09/07/29 04:48:50
凸5角形の5辺の長さの和を s [ 1 ] , 対角線の和を s [ 2 ] とする
s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ]
1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12
303:１３２人目の素数さん
09/07/29 12:25:34
x>0,n≧0の時、(1+x)^n>1+nx
をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ
304:１３２人目の素数さん
09/07/29 12:27:31
先生！n=0のときその不等式は成り立ちません！
305:１３２人目の素数さん
09/07/29 13:46:53
先生！n=1(ry
306:１３２人目の素数さん
09/07/29 16:07:36
>>303
数日前に別スレで似たような問題があったな
マルチっぽいな
307:１３２人目の素数さん
09/07/29 21:19:22
>>302 (上)
凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。)
CD < CA' + DA', CE < CD + DE,
循環的に加えると、
s[1] < s[2], s[2] < 2s[1],
>>303
x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理)
(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx
= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} (← 等比級数の和)
= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1}
> 0,
308:１３２人目の素数さん
09/07/29 22:15:26
>>303
a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。
このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k]
等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき
n=1は自明
(1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか
以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。
n=2のとき
(1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2]
等号成立はa[1]=0またはa[2]=0
n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。
Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k])
(∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0
a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1)
左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、
右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、
(最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個
(1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合
309:１３２人目の素数さん
09/07/30 03:48:58
三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない
組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48
310:１３２人目の素数さん
09/08/01 00:32:00
>>309 (下)
つ [前スレ.863-865,870]
S ≦ ((√3)/4) * abc,
S' ≦ ((√3)/4) /(abc),
を出す。
解1. [前スレ.865]
相乗･相加平均 と 上に凸から
{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2,
解2. [前スレ.870]
s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から
S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3),
311:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:38:26
＞nは自然数とする
＞(sinx)^n+(cosx)^n
＞の最大値、最小値を求めよ
これって，nが偶数のとき
(sinx)^n≦(sinx)^2
(cosx)^n≦(cosx)^2
より
(sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1
の考え方使えないかなー
312:310
09/08/01 07:03:19
訂正
S ≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3),
S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3),
より
SS' ≦ 3/16,
313:１３２人目の素数さん
09/08/02 09:23:30
>>309 (上)
中線を AA', BB', CC' とおく。
△ABC の重心をGとおくと、初等幾何により
AG = (2/3)AA', BG = (2/3)BB', CG = (2/3)CC',
ところで
a = BC < BG + CG,
b = CA < CG + AG,
c = AB < AG + BG,
辺々たして
a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC').
314:１３２人目の素数さん
09/08/02 17:54:30
>>309
これって、SS' < 1/4,でもいいとき、
n=min(a,b,c), d=mid(a,b,c), x=max(a,b,c),
とおく。
S = (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd,
S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd),
より
SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4,
の考え方使えないかなー
315:１３２人目の素数さん
09/08/02 22:43:13
p,q,r≧0
A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数
|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)
316:１３２人目の素数さん
09/08/03 07:36:25
>>309 (上)
〔類題〕
三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと
1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3.
(略証)
・右側は >>313
・左側を示す。
B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2,
C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2,
A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2,
より
AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2,
BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2,
CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2,
辺々たすと
AA' + BB' + CC' < a+b+c,
317:１３２人目の素数さん
09/08/05 03:39:24
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＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
318:１３２人目の素数さん
09/08/05 14:46:11
>>315
過去スレ
319:１３２人目の素数さん
09/08/05 20:40:44
F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx
を示せ
320:１３２人目の素数さん
09/08/06 00:39:44
[0,1]→[0,1] の意味は？
値域がって事？
321:１３２人目の素数さん
09/08/06 07:33:59
わかるだｒ
322:１３２人目の素数さん
09/08/06 10:20:05
>>319
過去スレ嫁
323:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:54:14
拾ったものをいじった
実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
324:１３２人目の素数さん
09/08/06 23:28:40
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
ﾆﾔﾆﾔ…
325:１３２人目の素数さん
09/08/06 23:40:01
↑
なんでにやついているの？
326:１３２人目の素数さん
09/08/07 00:26:45
((-6)^3)^(1/3)って-6？
327:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:17:00
>>325
相加平均=相乗平均
328:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:20:02
a=-1,b=0,c=1の場合は？
329:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:21:20
>>328
≠0
330:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:23:20
>>327
適用条件
331:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:23:54
>>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．
(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
と矛盾を起こしかねないから。
332:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:26:33
>>331
ネタ？
指数法則はどこいったの
333:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:30:00
（－１）＾１＝（－１）＾（２／２）＝（（－１）＾２）＾（１／２）＝１＾（１／２）＝１。
334:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:31:05
>>332
大丈夫だよ
どこにも行っていないよ
安心しておやすみ
335:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:40:00
ａ＝８。
ｂ＝－１。
ｃ＝－１。
336:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:58:14
高校数学の範囲では、√の左側にnを小さく書くのを(n)√と表すとすると
nが奇数のとき、
aが正なら(n)√aは正の実数値
aが負なら(n)√aは負の実数値
をとるものとする、と教科書に明記されている。
しかし、a^(1/n)という記法は、
教科書ではa＞0の場合しか定義されていない。
ただ、その辺は入試になると結構あいまいで、
(n)√aと書く代わりにa^(1/n)と書かれる可能性もある。
337:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:01:14
>>336
それにしたって a>0 に限定されているはずだ
338:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:16:33
>>333
これのおかしいところが分からないんだけど…
天才な俺に解説してください！
339:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:17:55
>>337
指数法則
340:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:18:36
338だった
341:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:26:20
>335の場合はokやんな？
342:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:27:23
>okやんな？
ムカつく
343:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:30:17
三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinCの最小値を求めよ。
最大値は凸不等式で出るんですけど最小値の出し方がわかりません・・・
344:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:38:00
A,B,Cを0,0,πに近づければ値が0に近づく
345:１３２人目の素数さん
09/08/07 07:24:12
>>331
多価関数として定義すれば無問題
346:１３２人目の素数さん
09/08/07 08:00:53
>>338
お前ら複素関数論を知らんのか？
一般のベキの定義は多価関数だろうが！
と思ったら、ここは工房スレかorz
347:１３２人目の素数さん
09/08/07 08:47:51
>>346 2chは良く言えばがらくた市
掃きだめの中に鶴が見つかれば大吉
348:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:23:43
>>345 >>346
複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？
349:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:35:00
>>348
そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ
そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと
350:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:37:50
>>348
負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば
>>323に関しては問題ないだろ。
351:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:38:31
>>336
> aが負なら(n)√aは負の実数値
a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ
ゆとりの影響は恐ろしいなｗ
352:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:39:19
>>351
nが奇数のとき
の文字が見えんのか
353:１３２人目の素数さん
09/08/07 10:10:03
本当にゆとりの影響は恐ろしいな
354:１３２人目の素数さん
09/08/07 11:28:14
>>350
それでも>>331の問題が解決できぬ
355:１３２人目の素数さん
09/08/07 11:43:54
ゆとり不等式
356:１３２人目の素数さん
09/08/07 14:22:00
>>354
あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．．
