09/07/05 21:56:48
>>67
m_n, M_n を >>86 のようにおくと、
m_n･M_n = (n!)^(n+1), ･･････････ (1)
一方、補題↓より
c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(3)
(1),(3) より
c^((n-1)/2)(n!)^((n+1.5)/2) / e^((n+2)(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+1.5)/2) / e^(n(n-1)/4),
(n!)^((n+0.5)/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+0.5)/2)・e^((n+2)(n-1)/4) / c^((n-1)/2),
〔補題50〕
c･k^(k +1/2) / e^k < k! < k^(k +1/2) / e^(k-1), c=√(2π),
k=2～n とおいて辺々掛けると
c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:050番) , 133
東大入試作問者スレ１７
124:１３２人目の素数さん
09/07/06 03:25:21
>>121
とりあえずQ1だけ･･･
題意より [n/2] = m ≧ 3,
(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >1,
125:１３２人目の素数さん
09/07/06 20:06:54
>>123
＞〔補題50〕
なんの50なんだ？
126:１３２人目の素数さん
09/07/07 18:19:45
[問題]
a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ：
Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2
127:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:10:05
実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y
a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か
(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
(2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π
n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという
このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。
すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき
a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0
が成り立つことを証明せよ
nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく
k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ
実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ
√{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2
f(x)=1-sinxに対し
g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく
このとき,任意の実数x,yについて
g(x-y)+g(x+y)≧2g(x)
が成り立つことを示せ
128:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:13:35
入試ばっかやな
つまらん
129:１３２人目の素数さん
09/07/08 04:04:21
>>111
|xy-ab|
＝|(x-a)y+a(y-b)|
≦|(x-a)y|+|a(y-b)|
＜c|y|+|a|c
＝c|(y-b)+b|+|a|c
≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c
＜(c+|a|+|b|)c
130:１３２人目の素数さん
09/07/08 17:54:33
f（x）が下に凸のとき
Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k－1）／n
ってどう解いたらいい？？
131:１３２人目の素数さん
09/07/08 21:27:47
>>130
nについての帰納法による。まづ
F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1),
g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1),
と置く。
・n=1 のとき
F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >0,
・n>1 のとき、
F_n = F~_(n-1) + nΣ[k=1,n] g(2k-1)
帰納法の仮定により
F_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k) - nΣ[k=1,n-1] f(2k-1) >0,
F~_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k+1) - nΣ[k=1,n-1] f(2k) >0,
また、題意により
g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1) >0,
132:１３２人目の素数さん
09/07/08 22:08:24
∑_[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。
133:１３２人目の素数さん
09/07/08 23:23:14
>>127 (2)
√(ab) = d とおくと
(左辺) - (右辺) = {a+b+c -3(abc)^(1/3)} - {a+b -2√(ab)}
= c + 2d - 3(cdd)^(1/3)
≧ 0, (相加･相乗平均)
等号成立は c=√(ab) のとき
>>127 (4)
a[1] + a[2] + ･･･････ + a[n] = S とおく。
a[i] ≦ (S-a[i])/(n-1),
a[i] - S/n ≦ 0,
i=1,2,････,n の総和をとると
Σ[i=1,n] {a[i] - S/n} = S - S = 0,
∴ a[i] - S/n = 0,
>>127 (5)
題意により、a[k-1] < 0 ≦ a[k]、または a[k] ≦ 0 < a[k+1] を満たすkが存在する。
(与式) = (1-k)a[1] + (2-k)a[2] + ････ + (-1)a[k-1] + 0 + a[k+1] + ････ + (n-k)a[n] >0,
>>127 (7)
右側:
{tan(a) + tan(b)}/2 = sin(a+b)/{2cos(a)cos(b)} = sin(a+b)/{cos(a-b)+cos(a+b)},
tan{(a+b)/2} = sin(a+b)/{1+cos(a+b)},
左側:
tan(a)･tan(b) = 1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b),
tan{(a+b)/2}^2 = 1 -2tan{(a+b)/2}/tan(a+b),
と右側から
>>132
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
134:131
09/07/09 02:40:24
>>130 (補足)
F_n - F_(n-1) = ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j),
F_n ≡ n∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j),
・参考
[初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式, f(x)=a^x,
135:１３２人目の素数さん
09/07/09 02:50:44
過去スレのミラー見れないの俺だけ？
136:131
09/07/09 03:16:56
>>135
初代スレ.128
128 ：１３２人目の素数さん ：04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」 より
【Inglebyの不等式 】
a>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n,
137:１３２人目の素数さん
09/07/09 03:26:39
>>136
おお、ありがとう☆
138:１３２人目の素数さん
09/07/09 21:46:55
>>127-3
(1) f(π-x) = f(x), 上に凸ゆえ 台形と比べて
(左辺) = 2∫[α,β] f(x)dx > (β-α){f(α)+f(β)} = (右辺),
(2) sin(kπ/n) = {cos(kπ/n - π/2n) - cos(kπ/n + π/2n)}/{2sin(π/2n)} より
(与式) = {1/2sin(π/2n)}{cos(π/2n) - cos(π - π/2n)}
= cos(π/2n)/sin(π/2n)
= 1/tan(π/2n)
< 2n/π,
>>127-7
左側
tan(a)tan(b) = {2sin(a)sin(b)} / {2cos(a)cos(b)}
= {cos(a-b)-cos(a+b)} / {cos(a-b)+cos(a+b)}
≦ {1-cos(a+b)} / {1+cos(a+b)}
= {tan((a+b)/2)}^2,
>>127-8
g '(x) = x -1 +cos(x),
g "(x) = 1 - sin(x) ≧ 0,
∴ y=g(x) は下に凸。
139:１３２人目の素数さん
09/07/10 01:29:59
拾い
a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき
a+b+c≧ab+bc+caを示せ
140:１３２人目の素数さん
09/07/10 07:31:27
>>139
対称性の利用だね。
無理なら一文字ずつ攻めるか。
141:１３２人目の素数さん
09/07/10 08:01:06
>>139
1文字固定して2変数不等式にしてやれば出来そうな予感。
無理なら一文字ずつアホみたいにやるしかないね。
対称性の利用は頭で考えた限り無理だった。
それか思い付きもしないような因数分解で綺麗にやっちまうか。
142:１３２人目の素数さん
09/07/10 13:26:23
え・・・
143:１３２人目の素数さん
09/07/11 17:55:42
>>139
a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4,
a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
b = (4-ac)/(a+c+ac),
これを代入して、
(a+b+c) - (ab-bc-ca) = {(a+c-2)^2 + ac(1-a)(c-1)}/(a+c+ac) ≧0,
144:１３２人目の素数さん
09/07/11 18:00:42
汚い解法だなぁ
145:１３２人目の素数さん
09/07/11 20:07:40
x ≧ 0 のとき
cosx + sinx ≧ 1 + x - ( 2 x ^ 2 / π )
146:１３２人目の素数さん
09/07/11 23:35:35
>>143
よく、そんな解答を思いつくな。天才か?
