10/02/01 03:59:50
>>884
そこの839の回答は間違い。
ただし831は正しい。うろ覚えだがその後に証明の概略は書いてあったと思う。
839を見てなぜ間違いなのかわからないならば絶望的にセンスがない。
895:１３２人目の素数さん
10/02/01 09:54:54
到達不可能基数の存在からＶ≠Ｌは従いますか？
896:１３２人目の素数さん
10/02/01 12:06:04
選択公理を採用しても、採用しなくても、数学は造れる。
唯一の数学があると思うのが間違いですかね？
897:１３２人目の素数さん
10/02/01 15:24:20
いちいち余計な口を利く奴にお稽古事は無理だ
898:考える人
10/02/01 18:30:29
>896
だいぶ前ですが、竹内外史さんが、有用な公理系を模索するために物理学
にかなり傾倒されていたことがあるました。うろ覚えで恐縮ですが、次の
ような主張だったように思います。
公理系をどう取るかで同じ数学の問題でも結果が変わってくるから
問題によって公理系を使い分けると言う発想もあるが（物理学と幾何学で良くある発想）
集合論の公理系ではそのような発想ではなく最も適切な公理系を模索
すべきである。その為の指針として物理学が有用と考えられる。
当時は、なんとなくゲーデルのプラトニズムに似た香りを感じました。
しかし、自然（物理）に聞いてみる言うところが面白かったです。
今でも、同じようなことをされている人はいるのでしょうかね。
899:１３２人目の素数さん
10/02/01 20:01:18
それは単にそのとき、量子論理上の集合論を考えていたというだけの話でしょう。
900:１３２人目の素数さん
10/02/01 20:17:19
> 田中 尚夫「選択公理と数学―発生と論争、そして確立への道」
> は一応目を通しておりますがこれを見ても解答を得ることは出来ませんでした。
> 具体的にどのページを見れば良いか教えて頂けると助かります。
「一応目を通した」だけではどうにもならないよ
電話帳か何かと間違えてないか？
901:考える人
10/02/01 20:22:41
知っている人もいるかもしれませんが
Banach-Tarskiにある意味大変“近い”結果が、選択公理なしに証明できたとか。
Banach-Tarskiの証明を読んだものとしてはにわかには信じがたい内容です。
個人的に細かく検証する気にはとてもなりません。
（砂田さんあたりがしてくれると助かるんですが）
興味のある方はどうぞ↓
URLﾘﾝｸ(antimeta.wordpress.com)
902:１３２人目の素数さん
10/02/01 20:24:20
覚える
解答が書いてある場所を探す
語る
文系の数学
903:１３２人目の素数さん
10/02/01 20:44:59
>>902
さすがにそれは文系に対して失礼だ。
センターテスト受験で使えればいいやの数学と限定しようよ。
904:１３２人目の素数さん
10/02/01 21:20:51
>>901
書いている人がよくわかっていない。
Daughty-Foreman の結果は Banach-Tarski の定理で有限分割した集合
がベールの性質をもつものにできる、ということである。
あなたも、このような記事の端を読むことだけで内容に関するところの
話でないところに終始するので嫌がられる。
905:考える人
10/02/02 01:38:47
>904 まさか、Daughty-Foreman の結果を紹介しただけで批判されるとは思いませんでした。
詳しい内容が知りたいひとは紹介してある記事を見れば事足れりと判断したのですが。
とは言え、「にわかには信じがたい」と私が思った理由を全く述べなかったので不評を買った
ようですので、簡単に記しておきます。
BTの背理は3次元球が選択公理を使って非構成的に体積の定義出来ない有限集合に分解されて、
それぞれの集合が空間の運動群で移った集合を組み立てると元の3次元球とは異なる体積に
なると云うものであるが、ポイントは体積の定義出来ない（恐ろしくいかがわしい）集合
に分けられるところで本質的に選択公理を使っていることと、このようなことが1次元、
2次元では起きなくて3次元で起きる理由が空間に働く運動群の性質の違いによることにある。
ところで、Daughty-Foreman の結果の驚くべきところは
Perhaps the most surprising result is ・・・と書かれている部分にあるとおり
disjoint open(!) subsets に分けられるところである。
つまり、各パーツは有界な開集合だから、もちろんルベーグ可測で、体積を持つ、という点。
加えて選択公理を使わないと言う点。
904さんが言っている部分はおそらく下記ではないかと思いますが（違っていたらすみません）
the central result of Dougherty and Foreman is a Banach-Tarski-style decomposition where every set involved has the property of Baire.
私は下記の部分の方に興味を持ちました。
it turns out that it only looks bad when using Baire’s notion of almost equality.
つまり、この定理では通常のベールの「痩せた集合」という概念が、あまり「無視できる」
とは言い難い集合であるということを意味しているのではないかと云うところです。
いづれにせよ、この定理の証明はホローしていませんから、この程度の「感想」しか言えません。
それで「嫌がられる」とするなら、甘んじて受けるしかないでしょうね。全ての定理を
読み切るのは大変ですから。私はプロではないのでそこまでする積りはありません。
906:１３２人目の素数さん
10/02/02 07:55:42
主張を弱める際にA～Bを
（Aの或る稠密部分集合）～（Bの或る稠密部分集合）で
置き換えちゃう訳ですから体積もへったくれも無いと思いますけども。。
件の論文に関してはBSLのStan Wagonのreviewに
「全ての実数の集合はBaire」はZFと無矛盾等価だが
「全ての実数の集合はLebesgue可測」は「ZF+innaccessible cardinal」
と無矛盾等価だからそもそも
巨大基数的な性質であるLebesuge可測とそうでないBaireでは
概念の性質が全然違うんだ、というような話が載ってますね。
907:１３２人目の素数さん
10/02/02 08:26:38
たぶん「考える人」さんを含む多くの一般的な数学者は
基礎論ってのは数学の基礎に関する哲学っぽい議論のことを言うんだろう、
くらいに思っているんじゃないかと思うんですが
いわゆる基礎論の人は大抵、自分の研究分野は
数理論理学の応用分野であるという風に思っているんじゃないかと思うんですよね。
だから例えばHilbertの第10問題で言えば、Matiyasevichによる
A⊆ωがr.e.ならばAはDiophantine という結果は数理論理を応用する話なんですけど
Bakerによって同じICMの会場で発表された
有理係数の二元n次同次不定方程式の解を上から評価する結果
|x|,|y| < Ce^(log m)^(n+1+ε) は全く基礎論の話じゃありません。
どの分野の話かは些細な問題だとか言ってこのスレで積分による
不定方程式の解のサイズの評価の話をしたりするようなのは何だかなあ、ということになる訳です。
908:１３２人目の素数さん
10/02/02 08:28:50
>>871
極論言いますよ。
公理系（ことば）が先にあり、然る後に研究対象（もの）はそのモデルとして存在するとするのがロジックです。
研究したいものが先にあって人間のことばは単なる手段に過ぎないと考えるのが普通の数学です。
「選択公理と数学」の第四章を理解して目を通されたならば当然ご存じだと思いますが、
選択公理を使わなければ～～は証明できない、ということを証明するためには
さて、今示した定理 A の証明が実際に論理式の列としてmachine-readableな形で書き下さしたとしよう、
証明で使われる公理は有限個だからそれを{φ_0,........, φ_{n-1} } とする（以下略）
というような、一般的な数学からするととんでもない議論をします。
これはロジックの議論です。
選択公理より～～が成り立つ、という証明は（普通は）ロジックの議論じゃありません。
解析的整数論が基礎論じゃないのと同じです。
だからロジックを応用して一般的な数学に関する結果を導くときには、
Church-Turingのテーゼが正しいならば、とか、Hilbertのテーゼが正しいならば、とか、
集合に関する事実の証明手段が ZFC（のサブセット）に収まるならば、
とかそういう前提条件がほぼ必ず付きます。
setの研究はロジックではありません。universeの研究はロジックです。
GodelとCohen以後の集合論の大部分は後者ですし、>>871にある結果も
可換環の性質に関する定理ではなくて、ZFという公理系の性質に関する定理です。
909:超越論的数学者
10/02/02 20:32:18
ただし物理学の公理系というのも
大抵は一般的な集合論の公理系の上に
代数を定義するだけで十分なんですよね
擬似カシミール元とかLC浮動集合みたいのとか
公理系をいじる必要があるのはロジックをやるとき位なんです
無限に対してかなり特殊な扱いをしているものに
Aleister CrowleyのLiber-ALという公理系なんかがあって
こういったものでは選択性公理に対応する公理として
口伝律法とかいう高階算術と議論対象が交換できる公理系が
あって選択性公理のうさんくささが回避できます
これはLindeulm置換可能とか言うそうですが
910:超越論的数学者
10/02/02 21:30:33
またライトら新フレーゲ主義の提唱した
2階算術から部分的に構築されるヒュームの原理に基づく公理系では
数operaterとか言われる写像に代わる対応概念を用いて
整列可能定理と同等のものが証明できるそうな
911:１３２人目の素数さん
10/02/02 22:13:38
>>905
私はあなたのような軽薄な人がいろいろ書くのを楽しんでいます。
ただ嫌がるような書き方をしている人がいるように思い904のよう
に書きました。
もとの話にもどると、12-13行目に書かれていることは、開集合が
可測であることからも変ですし、連結性からも変です。つまり元の
記事を書いた人がよくわからずに変なことと、まともなことをごっちゃ
に書いているのだと思います。それを鵜呑みにして書いている 905 は
やはり軽薄だということではないでしょうか？
912:１３２人目の素数さん
10/02/02 22:21:46
>だから例えばHilbertの第10問題で言えば、Matiyasevichによる
>A⊆ωがr.e.ならばAはDiophantine という結果は数理論理を応用する話なんですけど
>Bakerによって同じICMの会場で発表された
>有理係数の二元n次同次不定方程式の解を上から評価する結果
不定方程式の奥深さを感じさせる２大研究成果や。
913:１３２人目の素数さん
10/02/02 22:24:52
＞Church-Turingのテーゼが正しいならば
アルゴリズムの定義に関する話やね。
これを間違っていると考えるほうがおかしい。
914:考える人
10/02/03 00:24:57
>906 - 910
大変興味深い話しですね。
>911
専門の論文ではありませんから記事に対しても緩やかに読みますし、
その紹介も緩やかに書きます。それが軽薄というのであればそれで良いです。
雑談風でなら「超関数は関数概念の拡張です。」と済ませますが、
プロとの会話では絶対そうは言いません。（これは嘘ですから）