09/06/30 14:44:29
補題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
p を 1 ≦ p ＜ +∞ を満たす実数とする。
q を p の共役指数(過去スレ010の578)とする。
θ を L^p(X, R, μ) 上の連続線形形式とする。
>>88より、θ の K(X, R) への制限 ν は実Radon測度(過去スレ009の728)となる。
このとき、L^q(X, R, μ) の元 h ≧ 0 が存在し、
任意の f ∈ K(X, R) に対して |ν|(f) = ∫ fh dμ となる。
証明
>>88より、任意の f ∈ K+(X, R) に対して |ν|(f) ≦ N(θ) N_p(f) となる。
X の任意のコンパクト集合 K に対して
μ(K) = inf {μ(f) ; χ_K ≦ f, f ∈ K+(X, R) } であるから、
μ(K) = 0 なら |ν|(K) = 0 である。
よって、Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より、
|ν| = gμ となる局所μ可積分な関数 g ≧ 0 が存在する。
f を X から [0, 1] への連続関数でコンパクトな台をもつとする。
ψ ≧ 0 を N_p(ψ) ≦ 1 となる K(X, R) の元とする。
∫ (fg)ψ dμ = |ν|(fψ) ≦ N(θ) N_p(fψ) ≦ N(θ) N_p(f) ≦ N(θ)
ψを動かして左辺の sup をとれば、
>>69, >>73 より、N_q(fg) ≦ N(θ) である。
よって、∫ |fg|^q dμ ≦ N(θ)^(1/q)
よって、K を X のコンパクト集合全体にわたって動かして
sup ∫(χ_K)|g|^q dμ ≦ N(θ)^(1/q) となる。
即ち、∫^e |g|^q dμ ≦ N(θ)^(1/q)
過去スレ011の362より、σ-有限(過去スレ010の465)な部分集合 A が存在して
|g|^q = |g|^q(χ_A) (局所μ-a.e.) となる。
h = g(χ_A) とおけば、h ∈ L^q(X, R, μ) であり、|ν| = hμ である。
即ち、任意の f ∈ K(X, R) に対して |ν|(f) = ∫ fh dμ となる。
証明終