09/07/02 11:26:07
命題
X と Y をそれぞれ局所コンパクト空間とし、μを X 上の正値Radon測度とする。
写像 π: X → Y と写像 ψ: X → [0, +∞) がμ適合(>>157)であるとする。
ν を μ適合な対 (π, ψ) から定まる正値Radon測度(>>158)とする。
S = {x ∈ X; ψ(x) ＞ 0} とおく。
f を Y から位相空間 G への写像で、fπ は S 上でμ可測であるとする。
このとき、f はν可測である。
証明
Φ = { L ; L は Y のコンパクト集合で f の L への制限は連続 } とおく。
N を任意の L ∈ Φ に対し N ∩ L がν零集合となるような Y の部分集合とする。
Ψ = { K; K は S のコンパクト集合で π および fπ の K への制限は連続 }
とおく。
過去スレ011の122より、Φ は S においてμ密である。
任意の K ∈ Ψ をとる。
π の K への制限 π|K : K → π(K) を考える。
fπ の K への制限は連続であるから、過去スレ011の808より、f の π(K) への制限は
連続である。よって、π(K) ∈ Φ である。
仮定より、N ∩ π(K) はν零集合である。
よって、>>205より、π^(-1)(N ∩ π(K)) ∩ S は局所μ零集合である。
よって、K ∩ π^(-1)(N) ⊂ π^(-1)(N ∩ π(K)) ∩ S は局所μ零集合であるが、
K はコンパクトなので K ∩ π^(-1)(N) はμ零集合である。
過去スレ011の50より、π^(-1)(N) ∩ S は局所μ零集合である。
よって、>>205より、N は局所ν零集合である。
よって、過去スレ011の50より、Φ はν密である。
よって、過去スレ008の177より、f はν可測である。
証明終