不等式への招待 第４章at MATH不等式への招待 第４章 - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト542:１３２人目の素数さん 09/10/16 16:17:31 ｗ 543:１３２人目の素数さん 09/10/17 02:14:08 age 544:１３２人目の素数さん 09/10/17 04:22:24 >>539 (上) >>394-395 (下) 実変数のときは、 (与式) ≦ 0.397747488･･･, 等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1 かな？ 545:１３２人目の素数さん 09/10/17 10:03:31 △ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、 √(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R)) を示せ。 546:１３２人目の素数さん 09/10/17 15:16:14 >>539 (下) 実変数のとき 最大値 9/(16√2) = 0.397747564････ α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1) = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1 = -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1 のとき 547:546 09/10/18 06:00:35 >>539 (下) (546の続き) ・複素変数のとき 3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†) = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 ≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均) ∴ (与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16, 等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。 ・実変数のとき βはαとγの中間にあるとする。 |γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|, ･･････ (*) よって 3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 ≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← 相加･相乗平均) ≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← *) ≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均) ∴ (与式) ≦ 9/(16√2), 等号成立は |α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき, α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch