09/10/09 18:00:26
>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ 1, -p, -r ]
[-p, 1, -q ]
[-r, -q, 1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・ 3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0, 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,
(中)
a = √(x^2 +y^2), b = √(y^2 +z^2), c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴ これは 条件付きの不等式である。
(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。 >>221
(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・ 0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,