09/07/01 01:07:11
>>96
誰でも解ける難問こそ深い
100:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:09:12
むしろその深さというかひねりというか、出す意義がなくね？
特に東大入試としてだと。
101:べ
09/07/01 01:09:35
別に根号の問題にする必要はない。式=n^2の形にしたときのnを求めよ、など。
102:べ
09/07/01 01:11:35
(3)で一次独立を題材にした(2)を用いる東大っぽい問題か何か出せばいい。（無茶振り
103:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:12:17
誘導問題にして，(2)は立方根外させればおｋかな
整数問題になるな
104:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:12:51
分かったから、東大の過去問を10年分くらい解いてからまたここに来い
105:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:15:26
>>102
でもそれがないわけだろ。単独でのひねりや工夫のポイントは特にない
係数比較を面倒にしただけの、手間の問題でしかない
106:べ
09/07/01 01:17:08
>>104
ま、ここにいる住人は明らか、今の東大受験生のレベルを越えてるだろうがね。
複雑にすれば、かなり面倒な整数問題になりそう。
分数とかにすると…
107:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:17:32
>>99
良いことを言うね
でも、誰でも解ける難問ってどれ？
そういうのは、解法見たら発見や感動があると思うんだ。
108:べ
09/07/01 01:21:10
>>105
次のうち根号を外せないものはどれだ？はどうだろう。
直感が必要になってきて、普通に解くより工夫もいりそうなんだが。
>>107
誰でも解けるって、解き方を習ってるって意味だぞ。
感動は確かにないかも。ありきたいと言えばありきたり。
109:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:21:28
東大は計算量が多くなるのを厭わないところだが，単なる計算問題は出さないからな
110:べ
09/07/01 01:25:00
じゃ、
二重根号→√の和
で、出てきた一次独立の和の結果を、ベクトルの一次独立と繋げて、
ベクトルの問題を出す。
二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係が！
111:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:29:16
>二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係
例えば．．？
112:べ
09/07/01 01:30:43
それはしらん
113:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:34:49
√(a+b－2√ab)＝|√aー√b|
程度ではちょっと．．．
114:べ
09/07/01 01:41:29
ま、なかなかいい計算練習になるな。問題作成は。
√関連で、
√(a+i)^n
が整数となる整数nが存在するのは、a=1の時に限る事を証明せよ。
って高校の範囲で解ける？無理だよね？
115:べ
09/07/01 01:43:48
あ、違う。違ってもいないけどすまそ。
(a+i)^nが整数となる整数nが存在するのは ね。
116:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:48:54
これがゆとりか
117:べ
09/07/01 01:50:42
みたか、ゆとりの本領を！
じゃ、寝る！
118:１３２人目の素数さん
09/07/01 21:18:34
久々に伸びてると思ったらこれか
119:１３２人目の素数さん
09/07/05 00:52:34
高一に相手にふんぞり返って
√√(-2401)
を出題しておきながら複素数の説明無しなのに√√(-1)の未処理に
減点判定していたβさんじゃないですか
120:べ
09/07/05 00:56:31
×高１に相手に
○高１相手に
答えたのは高１じゃない
（つうか数学９点のスレ主がまともに答えられるわけねーだろ…）
君が来るスレじゃないんで戻りなさい。
121:１３２人目の素数さん
09/07/05 01:21:17
大学で学ぶ内容を元ネタに大学入試問題を作る場合、作問者のセンスが問われる
元ネタの選び方が素晴らしければ良問になり得るが、選び方が悪ければただのオナニー
更に、選び方が素晴らしくても問題の作り方が悪いと寒い問題になる
非実数な複素数の1/2乗は一意に定まらないってのが面白い点だと思う
でも入試に出すには不適切かと。課外研究の良いテーマではあると思う
122:１３２人目の素数さん
09/07/05 11:45:16
β恥録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:30番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:226番)
123:１３２人目の素数さん
09/07/05 17:38:56
D＝{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1} ，定点 A(a,b) ∈ D とする．
また点Aを通る任意の直線と D との共通部分の長さの最小値を L(a,b) とする．
L(a,b) ≧ 1 となる点(a,b)の存在範囲を求めよ．
124:123
09/07/05 17:41:39
× L(a,b) ≧ 1
○ L(a,b) ＝ 1
125:べ
09/07/05 17:42:59
>>121
確かに一意的に定まらないことを題材として、良い問題が作れそう。
まぁ不適切かもしれんが。
つか煽りのつもりで出した問題が意外と評価されてるｗ
126:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:29:11
>>123
定点 A(a,b)に対して L(a,b)＝1じゃないの？常に．
軸と平行な直線でね．傾きをちょっとでも変えると共通部分は大きくなるから．
だからDと一致．
問題文おかしくね？俺がおかしいのか．．．？
127:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:32:01
>>126
あふぉ？
128:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:40:05
>>126
落ち着け