対称だから大小つけたのは分かるが。
最初の部分の発想が恐ろしい。
147:１３２人目の素数さん
09/07/11 23:37:07
>>144
汚いというより自然じゃない。
何か「同じ問題を解いた事がある」か天才かの解答にみえる。
148:１３２人目の素数さん
09/07/12 03:25:19
>>145
f(x) = cos(x) + sin(x) -1 -x + (2/π)x^2
= cos(x) + sin(x) -1 - (2/π)x(π/2 -x),
とおくと
f(x) = f(π/2 -x), (∴ x≦0 でも成立)
f(0) = f(π/2) =0,
f '(x) = -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x
= -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x,
f '(0) = f '(π/4) = f '(π/2) = 0,
また、 (*) より
x < 0 または π/4 < x <π/2 で f '(x) < 0,
0 < x < π/4 または π/2 < x で f '(x) > 0,
よって
x≠0,π/2 では f(x)>0,
*) f "(x) = -cos(x) -sin(x) + (4/π),
149:１３２人目の素数さん
09/07/12 04:52:10
>>139
>>140-141 に従って a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。
・s≧4 のとき
s ≧ 4 = t + abc ≧ t,
・s≦4 のとき
4 = t + abc ≦ t + (t/3)^(3/2),
∴ t ≧ 3,
∴ s ≧ √(3t) ≧ 3,
ところで、
F_1 = s^3 -4st +9abc = s^3 -4st +9(4-t) = (s^3 +36) -(4s+9)t ≧ 0,
から、
t ≦ (s^3 +36)/(4s+9),
∴ s - t ≧ s - (s^3 +36)/(4s+9) = (4-s)(s^2 -9)/(4s+9) = (4-s)(s-3)(s+3)/(4s+9) ≧ 0,
ぬるぽ
150:１３２人目の素数さん
09/07/12 05:39:54
>>139
ボクならこう解く.
a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおくと,
a+b+c≧ab+bc+ca
⇔ (x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)) / ((x+y)(y+z)(z+x)) ≧ 0
Schur ineq より明らか.
151:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:13:32
>>149
良いね～。
152:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:16:17
>>150
こんなのよく思い付くな。
見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな～。
153:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:24:23
abc>=1 っていえる？
いえるなら、
↓みたくいっきにとけたんだけど。
(a + b + c) - (ab + bc + ca)
= (a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件)
>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均)
= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた)
= (n + 3/2)^2 - 25/4
ゆえに、
(n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１） を示せばいい
（１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1
で、 abc >=1 なので成立 ■
で、肝心の abc >= 1 がしめせん。
154:153
09/07/12 07:35:24
あと、
a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１）
与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q)
（p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾）
すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q)
よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。
で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、
多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。
155:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:42:44
>>153
云えません。
相加･相乗平均により
t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3),
よって
abc > 1 ⇒ t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4,
これは題意に矛盾。
156:153
09/07/12 07:55:57
>>155
あら・・・・失礼
157:１３２人目の素数さん
09/07/12 08:00:17
>>152
そうかなぁ～。
オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。
158:153
09/07/12 08:07:22
>>155
でも、妙に数値がそろってる気が。。。
少し直せば正しくなるのかな？
あるいはどっかでおっきな勘違い？
159:150
09/07/12 16:10:30
>>152
題意から
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
x = k * a/(a+2),
y = k * b/(b+2),
z = k * c/(c+2),
とおいた。
x+y+z = k > 0,
a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z),
b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x),
c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y),
160:159
09/07/12 16:18:16
>>152
(補足) ↑では 恒等式
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
161:１３２人目の素数さん
09/07/12 17:20:54
>>158
>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)
ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
これが今の場合ね．
n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0．
162:161
09/07/12 17:27:16
ちょっと変な書き方だった
最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．
あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か
163:１３２人目の素数さん
09/07/12 18:04:00
どうも 150 です.
>>159-160 さん補足有り難うございます.
この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) )
という置換をして解く解法があります.
これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して,
bc/a = (2x/(y+z))
という関係と,
a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b)
という関係から導きました.
後で調べてみたら,
ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした.
しかし, 形はどうであれ,
(a, b, c) →(f(x), f(y), f(z))
(a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z))
という置き方は良く行われます.
164:１３２人目の素数さん
09/07/12 18:09:16
>>160
その恒等式はどこから出てきたんだ？？
一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
= (a+2)(b+2)(c+2)
だから
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= (a+2)(b+2)(c+2)
が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど．
165:164
09/07/12 18:11:35
リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz
166:１３２人目の素数さん
09/07/13 03:50:36
>>147
照れるぜ！
167:１３２人目の素数さん
09/07/14 01:49:03
アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！
URLﾘﾝｸ(218.219.144.2)
キャバ嬢が好きなエグザイル
URLﾘﾝｸ(image.blog.livedoor.jp)
168:１３２人目の素数さん
09/07/14 13:59:47
【問題】
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、これが最良であることも示せ。
169:１３２人目の素数さん
09/07/14 14:10:00
最良の定義は？
170:１３２人目の素数さん
09/07/14 14:25:00
>>147
条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。
どの部分が自然じゃない？
171:１３２人目の素数さん
09/07/14 17:05:47
x,y,zは実数とする
√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )
≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
を満たす正の定数Mの最小値を求めよ
172:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:07:51
>>171
a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと
0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2)
すなわち
(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
ここでコーシーシュワルツより
(a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)
等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ
よってM^2/4=14
173:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:11:14
まちがい
× (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
○ (a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2)
× M^2/4=14
○ M^2/2=14
174:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:13:30
>>169
定数 π未満だと不等式が成立しないということ。
つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。
175:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:25:30
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
の等号成立条件を示せばいいってこと？
176:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:28:33
>>175
違う。
πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。
（つまり、ベスト・コンスタントの問題）
177:１３２人目の素数さん
09/07/14 19:09:06
176にかってに横から追加すると
等号が自明でないfで成り立つならば
>>175 のように等号条件を示しても良いが
ヒルベルトの不等式を用いるならば
等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので
等号条件を示すのは「違う」となる
178:１３２人目の素数さん
09/07/14 20:36:27
>>126
ゴリ押しの証明だが一応できた。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
179:１３２人目の素数さん
09/07/14 20:45:49
ゴメン。ちょっと修正。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
180:１３２人目の素数さん
09/07/14 21:55:34
>>168,177
【問題】 (訂正版)
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。
181:１３２人目の素数さん
09/07/15 03:40:51
>>171
√ は上に凸だから、
√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x, ････ (1)
2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z, ････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2 より
x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2), ･････ (3)
(1) ～ (3) を辺々たす。
M = 3+√5,
等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき
>>172
(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね?
182:172
09/07/15 03:53:21
>>181
とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。
183:１３２人目の素数さん
09/07/15 04:30:27
a , b , c ≧ 0
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2
| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ
184:１３２人目の素数さん
09/07/15 05:21:16
>>183
前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です.
いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります.
他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね.
ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します.
