09/06/15 19:00:00
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
・不等式への招待 第２章 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
・不等式への招待 第３章 ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
過去スレのミラー置き場：URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)
まとめWiki URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
2:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:03:00
不等式の本
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[5] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[6] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[7] 数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[10] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[11] 数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
3:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:04:00
不等式の埋蔵地
[1] RGMIA URLﾘﾝｸ(rgmia.vu.edu.au)
[2] Crux Mathematicorum Synopses URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
[3] Maths problems URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[4] Mathematical Inequalities & Applications URLﾘﾝｸ(www.ele-math.com)
[5] American Mathematical Monthly URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
[6] Problems in the points contest of KöMaL URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
[7] IMO リンク集 URLﾘﾝｸ(imo.math.ca)
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[10] Mathematical Excalibur URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
[11] MathLinks Contest URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu) (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics URLﾘﾝｸ(jipam.vu.edu.au)
[2] MIA Journal URLﾘﾝｸ(www.mia-journal.com)
[3] MathLinks Math Forum URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
4:１３２人目の素数さん
09/06/15 23:31:16
>>1
スレ立て乙！
>>2に数蝉の記事も加えてあって、完璧な仕事ぶりでござるな…
5:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
09/06/16 00:42:34
Cinco!
6:【転載】
09/06/16 02:49:26
979 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
7:１３２人目の素数さん
09/06/16 03:25:57
フィボナッチ数列に関した不等式ってないですか？
8:１３２人目の素数さん
09/06/16 04:22:17
>>6
上：nの偶奇で場合分け。偶数の場合をといて、奇数の場合を解く。
下：グロンウォールの不等式
9:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:15:19
>>6
x^2+y^2=1 上での x^n+y^n の最大値と解釈してラグランジュ。
10:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:45:15
まだ前スレは 20 は書けるぜ！
11:１３２人目の素数さん
09/06/18 01:03:50
ABを斜辺とする直角三角形ABCがある。
辺AC上に、頂点A、Cと異なる任意の点Pをとるとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
(AB-BP)/AP＞(AB-BC)/AC
(お茶の水女子大)
12:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:07:20
No1
a，b，cは実数で，a≧0，b≧0とする．
p(x)=ax^2+bx+c
q(x)=cx^2+bx+a
とおく．-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|p(x)|≦1が成り立つとき，
-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|q(x)|≦2が成り立つことを示せ．
No2
nを正の整数，aを実数とする．すべての整数mに対して，
m^2-(a-1)m+(an^2)/(2n+1)＞0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ．
No3
実数a，b，c，x，y，z，pが次の4条件をみたしている．
a^2-b^2-c^2＞0
ax+by+cz=p
ap＜0
x＜0
このとき，x^2-y^2-z^2の符号を調べよ．
No4
a，b，cは実数とする．また，xについての関数f(x)を以下のように定める．
f(x)=x^3-3ax^2+(a^2-a+b)x+c
a≦p，a≦q，a≦rをみたす任意の実数p，q，rに対して，
{f(p)+f(q)+f(r)}/3≧f((p+q+r)/3)
が成り立つことを示せ．
No5
a，bは実数とする．xについての関数f(x)を
f(x)=|x^3+ax+b|
と定める．|x|≦1におけるf(x)の最大値をM(a,b)として，M(a,b)の最小値を求めよ．
13:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:08:16
No6
nは自然数とする．2，2^2，2^3，…，2^nを並べ替えてできる数列をa[1]，a[2]，a[3]，…，a[n]とする．このとき
Σ[k=1,n]a[k]2^k
の最大値，最小値を求めよ．
No7
任意の正数a，b，cに対して，以下の不等式をみたすような実数kの最小値を求めよ．
a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)≦k(a+b+c)^(1/3)
No8
aは正の定数とする．任意の実数x，yに対して以下の不等式が成り立つことを示せ．
|√(a+x^2)-√(a+y^2)|≦|x-y|
No9
a,b,c,p,qはすべて異なる実数とする．
f(x)=(x-a)(x-b)
g(x)=(x-b)(x-c)
h(x)=(x-c)(x-a)
として，f(x)+g(x)+h(x)=0の解がp,qであるとき，h(b)＜0ならばf(p)g(q)＞0であることを示せ．
No10
a,b,c,dは0以上1以下の実数である．このとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
(a+b+c+d+1)^2≧4(a^2+b^2+c^2+d^2)
14:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:09:13
No11
a[1]，a[2]，…はすべて絶対値が1より小さい実数である．nを2以上の自然数として，以下の不等式を示せ．
a[1]a[2]…a[n]+n-1＞Σ[k=1,n]a[k]
No12
x，yは正の実数とする．
(1) 任意のx，yに対して，√(x+y)＜√x+√yが成り立つことを示せ．
(2) 任意のx，yに対して，√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ．
No13
a，b，cは正の実数とする．
(1) (a+1/b)(b+4/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
(2) (a+1/b)(b+4/c)(c+9/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
15:１３２人目の素数さん
09/06/18 05:00:35
ん．．．なんか「大学への数学」関係雑誌で見たような問題が並ぶ
16:１３２人目の素数さん
09/06/18 13:22:47
>>15
何年何月号か詳細を述べ給え！
17:15
09/06/18 17:22:20
月刊号じゃなくて，新数学演習とかと同じ位置づけの本
数学ショートプログラム―大学への数学
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-s.jp)
普通とは違う見方・解き方で発想力を付けようという趣旨だったか
18:１３２人目の素数さん
09/06/19 00:07:27
>>11
∠CBP = θ とおくと、
BP = BC/cosθ
CP = BC･tanθ
(BP-BC)/CP = (1-cosθ)/sinθ = sinθ/(1+cosθ),
これはθについて単調増加だから
(BP-BC)/(AC-AP) = (BP-BC)/CP < (AB-BC)/AC
∴ AC(AB-BP) > AP(AB-BC),
両辺を AC･AP で割る。
>>12
No.4
x≧a では
f "(x) = 6(x-a) ≧ 0 ･････ 下に凸
>>13
No.6 チェビシェフ
最大になるのは Σ同順序積 のとき a[k] = 2^k,
(与式) = Σ[k=1,n] 4^k = 4(4^n -1)/(4-1),
最小になるのは Σ逆順序積 のとき a[k] = 2^(n+1-k),
(与式) = Σ[k=1,n] 2^(n+1) = n･2^(n+1),
No.7 チェビシェフ
a^(1/3)=A, b^(1/3)=B, c^(1/3)=C とおくと、
(A+B+C)^3 ≦ 3(A+B+C)(A^2+B^2+C^2) ≦ 9(A^3 + B^3 + C^3),
No.8 分子を有理化して
(左辺) = |x^2 - y^2|/{√(a+x^2) + √(a+y^2)} ≦ |x^2 - y^2|/(|x|+|y|) = Min{|x+y|,|x-y|},
19:１３２人目の素数さん
09/06/19 09:37:51
08信州大（後期）より
nを1より大きい整数とする。次の不等式を示せ。
log(n) * log(nπ^2/4) > Σ[k=1,n-1] (4/(kπ))√[log(kπ/2) * log{(k+1)π/2}]
20:１３２人目の素数さん
09/06/19 23:55:27
>>14
No.11
(左辺) - (右辺) = Σ[k=2,n] (1-a[1]a[2]････a[k-1])(1-a[k]) > 0,
No.12
(1) (√x + √y)^2 = x + y + 2√(xy) > x + y,
の平方根をとる。
(2) 2(x+y) - (√x + √y)^2 = x+y -2√(xy) = (√x - √y)^2 ≧ 0,
∴ √x + √y ≦ √{2(x+y)},
等号成立は x=y のとき。
21:１３２人目の素数さん
09/06/20 00:15:59
>>14
No.13
(1) 1 + 4 + 2(ab/2 + 2/ab) ≧ 1 + 4 + 2*2 = 9,
等号成立は ab=2 のとき。
(2) 6{(2a/3 + 3/2a) + (3b/2 + 2/3b) + (c/6 + 6/c) + (abc/6 + 6/abc)}
≧ 6{2 + 2 + 2 + 2} = 48,
等号成立は a=3/2, b=2/3, c=6 のとき。
