09/10/05 20:10:07
>>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m),
523:１３２人目の素数さん
09/10/08 03:20:04
鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ
2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)
sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
より
524:１３２人目の素数さん
09/10/08 09:25:06
>>519
>>521 で答えでてるけど、別解。
丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）
x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
= (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2
= (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2
∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫
また、
x^3+y^3
= (x+y)^3 - 3xy(x + y)
= 1 - 3xy
ゆえに、
与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫
（※a=xyとおいた。
ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、
≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0
∴ 0<=a<=1/4 ）
つづく。。。。。。。。。。。。。
525:524
09/10/08 09:26:32
このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。
ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。
よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
（※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき）
====
告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ
526:１３２人目の素数さん
09/10/08 23:00:11
>>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),
・参考
>>136 , [初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式
527:１３２人目の素数さん
09/10/09 04:01:26
>>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
528:１３２人目の素数さん
09/10/09 11:46:34
>>502 (4)
β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。
便宜上 (2) を先に解く。
0<x，α=ex，β=e/x のとき
(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt,
ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0 だから、
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終)
〔系〕
0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。
(1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2 だから、(系) により成立する。
529:１３２人目の素数さん
09/10/09 15:37:38
>>389 , >>502 (6)
f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
f(x) ≦ f(e) = 1/e,
f(π) < 1/e,
∴ π^(1/π) < e^(1/e),
∴ α = e^π > π^e = β,
∴ π^α > π^β, e^α > e^β,
問題は π^β > e^α であるが、これと同値な
β･log(π) > α,
を示そう。
e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7,
π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8,
π > e^(8/7),
log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8),
β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) ,
辺々かけて
β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α,
530:１３２人目の素数さん
09/10/09 15:47:28
ふぅ・・・
531:１３２人目の素数さん
09/10/09 18:00:26
>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ 1, -p, -r ]
[-p, 1, -q ]
[-r, -q, 1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・ 3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0, 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,
(中)
a = √(x^2 +y^2), b = √(y^2 +z^2), c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴ これは 条件付きの不等式である。
(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。 >>221
(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・ 0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,
532:１３２人目の素数さん
09/10/10 17:35:58
>>511 (上), >>531 (上)
0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr >>531
= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0,
(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0,
よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。
したがって
(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0, >>531
⇔ 1-p^2 ≧ 0, 1-q^2 ≧ 0, 1-r^2 ≧ 0,
⇔ |p|≦1, |q|≦1, |r|≦1,
・参考書[3]の第1部 例題１．
533:１３２人目の素数さん
09/10/11 10:54:36
>>523
出題元の解答は･････
〔補題〕 A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(上)
min{A,B,C} = C とすると 0<C≦π/3 より,
2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから
(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)}
= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C)
= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C),
> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C) (←補題)
= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C)
= 2 -sin(C) -cos(C)
= 2 -(√2)sin(C + π/4)
≧ 2 - √2
> 1/2 [93] by シタカンダ
(下)
min{A,B,C} = C とする。 0<C≦π/3,
(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C)
> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C) (←補題)
= 1 + cos(C) + sin(C)
≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C (←cos(x)+sin(x)は上に凸)
= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C
= 2 + 0.349528513857C,
= 2 + (1/3)C, [96] by だるまにおん
534:１３２人目の素数さん
09/10/11 10:57:12
>>523
〔補題〕
A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(略証)
A-B < (π-A) - B = C,
B-A < (π-B) - A = C,
∴ |A-B| < C, (終)
535:１３２人目の素数さん
09/10/12 01:34:46
(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
より
536:１３２人目の素数さん
09/10/12 02:59:02
>>438
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
らしい
537:１３２人目の素数さん
09/10/12 05:41:07
>>523 の〔類題〕
・1≦K≦√3 のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),
・0≦K≦1のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,
(略証)
0≦K≦√3 と C≦π/3 より
cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0,
sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C),
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)},
ところで、 C≦π/3 より
1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2,
(終)
538:１３２人目の素数さん
09/10/13 21:14:11
>>535 出題元の解答は…
〔補題〕
|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2),
(略証)
{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終)
(1)
(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2},
(2)
(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2
= 3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ)
= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ)
≦ 25,
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
539:１３２人目の素数さん
09/10/16 03:13:04
△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式
x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L
が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると
9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R
が成立する
α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ
また , 実変数の場合はどうか
| ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2
( 数学セミナーより )
540:１３２人目の素数さん
09/10/16 03:15:51
フェラチオ＞シックスナイン
541:１３２人目の素数さん
09/10/16 16:16:19
フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。
542:１３２人目の素数さん
09/10/16 16:17:31
ｗ
543:１３２人目の素数さん
09/10/17 02:14:08
age
544:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:22:24
>>539
(上) >>394-395
(下) 実変数のときは、 (与式) ≦ 0.397747488･･･,
等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？
545:１３２人目の素数さん
09/10/17 10:03:31
△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、
√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))
を示せ。
546:１３２人目の素数さん
09/10/17 15:16:14
>>539
(下) 実変数のとき
最大値 9/(16√2) = 0.397747564････
α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1)
= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1
のとき
547:546
09/10/18 06:00:35
>>539 (下) (546の続き)
・複素変数のとき
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
・実変数のとき
βはαとγの中間にあるとする。
|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|, ･･････ (*)
よって
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← 相加･相乗平均)
≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← *)
≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ 9/(16√2),
等号成立は |α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき,
α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
548:547
09/10/18 06:50:01
>>539 (下) (547の続き)
・非負変数のとき
min{α,β,γ} = m ≧0, {α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
|⊿| = xy(x+y),
α+β+γ = 3m +2x +y,
|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
= |⊿|･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2
≧ |⊿|･(α+β+γ),
(与式) ≦ 1/4,
等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。
549:１３２人目の素数さん
09/10/18 22:20:46
>>538 (2) 訂正
(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2
>>548
⊿ = (α-β)(β-γ)(γ-α), とおきますた(差積)。
等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1 及びその入れ換え。
550:１３２人目の素数さん
09/10/19 03:59:44
蒼井そら
551:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:10:33
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
551蓬莱
552:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:11:34
>>550
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)河合曾良
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)河合曾良
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ギャグマンガ日和
553:１３２人目の素数さん
09/10/21 01:00:05
|cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2
554:１３２人目の素数さん
09/10/23 21:53:39
>>553
-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,
φで積分して
-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,
あるいは平均値の定理から
f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ), 0<k<1,
ただし、f(φ) = cos(θ+φ),
555:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:24:55
>>502 の解答
(1) >>504-510 (2) 未 (3) >>518 (4) >>528 (5) >>516-517 (6) >>529 (7) >>515 (8) >>503
556:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:53:56
問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする
問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
557:１３２人目の素数さん
09/10/26 00:15:47
>>556
とりあえす問１だけ････
a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),
e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e), (← a>e)
e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),
8/3 < e < a < 17/6 より
1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･
558:１３２人目の素数さん
09/10/26 02:59:25
さすがに√eの値を出すのは反則でない？
559:１３２人目の素数さん
09/10/26 10:35:04
>>556
問1
(√2)^(√2)=a とおく。
f(x)=x^(√2-1) とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7
560:559
09/10/26 10:41:03
間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2) とおいて
g(a) < g(√2) から示す。
561:１３２人目の素数さん
09/10/26 20:59:26
>>438 (出題元 >>536 から)
(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,
∴ (x+y)(x+z)(z+x)F_1
= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,
562:１３２人目の素数さん
09/10/26 22:42:47
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