185:１３２人目の素数さん
09/07/15 05:34:55
2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005
186:185
09/07/15 05:42:09
>>185は忘れて下さい
187:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:19:05
有名サイトかもしれないが一応
つURLﾘﾝｸ(jp.mathnori.com)
188:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:31:56
>>187
もうずっと更新されていないよね。
189:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:33:06
>>187
もうずっと更新されていないよね。
190:１３２人目の素数さん
09/07/15 22:56:50
>>187
おいらには解けない５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
191:１３２人目の素数さん
09/07/15 23:30:32
>>183 (下)
4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、
f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx,
{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6,
∴ |f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。
192:１３２人目の素数さん
09/07/16 00:45:04
投下
x > 1 のとき
( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ]
の最大値を求めよ
193:１３２人目の素数さん
09/07/16 01:51:25
>>192
{log(1+√2)}^2 (x=1+√2)
194:１３２人目の素数さん
09/07/16 02:08:10
>>192
(x+1)/(x-1) = y
とおくと、
(x-1)(y-1) = 2, (直角双曲線)
これは x = y = 1+√2 をとおる。
>>185
log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698
195:191
09/07/16 22:15:14
>>183 (下)
max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき
f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1, (x=1, -1/2 で最大値1)
f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1, (x=-1, 1/2 で最小値-1)
あるいは
f(x) = -sin(3arcsin(x)),
196:１３２人目の素数さん
09/07/17 02:42:14
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
197:１３２人目の素数さん
09/07/17 03:59:50
拾い
( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4
のとき
a x + b y + c z > 0
198:１３２人目の素数さん
09/07/17 05:57:06
>>197
あえて、行列使うか、
あるいは、xyz空間で、
x+y+z=(a+b+c)/3
x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4
を考えて、
線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。
199:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:36:28
>>183の上は
三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして
r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1
を示せばよい。
200:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:38:29
>>197
上の式を２乗する事から始めればできそう。
それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。
201:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:55:21
>>197
>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = A,
(ｘ･ｅ) = X,
ａ - Aｅ = Ａ_v,
ｘ - Xｅ = Ｘ_v,
とおくと
|Ａ_v| = √(1-A^2),
|Ｘ_v| = √(1-X^2),
|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX,
∴ (ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1
題意より AX= 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
202:１３２人目の素数さん
09/07/18 03:10:23
>>197
>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα, (0≦α≦π)
(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ, (0≦θ≦π)
とおくと
∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ,
∴ (ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ)
= 2(cosα)(cosθ) － cos(α－θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1,
題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
203:１３２人目の素数さん
09/07/18 04:43:37
0＜θ≦φ≦π/2において
sinθ/sinφ≧θ/φ
これのうまい証明方法ってありまつか？
204:１３２人目の素数さん
09/07/18 05:23:21
>>203
sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す
くらいしか思いつかん
205:１３２人目の素数さん
09/07/18 05:58:03
数列 a [ n ] において
a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7
( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2
を満たすとき
| a [ n ] | < 14 / √ 3
a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c
のとき
( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b )
を満たす最大の k を求む
206:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:10:14
>>202
いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑)
207:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:17:59
>>205
２問目は数オリ本選やがな
208:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:21:37
>>206
涙拭けよ(笑)
209:１３２人目の素数さん
09/07/18 10:52:08
>>208
はい。
210:１３２人目の素数さん
09/07/18 17:00:00
ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。
（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２－ａｃ）（ｃ＾２－ａｂ）
＝（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３）
≧（ａ＾２－ｄ＾２）＾２－４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３
＝ａ＾４－６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３－３ｄ＾４
＝（ａ＋３ｄ）（ａ－ｄ）＾３。
211:１３２人目の素数さん
09/07/18 22:41:46
>>204
y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ
sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ,
212:１３２人目の素数さん
09/07/19 06:06:31
671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672
213:１３２人目の素数さん
09/07/19 08:13:08
>>212
∑[k=1,n] f(k) = S_n とおく。y=f(x) は上に凸だから
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx < f(k),
{f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx,
ゆえに
∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n),
本題では f(x) = √x なので,
[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n,
(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n,
本題では n=100 なので
671.437･･･ < S_100 < 671.50
なお S_100 = 671.462947103148･････
214:１３２人目の素数さん
09/07/19 19:56:21
x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ
215:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:44:17
>>214
0 < x ≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
ビブンのことはビブンでするのもいいが、
log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1),
log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1),
両辺>0 だから 辺々掛けて
log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2,
ぬるぽ
216:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:53:59
>>214
log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから
f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む．
つまり
f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0
を示せばいいが，これは
g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で
g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える
>>215
> x≧1のとき
217:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:59:13
>>216
x≧1は必要ないってことだろ
>>215
が
218:１３２人目の素数さん
09/07/19 22:55:17
>>199
△ABC の3辺の長さを
AB = x+y, BC = y+z, CA = z+x,
とおき >>163 を使うと
AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR,
BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR,
CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR,
2r = 2√(xyz/s) = abcR,
R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)},
s = x+y+z,
∴ (AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc,
219:１３２人目の素数さん
09/07/20 01:44:45
αは実数
β = sin α , γ = sin β
のとき
( | α | + | γ | ) ≧ 2 β
また π < 3.1416 を用いて
sin ( 1 / 2 ) > 0.4764
220:203
09/07/20 15:35:18
>>219
>>203-204 の応用問題でつね。
(上)
sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。
∵ α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと
|α'| ≦ min(|α|, π)
β = sinα = sin(α'),
・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。
・α≠nπ のとき
θ=|β|, φ=|α'| を代入する。
|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|,
|γ| / |β| > |β| / |α'|,
|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β,
(下)
θ=1/2, φ=π/6 を代入する。
sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･
221:181
09/07/20 16:32:14
>>171
a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、
(a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、
pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2},
を満たすMの最小値を求めよ。
(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。
しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。
それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？
(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2),
pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc (← コーシー)
= M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c} {← M = r + √(p^2+q^2)}
≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2 (← δ>0)
≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, (← コーシー)
等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角⊿) のとき。
参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。
222:１３２人目の素数さん
09/07/20 17:39:56
sin 10ﾟ > 0.17 を示せ
多分東大模試の過去問
多分小問付いてたはず
223:１３２人目の素数さん
09/07/20 18:10:09
3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着
224:１３２人目の素数さん
09/07/20 18:14:49
>>222
y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。
sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。
sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ),
∴ 3α < 30ﾟ,
∴ α < 10ﾟ,
∴ 0.17 < sin(10ﾟ)
かな？
225:１３２人目の素数さん
09/07/20 19:43:48
そろそろネタ切れ
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
226:１３２人目の素数さん
09/07/20 21:21:29
255だるまにおん [2009/06/22(月) 17:50:07] 出題
f(x)は0≦x≦1において積分可能で、
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1
が成り立つものとする。このとき、
∫[0,1](f(x))^2dx≧4
を証明せよ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
227:１３２人目の素数さん
09/07/20 23:45:03
まとめサイトの中の人
携帯でみれるようになりませんかね？
228:１３２人目の素数さん
09/07/20 23:54:08
>>226
0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4
移項して
∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4
229:１３２人目の素数さん
09/07/21 06:34:31
何処かの掲示板の回答と同じですね。
230:１３２人目の素数さん
09/07/21 07:36:34
同一人物
231:228
09/07/21 07:55:52
>>229
確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。
一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
|| f- ag - bh ||^2
を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。
232:１３２人目の素数さん
09/07/21 08:30:59
a,b,c＞0
abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
233:１３２人目の素数さん
09/07/21 22:53:03
>>227
諦めろ！
234:１３２人目の素数さん
09/07/22 00:24:18
>>231
{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
235:１３２人目の素数さん
09/07/22 05:43:21
1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。
ただし2.71<e<2.72。
236:１３２人目の素数さん
09/07/22 21:12:15
ふと思った問題
↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か
237:１３２人目の素数さん
09/07/22 21:40:33
>>234
直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
1.43333････ < Ｉ < 1.49290････
>>236
最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.