No.11 は [前スレ.990] かな。
22:１３２人目の素数さん
09/06/20 14:32:02
>>19
π/2 = p とおくと、相乗･相加平均より
(右辺) < ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(kp) + log((k+1)p)}
= ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1) + 2log(p)},
(左辺) = log(n)log(np^2) = log(n){log(n) + 2log(p)} = log(n)^2 + 2log(p)･log(n),
したがって、
∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1)} < log(n)^2, ･････ (I)
∑[k=1,n-1] (2/3k) < log(n), ･････ (II)
を示せば十分。
(I)
1/(k+1) < -log(k/(k+1)) = log((k+1)/k) = log(k+1) - log(k),
より
∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k+1) + log(k)} < (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] (1/(k+1)){log(k+1) + log(k)}
= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1) - log(k)}{log(k+1) + log(k)}
= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)^2 - log(k)^2}
= (2/3)log(2) + log(n)^2 - log(2)^2
= log(n)^2 -log(2){log(2) -2/3}
< log(n)^2, {log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
(II)
・n=2 のときは 明らか。
・n>2 のとき、(I) と同様に
∑[k=1,n-1] (2/3k) = 2/3 + ∑[k=2,n-1] (2/3k)
< 2/3 + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)-log(k)}
= 2/3 + log(n) - log(2)
< log(n), {log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
または、 y=1/x が下に凸だから
∑[k=1,n-1] (1/k) < ∫[1/2, n -1/2] 1/x dx = log(2n-1) < (3/2)log(n),
23:１３２人目の素数さん
09/06/20 16:04:24
>>13
No.10
Max{a,b,c,d} = M とおく。
ab+ac+ad+bc+bd+cd ≧ M(a+b+c+d-M) ≧ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - M^2 > a^2 + b^2 + c^2 + d^2 -1,
(左辺) = (a+b+c+d)^2 + 2(a+b+c+d) + 1
= (a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) +2(a+b+c+d) +1
≧(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + (a^2 +b^2 +c^2 +d^2 -1) +2(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) +1
= (右辺),
24:１３２人目の素数さん
09/06/21 02:29:17
>>6 (上), >>8
n=2m (偶数)のとき cos(x)^2 - (1/2) = ξ, とおく。|ξ| ≦ 1/2, 与式は
(与式) = (1/2 - ξ)^m + (1/2 + ξ)^m = 2∑[k=0,[m/2]] Ｃ[m,2k] (1/2)^(m-2k) ξ^(2m),
ξ=±1/2 のとき最大値 1,
ξ=0 のとき最小値 (1/2)^(m-1),
nが奇数のとき、与式を g(x) とおくと,
g '(x) = n･sin(x)cos(x){sin(x)^(n-2) - cos(x)^(n-2)},
最大値 g(0) = g(π/2) = 1,
最小値 g(π) = g(3π/2) = -1,
なお、
極小値 g(π/2) = (1/2)^(n/2 -1),
極大値 g(3π/2) = -(1/2)^(n/2 -1),
25:24
09/06/21 02:34:01
>>24 の訂正、ｽﾏｿ.
2行目
(与式) = ････ = 2∑_{k=0,[m/2]} Ｃ(m,2k) (1/2)^(m-2k) ξ^(2ｋ),
26:１３２人目の素数さん
09/06/22 09:11:50
負の実数 x,y,z が x+y+z<-3 および x^2+y^2+z^2+2xyz=1 を満たすとき，
(1) (x+1)(y+1)(z+1)≦0 が成り立つことを示せ。
(2) x,y,z が全て無理数である x,y,z の例を１組挙げよ。
（2006年 旭川医科大学）
27:１３２人目の素数さん
09/06/22 21:41:53
(前略)
今入った速報です。アグネスタキオン・・・原因が不明ですが死んだそうです。詳しい情報が入り次第また
お知らせしたいと思います。
うそ～～～！！！付けたことあるけどとまったことがないうちに高値になってしまい、お金ができたら
つけようと思っていたのに
すごく残念でショックでサンデーサイレンスが死んだ時のことを思い出しました。
サンデーに続く確立された種牡馬で血統も素晴らしい人気の種馬だっただけに・・・・。
タキオンが死んだら何が一番なの？
何だかもっと違う話題を書こうと思っていたのに、忘れるくらい残念な出来事になりました
(後略)
ソース：競走馬生産牧場・市川ファームのブログ
(牧場のブログなので直リン回避のため●を入れました。アクセス時には●を削除して下さい)
URLﾘﾝｸ(bl)<)
アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
URLﾘﾝｸ(db.netkeiba.com)
種牡馬｜アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
URLﾘﾝｸ(db.netkeiba.com)
YouTube - アグネスタキオンの種付け
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
28:１３２人目の素数さん
09/06/22 22:42:24
>>26
(2)が難しいな… ('A`)
29:１３２人目の素数さん
09/06/22 23:51:39
x=1/y=zとおく。
30:１３２人目の素数さん
09/06/23 09:00:17
>>26
(2)はx=-cosh(1),y=-cosh(2),z=-cosh(3)
として、無理数かどうか言及しないでokだろうか
31:１３２人目の素数さん
09/06/23 09:13:32
だめでしょ
32:１３２人目の素数さん
09/06/23 13:41:36
>>30
だめだろ！
33:１３２人目の素数さん
09/06/23 16:15:14
F[n]はフィボナッチ数列
(F[n]F[n+1])^4≦(n^3)Σ[k=1→n](F[k])^8
34:１３２人目の素数さん
09/06/23 19:33:49
>>26 (2) は
x = -(1/2)(a + 1/a), y = -(1/2)(b + 1/b), z = -(1/2)(c + 1/c), abc=1,
(略証)
定義より
x^2 + y^2 + z^2 +2xyz = 1 + (1/4)(1-abc)(1 + 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + (1/4){1 - 1/(abc)}(1 + a^2 + b^2 + c^2),
さらに abc=1 とおけば (上式) = 1, 題意を満たす。
35:１３２人目の素数さん
09/06/23 19:47:49
>>26
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
36:１３２人目の素数さん
09/06/23 23:30:00
（ｚ＋ｘｙ）＾２＝（ｘ＾２－１）（ｙ＾２－１）。
37:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:05:55
>>33
(右辺)=(1+1+…+1)(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^8+F[2]^8+…+F[n]^8)
≧(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)^2={(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)}^2
≧(F[1]^2+F[2]^2+…+F[n]^2)^4
=(F[n]F[n+1])^2=(左辺)
38:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:35:00
n≧3のとき(F(n+1)/F(n))^4≦2^4≦3^3≦n^3だから緩すぎ。
39:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:51:23
学コンから
（√2）^（√2）を小数第１位まで求めよ
40:１３２人目の素数さん
09/06/24 03:02:46
a+b+c=0，1/4≦x≦y≦z≦1のとき
abx+bcy+caz≦0
を示せ
41:１３２人目の素数さん
09/06/24 04:36:39
>>26は高校範囲だとどう解くんだ．．．？
42:１３２人目の素数さん
09/06/24 05:07:09
x=-5-4√2
y=-1-√2
z=-1-√2
43:１３２人目の素数さん
09/06/24 08:32:03
>>42みたいに適当に-1より小さい2つの無理数で計算しやすい組とってきて代入してもうひとつの文字求めればいいだけじゃないの
思いついたのは
x=-3+√2,y=-3-√2,z=-7-2√7
なんでそんなにややこしく考えるのかわからん
44:41
09/06/24 13:08:17
>>43
ちょっと行き当たりばったりすぎな気もしたから，もうちょっとウマク平易に解きたかったんだ
先験的に解くと>>35みたいなのになり，それを元に>>34みたいな答えが出てくる
45:１３２人目の素数さん
09/06/24 13:17:14
(1)の結果と>>36から-1より小さい実数をx,yに代入してzを求めたらx+y+z<3は自ずと満たされる
別に行き当たりばったりでもないだろ
46:１３２人目の素数さん
09/06/24 13:21:45
このスレでオナニーの邪魔をするのは無粋というもの…
47:１３２人目の素数さん
09/06/24 19:32:38
>>26 (1)
（>>36 の解説）
題意より x-1 <-1, y-1 <-1 だから、>>36 より
(x+1)(y+1) ≧0,
x+1 と y+1 は同符号。
同じ様に
x+1, y+1, z+1 は同符号。
一方、
(x+1) + (y+1) + (z+1) = (x+y+z) +3 < 0,
x+1, y+1, z+1 ≦ 0,
48:１３２人目の素数さん
09/06/24 19:52:02
お前らかっけー
49:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:13:22
微分法を使わずに
x≧0におけるx^3-3xの最小値を求めることってできますか？
50:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:47:24
x^3 - 3x = (x+2) (x-1)^2 - 2
51:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:59:59
x^3+1+1≧3x⇔x^3-3x≧-2
じゃあ駄目？
52:１３２人目の素数さん
09/06/26 04:24:11
x^3+1+1に ( ﾟ∀ﾟ)つ AM-GM
53:１３２人目の素数さん
09/06/26 04:24:48
a>0,b>0のとき
(b^2/a^2)－a＋b^2－1＋(a^2/b^2)－b^2/a
の最小値を求めよ
54:１３２人目の素数さん
09/06/26 18:41:40
Canada 1997
1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44
