09/09/30 13:39:35
＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ
0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して
(1－x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt
が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて
F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt
を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから
x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり
F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt
が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。