238:235
09/07/22 22:07:21
用意していた解法
e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4
∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5
239:１３２人目の素数さん
09/07/23 00:45:30
この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。
鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
240:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:45:00
釣りは他所でやってね
241:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:50:41
>>239
中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける
確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。
金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。
そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ
242:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:54:35
釣りにマジレスすんなｗ
243:241
09/07/23 01:57:29
3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。
s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。
244:241
09/07/23 01:59:16
>>242
すまん、死んでお詫びを(AA略
245:１３２人目の素数さん
09/07/23 04:41:11
政権童貞 「一回やらせて」
246:１３２人目の素数さん
09/07/23 05:30:30
0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において
cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）
247:１３２人目の素数さん
09/07/23 09:32:50
カンでn=5
248:１３２人目の素数さん
09/07/23 16:55:20
ここの問題を他所で自分が考えたように出題
249:１３２人目の素数さん
09/07/23 22:19:35
>>246
cosθ = 12/13 より,
cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
n = 22
なお、 θ = 22.61986494804042617294901087668･･･
>>237 (中) 補足
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
左側: 逐次積分で
e^t -1 >0, (t>0)
e^t -t -1 >0,
e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,
右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。
250:１３２人目の素数さん
09/07/23 23:15:31
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
251:１３２人目の素数さん
09/07/24 17:00:01
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
252:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:00:31
>>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？
253:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:10:16
>>252
∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。
254:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:30:59
なぜ一次関数なんですか？
何について平方完成するんですか？
255:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:43:44
>>250
(1)
(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)}
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2)
0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t,
を t で積分すると
0 ≦ t - 1/t -2log(t), (t≧1)
ここで t = √(1+x) とおく。
256:１３２人目の素数さん
09/07/25 00:58:20
>>250
(1) k≧4 のとき
1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4)
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2) sinh(z) > z, (z≧0)
に z = (1/2)log(1+x) を代入…
257:１３２人目の素数さん
09/07/25 02:08:20
x > 1 のとき
( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0
0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2
Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1
のとき
Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 )
258:１３２人目の素数さん
09/07/25 04:55:02
>>257
(上)
f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2),
とおくと
f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0,
y=x^2 >1 とおく。
(下)
0 ≦ x ≦ π/2 から
cos(x) ≧0, sin(x) ≧0,
cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1,
から
∑[k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1,
259:１３２人目の素数さん
09/07/25 06:29:57
x>0のとき、(x^3+2)/xの最小値を求める問題で
(x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？
260:１３２人目の素数さん
09/07/25 07:50:38
質問は他いけ
261:１３２人目の素数さん
09/07/25 16:35:01
>>254
とりあえず計算してみ
>なぜ一次関数なんですか？
定数じゃムリなので1次関数
>何について平方完成するんですか？
計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる
この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした)
∫[0,1]{f(x)}^2dx － G(a,b)
これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b)
>>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分
試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる
この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可)
262:１３２人目の素数さん
09/07/25 21:24:26
>>259
別に間違ってないような・・・
263:１３２人目の素数さん
09/07/26 00:57:10
>>259
x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア
次に等号成立条件も定義域x>0に取れる
第2式の⇔変形もx>0なので問題ない
何も間違っていないと思うぜ
URLﾘﾝｸ(tinyurl.com)
264:１３２人目の素数さん
09/07/26 05:03:40
周の長さが一定の正 n 角形の面積を S [ n ] とする
n < m のとき , S [ n ] < S [ m ]
265:１３２人目の素数さん
09/07/26 06:31:24
拾い
10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない
266:１３２人目の素数さん
09/07/26 11:57:06
もとは99^99は何桁かって問題だな。
267:１３２人目の素数さん
09/07/26 12:42:54
笑
268:１３２人目の素数さん
09/07/26 14:46:04
>>265
受験板とマルチかつ解決済
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:459-463番)n
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:474番)n
答えて損した
269:１３２人目の素数さん
09/07/26 14:55:45
>>265
99^99 < 100^99 = 10^198 は簡単
10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3
7log3 + log5 = log10935 > 4 より
7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47
また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので
2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3
よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925
ゆえに 99log99 > 197.2575
270:269
09/07/26 14:57:46
>>268
私も書く前にリロードすべきだった
同じく書いて損した
271:１３２人目の素数さん
09/07/26 16:25:48
ヒント：拾い
272:１３２人目の素数さん
09/07/26 17:33:39
>>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2,
等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4 etc. のとき {φ=(1+√5)/2=1.618034}
>>264
周の長さを L とおく。
一辺の長さは L/n,
中心から一辺を見る角は 2π/n,
中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)},
中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)},
S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)},
ところで tan(x)/x はxについて単調増加。
>>265
log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1),
(n-1)･log((n-1)/n) > -1,
n = 100 とおくと
99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1
同じく 解いて損した。
273:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:16:10
はて？この流れだと ﾌﾟｷﾞｬｰのＡＡを張るのが
数学板のマナーかの？
274:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:38:59
>>265
10^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10
f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。
(x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a)
f(x)は単調増加
x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少
1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10
損した
275:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:46:13
損するのがブームらしい
276:１３２人目の素数さん
09/07/26 19:18:45
重み付き相加相乗平均がわからない。加重平均っぽい言葉だ。
277:１３２人目の素数さん
09/07/26 19:53:51
自信作
π＾ｅ＜23を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
278:１３２人目の素数さん
09/07/26 21:39:58
>>276
まとめWikiを見よう。
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
279:１３２人目の素数さん
09/07/26 23:16:14
>>278
ありがとうあいしてる
280:１３２人目の素数さん
09/07/27 04:26:29
実数全体で定義された実数値関数 f ( x ) は次の条件を満たす
1 + x ≦ f ( x )
f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y )
このとき x < 0 において
0 < f ( x ) < 1
を満たすことを示せ
281:１３２人目の素数さん
09/07/27 04:57:16
最近は単なる受験問題スレでつまらん
驚きも何も無い
282:１３２人目の素数さん
09/07/27 10:16:13
>>280
その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。
ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
283:１３２人目の素数さん
09/07/27 18:36:49
>>277
示すべき不等式は、
f(23)-f(π)>1
と同値
ただし、
f(x)=ln(lnx)
この時、
f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1)
より、
f(23)-f(π)≧1
ここで、
f(23)-f(π)=1
とすると、
e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1
一方、
ln19>lne=1
となるので不適である。
以上より示された。
284:１３２人目の素数さん
09/07/27 19:04:21
>>283
ダメダメ
285:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/07/27 19:25:34
皆さんメチャメチャ辛抱強いなァ
頭が下がりまっせ！
286:１３２人目の素数さん
09/07/27 20:37:41
>>282
googleでどうやって検索したんですか？
287:１３２人目の素数さん
09/07/27 23:54:17
数式の終りにコンマ『,』をつける。
288:１３２人目の素数さん
09/07/28 14:11:11
251きぼん
289:１３２人目の素数さん
09/07/28 20:51:43
>>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2,
(略証)
例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)}
= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u)
= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u)
≧ 2,
下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。
例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1,
290:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:13:34
>>277
e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より
π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01,
π = 3.14159･･･ < 22/7 より
π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9,
∴ π^(2 + 1/250) < 10,
π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7),
ところで
(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2,
∴ π^(5/7) < 16/7,
∴ π^e < 160/7 = 23 - 1/7,
Yahoo!掲示板 数学カテ 数学･算数質問コーナー(制限板)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
291:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:19:13
自信作
e＾π＞23 を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
292:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:26:21
>>291
それは東大の問題だょ
293:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:29:59
>>250
(3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された
294:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:53:45
x1,x2,...,xn>0とする
n変数k次基本対称式
Sk=Σx1x2...xk
とする。このとき、
(Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1))
を示せ！
295:１３２人目の素数さん
09/07/28 22:12:39
不等式！
-= ､､∧,,∧ どぞどぞ！
-=≡(｀･ω･) ＜＜
-= ／､_〇＝O≧≧≧
-=(_⌒)ﾆ∥_≦≦≦≦_
-(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂
- = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!!
