09/06/29 21:07:06
命題
X 局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
p ＞ 1 を実数とし、f を L^p(X, C, μ) (過去スレ008の299)の元とする。
このとき、N_p(f) = sup {|∫ fg dμ| ; g ∈ K(X, C), N_q(g) ≦ 1 } である。
ここで、N_p(f) = (∫ |f|^p dμ)^(1/p) であり、q = p/(p - 1) である。
証明
g ∈ K(X, C), N_q(g) ≦ 1 のとき、Hoelderの不等式(過去スレ010の584)より、
|∫ fg dμ| ≦ ∫ |fg| dμ ≦ N_p(f)N_q(g) ≦ N_p(f) である。
よって、sup {|∫ fg dμ| ; g ∈ K(X, C), N_q(g) ≦ 1 } ≦ N_p(f) である。
よって、N_p(f) = 0 なら等式が成り立つから、N_p(f) ＞ 0 と仮定してよい。
>>68より、∫ fh dμ = N_p(f) となる h ∈ L^q(X, C, μ) で、
N_q(h) = 1 となるものが存在する。
0 ＜ ε ＜ 2N_p(f) となる任意のεをとる。
N_q(h - g) ＜ ε/(2N_p(f)) となる g ∈ K(X, C) がある。
|N_q(g) - 1| = |N_q(g) - N_q(h)| ≦ N_q(g - h) ＜ ε/(2N_p(f)) ＜ 1
N_q(g) = 0 とすると、1 ＜ 1 となって矛盾。
よって、N_q(g) ＞ 0 である。
ψ = g/N_q(g) とおく。N_q(ψ) = 1 である。
Hoelderの不等式より、
|∫ fψ dμ - N_p(f)| = |∫ fψ dμ - ∫ fh dμ| ≦ ∫ |f(ψ - h)| dμ
≦ N_p(f)N_q(ψ - h) ≦ N_p(f)(N_q(ψ - g) + N_q(g - h))
= N_p(f)(|N_q(g) - 1| + N_q(g - h)) ＜ ε
よって、N_p(f) ≦ |∫ fψ dμ - N_p(f)| + |∫ fψ dμ| ＜ ε + |∫ fψ dμ|
証明終