55:１３２人目の素数さん
09/06/26 21:41:53
>>54
(2i-1)(2i+1) = (2i)^2 -1 < (2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)/(2i+1)} < √{(2i-1)/(2i+1)}
(4i-1)(4i+1) = (4i)^2 -1 < 4(2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) = 1 - 1/(2i) = √{1 - (4i-1)/(2i)^2} > √{1 - 4/(4i+1)} = √{(4i-3)/(4i+1)},
すなわち
√{(4i-3)/(4i+1)} < (2i-1)/(2i) < √{(2i-1)/(2i+1)}
k=2,･･･,n を掛けて
√{5/(4n+1)} < Π[i=2,n] (2i-1)/(2i) < √{3/(2n+1)},
∴ (1/2)√{5/(4n+1)} < Π[i=1,n] (2i-1)/(2i) < (1/2)√{3/(2n+1)},
n=999 とおいて
1/57 < (1/2)√(5/3997) < Π[i=1,999] (2i-1)/(2i) < (1/2)√(3/1999) < 1/51,
なお、近似値 0.017847935113411････
56:55
09/06/26 22:25:08
訂正ｽﾏｿ
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)＊(2i+1)} ＝ √{(2i-1)/(2i+1)},
ｉ= 2,･･･,n を掛けて
57:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:33:48
>>54
(2i-1)2i ＞ (2i-1)/(2i+1) より
Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＞ Π[i=1 to 999] (2i-1)/(2i+1) = 1/1999
(2i-1)2i ＜ 2i/(2i+1) より
(Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)^2
＜ (Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)(Π[i=1 to 999] 2i/(2i+1))
＜ Π[i=1 to 999] ((2i-1)/2i) (2i/(2i+1))
= 1/1999
よって, Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/√1999 ＜ 1/44
(∵ 44^2 = 1936 ＜ 1999 ＜ 2025 = 45^2)
以上より 1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44
58:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:40:14
素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>0として
f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で
f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）
f(x)≧Kg(x)を導き出して
f(x)/g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3+2,g(x)=3x,K=1）
するのって等号成立条件を満たしさえすればokですか？
59:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:47:11
>>58
問題ないと思いますよ
60:１３２人目の素数さん
09/06/26 23:03:15
>>59
ありがとうございます
61:１３２人目の素数さん
09/06/27 00:04:24
>>58
前者はおｋ
後者の場合はg(x)が正数値を取るか負数値を取るか，はたまたゼロかで違う．
安易に考えてはいけない場合だよ．
その例だと定義域が書いてないので，負・正0ではそれぞれ負・正無限大に発散するので，最小値無し．
定義域がx>0であれば最小値1(x=1)でおｋだけど
62:１３２人目の素数さん
09/06/27 00:08:26
>>61
>>58 には
『簡単のため、x,f(x),g(x)>0として』
と書いてあったので…
63:61
09/06/27 00:42:11
ごめん，読み飛ばしてた(爆)
orzorzorz
64:１３２人目の素数さん
09/06/27 21:27:03
>>53
b/a + a/b -2 = (b-a)^2 /(ab) = x とおく。xの変域は x≧0,
b/a + a/b +2 = (b+a)^2 /(ab) = x+4,
(b/a)^2 + (a/b)^2 -2 = (b^2 - a^2)^2/(ab)^2 = (b-a)^2･(b+a)^2/(ab)^2 = x(x+4),
よって
(与式) = x(x+4) -bx +(b-1)^2 = x^2 + (4-b)x +(b-1)^2 = (x+2 -b/2)^2 + (3/4)(b^2 -4) = F(x,b),
これはxの2次式で、軸のx座標は b/2 -2 である。
・0<b≦4 のとき
F(x,b) ≧ F(0,b) = (b-1)^2 ≧0,
等号成立は a=b=1 のとき,
・b≧4 のとき
F(x,b) ≧ F(b/2 -2,b) = (3/4)(b^2 -4) ≧ 9,
-------------------------------------------------
>>24 の訂正
最後の2行
極小値 g(π/4) = ････
極大値 g(5π/4) = ････
65:１３２人目の素数さん
09/06/28 02:32:31
>>64
F(x,y) = x(x+4) -xy +(y-1)^2
= (x+2)^2 -(x+2)y +y^2 -3
= (3/4)x(x+4) + {(x+2)/2 -y}^2 ≧ 0, (x>0)
66:１３２人目の素数さん
09/06/28 21:26:57
情報
今年の群馬大の入試は関数方程式と不等式を絡めたやつが出たらしい
（問題知ってる人は頼みます）
月刊大数で毎月不等式の記事が出てるらしい
67:１３２人目の素数さん
09/06/29 02:56:31
p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。
1・2・2・3・3・3・4・4・4・4・5・…・n・n…・n
＜(e・n!/(n+1))^(n+1)
a,b,c,dは実数で
|a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2
a+b=1,c+d=1を満たすとする。
このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ。
f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。
68:１３２人目の素数さん
09/06/29 03:33:26
>>67
> sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
ぽかーん…
69:１３２人目の素数さん
09/06/29 04:03:16
何も考えずに問題を貼ってしまった、すまない
元ネタ
NO.5-1 sin44°とsin46°～難易度☆☆★★★
問題
25:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:07:27.33 ID:zPq0YMmyO
>>22
(sin44°)/(sin46°)は1より大きいか
解答
<+> ...
小さい
解説
sin44°＜sin46°を示す。
加法定理を用いて
sin(45°+1°)-sin(45°-1°)
=sin45°cos1°+cos45°sin1°-sin45°cos1°+cos45°sin1°
=2cos45°sin1°=√2sin1°＞0
∴sin46°＞sin44°から
sin44°/sin46°＜1
大小比較を何をもってするかが、重要。
手によっては、相当大変かもしれない。
70:１３２人目の素数さん
09/06/29 07:45:57
>大小比較を何をもってするかが、重要。
>手によっては、相当大変かもしれない。
そうやってる当人に言われると説得力があるな
71:１３２人目の素数さん
09/06/29 09:06:12
sinが[0,π/2]で単調増加という事実は知らないものとして答えよ
という問題だったんだろうか．．．
72:１３２人目の素数さん
09/06/29 10:50:17
>>69
え。。。
73:１３２人目の素数さん
09/06/29 12:36:48
元ネタ発見
> 102 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:06 ID:gZbowFD2O
> sin44°sin46°は1より大きいか
> 103 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:49 ID:gZbowFD2O
> >>102の右辺は1/2だった
> 104 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:31:36 ID:gZbowFD2O
> 右辺てか１→1/2な
>
> 簡単な問題を出し合って息抜きするスレ
> URLﾘﾝｸ(unkar.jp)
そしてそのままVIPでネタにされたらしい
> 数学の問題集 in VIP@wiki - 12130005 URLﾘﾝｸ(www24.atwiki.jp)
74:１３２人目の素数さん
09/06/29 14:10:06
>>73
それでも三角関数バラすだけだな
2 sin(x-a) sin(x+a) = cos(2a) - cos(2x)
∴ 2 sin(45-1) sin(45+1) = cos(2) < 1
75:１３２人目の素数さん
09/06/29 22:23:14
>>67
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係
〔補題〕 |h| <0 のとき
(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h) ≧ 1,
(略証)
f(x) = x･log(x) とおく。(x > 0)
f(x) = -x･log(1/x) = -x･log(1 - (1 -1/x)) ≧ -x･{-(1 -1/x)} = x-1,
f(1-h) + f(1+h) ≧ (-h) + h = 0,
あるいは、y=f(x) は下に凸から、
f(1-h) + f(1+h) ≧ 2f(1) = 0, (終)
----------------------------------------------------
線分(-1,2)～(2,-1) 上に2点 P=(a,b), Q=(c,d) をとる。
このとき ac+bd = OP↑・OQ↑ は････
76:１３２人目の素数さん
09/06/30 01:16:31
>>67
> (0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
200個の相加相乗平均不等式より，
1 = (1/0.99)×99 + (1/1.01)×101 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
1/0.99 ≠ 1/1.01 より，相加相乗平均の等号成立条件は満たされない。ゆえに
1 > (0.99)^(-99) (1.01)^(-101)
∴ (0.99)^99 > (1.01)^(-101) （終）
77:１３２人目の素数さん
09/06/30 01:18:06
>>76の訂正
1 = {(1/0.99)×99 + (1/1.01)×101} / 200 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
78:１３２人目の素数さん
09/06/30 22:20:57
>>75の補足
1-h : 1+h = m : n のとき
2m/(m+n) = 1-h, 2n/(m+n) = 1+h,
相加相乗平均より
1 = {(1/(1-h))*m + (1/(1+h))*n}/(m+n) ≧ {(1/(1-h))^m･(1/(1+h))^n}^(1/(m+n))
= (1/(1-h))^((1-h)/2)･(1/(1+h))^((1+h)/2)
= 1/√{(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h)},
79:１３２人目の素数さん
09/07/01 02:53:21
F[n]はフィボナッチ数列とするとき
(F[n])^2≦F[2n]≦(F[n+1])^2
80:１３２人目の素数さん
09/07/01 06:34:40
F[n]を行列表示してF[2n]をF[n]などで表す式を出して、以下略
81:１３２人目の素数さん
09/07/01 17:15:08
行列表示？
82:１３２人目の素数さん
09/07/01 19:30:26
>>79
簡単な計算により
F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2
よって
F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2
F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2
83:１３２人目の素数さん
09/07/01 19:31:11
>>82
最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い
84:１３２人目の素数さん
09/07/01 20:54:48
>>81
F[n+1] F[n]
F[n] F[n-1]
という行列M[n]を作ると、(F[0]=0)
11
10
のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。
かなり荒い評価であることも分かります。
85:１３２人目の素数さん
09/07/01 22:08:45
>>79
加法公式 F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により
F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n],
よって
F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n],
F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:011番) ,038
フィボナッチ数列の定理スレ
86:１３２人目の素数さん
09/07/01 23:24:35
>>67
2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
m_n・M_n = (n!)^(n+1), ････････(1)
一方、補題↓ より
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(2)
(1)､(2)より
(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4),
(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4),
〔補題30〕k≧2 のとき
k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1),
k=2～n とおいて辺々掛けると
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:030-031番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:039-042番)
東大入試作問者スレ１７
87:１３２人目の素数さん
09/07/02 00:19:45
>>84
なるほど。thx
88:１３２人目の素数さん
09/07/02 03:14:20
|x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K
89:１３２人目の素数さん
09/07/02 20:04:24
>>88
w=1 とおく。
w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。
{W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、
(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8,
(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4,
両辺を4乗して
{4/(3√3)}|w^2･x･y^2･z^3| ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 /256,
よって
|w^2･x･y^2･z^3| / (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 ≦ (3√3)/1024 = K,
等号成立は W=X=Y=Z, すなわち x={1/(√2)}w, y=w, z={√(3/2)}w のとき。
90:１３２人目の素数さん
09/07/02 20:09:25
問題仕入れてきた
91:１３２人目の素数さん
09/07/02 22:23:43
問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ
問3
三角形ABCにおいてBCの中点をMとするとき
2AM>AB+AC-BCを示せ
問4
AB>ACの△ABCにおいてBCの中点をMとする
∠BAM<∠CAMを示せ
問5
0<x≦y≦z，1/10≦y，xyz=1のとき
(1+logx)(1+logy)(1+logz)≦1を示せ
ただしlogの底は10とする
問6
0<xで定義された連続関数f(x)が
0<x,yにおいて，f(xy)=f(x)+f(y)
任意の自然数nにおいて，f(n)<f(n+1)
を満たすとき
f((x+y)/2)≧(f(x)+f(y))/2を示せ
92:１３２人目の素数さん
09/07/03 00:45:51
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
93:１３２人目の素数さん
09/07/03 06:30:53
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC
94:１３２人目の素数さん
09/07/03 18:51:12
四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。
お願いします。
95:１３２人目の素数さん
09/07/03 20:28:15
問題文書き直します。
任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。
96:１３２人目の素数さん
09/07/03 22:52:38
>>91
問1
(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺について たす。
(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
□が正方形ぢゃなくて長方形の場合も同様。
問2
Aを中心として、△ABCと合同な三角形を18個並べる。→ この正18角形は、半径AB の円に内接する。
∴ 2π*AB > 周長 = 18*BC,
∴ AB /BC > 18/(2π) = 2.864789
問3
Mは線分BC上の点だから、三角不等式より
AM > AB - MB,
AM > AC - MC,
辺々たす。
97:１３２人目の素数さん
09/07/03 22:54:54
>>91
問4
題意より
BM = CM,
∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
AB･sin(∠BAM) = BM･sin(∠AMB) = CM･sin(∠AMC) = AC･sin(∠CAM),
問5
題意より 1+log(z) ≧ 1+log(y) ≧0,
・1+log(x) ≦0 のとき、 (左辺) ≦0 < 1,
・1+log(x) >0 のとき、相乗･相加平均より
(左辺) ≦ {[3+log(x)+log(y)+log(z)]/3}^3 = {[3+log(xyz)]/3}^3 = {[3+log(1)]/3}^3 = 1,
問6
f(exp(u)) = g(u) とおくと、
g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
∴ g(u) = au,
∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.
ぬるぽ
98:96-97
09/07/03 23:19:42
>>91
問2
この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095
99:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:20:29
＞問6
＞ f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞ g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
＞∴ g(u) = au,
＞∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.
＞∴ g(u) = au,
これはアリなのか？
ガッ
100:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:26:50
>>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ
101:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:40:14
>>100
なんか勘違いしてません？
102:１３２人目の素数さん
09/07/04 00:08:13
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2) 1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。
A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。
103:１３２人目の素数さん
09/07/04 02:03:19
ここを見ると格の違いを感じるorz
104:１３２人目の素数さん
09/07/04 13:28:02
>>91
問2
合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.)
△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE,
∠BAE = 3∠A = 60ﾟ,
AB = AE,
∴ △ABE は正三角形.
AB = BE < BC + CD + DE = 3BC,
BEとACの交点をC',BEとADの交点をD'とおく.
∠CBC' = ∠B - ∠ABE = 20ﾟ = ∠A,
∴ ∠BC'C = 180ﾟ - ∠A - ∠C = ∠C,
∴ △BCC' は二等辺三角形.
BC'= BC,
同様に D'E = DE,
∴ AB = BE > BC' + D'E = BC + DE = 2BC,
>>98 は牛刀････
105:１３２人目の素数さん
09/07/04 15:34:28
ｶｳｶﾞｰﾙが通ります
ﾊ,,ﾊ ﾓｫ
||ﾟωﾟ||ﾚ _)_, ―‐ 、
/(Ｙ (ヽ＿ /・ ヽ ￣ヽ
∠＿ゝ ｀ ^ヽ ﾉ.::::::__( ノヽ
_/ヽ /ヽ￣￣/ヽ
106:１３２人目の素数さん
09/07/04 15:41:57
>>102 (下)
n = 21, h = 1/2009, とおく。
A = h/n, B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),
(1+A)^n - (1+B)^n = (1 + h/n)^n - (1+h) = ∑[k=2,n] Ｃ[n,k] (h/n)^k >0,
(1-A)^n - (1-C)^n = (1 - h/n)^n - (1-h) = ∑[k=2,n] Ｃ[n,k] (-h/n)^k
≧ ∑[j=1,[(n-1)/2]] {Ｃ[n,2j] - Ｃ[n,2j+1](h/n)} (h/n)^(2j)
≧ ∑[j=1,[(n-1)/2]] Ｃ[n,2j] (1-h) (h/n)^(2j) >0, (*)
よって C > A > B,
※ Ｃ[n,2j+1](1/n) = ((n-2j)/n)(1/(2j+1))Ｃ[n,2j] ≦ Ｃ[n,2j]
107:１３２人目の素数さん
09/07/04 21:18:31
>102 (下)
n = 21, h = 1/2009, とおく。
A = h/n, B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),
x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0.
に x = 1±(h/n) を代入。
108:１３２人目の素数さん
09/07/04 22:14:28
>>101
勘違い？ してないと思うが。
件の問題の一過程だろ？
109:101
09/07/04 22:16:13
もっと言うと、この前別のところに
「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」
という質問も見かけたが君ではないのかな？
110:１３２人目の素数さん
09/07/04 23:20:37
奉納
実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）～（に）を満たすものとする。
（い） x［1］≦x［2］≦x［3］
（ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0
（は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1
（に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］
実数y［i］（i＝1，2，3）を
y［1］＝a［1］x［1］＋a［2］x［2］＋a［3］x［3］
y［2］＝b［1］x［1］＋b［2］x［2］＋b［3］x［3］
y［3］＝c［1］x［1］＋c［2］x［2］＋c［3］x［3］
により定義する。
y［1］＋y［2］≧x［1］＋x［2］を示せ。
111:１３２人目の素数さん
09/07/05 00:16:06
実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に
｜x－a｜＜c，｜y－b｜＜c
という関係があるとき，
｜xy－ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c
が成り立つことを証明せよ。
112:１３２人目の素数さん
09/07/05 01:38:20
『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた
「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」
さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？
113:１３２人目の素数さん
09/07/05 02:21:16
>>112
x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾
114:１３２人目の素数さん
09/07/05 02:48:37
>>112
最大値の求め方について、ろくに考えずに
図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、
他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？
115:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:16:31
x,y,z≧0のとき考えれば十分である
6
=(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1)
≧√3(2x+2y+2z)
等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3
これだと矛盾が生じないんだよな・・・
116:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:39:00
>>112
3 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2
≧ (x+y+z)^2
= (1/4)(2x+2y+2z)^2,
これでも矛盾しないでつ･･･
117:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:44:07
むかしむかし、きびだんごが一つありました
イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます
サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます
キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます
みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし
さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？
118:１３２人目の素数さん
09/07/05 04:01:13
何か混乱してきたぜ
求めることは示すことより難しい
119:１３２人目の素数さん
09/07/05 04:53:13
>>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？
120:猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/07/05 09:38:47
ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな
そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ
121:１３２人目の素数さん
09/07/05 19:27:22
Q1
nを6以上の自然数とする
(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)
となることを示せ
Q2
nを7以上の自然数とする
lcm(1,2,…,n)＞2^n
となることを示せ
122:86
09/07/05 21:35:17
>>67
>>86 の訂正、ｽﾏｿ.
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < n!･M_n / e^(n(n-1)/2), ･･････ (2)
123:１３２人目の素数さん
09/07/05 21:56:48
>>67
m_n, M_n を >>86 のようにおくと、
m_n･M_n = (n!)^(n+1), ･･････････ (1)
一方、補題↓より
c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(3)
(1),(3) より
c^((n-1)/2)(n!)^((n+1.5)/2) / e^((n+2)(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+1.5)/2) / e^(n(n-1)/4),
(n!)^((n+0.5)/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+0.5)/2)・e^((n+2)(n-1)/4) / c^((n-1)/2),
〔補題50〕
c･k^(k +1/2) / e^k < k! < k^(k +1/2) / e^(k-1), c=√(2π),
k=2～n とおいて辺々掛けると
c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:050番) , 133
東大入試作問者スレ１７
124:１３２人目の素数さん
09/07/06 03:25:21
>>121
とりあえずQ1だけ･･･
題意より [n/2] = m ≧ 3,
(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >1,
125:１３２人目の素数さん
09/07/06 20:06:54
>>123
＞〔補題50〕
なんの50なんだ？
126:１３２人目の素数さん
09/07/07 18:19:45
[問題]
a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ：
Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2
127:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:10:05
実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y
a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か
(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
(2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π
n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという
このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。
すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき
a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0
が成り立つことを証明せよ
nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく
k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ
実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ
√{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2
f(x)=1-sinxに対し
g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく
このとき,任意の実数x,yについて
g(x-y)+g(x+y)≧2g(x)
が成り立つことを示せ
128:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:13:35
入試ばっかやな
つまらん
129:１３２人目の素数さん
09/07/08 04:04:21
>>111
|xy-ab|
＝|(x-a)y+a(y-b)|
≦|(x-a)y|+|a(y-b)|
＜c|y|+|a|c
＝c|(y-b)+b|+|a|c
≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c
＜(c+|a|+|b|)c
130:１３２人目の素数さん
09/07/08 17:54:33
f（x）が下に凸のとき
Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k－1）／n
ってどう解いたらいい？？
131:１３２人目の素数さん
09/07/08 21:27:47
>>130
nについての帰納法による。まづ
F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1),
g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1),
と置く。
・n=1 のとき
F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >0,
・n>1 のとき、
F_n = F~_(n-1) + nΣ[k=1,n] g(2k-1)
帰納法の仮定により
F_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k) - nΣ[k=1,n-1] f(2k-1) >0,
F~_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k+1) - nΣ[k=1,n-1] f(2k) >0,
また、題意により
g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1) >0,
132:１３２人目の素数さん
09/07/08 22:08:24
∑_[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。
133:１３２人目の素数さん
09/07/08 23:23:14
>>127 (2)
√(ab) = d とおくと
(左辺) - (右辺) = {a+b+c -3(abc)^(1/3)} - {a+b -2√(ab)}
= c + 2d - 3(cdd)^(1/3)
≧ 0, (相加･相乗平均)
等号成立は c=√(ab) のとき
>>127 (4)
a[1] + a[2] + ･･･････ + a[n] = S とおく。
a[i] ≦ (S-a[i])/(n-1),
a[i] - S/n ≦ 0,
i=1,2,････,n の総和をとると
Σ[i=1,n] {a[i] - S/n} = S - S = 0,
∴ a[i] - S/n = 0,
>>127 (5)
題意により、a[k-1] < 0 ≦ a[k]、または a[k] ≦ 0 < a[k+1] を満たすkが存在する。
(与式) = (1-k)a[1] + (2-k)a[2] + ････ + (-1)a[k-1] + 0 + a[k+1] + ････ + (n-k)a[n] >0,
>>127 (7)
右側:
{tan(a) + tan(b)}/2 = sin(a+b)/{2cos(a)cos(b)} = sin(a+b)/{cos(a-b)+cos(a+b)},
tan{(a+b)/2} = sin(a+b)/{1+cos(a+b)},
左側:
tan(a)･tan(b) = 1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b),
tan{(a+b)/2}^2 = 1 -2tan{(a+b)/2}/tan(a+b),
と右側から
>>132
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
134:131
09/07/09 02:40:24
>>130 (補足)
F_n - F_(n-1) = ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j),
F_n ≡ n∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j),
・参考
[初代スレ.128, 132-135] Ingleby不等式, f(x)=a^x,
135:１３２人目の素数さん
09/07/09 02:50:44
過去スレのミラー見れないの俺だけ？
136:131
09/07/09 03:16:56
>>135
初代スレ.128
128 ：１３２人目の素数さん ：04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」 より
【Inglebyの不等式 】
a>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n,
137:１３２人目の素数さん
09/07/09 03:26:39
>>136
おお、ありがとう☆
138:１３２人目の素数さん
09/07/09 21:46:55
>>127-3
(1) f(π-x) = f(x), 上に凸ゆえ 台形と比べて
(左辺) = 2∫[α,β] f(x)dx > (β-α){f(α)+f(β)} = (右辺),
(2) sin(kπ/n) = {cos(kπ/n - π/2n) - cos(kπ/n + π/2n)}/{2sin(π/2n)} より
(与式) = {1/2sin(π/2n)}{cos(π/2n) - cos(π - π/2n)}
= cos(π/2n)/sin(π/2n)
= 1/tan(π/2n)
< 2n/π,
>>127-7
左側
tan(a)tan(b) = {2sin(a)sin(b)} / {2cos(a)cos(b)}
= {cos(a-b)-cos(a+b)} / {cos(a-b)+cos(a+b)}
≦ {1-cos(a+b)} / {1+cos(a+b)}
= {tan((a+b)/2)}^2,
>>127-8
g '(x) = x -1 +cos(x),
g "(x) = 1 - sin(x) ≧ 0,
∴ y=g(x) は下に凸。
139:１３２人目の素数さん
09/07/10 01:29:59
拾い
a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき
a+b+c≧ab+bc+caを示せ
140:１３２人目の素数さん
09/07/10 07:31:27
>>139
対称性の利用だね。
無理なら一文字ずつ攻めるか。
141:１３２人目の素数さん
09/07/10 08:01:06
>>139
1文字固定して2変数不等式にしてやれば出来そうな予感。
無理なら一文字ずつアホみたいにやるしかないね。
対称性の利用は頭で考えた限り無理だった。
それか思い付きもしないような因数分解で綺麗にやっちまうか。
142:１３２人目の素数さん
09/07/10 13:26:23
え・・・
143:１３２人目の素数さん
09/07/11 17:55:42
>>139
a,b,c < 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc < 4,
a,b,c > 1 と仮定すると、ab+bc+ca + abc > 4,
いずれも題意と矛盾する。a≦b≦c とすれば、
0 < a ≦ 1 ≦ c,
題意により、
b = (4-ac)/(a+c+ac),
これを代入して、
(a+b+c) - (ab-bc-ca) = {(a+c-2)^2 + ac(1-a)(c-1)}/(a+c+ac) ≧0,
144:１３２人目の素数さん
09/07/11 18:00:42
汚い解法だなぁ
145:１３２人目の素数さん
09/07/11 20:07:40
x ≧ 0 のとき
cosx + sinx ≧ 1 + x - ( 2 x ^ 2 / π )
146:１３２人目の素数さん
09/07/11 23:35:35
>>143
よく、そんな解答を思いつくな。天才か?
