09/10/16 16:17:31
ｗ
543:１３２人目の素数さん
09/10/17 02:14:08
age
544:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:22:24
>>539
(上) >>394-395
(下) 実変数のときは、 (与式) ≦ 0.397747488･･･,
等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？
545:１３２人目の素数さん
09/10/17 10:03:31
△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、
√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))
を示せ。
546:１３２人目の素数さん
09/10/17 15:16:14
>>539
(下) 実変数のとき
最大値 9/(16√2) = 0.397747564････
α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1)
= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1
のとき
547:546
09/10/18 06:00:35
>>539 (下) (546の続き)
・複素変数のとき
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
・実変数のとき
βはαとγの中間にあるとする。
|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|, ･･････ (*)
よって
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← 相加･相乗平均)
≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← *)
≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ 9/(16√2),
等号成立は |α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき,
α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
548:547
09/10/18 06:50:01
>>539 (下) (547の続き)
・非負変数のとき
min{α,β,γ} = m ≧0, {α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
|⊿| = xy(x+y),
α+β+γ = 3m +2x +y,
|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
= |⊿|･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2
≧ |⊿|･(α+β+γ),
(与式) ≦ 1/4,
等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。
549:１３２人目の素数さん
09/10/18 22:20:46
>>538 (2) 訂正
(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2
>>548
⊿ = (α-β)(β-γ)(γ-α), とおきますた(差積)。
等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1 及びその入れ換え。
550:１３２人目の素数さん
09/10/19 03:59:44
蒼井そら
551:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:10:33
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
551蓬莱
552:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:11:34
>>550
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)河合曾良
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)河合曾良
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ギャグマンガ日和
553:１３２人目の素数さん
09/10/21 01:00:05
|cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2
554:１３２人目の素数さん
09/10/23 21:53:39
>>553
-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,
φで積分して
-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,
あるいは平均値の定理から
f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ), 0<k<1,
ただし、f(φ) = cos(θ+φ),
555:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:24:55
>>502 の解答
(1) >>504-510 (2) 未 (3) >>518 (4) >>528 (5) >>516-517 (6) >>529 (7) >>515 (8) >>503
556:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:53:56
問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする
問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
557:１３２人目の素数さん
09/10/26 00:15:47
>>556
とりあえす問１だけ････
a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),
e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e), (← a>e)
e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),
8/3 < e < a < 17/6 より
1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･
558:１３２人目の素数さん
09/10/26 02:59:25
さすがに√eの値を出すのは反則でない？
559:１３２人目の素数さん
09/10/26 10:35:04
>>556
問1
(√2)^(√2)=a とおく。
f(x)=x^(√2-1) とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7
560:559
09/10/26 10:41:03
間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2) とおいて
g(a) < g(√2) から示す。
561:１３２人目の素数さん
09/10/26 20:59:26
>>438 (出題元 >>536 から)
(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,
∴ (x+y)(x+z)(z+x)F_1
= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,
562:１３２人目の素数さん
09/10/26 22:42:47
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