09/06/28 20:03:12
命題
E を完備 Riesz 空間(>>7)とする。
a ≧ 0 を E のある元とする。
a で生成される帯(>>12)を B とする。
a と無縁な元全体を C とする。
>>10と>>13より E = B + C (直和) である。
任意の E の元 x ≧ 0 に対して x = y + z, y ∈ B, z ∈ C と分解したとき
y = sup { inf(na, x) ; n = 1, 2, ...} である。
証明
y = sup { inf(na, x) ; n = 1, 2, ...} とおく。
>>16より、y ∈ B である。
y ≦ x である。
z = x - y とおく。
A = {t ∈ E; 0 ≦ t ≦ na となる整数 n ＞ 0 がある} とおく。
任意の t ∈ A に対して u = inf(z, t) が 0 となることを示す。
u ≦ x - y だから u + y ≦ x
s ∈ A; x ≧ s のとき s ≦ y である。
よって、u + s ≦ u + y ≦ x
u ≦ t だから u ∈ A である。
よって、u + s ∈ A
よって、u + s ≦ y である。
左辺の s を動かして sup をとれば u + y ≦ y
よって u ≦ 0、即ち u = 0 である。
よって、z ∈ C である。
証明終