対称だから大小つけたのは分かるが。
最初の部分の発想が恐ろしい。
147:１３２人目の素数さん
09/07/11 23:37:07
>>144
汚いというより自然じゃない。
何か「同じ問題を解いた事がある」か天才かの解答にみえる。
148:１３２人目の素数さん
09/07/12 03:25:19
>>145
f(x) = cos(x) + sin(x) -1 -x + (2/π)x^2
= cos(x) + sin(x) -1 - (2/π)x(π/2 -x),
とおくと
f(x) = f(π/2 -x), (∴ x≦0 でも成立)
f(0) = f(π/2) =0,
f '(x) = -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x
= -sin(x) + cos(x) -1 + (4/π)x,
f '(0) = f '(π/4) = f '(π/2) = 0,
また、 (*) より
x < 0 または π/4 < x <π/2 で f '(x) < 0,
0 < x < π/4 または π/2 < x で f '(x) > 0,
よって
x≠0,π/2 では f(x)>0,
*) f "(x) = -cos(x) -sin(x) + (4/π),
149:１３２人目の素数さん
09/07/12 04:52:10
>>139
>>140-141 に従って a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおく。
・s≧4 のとき
s ≧ 4 = t + abc ≧ t,
・s≦4 のとき
4 = t + abc ≦ t + (t/3)^(3/2),
∴ t ≧ 3,
∴ s ≧ √(3t) ≧ 3,
ところで、
F_1 = s^3 -4st +9abc = s^3 -4st +9(4-t) = (s^3 +36) -(4s+9)t ≧ 0,
から、
t ≦ (s^3 +36)/(4s+9),
∴ s - t ≧ s - (s^3 +36)/(4s+9) = (4-s)(s^2 -9)/(4s+9) = (4-s)(s-3)(s+3)/(4s+9) ≧ 0,
ぬるぽ
150:１３２人目の素数さん
09/07/12 05:39:54
>>139
ボクならこう解く.
a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおくと,
a+b+c≧ab+bc+ca
⇔ (x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)) / ((x+y)(y+z)(z+x)) ≧ 0
Schur ineq より明らか.
151:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:13:32
>>149
良いね～。
152:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:16:17
>>150
こんなのよく思い付くな。
見た目は綺麗だけど、証明にはイマイチだな～。
153:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:24:23
abc>=1 っていえる？
いえるなら、
↓みたくいっきにとけたんだけど。
(a + b + c) - (ab + bc + ca)
= (a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件)
>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均)
= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた)
= (n + 3/2)^2 - 25/4
ゆえに、
(n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１） を示せばいい
（１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1
で、 abc >=1 なので成立 ■
で、肝心の abc >= 1 がしめせん。
154:153
09/07/12 07:35:24
あと、
a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１）
与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q)
（p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾）
すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q)
よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。
で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、
多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。
155:１３２人目の素数さん
09/07/12 07:42:44
>>153
云えません。
相加･相乗平均により
t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3),
よって
abc > 1 ⇒ t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4,
これは題意に矛盾。
156:153
09/07/12 07:55:57
>>155
あら・・・・失礼
157:１３２人目の素数さん
09/07/12 08:00:17
>>152
そうかなぁ～。
オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。
158:153
09/07/12 08:07:22
>>155
でも、妙に数値がそろってる気が。。。
少し直せば正しくなるのかな？
あるいはどっかでおっきな勘違い？
159:150
09/07/12 16:10:30
>>152
題意から
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
x = k * a/(a+2),
y = k * b/(b+2),
z = k * c/(c+2),
とおいた。
x+y+z = k > 0,
a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z),
b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x),
c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y),
160:159
09/07/12 16:18:16
>>152
(補足) ↑では 恒等式
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
161:１３２人目の素数さん
09/07/12 17:20:54
>>158
>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)
ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
これが今の場合ね．
n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0．
162:161
09/07/12 17:27:16
ちょっと変な書き方だった
最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．
あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か
163:１３２人目の素数さん
09/07/12 18:04:00
どうも 150 です.
>>159-160 さん補足有り難うございます.
この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) )
という置換をして解く解法があります.
これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して,
bc/a = (2x/(y+z))
という関係と,
a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b)
という関係から導きました.
後で調べてみたら,
ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした.
しかし, 形はどうであれ,
(a, b, c) →(f(x), f(y), f(z))
(a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z))
という置き方は良く行われます.
164:１３２人目の素数さん
09/07/12 18:09:16
>>160
その恒等式はどこから出てきたんだ？？
一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
= (a+2)(b+2)(c+2)
だから
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= (a+2)(b+2)(c+2)
が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど．
165:164
09/07/12 18:11:35
リロードしてなかったのでとんちんかんなレスしてしまったorz
166:１３２人目の素数さん
09/07/13 03:50:36
>>147
照れるぜ！
167:１３２人目の素数さん
09/07/14 01:49:03
アタシ･･･ネイルアーティスト検定に合格したの！！
URLﾘﾝｸ(218.219.144.2)
キャバ嬢が好きなエグザイル
URLﾘﾝｸ(image.blog.livedoor.jp)
168:１３２人目の素数さん
09/07/14 13:59:47
【問題】
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、これが最良であることも示せ。
169:１３２人目の素数さん
09/07/14 14:10:00
最良の定義は？
170:１３２人目の素数さん
09/07/14 14:25:00
>>147
条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。
どの部分が自然じゃない？
171:１３２人目の素数さん
09/07/14 17:05:47
x,y,zは実数とする
√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )
≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
を満たす正の定数Mの最小値を求めよ
172:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:07:51
>>171
a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと
0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2)
すなわち
(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
ここでコーシーシュワルツより
(a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)
等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ
よってM^2/4=14
173:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:11:14
まちがい
× (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
○ (a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2)
× M^2/4=14
○ M^2/2=14
174:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:13:30
>>169
定数 π未満だと不等式が成立しないということ。
つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。
175:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:25:30
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
の等号成立条件を示せばいいってこと？
176:１３２人目の素数さん
09/07/14 18:28:33
>>175
違う。
πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。
（つまり、ベスト・コンスタントの問題）
177:１３２人目の素数さん
09/07/14 19:09:06
176にかってに横から追加すると
等号が自明でないfで成り立つならば
>>175 のように等号条件を示しても良いが
ヒルベルトの不等式を用いるならば
等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので
等号条件を示すのは「違う」となる
178:１３２人目の素数さん
09/07/14 20:36:27
>>126
ゴリ押しの証明だが一応できた。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
179:１３２人目の素数さん
09/07/14 20:45:49
ゴメン。ちょっと修正。
URLﾘﾝｸ(www.csync.net)
180:１３２人目の素数さん
09/07/14 21:55:34
>>168,177
【問題】 (訂正版)
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。
181:１３２人目の素数さん
09/07/15 03:40:51
>>171
√ は上に凸だから、
√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x, ････ (1)
2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z, ････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2 より
x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2), ･････ (3)
(1) ～ (3) を辺々たす。
M = 3+√5,
等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき
>>172
(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね?
182:172
09/07/15 03:53:21
>>181
とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。
183:１３２人目の素数さん
09/07/15 04:30:27
a , b , c ≧ 0
a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2
| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ
184:１３２人目の素数さん
09/07/15 05:21:16
>>183
前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です.
いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります.
他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね.
ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します.
