09/08/20 23:03:27
>>400
x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s, ･･･････ (1)
だから、sの最大・最小を求めればよい。
X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S
ここに
B = b - (1/3)a^2,
S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3,
判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2,
∴ D ≧0 となる条件は
-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2), B<0,
-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2),
よって (1) から
(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2),