09/10/24 02:53:56
問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする
問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
557:１３２人目の素数さん
09/10/26 00:15:47
>>556
とりあえす問１だけ････
a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),
e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e), (← a>e)
e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),
8/3 < e < a < 17/6 より
1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･
558:１３２人目の素数さん
09/10/26 02:59:25
さすがに√eの値を出すのは反則でない？
559:１３２人目の素数さん
09/10/26 10:35:04
>>556
問1
(√2)^(√2)=a とおく。
f(x)=x^(√2-1) とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7
560:559
09/10/26 10:41:03
間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2) とおいて
g(a) < g(√2) から示す。
561:１３２人目の素数さん
09/10/26 20:59:26
>>438 (出題元 >>536 から)
(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,
∴ (x+y)(x+z)(z+x)F_1
= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,
562:１３２人目の素数さん
09/10/26 22:42:47
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