09/09/30 14:23:51
＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．
簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。
a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x－a)＋f ' ' (θ)(x－a)^2/2
とできる。x≠aのとき、両辺を(x－a)で割って変形して
f ' (a)＝(f (x)－f (a))/(x－a)－f ' ' (θ)(x－a)/2
となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a|/2となる。
ここで更にt＝|x－a|/2 とおけば
|f ' (a)|≦A/t＋tB …(*)
となる。aを固定したままでxを[0,1]－{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t＜1 (a＝0,1)
0＜t≦max{ |a| , |1－a| }/2 (a≠0,1)
である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって
1/4≦max{|a|,|1－a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも
0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の
範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、
tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。