296:１３２人目の素数さん
09/07/28 22:55:34
>>292
ちょっと違う
>1999年東大6番は、e^π>21 だな。
URLﾘﾝｸ(cheese.2ch.net)
e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159)
ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より
2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386
これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて，
e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736
ちなみにe^π = 23.1406926
297:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:26:09
>>294
過去に何度もでてたはず。
S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。
補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1)
等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n]
証明.nについての帰納法で示す。
(n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、
p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。
k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、
等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。
S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、
p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1)
k=2,3,…,n-2のとき
(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2
ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2
Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1]
Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2)
ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より
p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。
よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0
左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで
右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき
k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。
Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より
(p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1)
よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)}
298:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:26:29
>>295
ワロス
299:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:42:51
a_1，a_2，…，a_(2n+1)を次の性質（Ｐ）をみたす整数の集まりとする。
（Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。
このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。
300:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:51:58
数オリ本選のパクリ乙
301:１３２人目の素数さん
09/07/29 03:23:08
節子…それ、不等式やない、恒等式や
302:１３２人目の素数さん
09/07/29 04:48:50
凸5角形の5辺の長さの和を s [ 1 ] , 対角線の和を s [ 2 ] とする
s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ]
1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12
303:１３２人目の素数さん
09/07/29 12:25:34
x>0,n≧0の時、(1+x)^n>1+nx
をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ
304:１３２人目の素数さん
09/07/29 12:27:31
先生！n=0のときその不等式は成り立ちません！
305:１３２人目の素数さん
09/07/29 13:46:53
先生！n=1(ry
306:１３２人目の素数さん
09/07/29 16:07:36
>>303
数日前に別スレで似たような問題があったな
マルチっぽいな
307:１３２人目の素数さん
09/07/29 21:19:22
>>302 (上)
凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。)
CD < CA' + DA', CE < CD + DE,
循環的に加えると、
s[1] < s[2], s[2] < 2s[1],
>>303
x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理)
(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx
= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} (← 等比級数の和)
= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1}
> 0,
308:１３２人目の素数さん
09/07/29 22:15:26
>>303
a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。
このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k]
等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき
n=1は自明
(1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか
以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。
n=2のとき
(1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2]
等号成立はa[1]=0またはa[2]=0
n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。
Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k])
(∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0
a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1)
左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、
右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、
(最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個
(1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合
309:１３２人目の素数さん
09/07/30 03:48:58
三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない
組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす
それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば
SS'≦48
310:１３２人目の素数さん
09/08/01 00:32:00
>>309 (下)
つ [前スレ.863-865,870]
S ≦ ((√3)/4) * abc,
S' ≦ ((√3)/4) /(abc),
を出す。
解1. [前スレ.865]
相乗･相加平均 と 上に凸から
{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2,
解2. [前スレ.870]
s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から
S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3),
311:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:38:26
＞nは自然数とする
＞(sinx)^n+(cosx)^n
＞の最大値、最小値を求めよ
これって，nが偶数のとき
(sinx)^n≦(sinx)^2
(cosx)^n≦(cosx)^2
より
(sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1
の考え方使えないかなー
312:310
09/08/01 07:03:19
訂正
S ≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3),
S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3),
より
SS' ≦ 3/16,
313:１３２人目の素数さん
09/08/02 09:23:30
>>309 (上)
中線を AA', BB', CC' とおく。
△ABC の重心をGとおくと、初等幾何により
AG = (2/3)AA', BG = (2/3)BB', CG = (2/3)CC',
ところで
a = BC < BG + CG,
b = CA < CG + AG,
c = AB < AG + BG,
辺々たして
a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC').
314:１３２人目の素数さん
09/08/02 17:54:30
>>309
これって、SS' < 1/4,でもいいとき、
n=min(a,b,c), d=mid(a,b,c), x=max(a,b,c),
とおく。
S = (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd,
S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd),
より
SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4,
の考え方使えないかなー
315:１３２人目の素数さん
09/08/02 22:43:13
p,q,r≧0
A,B,C＞0,A+B+C=π
mは自然数
|pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2)
316:１３２人目の素数さん
09/08/03 07:36:25
>>309 (上)
〔類題〕
三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと
1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3.