129:べ
09/07/05 18:56:55
スマソ。オレにつられてやってきたアホスレの、
連中かも知れん。
ただオレを煽ってるヤツほどバカではない。
なぜならそいつらは、オレの訂正した問題を全て問題だと勘違いするほど、
イカれてるからな…
130:べ
09/07/05 18:58:18
ヤツ「ラ」ほど ね
131:１３２人目の素数さん
09/07/05 19:34:29
βはさっさと数学板から聞いて下さい
132:１３２人目の素数さん
09/07/05 20:07:15
>>129
関係ねーよ。何で俺１人が「ら」になるんだ？
俺１人がやった事を場の人間全部に当てはめる癖…
あ、そう言えば前から１人のやった事を
全てに当てはめる様な事やってるよなお前は
と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが
133:１３２人目の素数さん
09/07/05 20:51:36
>>50
a_n = n!(e^n)/n^(n +1/2),
とおくと、>>44-45 より
a_k / a_(k-1) = e･{(k-1)/k}^(k -1/2) <1,
∴ a_n は単調減少。
lim[n→∞) a_n = c,
とおけば、
c < a_n ≦ e, (等号成立は n=1)
次に c=√(2π) を示す。
b_m = (a_m)^2 /{a_(2m)} = (4^m)(√2)/{Ｃ[2m,m] √m},
とおくと
lim[m→∞) b_m = c,
ところで、I_n = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ とおくと、
I_n = {(n-1)/n}I_(n-2), I_0 = π/2, I_1 = 1,
より
I_(2m-1) = (4^m)/{2m･Ｃ[2m,m]} = b_m /√(8m),
I_(2m) = (π/2)Ｃ[2m,m] / (4^m) = π/{b_m･√(2m)}
I_(2m+1) = {2m/(2m+1)}I_(2m-1),
明らかに
I_(2m+1) < I_(2m) < I_(2m-1),
∴ √(2π) < b_m < √{2π(2m+1)/(2m)},
∴ c = lim[m→∞) b_m = √(2π), (終)
ちっとも代数的ぢゃねぇが･･･
134:１３２人目の素数さん
09/07/05 21:38:24
βは荒らすな
135:べ
09/07/05 22:18:18
>>132
１行目：いや、お前一人を「ら」にしてないぞ？
２行目：一度もやってない。
３行目：×を含みを ○に含むを
136:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:35:07
>と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが
やっぱり、あのスレの住人のようです
137:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:47:49
>>135
A「私は正直である」
さて、Aは正直者か嘘つきか？
138:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:53:26
>>136
あー違う逆
誰がβを褒めに言ってるのか見に行ったんだよ
あそこに７回とか書いてあったからまんま鵜呑みしてた
このスレで何回だったか数えたわけではなくて
結局、評価されたのは最近だから前後関係おかしいし
逆に非難の方が強かったな
139:１３２人目の素数さん
09/07/05 23:03:51
Paradox
140:べ
09/07/05 23:05:34
問題文読み間違えて質問してたようだけど、解けたのかな？？
141:１３２人目の素数さん
09/07/05 23:18:56
>>133
b_m = {(2m)!!/(2m-1)!!}√(2/m),
I_(2m-1) = (2m-2)!!/(2m-1)!!,
I_(2m) = (π/2){(2m-1)!!/(2m)!!},
I_(2m+1) = (2m)!!/(2m+1)!!,
142:１３２人目の素数さん
09/07/06 00:53:18
なんかβ自己弁護に躍起だけど
数々の恥の歴史は事実なんだよね
143:126
09/07/06 05:08:06
>>127-128
理解した．読み違えてた．．．(というか完全に都合良く解釈してた)
「正方形の2辺上に端点を持つ長さ1の線分を動かしたときに出来るアステロイド曲線」
が題材ってことね
計算はまだしてないが．．．
144:１３２人目の素数さん
09/07/10 21:41:47
次の性質を満たす数列 {a_n}，{b_n} の例を一つ挙げよ．
(1) lim[n→∞] (a_n/b_n) ＝ 1
(2) lim[n→∞] (a_(n+1)/b_n) ＝ 0
(3) lim[n→∞] (a_n/b_(n+1)) ＝ ∞
簡単すぎ？
145:１３２人目の素数さん
09/07/10 21:46:27
これでいいの？
a_n = b_n = 1/(n!)
146:144
09/07/10 21:53:58
(4) 任意のnで a_n ≠ b_n
を忘れてました．すんません．
147:べ
09/07/10 22:14:07
>>144
a[n]=x^-n + x^-(n+1)
b[n]=x^-n
とか？
148:１３２人目の素数さん
09/07/10 22:36:53
x って？
149:１３２人目の素数さん
09/07/10 22:40:49
>>148
アホがうつるぞ
150:べ
09/07/10 22:53:41
a[n]=n^-n + n^-(n+1)
b[n]=n^-n
だったｗ
なぜかx使ってた。
151:べ
09/07/10 22:57:25
eになる。無視してｗ
152:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:01:45
なにこいつ・・
153:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:02:22
>>152
バカは黙っとけ
154:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:04:15
もうこのスレ誰も興味持たないからいらないんだよな
βの好きにさせときなよ
155:べ
09/07/10 23:38:00
>>144
nが偶数の時、
a[n]=2+(-2)^n
b[n]=2-(-2)^n
nが奇数の時、
a[n]=2+(-2)^(n+1)
b[n]=2-(-2)^(n+1)
これは？
156:べ
09/07/10 23:39:11
ついでに本気で解いてないｗ
本気で解いたらできるけど、
まぁ問題の核心が分かったんでミスしててもいいでふ
157:１３２人目の素数さん
09/07/11 07:51:11
>>144
a_n = 1/(n!)
b_n = 1/(n!+1)
158:１３２人目の素数さん
09/07/15 08:09:16
a,b,cは自然数である。
a は奇数である。
a,b は互いに素である。
a^2 + b^2 = c^2 が成立する。
//-----------------------------------------------------------
以上が全て成り立つとき、
d = √{(a + c)/2} なる d を考える。
dが自然数となる場合があることを示せ。
159:１３２人目の素数さん
09/07/15 19:56:37
>>158
a=3,b=4,c=5のときd=2
160:１３２人目の素数さん
09/07/15 21:48:17
>>158
m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2 だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび a=m^2 - n^2、 b=2mn、 c=m^2 + n^2 とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから d=√D=m は自然数
161:158
09/07/16 03:29:21
>>159
あう・・・問題文工夫すればよかった
>>160
てか、大学入試の整数問題で難問つくるのむずかしいか・・・
162:１３２人目の素数さん
09/07/17 00:01:37
564:べ 2009/07/08(水) 20:39:35
>> 1 への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3 √10 0 99999/33332 2.99 3 π √√26 ∞
3!/2! 10sin17° log20 √7+0.3541 e i [x→3]x
＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡
一応あげとく｡
ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
注意：このスレの“１”は高一
163:１３２人目の素数さん
09/07/17 00:06:41
640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
>> 639
∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡
164:１３２人目の素数さん
09/07/17 06:33:26
>>163
「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生
「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？
165:１３２人目の素数さん
09/07/17 11:32:00
>>164
∞は数字じゃなくてただの記号
166:１３２人目の素数さん
09/07/17 18:47:09
>>164
これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します
167:１３２人目の素数さん
09/07/17 22:32:53
3･2^a-1=b^c
は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ
168:べ
09/07/18 02:00:13
>>167
１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも
mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。
とかか？
169:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:05:21
4の倍数-1は3の倍数
12の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも
170:べ
09/07/18 02:05:33
あ、途中から訳わかんない事やってるｗ
でも眠いんで寝るわ。
171:べ
09/07/18 17:53:07
とりあえずmodを使って、
（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた
172:べ
09/07/18 17:53:50
方針違ってたらスマソ
173:１３２人目の素数さん
09/07/18 17:55:46
気のせいかどうか知らないけど
11^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1
まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが
174:１３２人目の素数さん
09/07/18 18:01:07
>>173
175:１３２人目の素数さん
09/07/18 18:07:09
ここは馬鹿であることを遠慮なく告白するスレなのか？
176:べ
09/07/18 18:41:07
>>173
それを利用すればできるじゃね？
まぁ、また気が向いたら。その頃には解かれてるかもだけど。
>>175
それは君だけだろう
177:べ
09/07/18 18:47:20
>>713
まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。
やっぱ利用できそうにないか…
178:１３２人目の素数さん
09/07/18 19:46:34
>>177
11^3 = 12*111 - 1
179:べ
09/07/19 00:14:00
あ、違うｗ
12の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。
180:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:23:29
a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。
a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。
181:べ
09/07/19 00:32:14
mod使う事と、bが奇数なのはすぐ分かったが、
1+b^cを展開して解くというのはなかなか…。
182:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:53:19
>>180
b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる
183:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:56:55
>>181
この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ
184:べ
09/07/19 01:11:22
>>183
二項展開のような意味で使ったんだが・・
185:べ
09/07/19 01:16:30
まぁ、丁寧な返答ありがとう。
ここには質問者をバカにする連中もいるからな。
186:１３２人目の素数さん
09/07/19 01:21:06
ニ項展開の展開も普通の展開と同じ意味なんだけど
187:１３２人目の素数さん
09/07/24 14:14:23
1辺の長さが１の立方体を平面で切るとき、断面図の最大値、最小値を求めよ
188:１３２人目の素数さん
09/07/24 15:59:08
【炎上】彼氏が通報者の車に醤油かけて仕返しした
ｽﾚﾘﾝｸ(kankon板)l50
189:見方によってはかなりインチキ臭い国際大会
09/07/24 16:18:15
>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ
>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。
前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。
190:記憶馬鹿には絶対解けない数学問題集
09/07/24 16:21:23
4角柱の問題 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
球体から反射された光線が到達する地点 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
反転ゲームの最短回数 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )
アリの戦争 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
立方体の通路 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )
回転する光の通過速度 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
入れ子になった回転リングの軌跡 → URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
191:なるべく予備知識無しで解いて欲しい数学難問
09/07/24 16:24:47
問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。 時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。 このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。 時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１） 軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２） 戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし ｖ＜Ｖ とする。 戦闘機もミサイルも点と考えてよい。
問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。
問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、 ｖ0：蛇口での流速、 ｇ：重力加速度とします。 また水は自然落下するとします。
192:１３２人目の素数さん
09/07/25 03:21:56
167の解答
3･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki
193:１３２人目の素数さん
09/07/25 03:47:02
なんで最後で照れてんだよ
194:１３２人目の素数さん
09/07/25 12:14:14
>>187
最小値は 0
195:１３２人目の素数さん
09/07/25 12:53:11
>>187
六角形の時が最大か？
196:１３２人目の素数さん
09/07/25 13:19:30
>>195
ダウト
197:１３２人目の素数さん
09/07/25 20:00:00
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
【３】高次元の球と立方体の断面の体積
（１）ボールの不等式
ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．
１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．
198:１３２人目の素数さん
09/07/26 01:13:53
>>197
3次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ
199:１３２人目の素数さん
09/07/26 01:28:17
＞ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
200:１３２人目の素数さん
09/07/28 14:35:46
>>197
201:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:01:25
ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい
202:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:35:47
いやです。
203:１３２人目の素数さん
09/08/01 02:05:09
誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ
204:１３２人目の素数さん
09/08/01 08:59:44
m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。
例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。
205:１３２人目の素数さん
09/08/01 11:36:19
>>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．
取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．
(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2
206:１３２人目の素数さん
09/08/01 12:14:02
>>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？
>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！
207:１３２人目の素数さん
09/08/01 12:41:14
>>206
今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね
ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した
208:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:09:37
(3)の表現がおかしかった
――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．