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
が
(-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
と同じ暴論だということもわからんのか。
357:１３２人目の素数さん
09/08/07 15:42:54
お塩と法子ｗｗ
358:１３２人目の素数さん
09/08/07 16:20:53
単純打率 ヒットの本数だけで判断した稚拙な計算による打率 → イチロー
実質打率 内野安打・ポテンヒット等の凡打を省いた打率（２塁への進塁打は安打に含む） → 松井
正当打率 偶然ではなく実力で打ったヒットによる打率 → 松井
貢献打率 勝利のためのチームバッティングを評価する打率 → 松井
名門打率 所属チームの強さ・格式に準拠される打率 → 松井
強敵打率 雑魚相手にヒットを稼ぐ不正を許さない打率 → 松井
健康打率 健康体であるという条件下の元で算出した打率 → 松井
芸術打率 フォーム・弾道の美しさを最大限評価する打率 → 松井
人格打率 選手の人間性を加味した上で導き出す打率 → 松井
大局打率 現状の成績に惑わされず大局を見抜いた打率 → 松井
謙虚打率 強欲にヒットを欲しがろうとしない控えめな打率 → 松井
精髄打率 ヒットの量ではなく本質を見つめ直した打率 → 松井
社会打率 １人目立とうとして周りの空気を悪くしない打率 → 松井
来年打率 今年は忘れ来期に目を向けた将来性重視の打率 → 松井
玄人打率 野球に詳しい理系の人間だけが知る真実の打率 → 松井
主観打率 数字に依存しない独自の視点から優劣を決める打率 → 松井
実績打率 過去の成績を考慮に入れた打率→ 松井
怪我考慮打率 怪我をしていてもチームの為に痛みを我慢して打席に立つ男気溢れる打率→ 松井
スタベン打率 チームの為なら調子の悪い時はスタベンでも構わないという人情味溢れる打率→ 松井
チームリーダー打率 リーダーとしてチームメイトの悩みを聞いたり、アドバイスしたりする打率→ 松井
トレード打率 トレードされるかもしれないというとてつもない不安感の中での打率→ 松井
焼肉打率 焼肉記者の機嫌を取りながら稼ぐ打率 →松井
仮に四番打率→ もし四番で起用されていたらと仮定した場合の打率 →松井
立場逆転打率 イチローと松井の立場が逆ならばと仮定した場合の打率→ 松井
常識打率 普通に考えたらどっちが上かわかりそうな打率 → 松井
撃破打率 ヒットや三振などに囚われず、相手投手にダメージ、動揺を与えた打率→ 松井
359:１３２人目の素数さん
09/08/07 16:25:50
URLﾘﾝｸ(www4.himitsukichi.info)
コイツも覚せい剤やってそう
360:１３２人目の素数さん
09/08/07 17:45:25
>>323
3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、
{(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合
a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
abc>0として大丈夫だろう。
で、自信はないが
a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27
a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c)
k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)
(a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27
(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1
k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2
ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3
k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
361:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:32:01
＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
＞abc>0として大丈夫だろう。
Why ?
362:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:33:58
whyもなにも書いてある通りだろ
363:360
09/08/07 19:36:18
>>361
abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>0
でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、
解決にはなってないような気がすると思い始めてきた
364:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:48:36
(abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから
そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う
365:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:05:47
夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？
366:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:30:35
>>356
どの辺が暴論？
367:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:43:29
a,b,cを実数とするとき
r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。
実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
これなら問題ないんだよね
368:360
09/08/07 22:46:25
重大なミスを発見
> k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。
k<-2または3/2≦kだな。
実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7
369:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:06:27
>>366
指数定理
(a^m)^n=a^(mn)
が成り立つのは、
「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの
どちらかの条件を満たす場合である。
だから
(-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や
(-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は
成立しない。それだけのこと。
370:360
09/08/07 23:12:10
頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、
また間違いに気付いたorz
十分性に欠けることには気づいてたんだが…
ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは
t^3-t^2+pt-1/27=0の解
判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より
p=1/3またはp≦-5/12
したがってk=3/2または-30/7≦k<-2
首吊ってくる
371:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:14:25
>>369の修正
誤：指数定理
正：指数法則
372:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:27:34
>>369
知らなかった…
373:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:28:24
>>349
>>369を見ても>>332がおかしいと思う？
374:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:35:39
>>326 → >>331
→>>332 → >>334
良く見ろ
しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな
375:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:42:56
>>369
だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない
というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが
まあ，この矛盾を避けるために
[1] (負）^(1/3) の定義を許さない
[2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない
の両者の立場の違いなのかとも思うが，
一般的には前者なのではないか？
もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば
事情は全く異なるのは確か
376:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:26:18
p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：
∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).
377:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:29:27
>>374
本当だよ。
複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ
はっきり言って、受験生は板違いだから。
このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
378:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:49:48
>>369
嘘つくなボケ！
379:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:51:46
オイラーの公式をしらんのか？
e^{πi}=-1
380:１３２人目の素数さん
09/08/10 01:53:40
>>302 (下)
√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k,
を使う。
99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)}
> {3/(2√4)}{1/√(100)}
= (3/4)(1/10)
= 3/40
= 1/13.3333333･･･
99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100}
< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10}
= (9!!*11*3)/(10!!*10)
= 31185/384000
= 1/12.3136123･･･
381:１３２人目の素数さん
09/08/10 02:14:11
>>40
382:１３２人目の素数さん
09/08/10 03:09:31
>>381
a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く
a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac
より
abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac ……①
ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので①≦0
よってabx+bcy+caz≦0
383:１３２人目の素数さん
09/08/11 21:09:17
kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］
384:１３２人目の素数さん
09/08/12 01:41:55
Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k
より明らか
385:１３２人目の素数さん
09/08/12 13:26:47
>>383,>>384
r≠0,nか?
ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。
Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。
(できればζ(2)=π^2/6を用いないで)
386:１３２人目の素数さん
09/08/12 15:15:56
>>385
ζ(3)-1<∑[n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4
ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2
より
Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2
387:１３２人目の素数さん
09/08/12 18:15:09
>>315
コーシーより
(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2}
= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC)
≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC),
となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･
※ (p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}
= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0,
388:１３２人目の素数さん
09/08/12 18:24:14
>>315
〔補題〕
A+B+C=π、mは整数のとき
{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４,
(略証)
m=0 のときは明らかだから m>0 とする。
左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を
A' = mA - [mA/π]π,
B' = mB - [mB/π]π,
C' = mC - [mC/π]π,
とおくと
0 ≦ A',B',C' < π.
A' + B' + C' = 0, π, 2π.
しかし 右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。
また 右辺が2πのときは {sin(π-x) = sin(x)}
A' = π + [mA/π]π - mA,
B' = π + [mB/π]π - mB,
C' = π + [mC/π]π - mC,
とおき直せば
A' + B' + C' = π,
鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。
∴ 鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。
(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2,
= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2
= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2 {0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1}
≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2
= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2
≦ ９／４.