(略証)
・右側は >>313
・左側を示す。
B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2,
C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2,
A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2,
より
AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2,
BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2,
CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2,
辺々たすと
AA' + BB' + CC' < a+b+c,
317:１３２人目の素数さん
09/08/05 03:39:24
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＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
318:１３２人目の素数さん
09/08/05 14:46:11
>>315
過去スレ
319:１３２人目の素数さん
09/08/05 20:40:44
F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。
∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx
を示せ
320:１３２人目の素数さん
09/08/06 00:39:44
[0,1]→[0,1] の意味は？
値域がって事？
321:１３２人目の素数さん
09/08/06 07:33:59
わかるだｒ
322:１３２人目の素数さん
09/08/06 10:20:05
>>319
過去スレ嫁
323:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:54:14
拾ったものをいじった
実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
324:１３２人目の素数さん
09/08/06 23:28:40
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
> 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす
ﾆﾔﾆﾔ…
325:１３２人目の素数さん
09/08/06 23:40:01
↑
なんでにやついているの？
326:１３２人目の素数さん
09/08/07 00:26:45
((-6)^3)^(1/3)って-6？
327:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:17:00
>>325
相加平均=相乗平均
328:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:20:02
a=-1,b=0,c=1の場合は？
329:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:21:20
>>328
≠0
330:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:23:20
>>327
適用条件
331:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:23:54
>>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．
(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
と矛盾を起こしかねないから。
332:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:26:33
>>331
ネタ？
指数法則はどこいったの
333:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:30:00
（－１）＾１＝（－１）＾（２／２）＝（（－１）＾２）＾（１／２）＝１＾（１／２）＝１。
334:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:31:05
>>332
大丈夫だよ
どこにも行っていないよ
安心しておやすみ
335:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:40:00
ａ＝８。
ｂ＝－１。
ｃ＝－１。
336:１３２人目の素数さん
09/08/07 03:58:14
高校数学の範囲では、√の左側にnを小さく書くのを(n)√と表すとすると
nが奇数のとき、
aが正なら(n)√aは正の実数値
aが負なら(n)√aは負の実数値
をとるものとする、と教科書に明記されている。
しかし、a^(1/n)という記法は、
教科書ではa＞0の場合しか定義されていない。
ただ、その辺は入試になると結構あいまいで、
(n)√aと書く代わりにa^(1/n)と書かれる可能性もある。
337:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:01:14
>>336
それにしたって a>0 に限定されているはずだ
338:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:16:33
>>333
これのおかしいところが分からないんだけど…
天才な俺に解説してください！
339:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:17:55
>>337
指数法則
340:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:18:36
338だった
341:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:26:20
>335の場合はokやんな？
342:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:27:23
>okやんな？
ムカつく
343:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:30:17
三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinCの最小値を求めよ。
最大値は凸不等式で出るんですけど最小値の出し方がわかりません・・・
344:１３２人目の素数さん
09/08/07 04:38:00
A,B,Cを0,0,πに近づければ値が0に近づく
345:１３２人目の素数さん
09/08/07 07:24:12
>>331
多価関数として定義すれば無問題
346:１３２人目の素数さん
09/08/07 08:00:53
>>338
お前ら複素関数論を知らんのか？
一般のベキの定義は多価関数だろうが！
と思ったら、ここは工房スレかorz
347:１３２人目の素数さん
09/08/07 08:47:51
>>346 2chは良く言えばがらくた市
掃きだめの中に鶴が見つかれば大吉
348:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:23:43
>>345 >>346
複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？
349:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:35:00
>>348
そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ
そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと
350:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:37:50
>>348
負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば
>>323に関しては問題ないだろ。
351:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:38:31
>>336
> aが負なら(n)√aは負の実数値
a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ
ゆとりの影響は恐ろしいなｗ
352:１３２人目の素数さん
09/08/07 09:39:19
>>351
nが奇数のとき
の文字が見えんのか
353:１３２人目の素数さん
09/08/07 10:10:03
本当にゆとりの影響は恐ろしいな
354:１３２人目の素数さん
09/08/07 11:28:14
>>350
それでも>>331の問題が解決できぬ
355:１３２人目の素数さん
09/08/07 11:43:54
ゆとり不等式
356:１３２人目の素数さん
09/08/07 14:22:00
>>354
あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．．
(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
が
(-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
と同じ暴論だということもわからんのか。
357:１３２人目の素数さん
09/08/07 15:42:54
お塩と法子ｗｗ
358:１３２人目の素数さん
09/08/07 16:20:53
単純打率 ヒットの本数だけで判断した稚拙な計算による打率 → イチロー
実質打率 内野安打・ポテンヒット等の凡打を省いた打率（２塁への進塁打は安打に含む） → 松井
正当打率 偶然ではなく実力で打ったヒットによる打率 → 松井
貢献打率 勝利のためのチームバッティングを評価する打率 → 松井
名門打率 所属チームの強さ・格式に準拠される打率 → 松井
強敵打率 雑魚相手にヒットを稼ぐ不正を許さない打率 → 松井
健康打率 健康体であるという条件下の元で算出した打率 → 松井
芸術打率 フォーム・弾道の美しさを最大限評価する打率 → 松井
人格打率 選手の人間性を加味した上で導き出す打率 → 松井
大局打率 現状の成績に惑わされず大局を見抜いた打率 → 松井
謙虚打率 強欲にヒットを欲しがろうとしない控えめな打率 → 松井
精髄打率 ヒットの量ではなく本質を見つめ直した打率 → 松井
社会打率 １人目立とうとして周りの空気を悪くしない打率 → 松井
来年打率 今年は忘れ来期に目を向けた将来性重視の打率 → 松井
玄人打率 野球に詳しい理系の人間だけが知る真実の打率 → 松井
主観打率 数字に依存しない独自の視点から優劣を決める打率 → 松井
実績打率 過去の成績を考慮に入れた打率→ 松井
怪我考慮打率 怪我をしていてもチームの為に痛みを我慢して打席に立つ男気溢れる打率→ 松井
スタベン打率 チームの為なら調子の悪い時はスタベンでも構わないという人情味溢れる打率→ 松井
チームリーダー打率 リーダーとしてチームメイトの悩みを聞いたり、アドバイスしたりする打率→ 松井
トレード打率 トレードされるかもしれないというとてつもない不安感の中での打率→ 松井
焼肉打率 焼肉記者の機嫌を取りながら稼ぐ打率 →松井
仮に四番打率→ もし四番で起用されていたらと仮定した場合の打率 →松井
立場逆転打率 イチローと松井の立場が逆ならばと仮定した場合の打率→ 松井
常識打率 普通に考えたらどっちが上かわかりそうな打率 → 松井
撃破打率 ヒットや三振などに囚われず、相手投手にダメージ、動揺を与えた打率→ 松井
359:１３２人目の素数さん
09/08/07 16:25:50
URLﾘﾝｸ(www4.himitsukichi.info)
コイツも覚せい剤やってそう
360:１３２人目の素数さん
09/08/07 17:45:25
>>323
3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、
{(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合
a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
abc>0として大丈夫だろう。
で、自信はないが
a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27
a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c)
k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)
(a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27
(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1
k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2
ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3
k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
361:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:32:01
＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
＞abc>0として大丈夫だろう。
Why ?
362:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:33:58
whyもなにも書いてある通りだろ
363:360
09/08/07 19:36:18
>>361
abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>0
でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、
解決にはなってないような気がすると思い始めてきた
364:１３２人目の素数さん
09/08/07 19:48:36
(abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから
そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う
365:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:05:47
夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？
366:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:30:35
>>356
どの辺が暴論？
367:１３２人目の素数さん
09/08/07 20:43:29
a,b,cを実数とするとき
r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。
実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ
これなら問題ないんだよね
368:360
09/08/07 22:46:25
重大なミスを発見
> k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。
k<-2または3/2≦kだな。
実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7
369:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:06:27
>>366
指数定理
(a^m)^n=a^(mn)
が成り立つのは、
「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの
どちらかの条件を満たす場合である。
だから
(-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や
(-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は
成立しない。それだけのこと。
370:360
09/08/07 23:12:10
頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、
また間違いに気付いたorz
十分性に欠けることには気づいてたんだが…
ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは
t^3-t^2+pt-1/27=0の解
判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より
p=1/3またはp≦-5/12
したがってk=3/2または-30/7≦k<-2
首吊ってくる
371:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:14:25
>>369の修正
誤：指数定理
正：指数法則
372:１３２人目の素数さん
09/08/07 23:27:34
>>369
知らなかった…
373:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:28:24
>>349
>>369を見ても>>332がおかしいと思う？
374:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:35:39
>>326 → >>331
→>>332 → >>334
良く見ろ
しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな
375:１３２人目の素数さん
09/08/08 01:42:56
>>369
だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない
というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが
まあ，この矛盾を避けるために
[1] (負）^(1/3) の定義を許さない
[2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない
の両者の立場の違いなのかとも思うが，
一般的には前者なのではないか？
もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば
事情は全く異なるのは確か
376:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:26:18
p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：
∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).
377:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:29:27
>>374
本当だよ。
複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ
はっきり言って、受験生は板違いだから。
このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]
378:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:49:48
>>369
嘘つくなボケ！
379:１３２人目の素数さん
09/08/09 08:51:46
オイラーの公式をしらんのか？
e^{πi}=-1
380:１３２人目の素数さん
09/08/10 01:53:40
>>302 (下)
√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k,
を使う。
99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)}
> {3/(2√4)}{1/√(100)}
= (3/4)(1/10)
= 3/40
= 1/13.3333333･･･
99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100}
< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10}
= (9!!*11*3)/(10!!*10)
= 31185/384000
= 1/12.3136123･･･
381:１３２人目の素数さん
09/08/10 02:14:11
>>40
382:１３２人目の素数さん
09/08/10 03:09:31
>>381
a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く
a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac
より
abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac ……①
ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので①≦0
よってabx+bcy+caz≦0
383:１３２人目の素数さん
09/08/11 21:09:17
kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］
384:１３２人目の素数さん
09/08/12 01:41:55
Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k
より明らか
385:１３２人目の素数さん
09/08/12 13:26:47
>>383,>>384
r≠0,nか?
ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。
Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。
(できればζ(2)=π^2/6を用いないで)
386:１３２人目の素数さん
09/08/12 15:15:56
>>385
ζ(3)-1<∑[n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4
ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2
より
Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2
387:１３２人目の素数さん
09/08/12 18:15:09
>>315
コーシーより
(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2}
= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC)
≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC),
となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･
※ (p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}
= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0,
388:１３２人目の素数さん
09/08/12 18:24:14
>>315
〔補題〕
A+B+C=π、mは整数のとき
{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４,
(略証)
m=0 のときは明らかだから m>0 とする。
左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を
A' = mA - [mA/π]π,
B' = mB - [mB/π]π,
C' = mC - [mC/π]π,
とおくと
0 ≦ A',B',C' < π.
A' + B' + C' = 0, π, 2π.
しかし 右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。
また 右辺が2πのときは {sin(π-x) = sin(x)}
A' = π + [mA/π]π - mA,
B' = π + [mB/π]π - mB,
C' = π + [mC/π]π - mC,
とおき直せば
A' + B' + C' = π,
鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。
∴ 鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。
(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2,
= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2
= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2 {0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1}
≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2
= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2
≦ ９／４.
等号成立は A'=B' かつ C'=π/3, すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。
389:１３２人目の素数さん
09/08/12 19:35:02
α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする
ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β
の大小関係を答えよ
390:１３２人目の素数さん
09/08/13 17:44:53
>>387 (別解)
A+B+C = π のとき
{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2
= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2
= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2
= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2
≦ 2 + (1/4)γ^2,
ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)),
ぬるぽ
391:１３２人目の素数さん
09/08/13 19:03:57
>>385
n≧2 のとき
1/n ≦ 3/{2(n+1)},
∴ Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]}
= 1/{(n^2)(n-1)}
≦ 3/{2(n-1)n(n+1)}
= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))},
よって
ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s)
= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s)
≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}
= 3/8,
蛇足だが、
ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････
ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,
ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1,
････
を使うと
(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8,
392:385
09/08/13 19:41:53
>>386,>>391
正解です。にしても評価粗すぎたなw
最初の想定では
Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1}
で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた)
考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz
ついでに
>(左辺)=0.3550659331455･･･
=2-(π^2)/6です
393:１３２人目の素数さん
09/08/13 19:59:02
つまらん
394:１３２人目の素数さん
09/08/14 20:49:16
>>316
〔問題38〕
三角形の辺の長さの和をa,b,c,
頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、
(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c),
等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による)
数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09)
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38
395:１３２人目の素数さん
09/08/14 20:55:34
>>394
(左側)
角の二等分線は△の内部で交わるから、
a = BC < BB" + C"C,
b = CA < CC" + A"A,
c = AB < AA" + B"B,
辺々たして2で割る。
(右側)
(a+b+c)/2 = s とおく。
⊿ABC = ⊿ABA" + ⊿ACA"
= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2)
= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc}
≧ AA" √{(s-b)(s-c)}, (相加相乗平均)
∴ ヘロンの公式から
AA" ≦ ⊿ABC /√{(s-b)(s-c)}
= √{s(s-a)}
= (√3) √{(s/3)(s-a)}
≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2 (相加相乗平均)
= (√3){(2/3)s -a/2},
循環的にたすと
AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s,
等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c.
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39
396:１３２人目の素数さん
09/08/15 01:37:47
∧＿∧
( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
397:１３２人目の素数さん
09/08/15 02:35:00
516:大学への名無しさん[]
2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO
みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？
そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。
398:１３２人目の素数さん
09/08/15 03:12:26
褒美だ！
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！
くく へﾍﾉ ←>>397
399:１３２人目の素数さん
09/08/15 15:29:22
>>376は？
400:１３２人目の素数さん
09/08/15 18:16:10
x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。
2文字消去して定義域出して微分して解析、
という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。
誰かかっこよく頼む。
401:１３２人目の素数さん
09/08/15 19:30:08
>>400
x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また，
x^3 + y^3 + z^3
= 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x)
= 3s + 25
なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには，
X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい．
３次方程式の判別式より
D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176)
よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12．
よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11
３次方程式の判別式はアンチョコつかった．
402:１３２人目の素数さん
09/08/15 19:30:26
そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い
403:401
09/08/15 19:32:29
最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。
404:１３２人目の素数さん
09/08/15 20:23:11
>>401
アンチョコって？
405:１３２人目の素数さん
09/08/15 20:34:54
>>404
覚えてないからメモを見たってことでしょ
406:１３２人目の素数さん
09/08/16 06:33:24
f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする
(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))
407:１３２人目の素数さん
09/08/17 02:02:15
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7
よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9
t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと
{t[n]}の漸化式が得られる.
