09/10/09 11:46:34
>>502 (4)
β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。
便宜上 (2) を先に解く。
0<x，α=ex，β=e/x のとき
(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt,
ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0 だから、
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終)
〔系〕
0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。
(1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2 だから、(系) により成立する。