09/07/04 16:21:25
関数fが点aを含む開区間Ⅰにおいて連続であるとする。
F(x)=∫[t=a,x]f(t)dtとおくと
F(x+h)-F(x)=∫[t=a,x+h]f(t)dt-∫[t=a,x]f(t)dt
=∫[t=a,x+h]f(t)dt+∫[t=x,a]f(t)dt
=∫[t=x,x+h]f(t)dt …①
【Ⅰ】h>0のとき
x≦t≦x+hの範囲での最大値最小値をそれぞれmaxf(t)minf(t)とすると
h・minf(t)≦∫[t=x,x+h]f(t)dt≦h・maxf(t)となるので
それぞれをhで割ると
minf(t)≦(1/h)∫[t=x,x+h]f(t)dt≦maxf(t)
①より
minf(t)≦{F(x+h)-F(x)}/h≦maxf(t)
ここで、h→+0とするとfの連続性より
lim[h→+0]minf(t)=lim[h→+0]maxf(t)=f(x)