次から解答
209:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:11:25
(1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)
∴ n(m)＝3
210:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:12:25
(3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる
以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}
3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}
∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4
(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で
3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)
3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)
3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2
よって示された□
211:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:00:02
>>208
>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。
ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。
212:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:17:48
S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)
213:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:22:00
>>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。
214:204
09/08/01 17:03:56
nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。
①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。
mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1
mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2
でつ。。。
215:205
09/08/01 17:21:16
おおーすっきり
解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ
>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ
>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう
>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ
216:１３２人目の素数さん
09/08/01 22:35:18
球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。
217:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:06:15
実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。
x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x
極限lim[n→∞]x_nを求めてください。
218:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:08:22
求めました(^_^)V
219:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:39:31
>>217
logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より
・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？
220:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:49:55
x_1=x
x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ
221:１３２人目の素数さん
09/08/04 15:07:27
2cosα+3cosβ+4cos(α+β)の最小値を求めよ。
ただし0≦α+β≦2πとする
なかなか難問だと思いますが・・・
222:１３２人目の素数さん
09/08/04 15:37:24
864π
223:１３２人目の素数さん
09/08/04 22:15:31
>>221
3つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる
以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12
224:223
09/08/04 22:31:15
＞a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
＞a↑,b↑,c↑をとることができる
を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0
225:223
09/08/04 22:41:55
なんかところどころおかしいな
>>223 5行目
× =|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
○ =|a↑+b↑+c↑|^2-(a^2+b^2+c^2)
>>224
× α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑
○ cosα=11/24のとき|a↑+b↑|=|c↑|
何度もすまん
226:１３２人目の素数さん
09/08/05 00:06:04
原点をOとするxy平面上の格子点A(0)、A(1)、A(2)、……、A(n)、…を、次の条件を満たす格子点とする.
A(0)=O |A(n-1)A(n)↑|=n A(n)A(n+1)↑・A(n-1)A(n)↑＝0
(1)O=A(m)となりうるような自然数mをすべて求めよ.
(2)x軸上のある格子点Pに対して、P=A(N)となりうるような自然数Nが存在することを証明せよ.
(3)A(n)について、どのようなnについても一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ.
227:１３２人目の素数さん
09/08/05 00:23:18
なんか問題文が変じゃない？
（２）は「ある」じゃなくて「任意の」ではないの？
（３）は「どのようなnについてもA(n)と一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ. 」と言いたいのかな。
228:１３２人目の素数さん
09/08/05 00:25:40
>>227
すんません。その通りです。アホでごめんなさい
229:１３２人目の素数さん
09/08/05 01:59:26
>>222
なにかと思えば>>216の答えだったんだな 、今やってわかった
要所は全て整数になるけどまあめんどくさかった
230:216
09/08/05 09:34:41
>>222,229
正解おめ。時間無制限でもそこそこきつい。30分程度で解ければ大したもんだ。
231:221
09/08/05 11:01:32
>>223 正解です
試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？
232:１３２人目の素数さん
09/08/05 12:44:32
>>231
試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
233:232
09/08/05 12:54:06
>>232
少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
234:232
09/08/05 13:06:07
(3)x,y座標の少なくとも一方は偶数であるから、
(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
235:１３２人目の素数さん
09/08/05 13:29:30
>>221
条件が無意味
236:１３２人目の素数さん
09/08/05 14:17:09
n個の実数の平均の値は常にn個の実数の最小以上最大以下であることを示せ。
ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
237:１３２人目の素数さん
09/08/05 14:39:49
>>232~234
お見事です！
238:１３２人目の素数さん
09/08/05 17:12:36
nが4より大きい自然数のとき tan(π/n) は無理数である事を示せ。
239:１３２人目の素数さん
09/08/05 23:35:12
>>221 cos(α+β)＝cos(2πｰ(α+β))に気づいたらベクトルを思いつくと思ってそのヒントと
して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
240:１３２人目の素数さん
09/08/05 23:35:46
>>238
三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
241:１３２人目の素数さん
09/08/05 23:56:37
>>231
普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
242:１３２人目の素数さん
09/08/06 00:31:06
>>240
見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
243:１３２人目の素数さん
09/08/06 01:05:19
>>241
でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
244:１３２人目の素数さん
09/08/06 01:25:03
>>241 合成でもできましたか
問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
245:１３２人目の素数さん
09/08/06 02:12:47
>>244
三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
246:１３２人目の素数さん
09/08/06 02:24:35
>>238
tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
247:１３２人目の素数さん
09/08/06 12:17:07
>>246
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
248:１３２人目の素数さん
09/08/06 14:18:32
実数全体で定義された関数 f(x) が，各k (1≦k≦n) に対して
lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
249:248
09/08/06 14:19:22
× 実数全体で定義された関数 f(x)
○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
250:１３２人目の素数さん
09/08/06 15:35:58
kってなんだよ?実数か？
251:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:10:25
自然数だろjk
252:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:28:51
>>248
lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
253:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:33:09
甘すぎ
254:１３２人目の素数さん
09/08/06 17:43:50
>>252で十分なくらいつまらん問題ではある
255:１３２人目の素数さん
09/08/06 18:12:26
>>252の方針で厳密にやるとε-δ論法になってしまい、範囲外。
高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。
256:１３２人目の素数さん
09/08/06 21:08:49
>>248が問題の全体だとすると各ｋなんてやる意味ないな
257:１３２人目の素数さん
09/08/06 23:36:24
>>248
f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない
よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ
258:１３２人目の素数さん
09/08/07 12:08:31
多分>>248は一生懸命考えた解答があるんだろう
しかし残念ながら問題がしょうもない
259:１３２人目の素数さん
09/08/07 16:32:19
と一生懸命考えた回答をこけにされた>>252が必死こいてます
260:１３２人目の素数さん
09/08/09 00:32:12
>>259
なんでわざわざ
>各k (1≦k≦n) に対して
なんてしてるの？
261:１３２人目の素数さん
09/08/09 23:55:23
一辺の長さが１である正八面体の内部に存在する正四面体の体積の最大値を求めよ.