等号成立は A'=B' かつ C'=π/3, すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。
389:１３２人目の素数さん
09/08/12 19:35:02
α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする
ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β
の大小関係を答えよ
390:１３２人目の素数さん
09/08/13 17:44:53
>>387 (別解)
A+B+C = π のとき
{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2
= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2
= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2
= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2
≦ 2 + (1/4)γ^2,
ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)),
ぬるぽ
391:１３２人目の素数さん
09/08/13 19:03:57
>>385
n≧2 のとき
1/n ≦ 3/{2(n+1)},
∴ Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]}
= 1/{(n^2)(n-1)}
≦ 3/{2(n-1)n(n+1)}
= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))},
よって
ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s)
≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}
= 3/8,
蛇足だが、
ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････
ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,
ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1,
････
を使うと
(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8,
392:385
09/08/13 19:41:53
>>386,>>391
正解です。にしても評価粗すぎたなw
最初の想定では
Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1}
で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた)
考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz
ついでに
>(左辺)=0.3550659331455･･･
=2-(π^2)/6です
393:１３２人目の素数さん
09/08/13 19:59:02
つまらん
394:１３２人目の素数さん
09/08/14 20:49:16
>>316
〔問題38〕
三角形の辺の長さの和をa,b,c,
頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、
(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c),
等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による)
数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09)
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38
395:１３２人目の素数さん
09/08/14 20:55:34
>>394
(左側)
角の二等分線は△の内部で交わるから、
a = BC < BB" + C"C,
b = CA < CC" + A"A,
c = AB < AA" + B"B,
辺々たして2で割る。
(右側)
(a+b+c)/2 = s とおく。
⊿ABC = ⊿ABA" + ⊿ACA"
= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2)
= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc}
≧ AA" √{(s-b)(s-c)}, (相加相乗平均)
∴ ヘロンの公式から
AA" ≦ ⊿ABC /√{(s-b)(s-c)}
= √{s(s-a)}
= (√3) √{(s/3)(s-a)}
≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2 (相加相乗平均)
= (√3){(2/3)s -a/2},
循環的にたすと
AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s,
等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c.
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39
396:１３２人目の素数さん
09/08/15 01:37:47
∧＿∧
( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
397:１３２人目の素数さん
09/08/15 02:35:00
516:大学への名無しさん[]
2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO
みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？
そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。
398:１３２人目の素数さん
09/08/15 03:12:26
褒美だ！
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！
くく へﾍﾉ ←>>397
399:１３２人目の素数さん
09/08/15 15:29:22
>>376は？
400:１３２人目の素数さん
09/08/15 18:16:10
x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。
2文字消去して定義域出して微分して解析、
という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。
誰かかっこよく頼む。
401:１３２人目の素数さん
09/08/15 19:30:08
>>400
x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また，
x^3 + y^3 + z^3
= 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x)
= 3s + 25
なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには，
X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい．
３次方程式の判別式より
D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176)
よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12．
よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11
３次方程式の判別式はアンチョコつかった．
402:１３２人目の素数さん
09/08/15 19:30:26
そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い
403:401
09/08/15 19:32:29
最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。
404:１３２人目の素数さん
09/08/15 20:23:11
>>401
アンチョコって？
405:１３２人目の素数さん
09/08/15 20:34:54
>>404
覚えてないからメモを見たってことでしょ
406:１３２人目の素数さん
09/08/16 06:33:24
f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする
(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))
407:１３２人目の素数さん
09/08/17 02:02:15
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7
よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9
t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと
{t[n]}の漸化式が得られる.
408:１３２人目の素数さん
09/08/17 05:15:05
>>400
x=kとおくと
y+z=1-k また
x(y+z)+yz=-8より
k(1-k)+yz=-8
k(1-k)+y(1-k-y)=-8
y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0
yが実数解を持つには
(1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0
-3≦k≦11/3 よって
-3≦x,y,z≦11/3
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
=1+16=17
x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
=25+3xyz
=25-3x(xy+zx+8)
=25-3x{xy+(1-x-y)x+8}
=25-3x(x-x^2+8)
=3x^3-3x^2-24x+25
xの範囲より最小値-11最大値779/3
409:１３２人目の素数さん
09/08/17 05:33:58
>>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25
よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9
410:１３２人目の素数さん
09/08/17 06:12:35
>>407>>409
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
ここの論理って、どういう過程？
411:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:07:19
易問にいつまで関わるん？
412:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:19:27
>>410
xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)．
kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる．
そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)．
413:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:19:36
>>411
いいから黙ってろ！
屁かますぞ！
414:１３２人目の素数さん
09/08/17 18:14:00
なるほど。Thx
415:１３２人目の素数さん
09/08/18 13:50:42
かまして！
416:１３２人目の素数さん
09/08/19 01:35:11
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>415
417:清書屋
09/08/20 23:03:27
>>400
x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s, ･･･････ (1)
だから、sの最大・最小を求めればよい。
X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S
ここに
B = b - (1/3)a^2,
S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3,
判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2,
∴ D ≧0 となる条件は
-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2), B<0,
-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2),
よって (1) から
(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2),
418:１３２人目の素数さん
09/08/21 02:41:25
正の実数a,b.cについて
Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2}
419:１３２人目の素数さん
09/08/21 03:07:09
自分で解けくず
420:宮川ダイスケ
09/08/21 09:10:35
なんもかんがえなくとも、
x,yを中心にかんがえ、
x+y=1-z
xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、
x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。
最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z)
あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる
421:１３２人目の素数さん
09/08/21 22:24:15
>>417
等号条件は
左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)},
右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)},
422:１３２人目の素数さん
09/08/22 23:11:22
>>417 の一般解
(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S,
を 2(-B/3)^(3/2) で割ると
4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)},
となる。ここに
ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)],
ところで右辺は、実根条件から
D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0,
-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1, (B<0),
よって
S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ), 0≦σ≦π
を満たす σ がある。
4ξ^3 - 3ξ = cos(σ),
∴ ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3),
∴ {x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)},
s を動かしても σ しか動かない。 >>417
423:１３２人目の素数さん
09/08/23 07:37:37
√ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ]
の最小値を求む
424:１３２人目の素数さん
09/08/23 08:32:45
べく
425:１３２人目の素数さん
09/08/23 22:56:37
普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2
426:１３２人目の素数さん
09/08/24 01:42:44
複素係数の1変数代数方程式
z^m＋∑[j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0
の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす．
427:１３２人目の素数さん
09/08/25 18:56:29
>>423
軸を45ﾟ回す。
x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2,
(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2,
よって
√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|,
√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|,
辺々たす。
(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2,
428:１３２人目の素数さん
09/08/25 19:24:27
>>418
y=√x は上に凸だから
√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)},
√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)},
√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)}
= 3√{2(st-u)}
≦ 3√{2(st-u + F_1)}
= 3√{2(s^3 -3st +8u)}
= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)},
ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
ジャマイカ?
429:１３２人目の素数さん
09/08/25 19:36:42
>>427
u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？
430:１３２人目の素数さん
09/08/25 21:20:44
>>426 の証明をお願いします
431:１３２人目の素数さん
09/08/26 00:05:45
>>426,430
Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと
|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m} (|z|≠M)
≦ {M/(|z|-M)}|z|^m,
いま |z| > 2M と仮定すると、
M/(|z|-M) < 1
となり、題意を満たさない。
∴ 題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M.
432:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:51:39
|z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？
433:１３２人目の素数さん
09/08/27 22:23:19
| x | < π / 2 のとき
cosh x ≦ sec x
434:１３２人目の素数さん
09/08/27 22:49:41
>>433
cosh x * cos x ≦ 1
微分して楽勝
435:１３２人目の素数さん
09/08/28 01:29:26
誰と戦ってるんだ
436:１３２人目の素数さん
09/08/28 01:56:12
>>435
見えざる敵
437:１３２人目の素数さん
09/08/28 08:15:26
>>435
数学との戦い
438:１３２人目の素数さん
09/09/01 08:36:45
x,y,z＞0のとき
x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ．
439:１３２人目の素数さん
09/09/01 11:14:31
愚問
440:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/09/01 11:50:02
そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、
大昔にどっかで見た事がありますよ。
コレを愚問っちゅうんだったらですね、
それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。
大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！
そやけんどそんな事は出来ひんやろ！
そやし、どないすんねん？
441:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:09:34
>>438
相乗平均相加平均より
xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz
よって
x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz
=(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0
から題意の不等式を得る
そんな愚問か？
442:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:19:48
途中の不等号逆じゃね？
443:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:29:28
あーホントや
444:１３２人目の素数さん
09/09/01 15:31:49
444
445:１３２人目の素数さん
09/09/06 16:40:10
>>433
cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)},
cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)},
cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)},
ところで
exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k,
であった。
1±i = (√2)exp(±(π/4)i),
-1干i = (-1)･{ 〃 },
より
(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{ 〃 },
辺々たして
(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4) {kが4の倍数 or 0 のとき}
= 0, {その他}
cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j)
= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････,
交代級数となるから 2項づつまとめて
cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････
< 1, (|x|<π/2)
微分しなくても楽勝
微分方程式 y "" = -4y の解
446:１３２人目の素数さん
09/09/08 04:23:36
0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき
(a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める
447:１３２人目の素数さん
09/09/10 16:43:32
>>446
問題それであってるの？
（わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、
）
最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、
448:447
09/09/10 16:48:44
あ、とちゅうで送信してしもうた。
＝＝＝＝
bをx,qをyって書き換えると、
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの
(x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。
a,bを定数とまずみなすと、
xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる）
だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる）
あとは、a,pの計算。
449:447
09/09/10 16:51:17
typo
＞a,bを定数とまずみなすと、
じゃなくて、
a,p...
450:１３２人目の素数さん
09/09/10 20:27:20
そう簡単にはいかないでしょ
451:１３２人目の素数さん
09/09/10 21:39:47
>>446
|a|=A, |p|=P とおく。
・0 ≦ A ≦ P ≦ 1 のとき
(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-a^2)^2 (等号は b=1-a^2, q=0 のとき)
≦ (1+A)^2 + (1-A^2)^2 (等号は p=-Sgn(a) のとき)
= 4 -(1-A)(2 +A^2 +A^3)
≦ 4, (等号は A=1 のとき)
・0 ≦ P ≦ A ≦ 1 のとき
(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-p^2)^2 (等号は b=0, q=1-p^2 のとき)
≦ (1+P)^2 + (1-P^2)^2 (等号は a=-Sgn(p) のとき)
= 1 - (1-P)(2 +P^2 +P^3)
≦ 4, (等号は P=1 のとき)
452:１３２人目の素数さん
09/09/15 06:55:45
正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる
△ABCの面積が最大となるには
3点A,B,Cをどのようにとればよいか
453:１３２人目の素数さん
09/09/15 07:03:19
>>452
簡単な例文。
【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】
より
【子供たちとの草サッカー】
の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまう知的土人のまじない師どもが日夜アホダラ教を唱えるサル・パラダイス日本
454:１３２人目の素数さん
09/09/17 22:52:24
>>452
{A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は
△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ),
Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。
∴ Xは頂点にあるとしてよい。
他の点についても同様。
本問では 正5角形だから
{A,B,C} = {2π/5,2π/5,π/5} のとき
455:454
09/09/17 23:59:36
訂正
△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２,
{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5} もあるが、>>454 より小さい。
456:１３２人目の素数さん
09/09/18 00:17:15
>>453
唱えるならアホダラ経ぢゃね？
URLﾘﾝｸ(dictionary.goo.ne.jp)あほ/
URLﾘﾝｸ(dic.yahoo.co.jp)あほだらきょう
URLﾘﾝｸ(love.ap.teacup.com)
URLﾘﾝｸ(www.sutemaru-manzai.com)
457:１３２人目の素数さん
09/09/18 00:19:18
2n+1角形に拡張出来そうでつね
458:１３２人目の素数さん
09/09/18 06:03:30
(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか
(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか
459:１３２人目の素数さん
09/09/18 11:24:43
0<df(x)/dx<f(x)<∫_(-1,x) f(t)dt, (x∈(-1,1))となるf∈C^1(-1,1)
460:１３２人目の素数さん
09/09/19 09:43:56
0<f
かつ
f∈C^1(-1,1)
ならば
0<f<∫_(-1,・) f(t)dt
は自明だから
0<df/dx<f
さえ満たせば良い
従って
解全体の集合∈{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}
であり
逆に
{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}
に属する関数は
0<df/dx<f<∫_(-1,・) f(t)dt
を満たすから
解全体の集合={f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x}
461:１３２人目の素数さん
09/09/19 14:10:00
>>460
＞0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから
これは間違い。f<∫_(-1,・) f(t)dtという不等式は
「グラフの高さ＜グラフの面積」という不等式なので、
原点でのグラフの高さに比べて面積が異常に小さい関数を
選べば、x＝0においてこの不等式は破綻する。
実際、a＞0としてf(x)＝e^(-x^2/a)とおけば、aが十分小さいとき
f(0)＜∫_(-1,0) f(t)dt が成り立たないことが証明できる。
462:１３２人目の素数さん
09/09/20 00:02:19
〔問題〕(Shapiro-type)
正の数 a_k に対して次を示せ。
a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + ･･････ + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.6
･ご参考
n/3 [初代スレ.497(2), 501-502]
n/4 [ASU, 1969.14]
463:１３２人目の素数さん
09/09/20 00:24:25
>>462
(略証)
問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より
a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)],
b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)],
それぞれ 0.3 と 0.7 を掛けて加えると、
0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + 1.4c/(d+e) - {0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1}
> 0.3(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + 0.7(c^2)/[(c+d)(d+e)]
> {0.3(b^2 +cd)d + 0.7(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
> {(0.2b^2 + 0.3cd)d + (0.4b + 0.7c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
= {0.4c(b+c)(c+d) + 0.2(b-c)^2･d + 0.3c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
> 0.4c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)]
= 0.4c/(d+e),
∴ 0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + c/(d+e) ＞ 0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1,
循環的に加えて
2.6Ｓ > (0.3 + 1 + 0.7)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n
> (0.3 + 1 + 0.7)n - n (← 相加・相乗平均)
= 2n - n = n.
∴ Ｓ > n/2.6
ぬるぽ
･Shapiro 巡回不等式 関連レス
[第２章.284-285]
[第３章.172-173, 218-220]
464:１３２人目の素数さん
09/09/20 00:47:13
>>463
もっとギリギリの評価はありますか？
465:１３２人目の素数さん
09/09/20 04:18:41
>>464
ギリギリかどうか知らないけど
(462の左辺) > λ･n,
λ = 0.4976175155670･･･
というのがあるらしい。
(求め方)
点(0,1)を通る2つの関数
y1: y = e^(-x),
y2: y = 2/{e^x + e^(x/2)},
の function convex hull (共通接線?) を曳く。
y = φ(x) = φ(0) + m･x,
m = -0.903980192855258
λ = (1/2)φ(0) = 0.4976175155670･･･
y1 との接点は (log(-m), -m)
y2 との接点は (-0.524821743429450･･･, 1.469663491974050･･･)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
466:１３２人目の素数さん
09/09/20 05:45:31
>>464
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
元ギリギリ...
