09/10/09 15:37:38
>>389 , >>502 (6)
f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
f(x) ≦ f(e) = 1/e,
f(π) < 1/e,
∴ π^(1/π) < e^(1/e),
∴ α = e^π > π^e = β,
∴ π^α > π^β, e^α > e^β,
問題は π^β > e^α であるが、これと同値な
β･log(π) > α,
を示そう。
e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7,
π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8,
π > e^(8/7),
log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8),
β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) ,
辺々かけて
β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α,