表記と余因子行列の性質より、i行成分だけ1で他の成分は0のi-単位ベクトル\e_iを用いて、
v_i^(n-1) = √(\e_i^T \C[\L^T \L] \e_i) / ((n-1) !) と書ける。v_0^(n-1) の場合は特別で、>>75の超体積の位置表記より、
v_0^(n-1) = √(\1^T \C[\L^T \L] \1) / ((n-1) !) と書ける。これらをふまえれば、表面積は \sum_{i=0…n} v_i^(n-1) と方向表記できる。
ここで、n次元単体を作る\L=[\l_1, …, \l_n]の各ベクトルが直交基底となるとき、\Xの対角成分以外0にした対角行列を \Σ[\X] で表せ
ば、\sum_{i=1…n} (v_i^(n-1))^2 = \sum_{i=1…n} (\e_i^T \C[\L^T \L] \e_i) / ((n-1) !)^2 = (\1^T \Σ[\C[\L^T \L]] \1) / ((n-1) !)^2
と書けて、直交基底の性質からこのとき \C[\L^T \L] は対角行列となり \Σ[\C[\L^T \L]] = \C[\L^T \L] であるので、
「\sum_{i=1…n} (v_i^(n-1))^2 = (\1^T \C[\L^T \L] \1) / ((n-1) !)^2 = (v_0^(n-1))^2」がこの場合に限り成り立つことがわかる。
この式は、下記リンク先にある、2次元の場合のピタゴラスの定理、3次元の場合のデグアの定理、についてのn次元への拡張式である。
Pythagorean theorem
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
De Gua's theorem
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
77:１３２人目の素数さん
09/08/25 23:26:43
相手にしないね
多分
78:neetubot
09/08/26 01:22:36
>>77
言うなれば、「相手にされないね」じゃないですか？それだと、本人の意思を発表しただけになりますよ。
まぁ、理解できない所、質問などありましたら、どしどし書いていってください、と私が言う所じゃないんでしょうが…
79:75
09/09/03 09:05:52
n次元単体の表面積の位置表記を考える。m次元ユークリッド空間内のn次元単体を表す位置行列\P=[\p_0,…,\p_n]からi列成分\p_i
を消したm×n行列\P_{≠i}=[\p_0,…,\p_(i-1),\p_(i+1),…,\p_n]で位置表記されるi-対面の超体積v_i^(n-1)は、>>75の超体積の位置表記より、
v_i^(n-1) = √(\1^T \C[\P_{≠i}^T \P_{≠i}] \1) / ((n-1) !) と書ける。ここで、\P^T \Pからj行とi列を消した行列\P_{≠j}^T \P_{≠i}に対して、
値 (-1)^(j+i) \1^T \C[\P_{≠j}^T \P_{≠i}] \1 をj行i列(j=0…n, i=0…n)成分に持つ(n+1)×(n+1)行列を \~C[\P^T \P] と書き \P^T \P の
余因子総和行列と呼ぶことにすれば、「v_i^(n-1) = √(\~e_i^T \~C[\P^T \P] \~e_i) / ((n-1) !) 」と位置表記できる。これより、n次元単体の
表面積の位置表記は、平方根を対角行列の(1/2)乗で書くと、\sum_{i=0…n} v_i^(n-1) = (\~1^T \Σ^(1/2)[\~C[\P^T \P]] \~1) / ((n-1) !)
と書ける。（ちなみに、余因子総和\1^T \C[\X] \1の性質から、\~C[\X' ± \1 \x^T]=\~C[\X']（…式①）とも言える。）
ここで、n次元単体においてi-頂点を始点とするn本の直交基底の終点がj-頂点(j=0…n, j≠i)であるとき、つまり、i-頂点でもj-頂点でも
ない k-頂点(k=0…n, k≠i, k≠j) もいれた全ての通りに対して (\p_j - \p_i)^T (\p_k - \p_i) = ν_i = 0 となっている場合を考える。このとき、
任意のl-頂点(l=0…n, l≠j, l≠k)に対しても (\p_l - \p_j)^T (\p_k - \p_j) = ν_j と定数になることがわかる（等内積単体の話で後述する）。
この条件下では、\~ν=[ν_0, …, ν_n]^T、\~b_O=[(\p_0^T \p_0)/2, …, (\p_n^T \p_n)/2]^T、\~νの成分を順に対角成分に持つ対角行列を
\Σ[\~ν]とすれば、\P^T \P = \Σ[\~ν] + \~1 (\~b_O - \~ν/2)^T + (\~b_O - \~ν/2) \~1^T となるので、\~C[\P^T \P] = \~C[\Σ[\~ν]]
（∵式①より）と書ける。上記およびν_i = 0もふまえれば、v_i^(n-1) = √(\sum_{j=0…n, j≠i} (\prod_{k=0…n, k≠i, k≠j} ν_k)) / ((n-1) !)、
j=0…n, j≠i で v_j^(n-1) = √(\~e_j^T \~C[\Σ[\~ν]] \~e_j) / ((n-1) !) = √(\prod_{k=0…n, k≠i, k≠j} ν_k) / ((n-1) !) となる。
よって、i-頂点からのn本の辺が全て直交するn次元単体では、「(v_i^(n-1))^2 = \sum_{j=0…n, j≠i} (v_j^(n-1))^2」が成り立つと言える（>>76）。
80:１３２人目の素数さん
09/09/04 13:47:36
ようは多様体上の関数解析のことだろ
81:neetubot
09/09/04 19:28:38
>>80 私はその分野に門外漢ですが、例えばm次元ユークリッド空間U^mから写像φでn次元解析多様体が
作られるときの座標近傍系を{(U^m, φ)}として、φの関数解析とかですか？もしご迷惑でなければ詳しくおながします。
82:neetubot
09/09/08 08:21:31
>>80さんが言及されているのは、↓とかですか？（他スレで教えてもらったいいサイトにありました。）
