09/06/28 20:30:42
命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の実Radon測度(過去スレ009の728)全体を M(X, R) とする。
>>24より M(X, R) は完備 Riesz 空間(>>7)である。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730)とする。
μ で生成される M(X, R) の帯(>>12)を B とする。
X 上の正値Radon測度 ν が B に属すためには
ν が 基底μの正値Radon測度(>>30)であることが必要十分である。
証明
X 上の任意の正値Radon測度 ν と整数 n ＞ 0 に対して
ν_n = inf(nμ, ν) とおく。
>>36より、ν ∈ B でありためには ν = sup {ν_n; n = 1, 2, ...} で
あることが必要十分である。
ν_n ≦ nμ であるから Lebesgue-Radon-Nikodymの定理(過去スレ011の734)より
ν_n は、基底μの正値Radon測度である。
よって、ν = sup {ν_n; n = 1, 2, ...} であれば、>>31より ν は
基底μの正値Radon測度(>>30)である
逆に、ν が 基底μの正値Radon測度であるとする。
局所μ-可積分な正値関数 g があり ν = gμ となる。
>>29 より ν_n = inf(nμ, gμ) = inf(g, n)μ である。
任意の f ∈ K+(X, R) に対して
sup {ν_n(f); n = 1, 2, ...} = sup {∫ inf(g, n)f dμ; n = 1, 2, ...}
この右辺は Lebesgueの単調収束定理(過去スレ007の435)より、
∫ gf dμ = ν(f) である。
よって、ν = sup {ν_n; n = 1, 2, ...} である。
証明終