408:１３２人目の素数さん
09/08/17 05:15:05
>>400
x=kとおくと
y+z=1-k また
x(y+z)+yz=-8より
k(1-k)+yz=-8
k(1-k)+y(1-k-y)=-8
y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0
yが実数解を持つには
(1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0
-3≦k≦11/3 よって
-3≦x,y,z≦11/3
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
=1+16=17
x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
=25+3xyz
=25-3x(xy+zx+8)
=25-3x{xy+(1-x-y)x+8}
=25-3x(x-x^2+8)
=3x^3-3x^2-24x+25
xの範囲より最小値-11最大値779/3
409:１３２人目の素数さん
09/08/17 05:33:58
>>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25
よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9
410:１３２人目の素数さん
09/08/17 06:12:35
>>407>>409
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
ここの論理って、どういう過程？
411:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:07:19
易問にいつまで関わるん？
412:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:19:27
>>410
xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)．
kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる．
そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)．
413:１３２人目の素数さん
09/08/17 08:19:36
>>411
いいから黙ってろ！
屁かますぞ！
414:１３２人目の素数さん
09/08/17 18:14:00
なるほど。Thx
415:１３２人目の素数さん
09/08/18 13:50:42
かまして！
416:１３２人目の素数さん
09/08/19 01:35:11
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>415
417:清書屋
09/08/20 23:03:27
>>400
x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s, ･･･････ (1)
だから、sの最大・最小を求めればよい。
X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S
ここに
B = b - (1/3)a^2,
S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3,
判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2,
∴ D ≧0 となる条件は
-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2), B<0,
-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2),
よって (1) から
(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2),
418:１３２人目の素数さん
09/08/21 02:41:25
正の実数a,b.cについて
Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2}
419:１３２人目の素数さん
09/08/21 03:07:09
自分で解けくず
420:宮川ダイスケ
09/08/21 09:10:35
なんもかんがえなくとも、
x,yを中心にかんがえ、
x+y=1-z
xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、
x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。
最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z)
あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる
421:１３２人目の素数さん
09/08/21 22:24:15
>>417
等号条件は
左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)},
右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)},
422:１３２人目の素数さん
09/08/22 23:11:22
>>417 の一般解
(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S,
を 2(-B/3)^(3/2) で割ると
4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)},
となる。ここに
ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)],
ところで右辺は、実根条件から
D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0,
-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1, (B<0),
よって
S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ), 0≦σ≦π
を満たす σ がある。
4ξ^3 - 3ξ = cos(σ),
∴ ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3),
∴ {x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)},
s を動かしても σ しか動かない。 >>417
423:１３２人目の素数さん
09/08/23 07:37:37
√ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ]
の最小値を求む
424:１３２人目の素数さん
09/08/23 08:32:45
べく
425:１３２人目の素数さん
09/08/23 22:56:37
普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2
426:１３２人目の素数さん
09/08/24 01:42:44
複素係数の1変数代数方程式
z^m＋∑[j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0
の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす．
427:１３２人目の素数さん
09/08/25 18:56:29
>>423
軸を45ﾟ回す。
x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2,
(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2,
よって
√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|,
√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|,
辺々たす。
(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2,
428:１３２人目の素数さん
09/08/25 19:24:27
>>418
y=√x は上に凸だから
√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)},
√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)},
√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)}
= 3√{2(st-u)}
≦ 3√{2(st-u + F_1)}
= 3√{2(s^3 -3st +8u)}
= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)},
ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0,
ジャマイカ?
429:１３２人目の素数さん
09/08/25 19:36:42
>>427
u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？
430:１３２人目の素数さん
09/08/25 21:20:44
>>426 の証明をお願いします
431:１３２人目の素数さん
09/08/26 00:05:45
>>426,430
Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと
|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j)
≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j)
= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m} (|z|≠M)
≦ {M/(|z|-M)}|z|^m,
いま |z| > 2M と仮定すると、
M/(|z|-M) < 1
となり、題意を満たさない。
∴ 題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M.
432:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:51:39
|z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？
433:１３２人目の素数さん
09/08/27 22:23:19
| x | < π / 2 のとき
cosh x ≦ sec x
434:１３２人目の素数さん
09/08/27 22:49:41
>>433
cosh x * cos x ≦ 1
微分して楽勝
435:１３２人目の素数さん
09/08/28 01:29:26
誰と戦ってるんだ
436:１３２人目の素数さん
09/08/28 01:56:12
>>435
見えざる敵
437:１３２人目の素数さん
09/08/28 08:15:26
>>435
数学との戦い
438:１３２人目の素数さん
09/09/01 08:36:45
x,y,z＞0のとき
x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ．
439:１３２人目の素数さん
09/09/01 11:14:31
愚問
440:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/09/01 11:50:02
そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、
大昔にどっかで見た事がありますよ。
コレを愚問っちゅうんだったらですね、
それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。
大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！
そやけんどそんな事は出来ひんやろ！
そやし、どないすんねん？
441:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:09:34
>>438
相乗平均相加平均より
xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz
よって
x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz
=(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0
から題意の不等式を得る
そんな愚問か？
442:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:19:48
途中の不等号逆じゃね？
443:１３２人目の素数さん
09/09/01 14:29:28
あーホントや
444:１３２人目の素数さん
09/09/01 15:31:49
444
445:１３２人目の素数さん
09/09/06 16:40:10
>>433
cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)},
cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)},
cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)},
ところで
exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k,
であった。
1±i = (√2)exp(±(π/4)i),
-1干i = (-1)･{ 〃 },
より
(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{ 〃 },
辺々たして
(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4),
= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4) {kが4の倍数 or 0 のとき}
= 0, {その他}
cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j)
= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････,
交代級数となるから 2項づつまとめて
cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････
< 1, (|x|<π/2)
微分しなくても楽勝
微分方程式 y "" = -4y の解
446:１３２人目の素数さん
09/09/08 04:23:36
0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき
(a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める
447:１３２人目の素数さん
09/09/10 16:43:32
>>446
問題それであってるの？
（わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、
）
最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、
448:447
09/09/10 16:48:44
あ、とちゅうで送信してしもうた。
＝＝＝＝
bをx,qをyって書き換えると、
0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの
(x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。
a,bを定数とまずみなすと、
xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる）
だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる）
あとは、a,pの計算。
449:447
09/09/10 16:51:17
typo
＞a,bを定数とまずみなすと、
じゃなくて、
a,p...
450:１３２人目の素数さん
09/09/10 20:27:20
そう簡単にはいかないでしょ
451:１３２人目の素数さん
09/09/10 21:39:47
>>446
|a|=A, |p|=P とおく。
・0 ≦ A ≦ P ≦ 1 のとき
(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-a^2)^2 (等号は b=1-a^2, q=0 のとき)
≦ (1+A)^2 + (1-A^2)^2 (等号は p=-Sgn(a) のとき)
= 4 -(1-A)(2 +A^2 +A^3)
≦ 4, (等号は A=1 のとき)
・0 ≦ P ≦ A ≦ 1 のとき
(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-p^2)^2 (等号は b=0, q=1-p^2 のとき)
≦ (1+P)^2 + (1-P^2)^2 (等号は a=-Sgn(p) のとき)
= 1 - (1-P)(2 +P^2 +P^3)
≦ 4, (等号は P=1 のとき)
452:１３２人目の素数さん
09/09/15 06:55:45
正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる
△ABCの面積が最大となるには
3点A,B,Cをどのようにとればよいか
453:１３２人目の素数さん
09/09/15 07:03:19
>>452
簡単な例文。
【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり
土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり
自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】
より
【子供たちとの草サッカー】
の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまう知的土人のまじない師どもが日夜アホダラ教を唱えるサル・パラダイス日本
454:１３２人目の素数さん
09/09/17 22:52:24
>>452
{A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は
△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ),
Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。
∴ Xは頂点にあるとしてよい。
他の点についても同様。
本問では 正5角形だから
{A,B,C} = {2π/5,2π/5,π/5} のとき
455:454
09/09/17 23:59:36
訂正
△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２,
{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5} もあるが、>>454 より小さい。