467:１３２人目の素数さん
09/09/20 12:43:13
>>465
サンクス．
直観的にはn＝0.5とかいけそうですけど駄目なんでしょうね．
468:１３２人目の素数さん
09/09/20 14:49:37
>>466
予想通り
469:１３２人目の素数さん
09/09/20 22:46:30
>>468 = アホ
URLﾘﾝｸ(fc23.blog63.fc2.com)
470:463
09/09/20 23:20:46
>>462 (改良版)
問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より
a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)],
b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)],
それぞれ 5/14 と 9/14 を掛けて加えると、
(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (9/7)c/(d+e) - {(5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1}
> (5/14)(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + (9/14)(c^2)/[(c+d)(d+e)]
> {(5/14)(b^2 +cd)d + (9/14)(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
> {(1/7)db^2 + (5/14)cd^2 + (4/7)bc^2 + (9/14)c^3}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
= {(3/7)c(b+c)(c+d) + (1/7)(bc^2 +cd^2 +db^2 -3bcd) + (3/14)c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)]
> (3/7)c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)]
= (3/7)c/(d+e),
∴ (5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (6/7)c/(d+e) ＞ (5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1,
循環的に加えて
(18/7)Ｓ > (5/14 + 1 + 9/14)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n
> (5/14 + 1 + 9/14)n - n (← 相加・相乗平均)
= 2n - n = n.
∴ Ｓ > (7/18)n = n/2.57143
ぬるぽ
471:１３２人目の素数さん
09/09/21 02:51:05
自民：ぶれている
民主：柔軟/現実路線
自民：独裁だ/まるでヒトラー
民主：豪腕だ/リーダーシップがある
自民：統率力がない
民主：開かれている
自民：強行採決
民主：迅速採決
自民：劇場型選挙/刺客戦略
民主：高等な選挙戦術/上手い候補者選び
自民：派閥政治
民主：グループ（しかも緩やかな集まりでサークル活動みたいなもん・ｂｙ鳥越俊太郎）政治
自民：格差社会を象徴する首相私邸
民主：華麗なる一族
自民：閣内不一致
民主：閣内に温度差
472:１３２人目の素数さん
09/09/21 06:25:16
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
(1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき
473:１３２人目の素数さん
09/09/21 15:16:45
正の実数 a ，b ，c に対し，不等式
3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9
が成り立つことを示せ．
凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである．
このとき不等式
AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF
が成り立つことを示せ．
474:１３２人目の素数さん
09/09/21 16:52:32
0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき
{( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) }
の最大値を求めよ
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
475:１３２人目の素数さん
09/09/21 21:28:13
>>472 (1)
Pより右にあるA点の数 ＞ Pより左にあるのA点の数 ⇒ Pを右へずらす。
Pより右にあるA点の数 ＜ Pより左にあるのA点の数 ⇒ Pを左へずらす。
したがって
nが奇数のとき、P = A[(n+1)/2] (Median)
nが偶数のとき、線分 A[n/2]-A[n/2 +1] 上の点。
>>473 (上)
1/4 + 15a/{4(a+4b)} = (4a+b)/(a+4b) = 4 - 15b/(a+4b),
1/4 + (15/16)a/(a+b+c) < (4a+b)/(a+4b) < 4 - (15/4)b/(a+b+c),
循環的にたす。
3/4 + 15/16 < (与式) < 12 - 15/4,
(便法)
0<y≦x ⇒ 1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4,
0<x≦y ⇒ 1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1,
から 3/2～9。
>>474 (上)
∑(逆順序積) ≦ ∑(乱順序積) より
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ s(1-s/3), s=x+y+z, 0≦s≦3
∴ x=y=z (体対角線) 上で最大となる。
(与式) = s/3 + √{s(1-s/3)}
= (1/3){(s - 3/2) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3))} + 1/2
≦ (2/3)√{(s - 3/2)^2 + 3･s(1-s/3)} + 1/2 (← コーシー)
= (2/3)√(9/4) + 1/2
= 1 + 1/2
= 3/2,
等号成立は s=9/4 のとき。
476:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:00:13
>>473 (上)
1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b),
と
a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0,
から
3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式),
3 ≦ (与式),
等号成立は a=b=c のとき。
477:１３２人目の素数さん
09/09/22 02:23:15
>>473 (下)
ADとBEの交点をXとする。
頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟ の二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。
AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ),
AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2 ･････････ (*)
同様に
DE > (DX + EX)/2,
∴ AB + DE > (AX + DX)/2 + (BX + EX)/2 = (AD + BE)/2,
同様に
BC + EF > (BE + CF)/2,
CD + FA > (CF + DA)/2,
辺々たすと求める式を得る。
*別法
AB^2 = AX^2 + BX^2 -AX･BX = (1/4)(AX + BX)^2 + (3/4)(AX - BX)^2 ≧ (1/4)(AX + BX)^2,
AB ≧ (1/2)(AX + BX),
478:１３２人目の素数さん
09/09/22 02:57:49
区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき
∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx
の大小を比較せよ
実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件
f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ )
を満たす . このとき
f ( x ) ≧ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≧ 0 )
f ( x ) ≦ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≦ 0 )
となることを示せ
全ての実数 x に対して
x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + ( 21 / 64 ) > 0
となることを示せ
479:１３２人目の素数さん
09/09/22 07:16:18
>>478
真中
{f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)－f(x)}’≧－{f’(x)－f(x)}
g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)－f(x) とおくと
{e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)－g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0
x≧0 のとき
e^(-x) g(x)－g(0)≧0，e^x h(x)－h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，－h(x)≧－e^(-x) h(0)
f(x)＝(g(x)－h(x))/2
≧[e^x {f’(0)＋f(0)}－e^(-x) {f’(0)-f(0)]]/2
＝f(0) cosh(x)＋f’(0) sinh(x)
x≦0 のときも同様。
簡単でないかい？
480:１３２人目の素数さん
09/09/22 07:42:03
>>478
下
f(x)＝x^4－x^3＋x^2－x＋21/64 とおく
f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2－6x＋2＞0
より f(x) の極値は 極小値 1個のみ
x＝a で極小値をとるとすると
f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61
f(a)＝(a/4-/16) f'(a)＋5a^2/16-5a/8+17/64＝5a^2/16-5a/8+17/64
g(x)＝5x^2/16-5x/8+17/64 とすると g(x) は0＜x＜1 で単調減少
g(0.61)＞0 より g(a)＞0
481:１３２人目の素数さん
09/09/22 08:57:18
>>478 (上)
(略証)
(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。
相乗･相加平均より
{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)∑[k=1,n] f(x_k),
⊿x = 1/n として、
∴ ∑[k=1,n] log{f(x_k)}⊿x ≦ log{∑[k=1,n] f(x_k)⊿x},
ここで n→∞ (⊿x→0) とする。
>>480
(蛇足)
f '(x) = 4x^3 -3x^2 +2x -1 = 4X^3 +(5/4)X -(5/8),
ここに X = x - 1/4,
a = (1/4){1 + [(20/9)√6 +5]^(1/3) - [(20/9)√6 -5]^(1/3)}
= 0.6058295861882680209909387311570･･･
482:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:53:42
>>478 (下)
X = x - 1/4 とおく。
(左辺) = x^4 - x^3 + x^2 - x + (21/64)
= X^4 + (5/8)X^2 - (5/8)X + (33/256)
= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)X^2 - (5/8)X + (33/256)
= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)(X - 5/14)^2 + (3/1792)
> 3/1792,
感嘆で内科医？
483:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:40:22
>>478 (下)
y=f(x) は下に凸で、ただ1つの極小点aは 0.6<a<0.61 >>480
･ x≦0.605 のとき
x=0.6 で接線をひく。
f(x) ≧ f(0.6) + f '(0.6)･(x-0.6)
= 0.001725 - 0.016(x-0.6)
≧ 0.001645
･ x≧0.605 のとき
x=0.61 で接線をひく。
f(x) ≧ f(0.61) + f '(0.61)･(x-0.61)
= 0.00170241 + 0.011624(x-0.61)
≧ 0.00164429
>>482
肝胆で内科医
邯鄲で無い海
484:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:31:51
>>480
f(x) の最小値は
f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･
485:１３２人目の素数さん
09/09/23 01:59:33
x を正の実数 , n を正の整数とするとき
[ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )
となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す
486:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:32:38
>>472
(2)は某所に答えあった
487:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 05:19:01
>>485
n=1のとき、
左辺も右辺も両方とも、[x]になって、
[x] > [x] ・・・＞ありえない。
になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？
488:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 05:29:19
>>472
(3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。
489:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:31:59
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
x を正の実数 , n を正の整数とするとき
[ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k )
となることを示せ
ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す
490:１３２人目の素数さん
09/09/23 22:31:16
>>489
前半は入試問題
491:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:31:27
実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4
を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。
492:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:10:09
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．
493:１３２人目の素数さん
09/09/27 05:41:58
>>490
大数の宿題
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
494:猫は珍獣 ◆ghclfYsc82
09/09/27 09:52:56
空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ
何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを
わざと放擲してるからや。
空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の
敵やからな。
猫
495:１３２人目の素数さん
09/09/27 19:45:09
>>491
相加･相乗平均より {あるいは >1 と <1 で場合分けして}
1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0,
1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0,
よって
x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5),
y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たすと
x^5 + y^5 ≦ 2 + 5(x^6 -x^5 + y^5 -y^4) ≦ 2, (← 題意)
496:１３２人目の素数さん
09/09/28 05:26:30
>>495
同じことだが、
x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5,
y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4,
よって
x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5),
y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4),
辺々たす、だな。フムフム･･･
497:１３２人目の素数さん
09/09/28 14:27:15
>>489 (下)
S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx])
= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x])
≧ 0,
とおくと
(左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k
= … …
= (1/(n+1))Σ(k=0,n) ([nx] - [kx] - [(n-k)x]) + Σ(0<i+j≦n) (2/(i+j)(i+j+1))([(i+j)x] - [ix] - [jx])
= S_n + Σ(k=1,n) S_k /k
≧ 0,
ぬるぽ
498:１３２人目の素数さん
09/09/28 18:02:17
>>497
【補題】
[y+z] ≧ [y] + [z],
(略証)
y = [y] + {y},
z = [z] + {z},
∴ [y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1),
499:１３２人目の素数さん
09/09/29 23:03:28
>>496
x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5,
y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4,
だな。
500:１３２人目の素数さん
09/09/30 00:03:19
R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ
って宿題が出ました
どこをどう示せばいいか分かりません
501:１３２人目の素数さん
09/09/30 00:51:24
>>500
x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の
集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは
502:未解決？
09/09/30 07:08:32
I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
ただし，M は f に無関係な定数とする．
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ
同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある
点Pが以下の位置にあるとき
ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか
(2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき
(3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき
(1)
0<x<e，α=e-x，β=e+x
α^βとβ^αどちらが大きいか
(2)
0<x<1，α=ex，β=e/x
α^βとβ^αどちらが大きいか
f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする
(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))
α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする
ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾βの大小関係を答えよ
p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：
∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).
F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ
503:１３２人目の素数さん
09/09/30 13:39:35
＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ
0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して
(1－x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt
が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから
∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x
である。これらを用いて
F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt
を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから
x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり
F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt
が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。
504:１３２人目の素数さん
09/09/30 14:23:51
＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | )
＞ただし，M は f に無関係な定数とする．
簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。
A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。
a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって
f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x－a)＋f ' ' (θ)(x－a)^2/2
とできる。x≠aのとき、両辺を(x－a)で割って変形して
f ' (a)＝(f (x)－f (a))/(x－a)－f ' ' (θ)(x－a)/2
となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a|/2となる。
ここで更にt＝|x－a|/2 とおけば
|f ' (a)|≦A/t＋tB …(*)
となる。aを固定したままでxを[0,1]－{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t＜1 (a＝0,1)
0＜t≦max{ |a| , |1－a| }/2 (a≠0,1)
である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって
1/4≦max{|a|,|1－a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも
0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の
範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、
tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。
505:１３２人目の素数さん
09/09/30 14:30:43
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
訂正します(＾o＾)
aを固定したままでxを[0,1]－{a}の範囲で任意に
動かすとき、tの動く範囲は
0＜t≦1/2 (a＝0,1) (←これが正しい)
0＜t≦max{ |a| , |1－a| }/2 (a≠0,1)
である。
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
504の続き：
そこで、t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} と置いてみる。このtは0＜t≦1/4
を満たしている(A≠0だからt≠0であることに注意)ので、このtに対して
(*)が成り立つ。このとき
(*)の右辺＝4√{A(A＋B)}＋(1/4)B√{A/(A＋B)}
≦4√{A(A＋B)}＋(1/4)(A＋B)√{A/(A＋B)}
＝(4＋1/4)√{A(A＋B)}
となるので、結局、|f ' (a)|≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}…(**)となる。
これが任意のa∈[0,1]で成り立つから、max [I] | f’(x) |≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}
となり、両辺を2乗して題意の不等式を得る。
506:１３２人目の素数さん
09/10/01 16:52:28
>>504-505
流石にこのスレはレベルが高いですね．
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
どうやって思いついたのですか？
とりあえず 2A/|x－a|＋B|x－a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)}
の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？
507:１３２人目の素数さん
09/10/01 19:00:08
>>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました．
文字は>>504-505 さんのものを使用します．
x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする．
{f(x)－f(a)}/(x－a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在
|f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x－a|≦2A/|x－a|．．．①
f’(c)－f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より
|f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c－a| B≦|f’(c)|＋B|x－a| ．．．②
①，② より |f’(a)|≦2A/|x－a|＋B|x－a| ．．．③
( i ) 0≦a≦1/2 のとき
x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で ③ より
|f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)}
( ii ) 1/2≦a≦1 のとき
( i ) とまったく同様
508:１３２人目の素数さん
09/10/02 19:14:40
>>506
＞どうやって思いついたのですか？
この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、
証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾)
ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で
やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。
何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が
見えにくいから。でも、テーラー展開しておけば一瞬で見える。
それで、504～505の形で書いた。
＞t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが，
何も分かってない！そこは肝でも何でもない。
表面的な技巧に目が行って本質が見えてない。
504～505では、行数の節約のために、本にならって
t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}と置いたが、こんな技巧的な操作は
本来は必要なくて、(*)まで行ければ何をしたって証明できる。
つまり、肝は(*)の不等式だ。
509:１３２人目の素数さん
09/10/02 19:33:14
もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば
||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' || …(★)
という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、
相加相乗平均から。
あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば
Bt^2－|f ' (a)|t＋A≧0
と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して
同じく(★)の不等式が得られる。
ここまで来ればもう分かると思うが、この手法はコーシー・シュワルツの
不等式の証明と同じものなのだ。そういう理解をしなければいけない。
ある文字について二次の多項式になっていれば、そこには
コーシー・シュワルツの手法が使える可能性があるのだ。
今回は、f(x)をaのまわりで2次までテイラー展開すれば、
「|x－a|」 について二次の多項式になっているのだ。
しかし、>>507の書き方だと、二次の多項式で書けることが
見えないのだ。
510:１３２人目の素数さん
09/10/02 19:50:27
で、一応
＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508)
の詳細も書いておく。
今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。
ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。
g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。
以下、簡単のためB≠0とする。
√(A/B)≦1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は2√(AB) (t＝√(A/B))
なので、このtを(*)に代入して|f ' (a)|≦2√(AB)
となり、よって(★)の不等式を得る。
√(A/B)＞1/4のとき：
0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は4A＋B/4 (t＝1/4)なので、
t＝1/4を(*)に代入して|f ' (a)|≦4A＋B/4 を得る。
あとは、4A＋B/4≦C√{A(A＋B)} を満たす定数Cが存在することが言えればよい。
変形して(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}≦Cとなるから、要するに左辺が有界ならよい。
で、√(A/B)＞1/4だったからB＜16Aであり、
(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}＜(4A＋4A)/√{A(A＋B)}＝8√{A/(A+B)}≦8
となって、C＝8と置けばいい。
(B＝0の場合が残っているが、これも泥臭く計算すれば出る。)
511:１３２人目の素数さん
09/10/02 21:59:37
質問です
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｐｘｙ－２ｑｙｚ－２ｒｚｘ≧０
となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める
ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）
が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ－シー・シュワルツの不等式を使わずに）
ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする
任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに
（ｐｘ＋ｑｙ＋ｒｚ）＾２＋Ｋ（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２－２ｘｙ－２ｙｚ－２ｚｘ）≧０
が成立する最大な正数Ｋをｐ、ｑ、ｒで表す
お願いします
512:507
09/10/03 00:11:41
「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました．
平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を
使う限り自ずと出てくるものだと思います．
|f ' (a)|≦A/t＋tB がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され
結果的に解けます．
僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}
という値が出てきたか知りたかった訳です．
後，、｢|f ' (a)|≦A/t＋tB まで行ければ何をしたって証明できる。｣とありますが，
|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも
思いますが．
513:507
09/10/03 00:22:30
僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり，
いくらでも小さくなれるので，
A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて
（p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました．
514:１３２人目の素数さん
09/10/03 00:51:01
>>512
＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました.
個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは
原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに
繋がるとは限らない。
＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが．
それは俺の書き方が悪かったかもしれない。
少なくともt＝(1/4)*√{A/(A＋B)}を(*)に代入すれば題意の不等式は
出るのだから、(*)の時点で評価が甘いということは無いわけだ。
これを踏まえた上で「何をやっても証明できる」と書いた(天下り的な感じ)。
515:１３２人目の素数さん
09/10/04 09:41:00
>>376, >>502(7)
1/(t^p + 1) = x とおくと、
t = (1/x - 1)^(1/p),
p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx,
(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx
= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx
= Ｂ(1 -1/p, 1/p)
= Γ(1 -1/p)Γ(1/p) / Γ(1)
= π/sin(π/p),
等式の希ガス…
516:１３２人目の素数さん
09/10/04 10:08:33
>>406 , >>502(5)
x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = ⊿x_i >0, ととる。
f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より
Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
ここで Max{|⊿_i|; 1≦i≦n} → 0 を満たすように n→∞ とする。
(応用例)
>>478 (上), >>481
517:１３２人目の素数さん
09/10/04 10:18:51
>>516 訂正…
Σ[i=1,n] f(g(x_i))⊿x_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)⊿x_i /(b-a) ),
518:１３２人目の素数さん
09/10/04 11:53:57
>>472 , >>502 [3]
点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。
∵ 点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。
∴ (2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。
519:１３２人目の素数さん
09/10/04 20:34:50
x,y≧0,x+y=1のとき
(x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。
520:１３２人目の素数さん
09/10/04 22:32:25
>>514
いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。
521:１３２人目の素数さん
09/10/05 01:05:53
>>519
4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3)
≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3)
= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3)
≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3),
最小値 1/4, 等号成立は x=y のとき。
(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0,
最大値 1, 等号成立は xy=0 のとき。
522:１３２人目の素数さん
09/10/05 20:10:07
>>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m),
523:１３２人目の素数さん
09/10/08 03:20:04
鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ
2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC)
sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4}
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
より
524:１３２人目の素数さん
09/10/08 09:25:06
>>519
>>521 で答えでてるけど、別解。
丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？
（てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ）
x^5 + y^5
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y)
= (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2
= (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2
= (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2
∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫
また、
x^3+y^3
= (x+y)^3 - 3xy(x + y)
= 1 - 3xy
ゆえに、
与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫
（※a=xyとおいた。
ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、
≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0
∴ 0<=a<=1/4 ）
つづく。。。。。。。。。。。。。
525:524
09/10/08 09:26:32
このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。
また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。
ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。
よって、≪２≫より、
与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4
（※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき）
与式の最大値は、a=0のとき（※）、1
（※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき）
====
告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ
526:１３２人目の素数さん
09/10/08 23:00:11
>>519
〔類題〕
x,y≧0、0≦m≦n のとき
(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m),
{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m),
・参考
>>136 , [初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式
527:１３２人目の素数さん
09/10/09 04:01:26
>>525
宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理Ⅰ志望。
空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!!