185:１３２人目の素数さん
09/07/15 05:34:55
2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005
186:185
09/07/15 05:42:09
>>185は忘れて下さい
187:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:19:05
有名サイトかもしれないが一応
つURLﾘﾝｸ(jp.mathnori.com)
188:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:31:56
>>187
もうずっと更新されていないよね。
189:１３２人目の素数さん
09/07/15 16:33:06
>>187
もうずっと更新されていないよね。
190:１３２人目の素数さん
09/07/15 22:56:50
>>187
おいらには解けない５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
191:１３２人目の素数さん
09/07/15 23:30:32
>>183 (下)
4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、
f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx,
{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6,
∴ |f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。
192:１３２人目の素数さん
09/07/16 00:45:04
投下
x > 1 のとき
( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ]
の最大値を求めよ
193:１３２人目の素数さん
09/07/16 01:51:25
>>192
{log(1+√2)}^2 (x=1+√2)
194:１３２人目の素数さん
09/07/16 02:08:10
>>192
(x+1)/(x-1) = y
とおくと、
(x-1)(y-1) = 2, (直角双曲線)
これは x = y = 1+√2 をとおる。
>>185
log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698
195:191
09/07/16 22:15:14
>>183 (下)
max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき
f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1, (x=1, -1/2 で最大値1)
f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1, (x=-1, 1/2 で最小値-1)
あるいは
f(x) = -sin(3arcsin(x)),
196:１３２人目の素数さん
09/07/17 02:42:14
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)
197:１３２人目の素数さん
09/07/17 03:59:50
拾い
( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4
のとき
a x + b y + c z > 0
198:１３２人目の素数さん
09/07/17 05:57:06
>>197
あえて、行列使うか、
あるいは、xyz空間で、
x+y+z=(a+b+c)/3
x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4
を考えて、
線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。
199:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:36:28
>>183の上は
三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして
r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1
を示せばよい。
200:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:38:29
>>197
上の式を２乗する事から始めればできそう。
それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。
201:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:55:21
>>197
>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = A,
(ｘ･ｅ) = X,
ａ - Aｅ = Ａ_v,
ｘ - Xｅ = Ｘ_v,
とおくと
|Ａ_v| = √(1-A^2),
|Ｘ_v| = √(1-X^2),
|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX,
∴ (ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1
題意より AX= 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
202:１３２人目の素数さん
09/07/18 03:10:23
>>197
>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα, (0≦α≦π)
(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ, (0≦θ≦π)
とおくと
∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ,
∴ (ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ)
= 2(cosα)(cosθ) － cos(α－θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1,
題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
203:１３２人目の素数さん
09/07/18 04:43:37
0＜θ≦φ≦π/2において
sinθ/sinφ≧θ/φ
これのうまい証明方法ってありまつか？
204:１３２人目の素数さん
09/07/18 05:23:21
>>203
sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す
くらいしか思いつかん
205:１３２人目の素数さん
09/07/18 05:58:03
数列 a [ n ] において
a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7
( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2
を満たすとき
| a [ n ] | < 14 / √ 3
a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c
のとき
( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b )
を満たす最大の k を求む
206:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:10:14
>>202
いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑)
207:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:17:59
>>205
２問目は数オリ本選やがな
208:１３２人目の素数さん
09/07/18 06:21:37
>>206
涙拭けよ(笑)
209:１３２人目の素数さん
09/07/18 10:52:08
>>208
はい。
210:１３２人目の素数さん
09/07/18 17:00:00
ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。
（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２－ａｃ）（ｃ＾２－ａｂ）
＝（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３）
≧（ａ＾２－ｄ＾２）＾２－４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３
＝ａ＾４－６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３－３ｄ＾４
＝（ａ＋３ｄ）（ａ－ｄ）＾３。
211:１３２人目の素数さん
09/07/18 22:41:46
>>204
y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ
sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ,
212:１３２人目の素数さん
09/07/19 06:06:31
671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672
213:１３２人目の素数さん
09/07/19 08:13:08
>>212
∑[k=1,n] f(k) = S_n とおく。y=f(x) は上に凸だから
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx < f(k),
{f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx,
ゆえに
∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n),
本題では f(x) = √x なので,
[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n,
(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n,
本題では n=100 なので
671.437･･･ < S_100 < 671.50
なお S_100 = 671.462947103148･････
214:１３２人目の素数さん
09/07/19 19:56:21
x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ
215:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:44:17
>>214
0 < x ≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
ビブンのことはビブンでするのもいいが、
log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1),
log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1),
両辺>0 だから 辺々掛けて
log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2,
ぬるぽ
216:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:53:59
>>214
log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから
f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む．
つまり
f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0
を示せばいいが，これは
g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で
g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える
>>215
> x≧1のとき
217:１３２人目の素数さん
09/07/19 21:59:13
>>216
x≧1は必要ないってことだろ
>>215
が
218:１３２人目の素数さん
09/07/19 22:55:17
>>199
△ABC の3辺の長さを
AB = x+y, BC = y+z, CA = z+x,
とおき >>163 を使うと
AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR,
BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR,
CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR,
2r = 2√(xyz/s) = abcR,
R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)},
s = x+y+z,
∴ (AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc,
219:１３２人目の素数さん
09/07/20 01:44:45
αは実数
β = sin α , γ = sin β
のとき
( | α | + | γ | ) ≧ 2 β
また π < 3.1416 を用いて
sin ( 1 / 2 ) > 0.4764
220:203
09/07/20 15:35:18
>>219
>>203-204 の応用問題でつね。
(上)
sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。
∵ α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと
|α'| ≦ min(|α|, π)
β = sinα = sin(α'),
・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。
・α≠nπ のとき
θ=|β|, φ=|α'| を代入する。
|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|,
|γ| / |β| > |β| / |α'|,
|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β,
(下)
θ=1/2, φ=π/6 を代入する。
sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･
221:181
09/07/20 16:32:14
>>171
a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、
(a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、
pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2},
を満たすMの最小値を求めよ。
(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。
しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。
それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？
(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2),
pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc (← コーシー)
= M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c} {← M = r + √(p^2+q^2)}
≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2 (← δ>0)
≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, (← コーシー)
等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角⊿) のとき。
参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。
222:１３２人目の素数さん
09/07/20 17:39:56
sin 10ﾟ > 0.17 を示せ
多分東大模試の過去問
多分小問付いてたはず
223:１３２人目の素数さん
09/07/20 18:10:09
3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着
224:１３２人目の素数さん
09/07/20 18:14:49
>>222
y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。
sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。
sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ),
∴ 3α < 30ﾟ,
∴ α < 10ﾟ,
∴ 0.17 < sin(10ﾟ)
かな？
225:１３２人目の素数さん
09/07/20 19:43:48
そろそろネタ切れ
| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
226:１３２人目の素数さん
09/07/20 21:21:29
255だるまにおん [2009/06/22(月) 17:50:07] 出題
f(x)は0≦x≦1において積分可能で、
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1
が成り立つものとする。このとき、
∫[0,1](f(x))^2dx≧4
を証明せよ。
URLﾘﾝｸ(www.casphy.com)
227:１３２人目の素数さん
09/07/20 23:45:03
まとめサイトの中の人
携帯でみれるようになりませんかね？
228:１３２人目の素数さん
09/07/20 23:54:08
>>226
0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4
移項して
∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4
229:１３２人目の素数さん
09/07/21 06:34:31
何処かの掲示板の回答と同じですね。
230:１３２人目の素数さん
09/07/21 07:36:34
同一人物
231:228
09/07/21 07:55:52
>>229
確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。
一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
|| f- ag - bh ||^2
を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。
232:１３２人目の素数さん
09/07/21 08:30:59
a,b,c＞0
abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
233:１３２人目の素数さん
09/07/21 22:53:03
>>227
諦めろ！
234:１３２人目の素数さん
09/07/22 00:24:18
>>231
{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
235:１３２人目の素数さん
09/07/22 05:43:21
1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。
ただし2.71<e<2.72。
236:１３２人目の素数さん
09/07/22 21:12:15
ふと思った問題
↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か
237:１３２人目の素数さん
09/07/22 21:40:33
>>234
直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
1.43333････ < Ｉ < 1.49290････
>>236
最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.