262:１３２人目の素数さん
09/08/10 00:09:30
16√2/27な気がする
263:１３２人目の素数さん
09/08/10 03:31:27
nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ
264:１３２人目の素数さん
09/08/10 08:32:02
>>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う
265:１３２人目の素数さん
09/08/10 11:39:47
ひろいもの
1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．
266:１３２人目の素数さん
09/08/10 19:36:25
>>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？
267:１３２人目の素数さん
09/08/10 21:25:41
\int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。
268:１３２人目の素数さん
09/08/11 01:15:59
！
269:１３２人目の素数さん
09/08/11 04:30:12
どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに
270:267
09/08/11 08:12:03
追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。
271:１３２人目の素数さん
09/08/11 19:56:18
>>265
(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
P_(n+1) = (1/2)Y_n,
X_(n+1) = P_n,
Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,
272:１３２人目の素数さん
09/08/11 19:57:59
>>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n, cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
q_0 = 3/4,
q_1 = 1/√8,
q_2 = -1/2,
q_3 = -1/√2,
q_4 = 0,
よって
q_n = (2/√7)sin((n-4)α), sinα = √(7/8),
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]
273:272
09/08/11 20:03:34
(修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα), cosα = 1/√8,
274:１３２人目の素数さん
09/08/12 03:25:22
>>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ
に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です
275:１３２人目の素数さん
09/08/12 04:54:00
>>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
= 1 - log(3),
x>0 のとき e^x > 1 + x + (1/2)x^2 より
e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
1.1 > log(3)
I > -0.1
276:267
09/08/12 06:56:13
>>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。
277:１３２人目の素数さん
09/08/12 19:08:56
>>263
前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
差 = 0.1630517115459619880289680081377･･･
>> 274
左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･
278:１３２人目の素数さん
09/08/12 23:40:13
任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv
279:１３２人目の素数さん
09/08/13 01:53:03
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)
sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立
280:１３２人目の素数さん
09/08/13 14:11:51
>>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ
>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5
y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ
Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5
>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか
sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある
281:狂介
09/08/13 22:24:20
>>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど
282:１３２人目の素数さん
09/08/13 22:37:52
>>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・
283:１３２人目の素数さん
09/08/14 02:29:05
>>279>>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました
284:１３２人目の素数さん
09/08/14 03:04:00
f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ
明日東大模試だし、早めに寝るか…
285:狂介
09/08/14 08:07:26
>>282
すいませんでした
>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）
平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))
よってlim(n→∞)f_n(x)=a
286:280
09/08/14 23:42:15
>>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う
a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。
287:１３２人目の素数さん
09/08/15 09:03:10
↑パクリ問かよ
288:１３２人目の素数さん
09/08/15 11:13:41
>>286 下
通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1, a_2 = 1/4, a_3 = 1/9, a_4 = 1/16 を代入する。
a_5 = 15/377,
289:１３２人目の素数さん
09/08/15 18:01:28
次の性質を満たす正の実数 p がある．
任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
290:１３２人目の素数さん
09/08/18 05:51:03
筑波大＞＞東大が証明されました！
筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
291:１３２人目の素数さん
09/08/19 00:39:38
>>284
分からない
292:１３２人目の素数さん
09/08/19 17:11:16
>>291
>>286
293:１３２人目の素数さん
09/08/19 17:29:03
>>289
q=1 ならできた。
294:284とか
09/08/19 19:06:00
fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です
295:１３２人目の素数さん
09/08/19 19:07:12
>>289
ギブ
296:１３２人目の素数さん
09/08/19 21:17:45
>>293
p=e のとき
0 < a_n = ∑[k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
= ∑[k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
< ∑[k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。
いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
n!e は自然数。
a_n/(n+1) も自然数。ところが
0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。
297:１３２人目の素数さん
09/08/19 23:14:08
【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)
他のと比べたらかなり簡単
298:１３２人目の素数さん
09/08/20 05:35:52
>>296
N.G.
それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。
> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。
仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。
よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。
299:１３２人目の素数さん
09/08/20 07:30:53
>>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？
300:１３２人目の素数さん
09/08/20 08:12:45
>>298
これはありなのか？
スレとして
301:１３２人目の素数さん
09/08/20 09:13:12
e^2が無理数はいけたかも。
302:301
09/08/20 11:12:19
(e^2 が無理数であることの証明)
仮定より,
1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①
また簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②
②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④
ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．
# e^m (m≧3) の証明はできない...
303:１３２人目の素数さん
09/08/20 11:26:30
>>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？
304:１３２人目の素数さん
09/08/20 13:20:50
>>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。
305:284とか
09/08/21 20:56:18
【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ
306:１３２人目の素数さん
09/08/22 00:04:44
問題文が理解不能
307:１３２人目の素数さん
09/08/22 00:53:33
ワインダーってなんだよ
308:１３２人目の素数さん
09/08/22 01:06:08
ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
309:１３２人目の素数さん
09/08/22 11:27:26
高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください
310:１３２人目の素数さん
09/08/22 11:36:00
あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です
ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)
この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。
311:１３２人目の素数さん
09/08/22 12:00:34
>>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。
312:１３２人目の素数さん
09/08/22 12:20:27
>>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない
313:１３２人目の素数さん
09/08/22 13:48:29
最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…
314:１３２人目の素数さん
09/08/22 13:52:46
>>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。
315:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:35:40
一応これ自作なのですが全く同じなのですか？
あることに気付けばすぐできます
316:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:40:01
連続レスすみません
z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。
こちらに載せます。
317:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:48:56
Sinはsinってことでおｋ？
318:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:50:09
おけです
319:１３２人目の素数さん
09/08/22 18:58:12
>>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。
320:１３２人目の素数さん
09/08/22 19:30:00
0.
321:１３２人目の素数さん
09/08/22 20:00:34
共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ
322:１３２人目の素数さん
09/08/23 08:17:49
場合の数は2^(n-1)かなあ
323:１３２人目の素数さん
09/08/23 09:06:51
>>322おしいですね
324:かえる
09/08/23 10:25:36
>>310
厳密な証明がうまく書けませんが、
１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）
最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り
325:かえる
09/08/23 10:32:43
324の上段をもう少し丁寧に書けば、
１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）
326:１３２人目の素数さん
09/08/23 11:03:42
正解です
327:１３２人目の素数さん
09/08/23 13:56:11
>>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。
328:１３２人目の素数さん
09/08/23 14:17:23
意味不明
329:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:53:42
出します。
一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。
330:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:57:25
もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので
正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。
331:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:58:55
>>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ
332:かえる
09/08/23 19:32:06
>>330
ｎ回目の操作後
Ａが床についている確率a(n)
Ａの隣の５面のいずれかが床についている確率b(n)
Ａから２つ離れた５面のいずれかが床についている確率c(n)
Ａから３つ離れた面が床についている確率d(n)
a(n+1)=(1/5)b(n)
b(n+1)=a(n)+(2/5)b(n)+(2/5)c(n)
c(n+1)=(2/5)b(n)+(2/5)c(n)+d(n)
d(n+1)=(1/5)c(n)
333:かえる
09/08/23 19:42:35
>>332の続き
（第１式）＋（第２式）と
a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=1
a(0)=1,b(0)=c(0)=d(0)=0に注意して、
a(n)+d(n)=(1/6)+(5/6)(-1/5)^n
（第１式）－（第４式）に（第２式）－（第３式）を代入して、
a(n+2)-d(n+2)=(1/5)(a(n)-d(n))
ｎ偶数：a(n)-d(n)=(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)-d(n)=0
334:かえる
09/08/23 19:46:34
>>332の続き
よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n
・・・（答）
335:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:06:12
>>308
336:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:20:30
>>312
もう少し詳しくお願いします
337:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:03:39
>>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？
338:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:15:06
>>337
自分で検証できないのか？
339:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:31:13
1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．
(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．
340:かえる
09/08/24 01:02:34
>>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1
341:１３２人目の素数さん
09/08/24 01:36:09
>>340
答えの予測はつくが論証が難しい
342:１３２人目の素数さん
09/08/24 20:18:11
xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ
343:１３２人目の素数さん
09/08/24 21:00:00
a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.
