09/07/02 13:02:19
命題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
f を Y から位相空間 G への写像で、ν可測であるとする。
このとき、fπ はμ可測である。
証明
π はμ可測であるから、X の任意のコンパクト集合 M と、任意の実数 ε ＞ 0
に対して、K ⊂ M で μ(M - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K があり、
π の K への制限が連続になる。
π(K) はコンパクトであるから、Y のν零集合 N と Y のコンパクト集合の
列 (L_n), n = 1, 2, . . . で、f の各 L_n への制限が連続になるような
ものが存在し、N と (L_n) は π(K) の分割になる。
π^(-1)(N) ∩ K と (π^(-1)(L_n) ∩ K), n = 1, 2, . . . は K の分割である。
>>205より、π^(-1)(N) は局所μ零集合であるから、π^(-1)(N) ∩ K は
μ零集合である。
π^(-1)(L_n) ∩ K はコンパクトで、fπ の π^(-1)(L_n) ∩ K への制限は
連続である。
よって、P ⊂ K で μ(K - P) ＜ ε となるコンパクトな P で fπ の
P への制限が連続になるものが存在する。
P ⊂ M で μ(M - P) = μ((M - K) ∪ (K - P)) ＜ 2ε であるから
fπ は X 上でμ可測である。
証明終