千葉逸人『ベクトルバンドルの接続とRiemann幾何』
URLﾘﾝｸ(www18.ocn.ne.jp)
83:１３２人目の素数さん
09/09/08 11:45:55
岩波の指数定理は代数的解析幾何じゃん
84:neetubot
09/09/08 13:18:44
>>83 ↓のことかわかりませんが、
,-ｰ─‐‐-､
,! || |
!‐-------‐
.|:::i ./￣￣ヽi ／URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
,|:::i | (,,ﾟдﾟ)|| ＜ 古田 幹雄「指数定理」URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
|::::（ﾉ 中濃 ||） ＼URLﾘﾝｸ(www.iwanami.co.jp)
|::::i |..ｿ ｰ ｽ||
＼i `-----'/
￣U"U
解析的代数幾何学もしくは微分幾何学じゃね？
85:neetubot
09/09/09 07:39:28
指数定理のスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
86:１３２人目の素数さん
09/09/10 11:54:26
ほとんどいたる所、楕円曲線となるものの分類
87:neetubot
09/09/10 21:10:30
楕円曲線 - Wikipedia（URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)）
>>86 楕円曲線暗号の話を聞いたことがあるんですが、楕円曲線の特殊な場合の
（xの3次式）＝（yの2次式）の式形から、xy平面においてxについての3次関数のy≧0
の部分をy≦0の部分にひっくり返して合わせたような形になると聞いたことがあります。
つまり、そのxの3次関数=0が3つ解があるみたいな場合における0(の形か、2つの場合のα形か、
1つの場合のΩを+90度回したような形かの3パターンの形に分類できると言ってた気がします。
ちなみに私的には、m次元ユークリッド空間内のn元k次関数f[\p]=0上にある点\p_Xの周り
（で少なくとも2階導関数まであるf）では、局所的にn元2次関数g[\p] （このとき、g[\p_X]=0で、
(∂g/∂\p) [\p_X]=(∂f/∂\p) [\p_X]で、((∂/∂\p)^2 g) [\p_X]=((∂/∂\p)^2 f) [\p_X]となるようなg）
=0のn元2次超曲面とみなすような考え方をすれば、fが楕円曲線でも何でもf上の\p_Xにおける
ある接線方向に対する曲率半径などが線型代数計算などで求まると思ってます。
また上記リンクより、楕円曲線は正式には同次（斉次）座標系での式で表されるっぽいですが、
この一つ多い変数が何を表しているか（たぶん、あるベクトルが表す点を通るそのベクトルの
直交補空間の中にある(n+1)元k次方程式のn元k次方程式の部分とかそんな感じ）などは、
興味があるので個人的に調べたいです。とりあえず思ったことをダラダラ書いてみましたが、
お役に立たなかったらゴメンナサイ。
88:１３２人目の素数さん
09/09/11 07:43:03
微分方程式の定める流れとポアンカレ群も代数的解析幾何学
89:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/11 08:44:16
その話、もうちょっと詳しく教えて戴けません？
ワシはかなり不勉強なもんで。
90:１３２人目の素数さん
09/09/11 08:53:09
岩波から本出てる
91:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/11 09:05:52
どの本ですか？ 著者とタイトルだけ教えて下さい。
92:１３２人目の素数さん
09/09/11 10:26:09
微分方程式とポアンカレ群
93:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/11 13:09:38
そのタイトルは何となく覚えていますが、著者は誰でしたっけね？
94:neetubot
09/09/11 17:25:15
大貫義郎「ポアンカレ群と波動方程式」（岩波書店）
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
田村一郎「微分位相幾何学」（岩波書店）
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
ジェレミー・J. グレイ（原著）「リーマンからポアンカレにいたる線型微分方程式と群論」
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
あたりの話ですか？あれから私は射影代数曲線という用語が気になって↓などを見て考えてます。
松本眞「代数曲線に触れる」
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
それはさておき、>>80>>83>>86>>88>>90>>92さんの分野に近いのは↓のスレのような気がしました。
微分幾何学２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
大好き★代数幾何 Part 4
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ポアンカレー予想
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
95:１３２人目の素数さん
09/09/12 20:37:52
これは久々の良スレ
96:neetubot
09/09/13 12:15:55
>>95 さんありがとうございます！このような良いご評価が頂ける日が来たのも、
度々書き込んでくださる猫先生やこのスレに興味を持って頂いたみなさんのおかげです。
重ね重ね御礼申し上げます。
なお、このスレの1さんは名乗り出てきてはくれないような気がしてきたので、
このスレを代表して頂けるような仮称0さんの登場も待ちたいと思います。
以上、今後ともこのスレを何卒よろしくお願い致します。 となぜか私が言ってみるテスト