344:１３２人目の素数さん
09/08/24 22:20:02
(1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
345:かえる
09/08/25 08:04:40
>>344
（１）（７＾１００００の桁数－１）／１００００
（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）
346:１３２人目の素数さん
09/08/25 22:07:18
誰か未解決問題まとめてくれ
347:344
09/08/26 02:58:31
>>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。
・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。
訂正後の(2)は下記。
1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。
ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。
348:１３２人目の素数さん
09/08/26 21:51:33
>>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん
349:１３２人目の素数さん
09/08/26 23:29:18
【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)
350:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:19:01
>>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点
351:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:59:33
>>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？
352:１３２人目の素数さん
09/08/28 17:32:06
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。
353:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:13:30
だから「共通体積」って何だよ。
共通部分の体積
って書けよ。
354:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:36:34
353(笑)
355:１３２人目の素数さん
09/08/28 22:28:49
円柱の中心ってなあに？
わかりません
356:１３２人目の素数さん
09/08/28 23:24:09
共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない
357:352
09/08/29 00:32:03
共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？
358:１３２人目の素数さん
09/08/29 00:42:16
>>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです
【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ
>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…
359:１３２人目の素数さん
09/08/29 01:04:18
>>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在
360:１３２人目の素数さん
09/08/29 02:30:21
0<c<1でよかったか
361:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/08/29 07:49:15
何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな
362:１３２人目の素数さん
09/08/29 16:42:20
>>351
蛇足だが…
r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…
|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
|x| ≦ r ⇒ |f '(x)| ≦ sin(r) = c,
f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
|ξ| ≦ r,
∴ |f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴ |f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴ f_n(x) は一様収束。
a = 0.69481969073078756557842007277519…
cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…
363:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:23:09
ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。
364:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:28:10
>>363
釣りか？
それとも、そんな内容は低俗すぎて語るに足りないと面接で言えってことか？
365:１３２人目の素数さん
09/08/29 23:55:45
高学歴でも使えない奴は普通にいるが、それでも低学歴を
採用するより高学歴を採用したほうが統計的に見て
使える割合が高いと言う話を聞いたことがある
366:１３２人目の素数さん
09/08/30 01:24:33
>ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
> |ξ| ≦ r
どうなってるのか教えてくれ
367:362
09/08/30 17:43:36
>>366
n-1≧1 から f_(n-1)(x) ∈ [-r,r]
また、明らかに a ∈ (-r,r)
∴ ξ ∈ (-r,r)
368:１３２人目の素数さん
09/08/31 01:54:21
>>367
なるほどありがとう
うまいなあ
369:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:09:49
m,n(1<m<n)を正の整数とする.1からmnまでの自然数から、異なるn個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.
370:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:26:46
f(x)=-(x-a)^2+b-aとおく.ただし、aは実数で、bは実数定数とする.0<a<b,f(0)<0のとき、y=f(x)とx軸によって囲まれる
部分の図形を、y軸を軸にして一回転させたときにできる立体の体積をV(a)とする.
aを上記の条件で動かすとき、V(a)の値に最大値が存在するための定数bの条件を求めよ.
371:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/09/01 09:14:06
>>363
確かに「そういう感じ」はありますね。
尤も「頭が良い」ってのがどういう意味かにも依りますよね。
まあ幾ら知識があって回転が速くてもダメな人はダメですわな。
そもそも：
「数学や理論物理が出来る人が頭がいい」
てな認識は大間違いで、そうでなくても頭がいい人は
世の中に沢山居る訳です。ソレを数学や物理の成績だけで
頭の良さを測るなんて愚の骨頂っていうか超馬鹿げてます
わな。
数学者ってのはどちらかと言うと「馬鹿の集団」てな
感じさえしますけどね。コレが物理学者だったらどう
なんでしょうかね。
まあアホな事を書きましたが。
372:１３２人目の素数さん
09/09/01 16:21:25
以上残飯の独り言でした
373:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 16:52:33
新しい名前をどうも有難う御座いました。
今後も独り言ででも活躍したいと思いますので、
どうか宜しく。
374:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:15:29
ざんぱんにむらがるうじむしどもめ
375:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:30:15
未解決問題多いな
376:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:38:06
ざんぱんまん！
377:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 17:49:19
せっかく新しい名前に変えたので、
残飯ネタの話を沢山カキコして下さいな。
ちゃんと見て居りますんで。
猫
378:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:32:06
四面体 OABC において、サイコロ1個を6回連続で振ったときに出た目を順に
OA、OB、OC、BC、CA、AB の長さとする四面体 OABC が存在する確率を求めよ。
379:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:52:48
>>369
A_k=a+(k-1)dとして
1≦a≦mn
1≦a+(n-1)d≦mnを満たす整数(a,d)の組数を求めることに等しいdの値を固定する
①d≧0の時1≦a≦mn-(n-1)d
②d≦0の時1-(n-1)d≦a≦mn
①の時dの最大値は
d=mで右辺=mでd=m+1ではm-n+1≦0で不適だから
Σ[d=1,m]mn-(n-1)d=m^2*n-
(n-1)*m(m+1)/2
②の時は同様にd=-mで最小で
Σ[d=-m,-1]mn+(n-1)d
=①
d=0はmn
∴
2nm^2-m(m+1)(n-1)+mn
=nm^2+m^2+m
=m(mn+m+1)
かな？
検算してないから自身ないけど
380:１３２人目の素数さん
09/09/02 11:46:54
∑[n=1,∞]{(4n-4)!!*(2n-3)!!}/{(4n-1)!!*(2n-2)!!}=tan(π/8)を示せ．
ただし，!!は二重階乗である．
381:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:41:20
p,q,p+q,p-qが全て素数であるような(p,q)の組を全て求めよ.
382:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:51:33
p+qは明らかに奇数 なので一方は偶数→条件に合うのは q=2
p-2,p,p+2のうち一つは3の倍数なので 条件に合うのはp-2=3のみ
ゆえにp=5,q=2
383:１３２人目の素数さん
09/09/02 18:45:09
>>379
惜しい。問題の読み取りミス。
「異なる」n個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.
384:352
09/09/02 19:30:38
352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。
385:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:28:55
高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。
a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。
386:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:30:57
ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0
387:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:31:57
こんな問題に３０分も
かかるのか？
388:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:38:00
部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが
それにしたって30分はかからんだろうな
389:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:45:47
>>384
xyz平面って何だ？
390:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:47:02
>>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……
391:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:09:55
このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.
392:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:18:26
>>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど
393:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:05:07
2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2
394:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:43:35
>>378
四面体の成立条件がわからん。。。
395:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:19:10
>>393
囲まれる部分なんてある？
396:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:20:01
>>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。
397:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:21:36
>>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。
398:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:24:02
やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。
例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890 （∵2x5x8x9=890）
===============================
a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n}) （nは任意の正整数）
なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。
例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================
p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。
399:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:25:21
>>397
lが y=1だとどうすんの
400:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:26:34
>>393
すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。
ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね
401:394
09/09/03 00:29:18
>>396
＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。
402:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:30:55
>>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？
403:398
09/09/03 00:31:41
ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま
404:398
09/09/03 00:36:01
ごめ、最終行訂正。
pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。
405:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:41:12
>>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。
406:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:50:00
２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。
407:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:57:55
1+1=2
408:396
09/09/03 01:20:46
>>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。
多分整数解を持たんだろうけど。
409:393
09/09/03 01:24:21
>>399>>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。
原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。
410:401
09/09/03 01:39:02
>>408
とてつもなく長い式になりそうな・・・
411:宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg
09/09/03 22:15:04
なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。
ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。
b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。
※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。
====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。
412:１３２人目の素数さん
09/09/04 00:30:00
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)
ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。
413:１３２人目の素数さん
09/09/04 08:52:31
1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉 の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？
414:１３２人目の素数さん
09/09/04 22:11:38
x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ
（出典：数検１級２次)
415:１３２人目の素数さん
09/09/05 00:43:22
f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)
比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)
416:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:35:36
2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？
417:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:44:40
2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ
418:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:45:17
>>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる
ちょっとレベル低すぎ
419:１３２人目の素数さん
09/09/05 03:01:49
2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ
420:１３２人目の素数さん
09/09/05 11:16:50
>>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。
あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。
いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。
すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。
421:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:13:52
>>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ
422:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:18:28
>>421
誤爆ミス
423:１３２人目の素数さん
09/09/05 14:36:14
>>415
よくできました(･∀･)
424:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:18:07
>>421
x = t^(1/p),
y = (1-t)^(1/p),
S(D) = ∫[0,1] y･dx
= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),
425:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:39:22
>>412
はどの問題に対するレスですか？
426:１３２人目の素数さん
09/09/06 01:18:42
>>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが
【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ
427:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:37:57
>>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか
428:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:44:43
Ｚ会の過去問乙
429:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:53:43
>>426
Ｚ会に通報します．
430:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:56:07
パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ
431:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:11:29
>>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな
432:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:31:22
308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよ ただしvは定数である
433:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:35:30
>>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする
434:１３２人目の素数さん
09/09/06 17:14:41
a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。
435:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:17:36
>>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)
微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。
436:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:24:18
>>434
直線の傾きを -m とおく。(m>0)
PQ = (b/m)√(1+m^2),
PR = a･√(1+m^2),
(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2 (←相加･相乗平均)
= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。
437:436
09/09/06 21:31:10
>>434
訂正
ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
= ･･･
438:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:36:53
>>434 Sorry, the problem is very famous.
The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.
Super Solution: Holder kills it in 1 minute.
439:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:37:08
原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。
QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③
…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。
440:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:22:43
【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ
441:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:58:28
∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表 計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル
442:435=439
09/09/07 00:28:51
>>436-438
参りました。
>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。
f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)
f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。
このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。
(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)
443:435=439
09/09/07 00:36:39
>>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。
444:435=439
09/09/07 00:52:09
ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。
(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。
445:１３２人目の素数さん
09/09/07 00:56:25
これは、1985 中央大理工の問題です
446:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:24:47
これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。
447:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:46:11
>>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも
【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ
448:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:15:12
>>447
便宜上 -π<θ<πとする。
BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
y = σx√{(1-x)/(1+x)}, σ = Sgn(θ),
OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2) だから、
OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
y= σ(1-x)√{x/(2-x)}, σ = Sgn(θ),
これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について 線対称。
449:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:53:14
>>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。
450:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:15:09
3問目の出題
lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ
451:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。
452:１３２人目の素数さん
09/09/08 21:19:39
〔434の類題〕
a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。
>>450
e^(-2)
453:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:01:52
>>452 正解
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった
もう一問 こっちのがメンドイ
lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕
454:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:09:51
>>453
1/2
すたーりんぐデ１コロ
log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････
455:１３２人目の素数さん
09/09/09 06:38:40
糞みたいな問題ばかり出題するなよ
456:１３２人目の素数さん
09/09/09 08:42:31
5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。
457:１３２人目の素数さん
09/09/09 11:26:44
>>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?
458:１３２人目の素数さん
09/09/09 12:32:05
m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)
が成り立つことを証明せよ。ただし、
(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1) とする。
459:１３２人目の素数さん
09/09/09 15:46:07
一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。
460:１３２人目の素数さん
09/09/09 16:48:21
１
461:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:38:46
>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…
ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。
462:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:46:58
>>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適
463:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:56:17
5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ
464:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:02:18
>>463
０点
x≒1.765でも交わる
465:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:07:00
>>463
出鱈目。
466:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:11:19
1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
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60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936