238:235
09/07/22 22:07:21
用意していた解法
e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4
∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5
239:１３２人目の素数さん
09/07/23 00:45:30
この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。
鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
240:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:45:00
釣りは他所でやってね
241:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:50:41
>>239
中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける
確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。
金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。
そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ
242:１３２人目の素数さん
09/07/23 01:54:35
釣りにマジレスすんなｗ
243:241
09/07/23 01:57:29
3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。
s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。
244:241
09/07/23 01:59:16
>>242
すまん、死んでお詫びを(AA略
245:１３２人目の素数さん
09/07/23 04:41:11
政権童貞 「一回やらせて」
246:１３２人目の素数さん
09/07/23 05:30:30
0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において
cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）
247:１３２人目の素数さん
09/07/23 09:32:50
カンでn=5
248:１３２人目の素数さん
09/07/23 16:55:20
ここの問題を他所で自分が考えたように出題
249:１３２人目の素数さん
09/07/23 22:19:35
>>246
cosθ = 12/13 より,
cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
n = 22
なお、 θ = 22.61986494804042617294901087668･･･
>>237 (中) 補足
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
左側: 逐次積分で
e^t -1 >0, (t>0)
e^t -t -1 >0,
e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,
右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。
250:１３２人目の素数さん
09/07/23 23:15:31
自然対数の底eを
e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
251:１３２人目の素数さん
09/07/24 17:00:01
URLﾘﾝｸ(myhome.personaldb.net)
252:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:00:31
>>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？
253:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:10:16
>>252
∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。
254:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:30:59
なぜ一次関数なんですか？
何について平方完成するんですか？
255:１３２人目の素数さん
09/07/24 23:43:44
>>250
(1)
(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)}
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2)
0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t,
を t で積分すると
0 ≦ t - 1/t -2log(t), (t≧1)
ここで t = √(1+x) とおく。
256:１３２人目の素数さん
09/07/25 00:58:20
>>250
(1) k≧4 のとき
1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4),
e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4)
= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5)
= 2 + 23/32
= 2.71875
(2) sinh(z) > z, (z≧0)
に z = (1/2)log(1+x) を代入…
257:１３２人目の素数さん
09/07/25 02:08:20
x > 1 のとき
( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0
0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2
Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1
のとき
Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 )
258:１３２人目の素数さん
09/07/25 04:55:02
>>257
(上)
f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2),
とおくと
f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0,
y=x^2 >1 とおく。
(下)
0 ≦ x ≦ π/2 から
cos(x) ≧0, sin(x) ≧0,
cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1,
から
∑[k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1,
259:１３２人目の素数さん
09/07/25 06:29:57
x>0のとき、(x^3+2)/xの最小値を求める問題で
(x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3
等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3
どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？
260:１３２人目の素数さん
09/07/25 07:50:38
質問は他いけ
261:１３２人目の素数さん
09/07/25 16:35:01
>>254
とりあえず計算してみ
>なぜ一次関数なんですか？
定数じゃムリなので1次関数
>何について平方完成するんですか？
計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる
この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした)
∫[0,1]{f(x)}^2dx － G(a,b)
これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b)
>>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分
試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる
この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可)
262:１３２人目の素数さん
09/07/25 21:24:26
>>259
別に間違ってないような・・・
263:１３２人目の素数さん
09/07/26 00:57:10
>>259
x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア
次に等号成立条件も定義域x>0に取れる
第2式の⇔変形もx>0なので問題ない
何も間違っていないと思うぜ
URLﾘﾝｸ(tinyurl.com)
264:１３２人目の素数さん
09/07/26 05:03:40
周の長さが一定の正 n 角形の面積を S [ n ] とする
n < m のとき , S [ n ] < S [ m ]
265:１３２人目の素数さん
09/07/26 06:31:24
拾い
10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198
ただし,対数の値は与えられていない
266:１３２人目の素数さん
09/07/26 11:57:06
もとは99^99は何桁かって問題だな。
267:１３２人目の素数さん
09/07/26 12:42:54
笑
268:１３２人目の素数さん
09/07/26 14:46:04
>>265
受験板とマルチかつ解決済
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:459-463番)n
ｽﾚﾘﾝｸ(kouri板:474番)n
答えて損した
269:１３２人目の素数さん
09/07/26 14:55:45
>>265
99^99 < 100^99 = 10^198 は簡単
10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3
7log3 + log5 = log10935 > 4 より
7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47
また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので
2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3
よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925
ゆえに 99log99 > 197.2575
270:269
09/07/26 14:57:46
>>268
私も書く前にリロードすべきだった
同じく書いて損した
271:１３２人目の素数さん
09/07/26 16:25:48
ヒント：拾い
272:１３２人目の素数さん
09/07/26 17:33:39
>>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2,
等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4 etc. のとき {φ=(1+√5)/2=1.618034}
>>264
周の長さを L とおく。
一辺の長さは L/n,
中心から一辺を見る角は 2π/n,
中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)},
中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)},
S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)},
ところで tan(x)/x はxについて単調増加。
>>265
log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1),
(n-1)･log((n-1)/n) > -1,
n = 100 とおくと
99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1
同じく 解いて損した。
273:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:16:10
はて？この流れだと ﾌﾟｷﾞｬｰのＡＡを張るのが
数学板のマナーかの？
274:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:38:59
>>265
10^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10
f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。
(x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a)
f(x)は単調増加
x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少
1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10
損した
275:１３２人目の素数さん
09/07/26 18:46:13
損するのがブームらしい
276:１３２人目の素数さん
09/07/26 19:18:45
重み付き相加相乗平均がわからない。加重平均っぽい言葉だ。
277:１３２人目の素数さん
09/07/26 19:53:51
自信作
π＾ｅ＜23を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
278:１３２人目の素数さん
09/07/26 21:39:58
>>276
まとめWikiを見よう。
URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)
279:１３２人目の素数さん
09/07/26 23:16:14
>>278
ありがとうあいしてる
280:１３２人目の素数さん
09/07/27 04:26:29
実数全体で定義された実数値関数 f ( x ) は次の条件を満たす
1 + x ≦ f ( x )
f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y )
このとき x < 0 において
0 < f ( x ) < 1
を満たすことを示せ
281:１３２人目の素数さん
09/07/27 04:57:16
最近は単なる受験問題スレでつまらん
驚きも何も無い
282:１３２人目の素数さん
09/07/27 10:16:13
>>280
その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。
ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
283:１３２人目の素数さん
09/07/27 18:36:49
>>277
示すべき不等式は、
f(23)-f(π)>1
と同値
ただし、
f(x)=ln(lnx)
この時、
f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1)
より、
f(23)-f(π)≧1
ここで、
f(23)-f(π)=1
とすると、
e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1
一方、
ln19>lne=1
となるので不適である。
以上より示された。
284:１３２人目の素数さん
09/07/27 19:04:21
>>283
ダメダメ
285:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/07/27 19:25:34
皆さんメチャメチャ辛抱強いなァ
頭が下がりまっせ！
286:１３２人目の素数さん
09/07/27 20:37:41
>>282
googleでどうやって検索したんですか？
287:１３２人目の素数さん
09/07/27 23:54:17
数式の終りにコンマ『,』をつける。
288:１３２人目の素数さん
09/07/28 14:11:11
251きぼん
289:１３２人目の素数さん
09/07/28 20:51:43
>>232
(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2,
(略証)
例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)}
= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u)
= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u)
≧ 2,
下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。
例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1,
290:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:13:34
>>277
e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より
π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01,
π = 3.14159･･･ < 22/7 より
π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9,
∴ π^(2 + 1/250) < 10,
π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7),
ところで
(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2,
∴ π^(5/7) < 16/7,
∴ π^e < 160/7 = 23 - 1/7,
Yahoo!掲示板 数学カテ 数学･算数質問コーナー(制限板)
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
291:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:19:13
自信作
e＾π＞23 を示せ。
ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。
292:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:26:21
>>291
それは東大の問題だょ
293:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:29:59
>>250
(3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された
294:１３２人目の素数さん
09/07/28 21:53:45
x1,x2,...,xn>0とする
n変数k次基本対称式
Sk=Σx1x2...xk
とする。このとき、
(Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1))
を示せ！
295:１３２人目の素数さん
09/07/28 22:12:39
不等式！
-= ､､∧,,∧ どぞどぞ！
-=≡(｀･ω･) ＜＜
-= ／､_〇＝O≧≧≧
-=(_⌒)ﾆ∥_≦≦≦≦_
-(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂
- = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!!
296:１３２人目の素数さん
09/07/28 22:55:34
>>292
ちょっと違う
>1999年東大6番は、e^π>21 だな。
URLﾘﾝｸ(cheese.2ch.net)
e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159)
ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より
2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386
これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて，
e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736
ちなみにe^π = 23.1406926
297:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:26:09
>>294
過去に何度もでてたはず。
S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。
補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1)
等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n]
証明.nについての帰納法で示す。
(n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、
p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。
k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、
等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。
S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、
p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1)
k=2,3,…,n-2のとき
(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2
ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2
Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1]
Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2)
ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より
p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。
よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0
左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで
右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき
k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。
Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より
(p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1)
よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)}
298:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:26:29
>>295
ワロス
299:１３２人目の素数さん
09/07/29 02:42:51
a_1，a_2，…，a_(2n+1)を次の性質（Ｐ）をみたす整数の集まりとする。
（Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。
このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。