528:１３２人目の素数さん
09/10/09 11:46:34
>>502 (4)
β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。
便宜上 (2) を先に解く。
0<x，α=ex，β=e/x のとき
(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt,
(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt,
辺々引いて
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt,
ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0 だから、
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終)
〔系〕
0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき
(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。
(1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2 だから、(系) により成立する。
529:１３２人目の素数さん
09/10/09 15:37:38
>>389 , >>502 (6)
f(x) = (1/x)log(x),
は x=e に極大をもち、両側で単調だから
f(x) ≦ f(e) = 1/e,
f(π) < 1/e,
∴ π^(1/π) < e^(1/e),
∴ α = e^π > π^e = β,
∴ π^α > π^β, e^α > e^β,
問題は π^β > e^α であるが、これと同値な
β･log(π) > α,
を示そう。
e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7,
π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8,
π > e^(8/7),
log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8),
β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) ,
辺々かけて
β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α,
530:１３２人目の素数さん
09/10/09 15:47:28
ふぅ・・・
531:１３２人目の素数さん
09/10/09 18:00:26
>>511
(上)
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ 1, -p, -r ]
[-p, 1, -q ]
[-r, -q, 1 ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0,
の根がすべて非負。
・ 3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0, 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0,
(中)
a = √(x^2 +y^2), b = √(y^2 +z^2), c = √(z^2 +x^2),
とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。
∴ これは 条件付きの不等式である。
(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。 >>221
(下）
・問題の２次形式が半正値。
・行列
[ p^2 +K, pq -K, pr -K ]
[ pq -K, q^2 +K, qr -K ]
[ pr -K, qr -K, r^2 +K ]
の固有値がすべて非負。
・固有多項式
t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2,
の根がすべて非負。
・ 0 ≦ K ≦ pq+qr+rp,
532:１３２人目の素数さん
09/10/10 17:35:58
>>511 (上), >>531 (上)
0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr >>531
= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2
= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2
= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2,
から
(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0,
(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0,
(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0,
よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。
したがって
(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0, >>531
⇔ 1-p^2 ≧ 0, 1-q^2 ≧ 0, 1-r^2 ≧ 0,
⇔ |p|≦1, |q|≦1, |r|≦1,
・参考書[3]の第1部 例題１．
533:１３２人目の素数さん
09/10/11 10:54:36
>>523
出題元の解答は･････
〔補題〕 A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(上)
min{A,B,C} = C とすると 0<C≦π/3 より,
2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから
(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)}
= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C)
= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C),
> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C) (←補題)
= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C)
= 2 -sin(C) -cos(C)
= 2 -(√2)sin(C + π/4)
≧ 2 - √2
> 1/2 [93] by シタカンダ
(下)
min{A,B,C} = C とする。 0<C≦π/3,
(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C)
= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C)
> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C) (←補題)
= 1 + cos(C) + sin(C)
≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C (←cos(x)+sin(x)は上に凸)
= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C
= 2 + 0.349528513857C,
= 2 + (1/3)C, [96] by だるまにおん
534:１３２人目の素数さん
09/10/11 10:57:12
>>523
〔補題〕
A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2),
(略証)
A-B < (π-A) - B = C,
B-A < (π-B) - A = C,
∴ |A-B| < C, (終)
535:１３２人目の素数さん
09/10/12 01:34:46
(1)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
(2)
θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき
15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2
の最大値を求めよ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
より
536:１３２人目の素数さん
09/10/12 02:59:02
>>438
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
らしい
537:１３２人目の素数さん
09/10/12 05:41:07
>>523 の〔類題〕
・1≦K≦√3 のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1),
・0≦K≦1のとき
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C,
(略証)
0≦K≦√3 と C≦π/3 より
cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0,
sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C),
sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)},
ところで、 C≦π/3 より
1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2,
(終)
538:１３２人目の素数さん
09/10/13 21:14:11
>>535 出題元の解答は…
〔補題〕
|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2),
(略証)
{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終)
(1)
(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2},
(2)
(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2
= 3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ)
= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ)
≦ 25,
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
539:１３２人目の素数さん
09/10/16 03:13:04
△ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると
不等式
x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L
が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると
9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R
が成立する
α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ
また , 実変数の場合はどうか
| ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2
( 数学セミナーより )
540:１３２人目の素数さん
09/10/16 03:15:51
フェラチオ＞シックスナイン
541:１３２人目の素数さん
09/10/16 16:16:19
フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、
この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。
いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、
単射э全単射といえることから
フェラチオ э シックスナイン
であると言える。
542:１３２人目の素数さん
09/10/16 16:17:31
ｗ
543:１３２人目の素数さん
09/10/17 02:14:08
age
544:１３２人目の素数さん
09/10/17 04:22:24
>>539
(上) >>394-395
(下) 実変数のときは、 (与式) ≦ 0.397747488･･･,
等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1
かな？
545:１３２人目の素数さん
09/10/17 10:03:31
△ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、
√(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R))
を示せ。
546:１３２人目の素数さん
09/10/17 15:16:14
>>539
(下) 実変数のとき
最大値 9/(16√2) = 0.397747564････
α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1)
= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1
のとき
547:546
09/10/18 06:00:35
>>539 (下) (546の続き)
・複素変数のとき
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†)
= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16,
等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。
・実変数のとき
βはαとγの中間にあるとする。
|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|, ･･････ (*)
よって
3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2
≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← 相加･相乗平均)
≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 (← *)
≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2), (← 相加･相乗平均)
∴ (与式) ≦ 9/(16√2),
等号成立は |α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき,
α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1
548:547
09/10/18 06:50:01
>>539 (下) (547の続き)
・非負変数のとき
min{α,β,γ} = m ≧0, {α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。
|⊿| = xy(x+y),
α+β+γ = 3m +2x +y,
|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2),
(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2
= |⊿|･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2
≧ |⊿|･(α+β+γ),
(与式) ≦ 1/4,
等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。
549:１３２人目の素数さん
09/10/18 22:20:46
>>538 (2) 訂正
(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2
>>548
⊿ = (α-β)(β-γ)(γ-α), とおきますた(差積)。
等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1 及びその入れ換え。
550:１３２人目の素数さん
09/10/19 03:59:44
蒼井そら
551:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:10:33
URLﾘﾝｸ(www.551horai.co.jp)
551蓬莱
552:１３２人目の素数さん
09/10/20 02:11:34
>>550
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)河合曾良
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)河合曾良
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ギャグマンガ日和
553:１３２人目の素数さん
09/10/21 01:00:05
|cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2
554:１３２人目の素数さん
09/10/23 21:53:39
>>553
-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1,
φで積分して
-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,
φで積分して
-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2,
あるいは平均値の定理から
f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ), 0<k<1,
ただし、f(φ) = cos(θ+φ),
555:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:24:55
>>502 の解答
(1) >>504-510 (2) 未 (3) >>518 (4) >>528 (5) >>516-517 (6) >>529 (7) >>515 (8) >>503
556:１３２人目の素数さん
09/10/24 02:53:56
問1
1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7
ただし
√ 2 = 1.414･･･
とする
問2
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
問3
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )済
e < 2.721
( 2 )済
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
問4
四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき
L / V ^ 2
の最小値を求めよ
557:１３２人目の素数さん
09/10/26 00:15:47
>>556
とりあえす問１だけ････
a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a),
e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e), (← a>e)
e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e),
8/3 < e < a < 17/6 より
1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2,
e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･
e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･
558:１３２人目の素数さん
09/10/26 02:59:25
さすがに√eの値を出すのは反則でない？
559:１３２人目の素数さん
09/10/26 10:35:04
>>556
問1
(√2)^(√2)=a とおく。
f(x)=x^(√2-1) とすると、f(x)はx>0で単調増加より
f(√2) < f(a)
よって、a/√2 < a^√2/a =2/a から
a^2 < 2√2 = 2.828...
2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7
560:559
09/10/26 10:41:03
間違えた……
下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2) とおいて
g(a) < g(√2) から示す。
561:１３２人目の素数さん
09/10/26 20:59:26
>>438 (出題元 >>536 から)
(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1,
∴ (x+y)(x+z)(z+x)F_1
= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2)
= xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic.
= xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0,
562:１３２人目の素数さん
09/10/26 22:42:47
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